0.1.

PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE

1

0.1

Przestrzenie topologiczne

0.1.1

Bazy i generowanie topologii

Przestrzeń topologiczna, to para (X,

T ) złożona ze zbioru X i z pewnej

rodziny

T jego podzbiorów (zwanych zbiorami otwartymi). O rodzinie T

zakładamy, że jest ona:

(1

◦

) zamknięta ze względu na operację brania dowolnych sum:

[

U ∈ T

(

∀ U ⊂ T ),

(2

◦

) zamknięta ze względu na operację brania skończonych przecięć, tzn.

\

W ∈ T

(

∀ W ⊂ T , #W < ∞),

co przy konwencji:

T

∅ = X,

S

∅ = ∅ wskazuje, że ∅ oraz X są zawsze zbiorami

otwartymi. Topologię

{∅, X} nazywamy topologią trywialną, najsłabszą lub

antydyskretną, zaś rodzinę 2

X

– topologią dyskretną.

Topologię

T

1

nazwiemy słabszą od topologii

T

2

, gdy

T

1

⊂ T

2

, zaś topo-

logią generowaną na zbiorze X przez rodzinę zbiorów

G ⊂ 2

X

nazwiemy

najsłabszą z topologii zawierających

G. Rodzinę U nazwiemy bazą topolo-

gii

T , gdy dowolny zbiór otwarty W ∈ T można zapisać w postaci

S

U

1

dla

pewnej

U

1

⊂ U. Zbiór E ⊂ X nazwiemy otoczeniem punktu x

0

∈ X,

zaś x

0

-punktem wewnętrznym zbioru E , zapisując ten fakt symbolem

x

0

∈ int(E) lub x

0

∈ int

T

(E), gdy istnieje W

∈ T taki, że x

0

∈ W ⊂ E.

Określony w ten sposób zbiór int(E) nazwiemy wnętrzem zbioru E.

Zadanie 0.1.

Niech

T

cf

=

T

cf

(Z) :=

{∅}∪{E ⊂ Z : #(Z \E) < ℵ

0

} dla

ustalonego zbioru Z. Wykazać, że jest to rodzina zbiorów otwartych w pewnej
topologii („co-finite topology”), która nie jest dyskretna gdy zbiór Z jest nie-
skończony. Znaleźć pewną minimalną (względem relacji

⊂) rodzinę generującą

dla tej topologii i pewną różną od

T

cf

bazę. Określić też, jak wygląda operacja

brania domknięcia zbioru A

⊂ Z w tej topologii (w zależności od mocy zbioru

A). Analogicznie, zamieniając warunek #(Z

\ E) < ℵ

0

na #(Z

\ E) ¬ ℵ

0

otrzymamy topologię ”ko-przeliczalną”

T

cc

.

Zadanie 0.2. Wykazać, że przecięcia skończonej ilości zbiorów należą-

cych do rodziny

G ⊂ 2

X

tworzą rodzinę (oznaczmy ją symbolem

G

d

) stanowiącą

bazę topologii generowanej przez

G.

2

Zadanie 0.3.

Czy przedziały (

−∞, t), t ∈ R tworzą bazę topologii?

Opisać topologię

T

left

generowaną przez tę rodzinę. Analogicznie,

T

left

[α, β]

-generowana przez

{(−∞, t) ∩ [α, β], t ∈ R} nazywana bywa lewostronną

topologią na przedziale [α, β]. Jakie zbiory są tu otwarte?

Zadanie 0.4.

Opisać topologie

T

d

(odp.

T

arrL

„lewej strzałki”) gene-

rowane na R przez rodziny E

1

:=

{[a, b] : a < b} (odp. E

2

:=

{(a, b] : a < b}).

Zadanie 0.5. Opisać wnętrza zbioru A w topologiach

T

cf

,

T

d

oraz

T

arrL

.

Zadanie 0.6.

Gdy topologia

T

1

jest słabsza od topologii

T

2

, ustalić in-

kluzje między wnętrzami int

T

j

(E) ustalonego zbioru względem tych topologii.

Zadanie 0.7.

Wykazać, że operacja brania wnętrza zbioru ma nastę-

pujące własności: int(int(E)) = int(E),

int(E

∩ F ) = int(E) ∩ int(F ) oraz

int(E)

∪ int(F ) ⊂ int(E ∪ F ), przy czym ostatnia inkluzja może być ostra.

