88 Â

WIAT

N

AUKI

Czerwiec 1999

D

laczego sznur telefoniczny za-
wsze si´ skr´ca? MyÊl´ tu o tych
spiralnych przewodach, w któ-

re sà przewa˝nie wyposa˝one aparaty
wiszàce na Êcianie. Gdy instalujesz te-
lefon, sznur zwisa równo i porzàdnie,
ale z tygodnia na tydzieƒ staje si´ coraz
bardziej splàtany. Podobne zjawisko
mo˝esz zaobserwowaç, gdy poskr´casz
trzymanà luêno za koƒce gumowà ta-
Êm´. Tak˝e gdy weêmiesz sznurek i
skr´cisz jego koƒce palcami. Tego typu
deformacje nazywamy superskr´ceniem
– zdarzajà si´ czasem w przypadku pod-
morskich kabli telefonicznych oraz ni-
ci DNA.

Wiem, dlaczego sznur mojego telefo-

nu ulega superskr´ceniu. Dzia∏a tu ten
sam podstawowy mechanizm, który
sprawia, ˝e wokó∏ w∏asnej osi skr´ca si´
w charakterystyczny sposób gumowa
taÊma lub sznurek. Gdy dzwoni telefon,
prawà d∏onià podnosz´ s∏uchawk´
i przekr´cam jà o mniej wi´cej 90°. Za-
nim jednak zaczn´ rozmawiaç, przek∏a-
dam s∏uchawk´ do lewej r´ki, czyli ob-
racam o nast´pne 180°. Gdy koƒcz´

mówiç, odwieszam jà lewà r´kà, skr´-
cajàc sznur o dalsze 90°. Za ka˝dym
wi´c razem, gdy korzystam z telefonu,
skr´cam sznur o 360°, i to zawsze w tym
samym kierunku.

Gdybym przez ca∏y czas trzyma∏ tele-

fon w prawej r´ce, móg∏bym odwinàç
sznur, odwieszajàc s∏uchawk´ – prze-
k∏adanie s∏uchawki z r´ki do r´ki prze-
sàdza jednak o skr´ceniu. Podobnie
dzieje si´ z przed∏u˝aczem do elektrycz-
nych narz´dzi ogrodowych. Gdy koƒ-
cz´ prac´, zwijam go wokó∏ przedra-
mienia, niczym lin´ do wysokogórskich
wspinaczek. Z biegiem czasu kabel skr´-
ca si´ coraz bardziej. CoÊ zmienia zwo-
je w skr´ty, ale co?

Ga∏´zià matematyki systematyzujà-

cà nasz sposób myÊlenia o tych kwe-
stiach jest topologia – geometria „gu-
mowej powierzchni”, czyli przekszta∏-
ceƒ ciàg∏ych. Topolodzy rozró˝niajà
dwa sposoby zap´tlenia p∏askiego pa-
ska: skr´ty i zwoje. W zrozumieniu ró˝-
nicy pomo˝e taÊma z mocnego papieru
d∏ugoÊci 20–25 cm i szerokoÊci 1 cm. By-
∏oby dobrze, gdyby mia∏a rozró˝nialne

strony, na przyk∏ad jednà pomalowanà
na czerwono, a drugà na niebiesko.

Trzymaj taÊm´ na p∏ask i prostopa-

dle do siebie – kciukiem i palcem wska-
zujàcym lewej r´ki bli˝szy koniec,
a kciukiem i palcem wskazujàcym pra-
wej r´ki koniec dalszy. Teraz przesuƒ
prawà r´k´ tak, aby zakr´ciç paskiem
p´tl´ wokó∏ Êrodkowego palca r´ki le-
wej [ilustracja poni˝ej]. Nast´pnie wyj-
mij palec, by p´tla by∏a w Êrodku pusta.
W∏aÊnie zrobi∏eÊ jednà p´tl´, czyli zwój,
na pasku papieru. JeÊli jednak delikatnie
rozsuniesz teraz r´ce, pasek zmieni
kszta∏t – otrzymasz skr´t. Ten sam efekt
osiàgnà∏byÊ, trzymajàc pasek p∏asko
przed sobà, z unieruchomionym lewym
koƒcem i obracajàc prawy koniec o 360°.
Widzimy wi´c, ˝e zwój mo˝na topolo-
gicznie przekszta∏ciç w skr´t.

