P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
1
2. Wybór optymalnego planu (asortymentu) produkcji przy ograniczonej
dostępności środków produkcji
Firma może produkować n rodzajów wyrobów. Zakładamy, że wszystkie wyprodukowane wyroby można
sprzedać ze stałymi zyskami jednostkowymi tzn. nie zależącymi od wielkości sprzedaży. Do produkcji
wyrobów zużywane są różne środki produkcji (surowce, energia, maszyny, siła robocza, powierzchnia
magazynowa etc.), z których część lub wszystkie (w liczbie m) jest dostępna w ograniczonych ilościach w
pewnym ustalonym okresie czasu. Dane sÄ…:
" normy zużycia środków produkcji na jednostkę każdego wyrobu (liczone np. w g/kg, mg/l, kg/m3, kWh/t,
h/t itp.);
" maksymalne dostępne zasoby środków produkcji w rozważanym okresie czasu (liczone np. w kg, l, hl, t, m,
m2, m3, kWh itp.);
" zyski jednostkowe dla każdego z wyrobów (liczone w PLN/m3, PLN/kg, PLN/m2, PLN/t itp.  zamiast PLN
może być oczywiście dowolna inna waluta, ale dla wszystkich wyrobów jednakowa).
a zatem parametrami w modelu matematycznym zagadnienia sÄ…:
" aij - zużycie i-tego środka produkcji na wytworzenie jednej jednostki wyrobu j-tego rodzaju (i= 1,...,m;
j = 1,...,n),
" bi - maksymalne dostępne zasoby i-tego środka produkcji (i= 1,...,m),
" c -zysk jednostkowy dla j-tego wyrobu (j = 1,...,n).
j
Należy określić, które wyroby i w jakich ilościach produkować, aby nie przekraczając zużycia posiadanych za-
sobów środków produkcji, zmaksymalizować zysk ze sprzedaży tych wyrobów w pewnym ustalonym okresie
czasu.
Zmiennymi decyzyjnymi w tym zagadnieniu są zatem wielkości produkcji wyrobów:
xj - wielkość produkcji j-tego wyrobu,
a ogólny model zagadnienia można zapisać następująco:
c1x1 + c2 x2 + ... + cn xn max - łączny zysk ze sprzedaży wyrobów
przy ograniczeniach
rzeczywiste zużycie maksymalne dostępne zasoby
środków produkcji środków produkcji
a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn d" b1
a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn d" b2
î" î"
am1x1 + am2 x2 + ... + amn xn d" bm
x1 e" 0 , x2 e" 0 ,...., xn e" 0 ilości wyrobów nie mogą być ujemne
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
2
Zadanie - optymalny plan produkcji
Zakład przetwórstwa owocowo-warzywnego produkuje z pulpy jabłkowej dżem, mus oraz sok. Ze względów
technologicznych dzienne zużycie zarówno samej pulpy, jak i niektórych innych środków produkcji jest
limitowane. Należy znalez
ć plan produkcji w/w trzech wyrobów maksymalizujący dzienny zysk z uwzglę-
dnieniem dziennych limitów. Dane liczbowe znajdują się w tabeli.
