Pole elektryczne
1. Pole elektryczne:
Pole elektryczne jest polem wektorowym.
Pole elektryczne E, jest scharakteryzowane rozkładem
wektorów, po jednym dla każdego punktu wokół
naładowanego ciała, np. naładowanego pręta.
Możemy zdefiniować pole elektryczne w pewnym
punkcie w pobliżu naładowanego ciała, np. w punkcie P
(rys. 23.1) w następujący sposób:
" Umieszczamy dodatni ładunek q0 (ładunek próbny) w
tym punkcie, a następnie mierzymy siłę elektrostatyczną
F, która działa na ładunek próbny.
" Natężenie pola elektrycznego E, wytworzonego przez
naładowane ciało w punkcie P definiujemy wzorem:
(natężenie pola elektrycznego)
W układzie SI jednostką natężenia pola elektrycznego
jest niuton na kulomb (N/C).
2. Linie pola elektrycznego:
Linie pola elektrycznego wychodzÄ… od Å‚adunku
dodatniego i sÄ… skierowane ku Å‚adunkowi ujemnemu
" W dowolnym punkcie kierunek linii pola lub
stycznej do linii pola określa kierunek wektora E
w tym punkcie.
" Linie pola są tak narysowane, że liczba linii na
jednostkę powierzchni, mierzona w płaszczyz
nie
prostopadłej do linii, jest proporcjonalna do
wartości wektora E.
E jest większe tam, gdzie linie pola są blisko siebie,
a mniejsze tam, gdzie linie sÄ… daleko od siebie.
2a. Linie pola
elektrycznego:
3. Pole elektryczne Å‚adunku punktowego:
Aby znalez
ć pole ładunku punktowego q (lub naładowanej cząstki) w dowolnym
punkcie, w odległości r od ładunku punktowego, umieszczamy w tym punkcie
dodatni ładunek próbny q0 .
Wektor E jest skierowany od ładunku punktowego, jeśli q jest ładunkiem
dodatnim, i do niego jeśli q jest ujemny. Wektor pola elektrycznego :
(Å‚adunek punktowy)
Jeśli umieścimy dodatni ładunek próbny q0 w pobliżu n ładunków punktowych
q1, q2, . . . , qn, wówczas siła wypadkowa Fo, oddziaływania n ładunków
punktowych na ładunek próbny wynosi
Wypadkowe natężenie pola elektrycznego w miejscu ładunku punktowego
wynosi
Example, The net electric field due to three charges:
From the symmetry of Fig. 22-7c, we
realize that the equal y components of our
two vectors cancel and the equal x
components add.
Thus, the net electric field at the origin
is in the positive direction of the x axis and
has the magnitude
4. Pole elektryczne dipola elektrycznego:
4a. Pole elektryczne dipola elektrycznego:
Na mocy symetrii, natężenie pola elektrycznego E w punkcie P  a także natężenia pól E+ i E-
wytworzonych przez oddzielne ładunki tworzące dipol  muszą być skierowane wzdłuż osi dipola,
którą wybraliśmy za oś z. Z zasady superpozycji dla natężeń pól elektrycznych, znajdujemy wartość
E natężenia pola elektrycznego w punkcie P :
Iloczyn qd, który zawiera dwie charakteryzujące
dipol wielkości q i d jest wartością p wielkości
(dipol elektryczny)
wektorowej zwanej elektrycznym momentem
dipolowym.
Example, Electric Dipole and Atmospheric
We can model the electric field due to the charges
Sprites:
in the clouds and the ground
by assuming a vertical electric dipole that has
charge -q at cloud height h and charge +q at
below-ground depth h (Fig. 22-9c). If q =200 C
and h =6.0 km, what is the magnitude of
the dipole s electric field at altitude z1 =30 km
somewhat above the clouds and altitude z2 =60
km somewhat above the stratosphere?
Sprites (Fig. 22-9a) are huge flashes that occur far
above a large thunderstorm. They are still not well
understood but are believed to be produced when
especially powerful lightning occurs between the
ground and storm clouds, particularly when the
lightning transfers a huge amount of negative
charge -q from the ground to the base of the
clouds (Fig. 22-9b).
5. Pole elektryczne przy ciągłym rozkładzie ładunku:
Gdy mamy do czynienia z ciągłymi rozkładami ładunku, wygodnie jest wyrazić
ładunek obiektu za pomocą gęstości ładunku, a nie całkowitego ładunku.
Np. dla naładowanej linii będziemy używać liniowej gęstości ładunku
(ładunku na jednostkę długości linii) l, której jednostką w układzie SI jest
kulomb na metr (C/m).
W tabeli przedstawiono również inne gęstości ładunku, jakich będziemy używać:
Możemy w myśli podzielić ładunek na pierścieniu na nieskończenie
5a. Pole elektryczne
małe elementy, które zachowują się jak ładunki punktowe, a następnie
naładowanej linii:
zastosować wzór do każdego z nich.