Zarówno skr´ty, jak i zwoje majà

zwroty – mogà byç zorientowane „do-
datnio” lub „ujemnie”. Je˝eli zadecydu-
jesz, ˝e dany skr´t lub zwój jest zoriento-
wany dodatnio, to jego odbicie zwier-
ciadlane b´dzie mia∏o orientacj´ ujemnà.
Ustalmy na przyk∏ad, ˝e zwój na rysun-
ku ma orientacj´ dodatnià, a skr´t ujem-
nà. Ten wybór prowadzi do prostego
równania S + Z = 0, w którym S oznacza
liczb´ skr´tów, a Z liczb´ zwojów. JeÊli
okr´cisz pasek wokó∏ Êrodkowego pal-
ca dwa razy, dodasz mu dwa dodatnie
zwoje. Gdy rozsuniesz r´ce, przekszta∏-
cà si´ one w dwa ujemne skr´ty. Poeks-
perymentuj z trzema lub czterema zwo-
jami, a sam si´ przekonasz, ˝e dowolnà
ich liczb´ mo˝na przekszta∏ciç w takà sa-
mà liczb´ skr´tów.

Zjawisko to da si´ zaobserwowaç tak-

˝e podczas skr´cania kawa∏ka zwyk∏e-
go sznurka. Mo˝na Êledziç jego super-
skr´cenie, wyobra˝ajàc sobie, ˝e wzd∏u˝
Êrodka sznurka biegnie p∏aska wst´ga.
Gdy skr´cisz jeden koniec, wst´ga rów-
nie˝ si´ skr´ci, a liczba jej skr´tów b´-
dzie równa liczbie obrotów sznurka. Je-
Êli naciàgniesz sznurek, b´dzie móg∏
si´ tylko skr´caç; gdy zbli˝ysz r´ce do
siebie, wybierze „zwijanie” i nastàpi
superskr´cenie.

Sznurek woli si´ zwijaç, poniewa˝ jest

troch´ spr´˝ysty, tzn. daje si´ skr´caç,
ale nie bez pewnego oporu. Im bardziej
go skr´casz, tym silniej próbuje si´ roz-
kr´ciç. Pierwszy przewag´ zwojów nad
skr´tami wyjaÊni∏ w roku 1883 brytyj-
ski matematyk Alfred G. Greenhill. Wy-
kaza∏, ˝e kszta∏t ze zwojami ma mniejszà
energi´ spr´˝ystoÊci ni˝ odpowiadajà-

REKREACJE MATEMATYCZNE

Ian Stewart

Topologia splàtanego sznura,

czyli o wy˝szoÊci zwoju nad skr´tem

ZWIJANIE PASKA PAPIERU wokó∏ Êrodkowego palca

lewej r´ki utworzy zwój (a i b). Oddalenie ràk

zdeformuje zwój – powstanie skr´t (c).

MATT COLLINS

a

b

c

Â

WIAT

N

AUKI

Czerwiec 1999 89

cy mu kszta∏t ze skr´tami. Dotyczy to
równie˝ pasków papieru, co mo˝esz
sprawdziç eksperymentalnie: jeÊli nie
napr´˝ysz paska, czyli nie zwi´kszysz
jego energii, on sam wybierze zwoje.
Greenhill udowodni∏, ˝e jeÊli nieskoƒ-
czenie d∏ugi pr´t jest skr´cany przez si-
∏y przy∏o˝one w nieskoƒczonoÊci, zo-
staje wyboczony w helis´. Ostatnio trzej
matematycy australijscy – D. M. Stump
i K. E. Gates z University of Queensland
oraz W. B. Fraser z University of Syd-
ney – przeanalizowali skr´cenia pr´tu
z punktu widzenia teorii spr´˝ystoÊci,
przyjmujàc bardziej realistyczne za∏o-
˝enia. Znaleêli konkretne wzory opisu-
jàce dok∏adny kszta∏t superskr´cenia,
szczególnie przydatne in˝ynierom k∏a-
dàcym kable podmorskie, które pod-
czas uk∏adania na dnie oceanu mogà si´
skr´caç.

W przypadku kabla telefonicznego

sytuacja jest w zasadzie bardziej skom-
plikowana, poniewa˝ na poczàtku ma
on postaç helisy. Niemniej jednak jego
skr´cenia tak˝e zmieniajà si´ w zwoje,
tak jak skr´cenia zwyk∏ego sznurka –
przynajmniej wtedy, gdy nie dopusz-
cza si´, aby helisa zacz´∏a si´ rozkr´caç,
do czego jednak zwykle dochodzi. (Mo-
˝esz tak˝e otrzymaç zabawne nieregu-
larnoÊci, gdy kolejne zwoje sznura te-
lefonicznego do siebie nie pasujà.) Wy-
obraê sobie d∏ugi gruby sznurek prze-
ciàgni´ty przez Êrodek zwojów z wbu-
dowanym paskiem. W miar´ jak kabel
si´ skr´ca, to samo dzieje si´ ze sznur-
kiem, a wi´c i z paskiem.