Wyroby
Maksymalne
Dżem (kg DŻ) Mus (kg M) Sok (l S)
dzienne
Zyski jednostkowe
0,40 PLN/kg DŻ 0,50 PLN/kg M 0,10 PLN/l S zużycie środków
(PLN/ jedn. wyrobu finalnego)
produkcji
Środki produkcji Jednostkowe zużycia środków produkcji
pulpa jabłkowa 0,4 0,6 0,05
(kg/ jedn. wyrobu finalnego) (kg PJ/kg DÅ») (kg PJ/kg M) (kg PJ/l S) 16000 kg PJ
cukier 0,25 0,2 0,08
(kg/ jedn. wyrobu finalnego) (kg C/kg DÅ») (kg C/kg M) (kg C/l S) 7000 kg C
pektyny 0,022 0 0
(kg/ jedn. wyrobu finalnego) (kg P/kg DÅ») (kg P/kg M) (kg P/l S) 250 kg P
kwas cytrynowy 2 1,7 2,5
(g/ jedn. wyrobu finalnego) (g/kg DÅ») (g/kg M) (g/l S) 80000 g
woda 0,35 0,2 0,92
(l/ jedn. wyrobu finalnego) (l W/kg DÅ») (l W/kg M) (l W/l S ) 20000 l
energia elektryczna 0,03 0,02 0,006
(kWh/ jedn. wyrobu finalnego) (kWh/kg DÅ») (kWh/kg M) (kWh/l S) 1200 kWh
Uwaga. Jednostki, w których są mierzone zarówno niektóre wyroby jak i środki produkcji, czyli kilogramy oraz litry,
zostały opatrzone dodatkowymi skrótami dla rozróżnienia, do czego się odnoszą. Oznaczenia te są wykorzystane przy
 skracaniu w formułach  rozpisanych z jednostkami.
Zadanie  ciÄ…g dalszy
Sprawdzić czy jest możliwa zmiana optymalnego planu produkcji na któryś z wymienionych:
1) x1 = 8900 x2 = 10000 x3 = 16150 2) x1 = 2400 x2 = 23000 x3 = 14440 3) x1 = 7900 x2 = 20450 x3 = 11850
4) x1 = 10000 x2 = 10000 x3 = 20000.
Sprawdzenia należy dokonać przez podstawienie każdej z trójek liczb do odpowiednich komórek i porównanie wartości
lewych stron warunków ograniczających z wartościami ich prawych stron.
Model matematyczny do zadania
x3
x1 , x2 , - ilości wyrobów  odpowiednio dżemu i musu w kg oraz soku w l.
0,4x1 + 0,5x2 + 0,1x3 max (funkcja celu  Å‚Ä…czny zysk)
przy ograniczeniach
rzeczywiste zuż .środ. produkcji maks. dzienne zuż. środ. produkcji
0,4x1 + 0,6x2 + 0,05x3 d" 16000
0,25x1 + 0,2x2 + 0,08x3 d" 7000
0,022x1 + 0x2 + 0x3 d" 250
2x1 +1,7x2 + 2,5x3 d" 80000
0,35x1 + 0,2x2 + 0,92x3 d" 20000
0,03x1 + 0,02x2 + 0,006x3 d" 1200
x3 e" 0
x1 e" 0 , x2 e" 0 , - ilości wyrobów nie mogą być ujemne
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
3
Funkcja celu i pierwszy z warunków ograniczających  rozpisane z jednostkami.
PLN PLN PLN
0,4 x1kg DÅ» + 0,5 x2kg M + 0,1 x3 l S
kg DÅ» kg M l S
kg PJ kg PJ kg PJ
0,4 x1kg DÅ» + 0,6 x2 kg M + 0,05 x3l S d" 16000 kg PJ
kg DÅ» kg M l S
RozwiÄ…zywanie zadania
Wprowadzanie danych do komórek arkusza
Podstawowa zasada tworzenia modeli optymalizacyjnych w Excelu, które następnie są rozwiązywane przy
pomocy dodatku Solver jest następująca.
Użytkownik MUSI ZDECYDOWAĆ, KTÓRE KOMÓRKI ARKUSZA B
D
PEA
NIĆ ROL

ZMIENNYCH DECYZYJNYCH ( iksów ).
Wszystkie formuły opisujące funkcję celu oraz warunki ograniczające muszą być Excelowymi odpowiednikami
formuł z zapisu matematycznego, gdzie w miejscu zmiennych decyzyjnych pojawiają się referencje do
komórek pełniących rolę zmiennych decyzyjnych. Komórki te będą również zadeklarowane w odpowiednim
polu dodatku Solver jako tzw.  komórki zmieniane .
W rozwiązywanym właśnie zadaniu komórkami pełniącymi rolę zmiennych decyzyjnych będą B2, C2, D2 
w skrócie: zakres (tablica) B2:D2. Odpowiedniość pomiędzy komórkami a zmiennymi jest następująca:
B2 - x1, C2 - x2 , D2 - x3 .