Następnie dodajemy natężenia pola elektrycznego wytworzonego w
punkcie P przez poszczególne elementy. Suma wektorowa tych
wszystkich natężeń daje natężenie pola wytwarzanego w punkcie P
przez pierścień.
Niech ds będzie długością (wzdłuż łuku) elementu pierścienia.
Ponieważ l jest ładunkiem przypadającym na jednostkę długości, to
taki element ma ładunek o wartości
A
adunek ten wytwarza natężenie pola dE w punkcie P, który znajduje
się w odległości r od elementu.
Wszystkie wektory dE mają identyczne składowe równoległe do osi;
składowe prostopadłe są identyczne co do wartości, ale skierowane w
różnych kierunkach  dla każdej składowej prostopadłej skierowanej w
danym kierunku istnieje inna skierowana przeciwnie. Suma takiej pary
jest równa zero.
Składowe równoległe mają wartość:
Ostatecznie dla całego pierścienia:
Example, Electric Field of a
Charged Circular Rod
Our element has a symmetrically located
(mirror image) element ds in the bottom half of
the rod.
If we resolve the electric field vectors of ds
and ds into x and y components as shown in we
see that their y components cancel (because
they have equal magnitudes and are in opposite
directions).We also see that their x components
have equal magnitudes and are in the same
direction.
Fig. 22-11 (a) A plastic rod of charge Q is a circular
section of radius r and central angle 120°; point P is the
center of curvature of the rod. (b) The field components
from symmetric elements from the rod.
5b. Pole elektryczne naładowanej tarczy:
Ile wynosi natężenie pola elektrycznego w punkcie P, leżącym w odległości z od środka
tarczy?
Dzielimy tarczę na współśrodkowe płaskie pierścienie, a następnie obliczamy natężenie
pola elektrycznego w punkcie P przez dodanie (scałkowanie) składników
pochodzących od wszystkich pierścieni. Na rysunku przedstawiono jeden taki pierścień
o promieniu r i szerokości radialnej dr. Ponieważ s jest ładunkiem przypadającym na
jednostkę powierzchni, to ładunek na pierścieniu wynosi:
Gdzie dA jest powierzchnią pierścienia. Stąd
Możemy znalez
ć E przez całkowanie dE po powierzchni tarczy  całkowanie względem
zmiennej r od r =0 do r =R.
(naładowana tarcza)
Jeśli przyjmiemy, że R ", przy ustalonej skończonej wartości z, to drugi człon w
nawiasach będzie dążył do zera i wzór ten sprowadzi się do postaci:
(nieskończona płaszczyzna)
6. A
adunek punktowy w polu elektrycznym:
Siła elektrostatyczna F , działająca na cząstkę umieszczoną w zewnętrznym
polu elektrycznym o natężeniu E ma kierunek natężenia E, jeśli ładunek
cząstki q jest dodatni, i ma przeciwny kierunek, jeśli ładunek q jest ujemny.
Jeśli naładowana cząstka, o ładunku q, znajduje się w polu elektrycznym o
natężeniu E, wytworzonym przez pozostałe ładunki, siła elektrostatyczna F,
działająca na naładowaną cząstkę określona jest powyższym wzorem.
7. Dipol w polu elektrycznym:
Jeśli dipol elektryczny znajduje się w jednorodnym
zewnętrznym polu elektrycznym o natężeniu E, na
naładowane końce dipola działają siły
elektrostatyczne. Ponieważ pole jest jednorodne,
siły te działają w przeciwnych kierunkach i mają
taką samą wartość F =qE.
Zatem w jednorodnym polu elektrycznym
wypadkowa siła oddziaływania pola na dipol jest
równa zeru i środek masy dipola nie porusza się.
Siły działające na naładowane końce dipola
wytwarzają wypadkowy moment siły M względem
środka masy dipola.
Środek masy leży na prostej łączącej naładowane
końce, w pewnej odległości x od jednego końca i w
odległości d -x od drugiego.
Wartość wypadkowego momentu siły:
M
M = p x E
7a. Energia potencjalna dipola elektrycznego:
Energia potencjalna jest zwiÄ…zana z ustawieniem dipola
elektrycznego w polu elektrycznym.
Dipol ma najmniejszÄ… energiÄ™ potencjalnÄ…, gdy jest w
stanie równowagi, czyli gdy jego moment p jest
skierowany zgodnie z kierunkiem natężenia pola E.
M = p x E = 0
Wyrażenie na energię potencjalną dipola elektrycznego
w zewnętrznym polu elektrycznym jest najprostsze, jeśli
wybierzemy zerową wartość energii potencjalnej dla kąta
q (rys.22-18) równego 90°.
EnergiÄ™ potencjalnÄ… U dipola przy dowolnej innej
wartości kąta q znajdujemy obliczając pracę W wykonaną
przez pole przy obróceniu dipola od ustawienia
odpowiadajÄ…cego wartoÅ›ci 90° do wartoÅ›ci q :
(energia potencjalna dipola)
Example, Torque, Energy of an Electric Dipole in an Electric Field