Podobnie jak przewód telefoniczny

helisà jest równie˝ czàsteczka DNA, ma-
teria∏u genetycznego ˝ywych organi-
zmów. Mówiàc dok∏adniej – jest ona po-
dwójnà helisà, tzn. dwie helisy owijajà
si´ wzajemnie wokó∏ siebie. Biolodzy
próbujà zrozumieç geometri´ podwój-
nej helisy DNA w ró˝nych warunkach
i odkrywajà, ˝e ona równie˝ si´ skr´ca,
a skr´ty zamieniajà si´ w zwoje. Prze-
Êledzenie tych przemian jest istotne w
interpretacji obrazów p´tli DNA uzy-
skiwanych w mikroskopach elektrono-
wych. Co wi´cej, jak o tym wspomnia-
∏em wczeÊniej, DNA i sznur telefonicz-
ny potrafià robiç coÊ, czego nie mo˝e
zwyk∏y sznurek: skr´caç lub rozkr´caç
swoje w∏asne spiralne zwoje. Jedna
z prostych regu∏, którymi rzàdzi si´
DNA, daje przedsmak bardziej wyrafi-
nowanych teorii tworzonych przez to-

pologów i biologów. Dotyczy ona trzech
cech zamkni´tej p´tli DNA:

• liczby opleceƒ L, która wskazuje,

ile razy jedna niç przecina drugà, gdy
czàsteczka jest u∏o˝ona p∏asko;

• liczby S spiralnych skr´ceƒ w heli-

sie DNA;

• liczby skrzy˝owaƒ Z, odpowiadajà-

cej liczbie superskr´ceƒ.

Podstawowy wzór to elegancka rów-

noÊç L = S + Z, która jest uogólnieniem
poprzedniego wzoru dla p∏askiego pa-
ska: S + Z = O. Poniewa˝ brzegi p∏askie-
go paska nie sà po∏àczone, w tym przy-
padku L = 0. Dla danej p´tli DNA liczba
L jest ustalona, mo˝na jednak wymieniaç
skr´ty na zwoje i na odwrót. Na ilustra-
cji powy˝ej pokazano, jak to dzia∏a dla
p´tli DNA z liczbà po∏àczeƒ równà 20.

T∏umaczy∏

Tomasz ˚ak

O

trzyma∏em mnóstwo listów dotyczà-
cych dzielenia tortu [„Twoja po∏owa

jest wi´ksza!”, Âwiat Nauki, luty br.] Sa-
man Majd rozwia∏ moje wàtpliwoÊci do-
tyczàce algorytmów przesuwajàcego si´
no˝a. Polegajà one na tym, ˝e nad tortem
przesuwa si´ powoli jeden lub wi´cej no-
˝y, a gracze majà wo∏aç, gdy chcà zaak-
ceptowaç kawa∏ek, który zostanie odkro-
jony. Moje wàtpliwoÊci dotyczy∏y czasu
reakcji. Pomys∏ Majda polega na tym, ˝e
zamiast przesuwaç nó˝ gracze robià zna-
ki na torcie (lub na jego modelu). Naj-
pierw wybiera si´ kierunek (powiedzmy,
pó∏noc–po∏udnie) i kolejno prosi ka˝de-

go z n graczy, ˝eby zrobi∏ lini´ w takim
miejscu, aby zadowala∏ go kawa∏ek tortu
le˝àcy na zachód od wyznaczonej przez
niego linii (tzn. w miejscu, od którego na
lewo znajduje si´ kawa∏ek b´dàcy w je-
go mniemaniu 1/n). Ten, którego linia le-
˝y najdalej na zachód, odcina sobie ka-
wa∏ek i odpada z gry.

Dalej post´pujemy w ten sam sposób.

Uporzàdkowanie ci´ç w kierunku z za-
chodu na wschód zast´puje up∏yw cza-
su, a ten sam pomys∏ da si´ zastoso-
waç we wszystkich metodach przesu-
wajàcego si´ no˝a. Wycofuj´ swoje
zastrze˝enia!

SPRZ¢˚ENIE ZWROTNE

b

c

a

ZAMKNI¢TA P¢TLA DNA spe∏nia wzór

L

= S + Z niezale˝nie od tego,

czy czàsteczka DNA jest swobodna (a),

czy superskr´cona (b i c).

MATT COLLINS

Liczba opleceƒ

(L) = 20

Liczba spiralnych skr´ceƒ

(S) = 20

Liczba skrzy˝owaƒ

(Z) = 0

L = 20

S = 21
Z = –1

L = 20

S = 19

Z = 1