Ponieważ współczynniki funkcji celu znajdują się w komórkach B4, C4 i D4 zatem odpowiednikiem funkcji
celu
0,4x1 + 0,5x2 + 0,1x3
będzie formuła
=B4*B2+C4*C2+D4*D2
Zastosujemy jednak równoważną formułę, jednakże prostszą we wprowadzaniu, zwłaszcza, jeżeli użyty
zostanie kreator funkcji z menu Wstaw-Funkcja (w Excelu 2007/2010 Formuł y-Wstaw funkcję)
=SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B2:D2).
Jak widać, funkcja celu jest podobna do formuł w lewych stron warunków ograniczających (wszystkie one są
sumami iloczynów liczb i zmiennych). Dzięki temu formuła reprezentująca w arkuszu funkcję celu zostanie
wykorzystana do stworzenia, przy pomocy kopiowania, formuł reprezentujących lewe strony warunków
ograniczających W tym celu formuła ta musi być wpisana w postaci
=SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B$2:D$2)
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
4
Informacja na temat formuł: wprowadzanej i kopiowanych
Zapis matematyczny
Formuły  dosłowne tzn. takie które
Formuły z SUMA.ILOCZYNÓW
Uwagi
należałoby wpisać przy literalnym
odpowiadające formułom  dosłownym
 przełożeniu zapisu matematycznego
na składnię Excela
0,4x1 + 0,5x2 + 0,1x3
Wprowadzona przez
E4 =SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B$2:D$2)
użytkownika
=B4*B2+C4*C2+D4*D2
0,4x1 + 0,6x2 + 0,05x3
Otrzymana przez
E6 =SUMA.ILOCZYNÓW(B6:D6;B$2:D$2)
kopiowanie z E4
=B6*B2+C6*C2+D6*D2
0,25x1 + 0,2x2 + 0,08x3
Otrzymana przez
E7 =SUMA.ILOCZYNÓW(B7:D7;B$2:D$2)
kopiowanie z E4
=B7*B2+C7*C2+D7*D2
0,022x1 + 0x2 + 0x3
Otrzymana przez
E8 =SUMA.ILOCZYNÓW(B8:D8;B$2:D$2)
kopiowanie z E4
=B8*B2+C8*C2+D8*D2
2x1 +1,7x2 + 2,5x3
Otrzymana przez
E9 =SUMA.ILOCZYNÓW(B9:D9;B$2:D$2)
kopiowanie z E4
=B9*B2+C9*C2+D9*D2
0,35x1 + 0,2x2 + 0,92x3
Otrzymana przez
E10 =SUMA.ILOCZYNÓW(B10:D10;B$2:D$2)
kopiowanie z E4
=B10*B2+C10*C2+D10*D2
0,03x1 + 0,02x2 + 0,006x3
Otrzymana przez
E11 =SUMA.ILOCZYNÓW(B11:D11;B$2:D$2)
kopiowanie z E4
=B11*B2+C11*C2+D11*D2
Komórka
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
5
Kopiowanie komórki E4
Kolejnym etapem jest skopiowanie komórki E4 na zakres E6:E11. Dzięki właściwościom kopiowania nie trzeba bowiem
wprowadzać 7 formuł (funkcja celu + 6 formuł na lewe strony warunków ograniczających). Wystarczy wpisać formułę
(odpowiadającą funkcji celu) jeden raz, a pozostałe formuły  wygenerować poprzez kopiowanie.
Zrzut ekranu powyżej nie ilustruje żadnych czynności, a jedynie służy do kontroli poprawności
wprowadzenia danych!!!
To samo, co powyżej ale zamiast wyników formuł (które to wyniki na tym etapie są, jak już wiadomo,
zerami) są wyświetlone same formuły.
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
6
Ustawienia Solvera
Na tym etapie zakończyło się wprowadzanie danych bezpośrednio do komórek arkusza.
