Pole uk adu adunków w du ych odleg o ciach
Rozwa my uk ad adunków , , ..., , rozmieszczonych w obszarze
o liniowych rozmiarach . Za ó my .
Dla
Dla zachodzi
- potencja pola adunku punktowego o adunku
- potencja pola dipola o momencie dipolowym
(elektryczny moment dipolowy
uk adu adunków).
Pole elektryczne w pró ni 12
Pole uk adu adunków w du ych odleg o ciach, cd
Otrzymane wyra enie przedstawia pierwsze dwa wyrazyrozwini ciafunkcji
w szereg wed ug pot g wielko ci .
Trzeci wyraz przedstawia pole uk adu adunków zwanego kwadrupolem
(multipolem rz du drugiego), za czwarty wyraz - pole uk adu adunków
zwanego oktupolem (multipolem rz du trzeciego). Pierwszy wyraz opisuje
wi c pole monopola (multipola rz du zerowego), a dipol jest multipolem
rz du pierwszego.
Kwadrupol i oktupol.
Sumaryczny adunek i moment dipolowy kwadrupola s równe zeru.
Kwadrupol wytwarza pole elektryczne du o s absze od pola dipola, o
potencjale malej cym jak .
Sumaryczny adunek , moment dipolowy i moment kwadrupolowy oktupola
s równe zeru. Oktupol wytwarza pole elektryczne s absze od pola
kwadrupola, o potencjale malej cym jak .
Pole uk adu adunków w du ych od niego odleg o ciach mo na
przedstawi jako z o enie pól wytwarzanych przez multipole ró nych
rz dów.
Pole elektryczne w pró ni 13
Cyrkulacja i rotacja (wirowo ) pola elektrostatycznego
W przypadku pola elektrostatycznego, je li droga
od punktu  1 do punktu  2 jest drog zamkni t ,
to , czyli zachodzi
- cyrkulacja wektora nat enia pola elektrostatycznego
wzd u dowolnego konturu zamkni tego jest równa
zeru.
- cyrkulacja wektora wzd u konturu .
Twierdzenie Stokesa
Cyrkulacja wektora wzd u konturu jest równa ca ce
rotacji wektora branej po dowolnej powierzchni
rozci gni tej na konturze .
- rotacja wektora
- rotacja wektora nat enia pola elektrostatycznego jest
w ka dym punkcie pola równa zeru (pole elektro-
statyczne jest polem bezwirowym).
Pole elektryczne w pró ni 14
Twierdzenie Gaussa
Rozwa my pole adunku punktowego i obliczmy strumie
wektora przez powierzchni zamkni t , która obejmuje ten adunek.
Strumie wektora przez dowoln
powierzchni zamkni t okre limy jako liczb
linii zaczynaj cych si na adunku (dla adunku
dodatniego) lub liczb linii ko cz cych si na
adunku (dla adunku ujemnego).
Pokazali my, ju e liczba linii si w dowolnej odleg o ci od adunku jest
zawsze taka sama.
Obliczmy strumie w przypadku uk adu adunków
Twierdzenie Gaussa
Strumie wektora nat enia pola elektrycznego przez dowoln
powierzchni zamkni t równa si sumie algebraicznej adunków
obejmowanych przez t powierzchni , podzielonej przez .
Pole elektryczne w pró ni 15
Twierdzenie Gaussa w przypadku ci g ego rozk adu adunków
G sto adunku
Dywergencja (rozbie no ) pola elektrycznego
Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa
Ca ka wektora po dowolnej powierzchni
zamkni tej jest równa ca ce dywergencji
wektora wzi tej po obj to ci ograniczonej
powierzchni .
- dywergencja wektora
Równanie
powinno by spe nione dla dowolnie wybranej obj to ci . St d wynika
równo funkcji podca kowych tego równania, czyli, e
(ró niczkowa posta twierdzenia Gaussa)
adunki s ród ami pola elektrycznego.
Pole elektryczne w pró ni 16
Obliczanie nat enia pól za pomoc twierdzenia Gaussa
W wielu przypadkach twierdzenie Gaussa
lub
pozwala obliczy nat enie pola w sposób znacznie prostszy ni wynika to
ze wzoru
W praktycznych zastosowaniach twierdzenia Gaussa, oprócz g sto ci
obj to ciowej adunku , u ywamy g sto ci powierzchniowej
oraz g sto ci liniowej
Pole niesko czonej, równomiernie na adowanej p aszczyzny
Warto nat enia pola od niesko czonej,
równomiernie na adowanej p aszczyzny nie zale y od
odleg o ci od p aszczyzny.
Pole elektryczne w pró ni 17
Pole sko czonej, równomiernie na adowanej p aszczyzny
W tym przypadku pole opisane jest
wyra eniem
wewn trz ograniczonego obszaru
zaznaczonego lini przerywan .
Pole mi dzy dwiema równoleg ymi p aszczyznami, na adowanymi ró no-
imiennie
W obszarze mi dzy p aszczyznami nat enie
pola elektrycznego wynosi
Pole w tym obszarze jest jednorodne. Na
zewn trz obszaru ograniczonego p aszczyz-
nami pole wypadkowe jest równe zeru.
Pole mi dzy dwiema równoleg ymi p aszczyznami o sko czonych
rozmiarach
Pole elektryczne w pró ni 18
Pole niesko czenie d ugiego, na adowanego cylindra
Wewn trz cylindra pole nie istnieje.
Pole dwóch wspó osiowych powierzchni cylindrycznych, na adowanych z
jednakow co do warto ci, lecz przeciwnego znaku g sto ci liniow
Wewn trz cylindra mniejszego i na
zewn trz cylindra wi kszego pole nie
istnieje.
Pole na adowanej powierzchni kulistej o promieniu R
Dla pole nie istnieje.
Pole elektryczne w pró ni 19