Mamy następujące związki między zapisem matematycznym a zapisem w Excelu:
B2 C2 D2
x3
x1 , x2 ,
E4 0,4x1 + 0,5x2 + 0,1x3 max
przy ograniczeniach
rzeczywiste zuż .środ. prod. maks. dzienne zuż. środ. prod.
E6 0,4x1 + 0,6x2 + 0,05x3 d" 16000 F6
E7 0,25x1 + 0,2x2 + 0,08x3 d" 7000 F7
E8 0,022x1 + 0x2 + 0x3 d" 250 F8
E9 2x1 +1,7x2 + 2,5x3 d" 80000 F9
E10 0,35x1 + 0,2x2 + 0,92x3 d" 20000 F10
E11 0,03x1 + 0,02x2 + 0,006x3 d" 1200 F11
x3 e" 0
x1 e" 0 , x2 e" 0 , - ilości wyrobów nie mogą być ujemne
B2 C2 D2
Należy teraz z menu Narzędzia-Solver (w Excelu 2007/2010 wstążka Dane-Solver) otworzyć okno Solver-
Parametry, a następnie zadeklarować ustawienia:
Komórka celu: E4
Równa: Maks (funkcja celu jest maksymalizowana  jest to ustawienie domyślne i nie trzeba go zmieniać)
Komórki zmieniane: B2:D2
Warunki ograniczajÄ…ce:
B2:D2>=0
E6:E11<=F6:F11.
Uwaga 1
Jeżeli adresy komórek w polach okien Solvera są wskazywane myszą lub klawiszami strzałek, są one  wzboga-
cone o znaki $. Również w przypadku adresów komórek podawanych z klawiatury po ich zatwierdzeniu (tzn.
po zamknięciu i ponownym otwarciu okna) pojawią się w nich znaki $. Znaki te nie mają żadnego prakty-
cznego znaczenia. a ich pojawianie się jest uwarunkowane względami techniczno-programistycznymi. Nie ma
potrzeby wprowadzania znaków $ przez użytkownika. Niemniej dopisywanie znaków $ jest wskazane
w starszych wersjach Excela (do 2002), ponieważ przy braku tychże niekiedy warunki ograniczające są
zatwierdzane nieprawidłowo.
Uwaga 2
Warunki ograniczające w oknie Solvera są sortowane alfabetycznie niezależnie od kolejności ich wprowa-
dzania.
Uwaga 3
B2:D2>=0 jest skróconym zapisem dla B2>=0, C2>=0, D2>=0 (czyli x1 e" 0 , x2 e" 0 , x3 e" 0 )
E6:E11<=F6:F11 jest skróconym zapisem dla E6<=F6, E7<=F7, E8<=F8, E9<=F9, E10<=F10, E11<=F11
(warunki związane ze zużyciem środków produkcji)
Szczegółowe zasady wprowadzania definiowania zadania w Solverze w tym w szczególności warunków
ograniczających ukazane na przykładzie rozwiązywanego zadania.
Teraz trzeba otworzyć okno Solvera z menu Narzędzia-Solver. W Komórka celu wpisujemy E4, w Komórki
zmieniane B2:D2. Opcję Równa zostawiamy jako domyślną (Maks). Dolary w adresach komórek są dostawiane
automatycznie przez Excela przy wskazywaniu zakresów komórek myszą albo po zatwierdzeniu danych
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
7
poprzez przejście do innego pola. Dolary te do niczego nie służą, a ich pokazywanie jest prawdopodobnie
uwarunkowane względami technicznymi.
Główne okno Solvera (Solver - Parametry) przed dodaniem warunków ograniczających. W samym polu Wa-
runki ograniczające nic nie wpisujemy, ponieważ jest to NIEMOŻLIWE. Aby dodać warunki, klikamy
w Dodaj
Otwiera siÄ™ nowe okno Dodaj warunek ograniczajÄ…cy
Wprowadzamy pierwszą grupę warunków czyli warunki nieujemności zmiennych (B2:D2>=0) i klikamy Dodaj
Tu rów nież możemy skorzystać ze "zw ijania" i "rozw ijania"
Tu rów nież możemy skorzystać ze "zw ijania" i "rozw ijania"
okienek do w prow adzania adresów komórek.
okienek do w prow adzania adresów komórek.
Pojawia się znowu okno Dodaj warunek ograniczający. Wprowadzamy analogicznie warunki ograniczeń
funkcyjnych (E6:E11<=F6:F11). Ponieważ nie ma już więcej warunków do dodania, klikamy OK. Następuje
powrót do okna Solver - Parametry
Po dodaniu warunków ograniczających okno Solver  Parametry powinno wyglądać jak niżej
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
8
Ustawienia Solvera dla rozwiÄ…zywanego zadania
Teraz trzeba tylko kliknąć w Rozwiąż i zaczekać (bardzo krótko), aż pojawi się następujące okno:
Pozostaje już tylko kliknąć w OK, aby zaakceptować wynik.
RozwiÄ…zanie zadania
Odpowiedz
 słowna .
Maksymalny dzienny zysk wynosi 14547,10556 PLN. Jest on osiągnięty dla planu produkcji:
*
x1 = 7877,412 kg dżemu,
*
x2 = 20431,33 kg musu,
*
x3 = 11804,77 l soku
Uwagi do rozwiÄ…zania
Jak widać, w rozwiązaniu optymalnym zużycie 1, 2 oraz 4 środka produkcji jest równe zużyciu maksymalne-
mu, natomiast zużycie pozostałych środków produkcji tzn. 3, 4 oraz 6 jest mniejsze niż maksymalne. Innymi
słowy, dla rozwiązania optymalnego 3 warunki ograniczające związane ze zużyciem środków produkcji są
spełnione z równością, a 3 z nierównością ostrą. Oznacza to, iż ewentualne zmniejszenie któregokolwiek z
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
9
limitów środków produkcji 3, 4 oraz 6 do poziomów odpowiednio nawet 173,3030647, 17703,74574 oraz
715,7775255 nie wpłynie w jakikolwiek sposób na plan produkcji, a zatem i na osiągnięty zysk. Ewentualne
zwiększenie któregokolwiek z limitów środków produkcji 3, 4 oraz 6 oczywiście tym bardziej nie wpłynie na
plan produkcji. Z kolei zmniejszenie któregokolwiek z limitów zużycia środków produkcji 1, 2 oraz 4 będzie
skutkować zmniejszeniem wielkości produkcji przynajmniej jednego z wyrobów, a zatem i zmniejszeniem
zysku. Z drugiej strony, zwiększenie któregokolwiek z limitów zużycia środków produkcji 1, 2 oraz 4 może
skutkować (ale nie musi) zwiększeniem wielkości produkcji przynajmniej jednego z wyrobów, a zatem i zwię-
kszeniem zysku.
Liczba warunków ograniczających związanych ze zużyciem środków produkcji, które są spełnione z równością
zależy od konkretnego zadania. Mogą to być nawet wszystkie z nich, a na pewno będzie to przynajmniej jeden
z nich.
Sprawdzanie dopuszczalności rozwiązań (wykonalności planów produkcji)
Nie zawsze zaplanowanie produkcji według planu optymalnego jest możliwe ze względu na brak zbytu dla wyproduko-
wanych wyrobów. Zamiast tego produkcja może być realizowana według konkretnych zamówień. Oczywiście w takiej
sytuacji nie ma mowy o maksymalizacji zysku poprzez dopasowanie wielkości
Zadanie  ciÄ…g dalszy
Sprawdzić czy jest możliwa zmiana optymalnego planu produkcji na któryś z wymienionych:
1) x1 = 8900 x2 = 10000 x3 = 16150
2) x1 = 2400 x2 = 23000 x3 = 14440
3) x1 = 7900 x2 = 20450 x3 = 11850
4) x1 = 10000 x2 = 10000 x3 = 20000.
Sprawdzenia należy dokonać przez podstawienie każdej z trójek liczb do odpowiednich komórek i porównanie wartości
lewych stron warunków ograniczających z wartościami ich prawych stron.
RozwiÄ…zanie
Sprawdzenie czy wymienione niżej plany produkcji:
1) x1 = 8900, x2 = 10000, x3 = 16150
2) x1 = 2400, x2 = 23000, x3 = 14440
3) x1 = 7900, x2 = 20450, x3 = 11850
4) x1 = 10000 x2 = 10000 x3 = 20000
są dopuszczalne (wykonalne) odbywa się poprzez podstawienie wartości x1, x2 , x3 odpowiednio do komórek B2, C2,
D2 a następnie porównania wartości w komórkach E6, E7, & ., E11 (rzeczywiste zużycie środków produkcji) z odpowia-
dającymi im komórkami F6, F7, & ., F11 (górne limity zużycia  maksymalne zużycie środków produkcji).
Ad. 1.
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
10
Wyniki dla planu produkcji x1 = 8900, x2 = 10000, x3 = 16150. Plan produkcji jest dopuszczalny, ponieważ:
" zużycie wszystkich środków produkcji jest mniejsze od maksymalnego dziennego zużycia (oznacza to możliwość
zwiększenia produkcji dowolnego wyrobu);
" wszystkie ilości wyprodukowanych wyrobów są dodatnie.
Ad. 2
Wyniki dla planu produkcji x1 = 2400, x2 = 23000, x3 = 14440. Plan produkcji jest dopuszczalny, ponieważ:
" zużycie wszystkich środków produkcji jest mniejsze lub równe (równe dla środka produkcji 4, czyli kwasu
cytrynowego) od maksymalnego dziennego zużycia (produkcji nie można zwiększyć, ponieważ kwas cytrynowy
jest potrzebny do produkcji wszystkich wyrobów, a dla danego produkcji jest zużywany w całości);
" wszystkie ilości wyprodukowanych wyrobów są dodatnie.
Ad 3.
Wyniki dla planu produkcji x1 = 7900, x2 = 20450, x3 = 11850. Plan produkcji nie jest dopuszczalny, ponieważ:
" zużycie środków produkcji 1, 2 oraz 4 czyli pulpy jabłkowej, cukru oraz kwasu cytrynowego jest większe od
maksymalnego dziennego zużycia.
Jeżeli znana jest maksymalna wartość zysku dla rozważanego modelu, wówczas można stwierdzić bez
sprawdzania spełnienia warunków ograniczających, że ten plan produkcji nie jest dopuszczalny. Wynika to
z faktu, iż dla tego planu wysokość zysku (14570) jest większa od maksymalnej (14547,10556), a zatem, gdyby
to był plan dopuszczalny, to zysk maksymalny nie mógłby być mniejszy niż 14570.
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji
11
Ad 4.
Wyniki dla planu produkcji x1 = 10000 x2 = 10000 x3 = 20000. Plan produkcji nie jest dopuszczalny, ponieważ:
" zużycie środków produkcji 4 oraz 5 czyli kwasu cytrynowego oraz wody jest większe od maksymalnego
dziennego zużycia.
Jak widać, ten plan produkcji nie jest dopuszczalny, pomimo iż wysokość zysku (11000) jest znacznie mniejsza
od maksymalnej (14547,10556).
Uwagi końcowe
Warto zwrócić uwagę na fakt, że optymalny plan produkcji (=maksymalizujący zysk) nie musi być planem pro-
dukcji maksymalizującym wielkości produkcji wszystkich wyrobów. Jak widać w przypadku 1, produkcja dże-
mu i soku jest większa, a musu mniejsza niż w planie optymalnym. W przypadku 2 produkcja musu i soku jest
większa, a dżemu mniejsza niż w planie optymalnym. Przypadek 3 (produkcja wszystkich wyrobów większa
niż w planie optymalnym) oznacza już jednak, że taki plan produkcji nie jest dopuszczalny.