Rodzinę

W ⊂ T nazwiemy bazą otoczeń (otwartych) punktu x

0

, gdy

[W

∈ W ⇒ x

0

∈ W i każde otoczenie x

0

zawiera pewien zbiór U

∈ W].

Zbiór F

⊂ X nazwiemy domkniętym, gdy F

c

:= X

\ F ∈ T . Domknię-

cie zbioru A

⊂ X, oznaczane symbolem A, lub cl(A), czy też cl

T

(A), jest to

najmniejszy domknięty nadzbiór zbioru A. Podzbiór D przestrzeni X nazwie-
my gęstym, gdy D = X.

Brzegiem topologicznym zbioru A nazywamy zbiór Fr(A) := A

∩ X \ A.

Punkt x

0

jest punktem skupienia zbioru E, gdy x

0

∈ E \ {x

0

}. Są-

siedztwo punktu x

0

to zbiór postaci U

\ {x

0

}, gdzie x

0

∈ int(U).

Szczególne znaczenie odgrywa klasa przestrzeni Hausdorffa (tzw. T

2

-

przestrzeni), w których dowolne dwa różne punkty (x, y

∈ X, x 6= y) można

rozdzielić przez zbiory otwarte U, W w tym sensie, że x

∈ U, y ∈ W, U ∩W = ∅.

Zadanie 0.8.

Opisać topologię T

2

-przestrzeni, w której każdy punkt

ma skończoną bazę otoczeń.

Zadanie 0.9. Wykazać, że gdy

B jest bazą topologii T , to bazą otoczeń

punktu x jest rodzina

B

x

:=

{W ∈ B : x ∈ W }. Na odwrót: gdy D = X i dla

x

∈ D mamy A

x

⊂ T – bazy otoczeń punktów x, to sprawdzić, czy zawsze

rodzina

S

x∈D

A

x

musi być bazą dla

T (por. zad. 0.24).

0.1.

PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE

3

Zadanie 0.10. Czy X

⊂

S

x∈D

U

x

, gdy D = X i dla x

∈ D x ∈ U

x

∈ T

?

Zadanie 0.11. (Lokalna charakteryzacja domknięcia) Ustalmy

dowolnie bazę

B

x

otoczeń punktu x. Wykazać, że x

6∈ cl

T

(A) wtedy i tylko

wtedy gdy istnieje otoczenie W

∈ B

x

tego punktu rozłączne ze zbiorem A.

Zadanie 0.12. Gdy każde sąsiedztwo punktu x

0

ma punkty wspólne ze

zbiorem A, to x

0

jest punktem skupienia zbioru A. Wykazać, że w przestrzeni

Hausdorffa jedynie zbiory nieskończone posiadają punkty skupienia. Ponadto
dołączenie do zbioru A wszystkich jego punktów skupienia daje domknięcie
zbioru A. Zbadać punkty skupienia w przypadku topologii:

T

cf

oraz dyskretnej.

Zadanie 0.13.

Zbadać odpowiedniki własności z zadania 0.7 dla opera-

cji domknięcia zbioru i dla operacji brania zbioru punktów skupienia. Ponadto
wykazać, że gdy U jest zbiorem otwartym, to U

∩ A ⊂ U ∩ A = U ∩ A.

0.1.2

Przestrzenie metryczne, rodziny semimetryk

Najprostszym, podstawowym przykładem przestrzeni topologicznych są prze-
strzenie metryczne (ogólniej: semimetryczne), czyli pary (X, d), gdzie
funkcja d : X

× X → R

+

zwana semimetryką, spełnia postulaty: d(x, x) = 0,

d(x, y) = d(y, x) oraz d(x, z)

¬ d(x, y) + d(y, z) (nierówność trójkąta). Zastą-

pienie warunku d(x, x) = 0 przez d(x, y) = 0

⇔ x = y daje definicję metryki.

Topologią (semi)metryki d nazwiemy topologię generowaną przez rodzinę
B = {B

d

(x, r) : x

∈ X, r > 0} wszystkich kul. Przypomnijmy, że kula B(x, r)

lub B

d

(x, r), to zbiór

{y ∈ X : d(x, y) < r}. O zbiorach, które zawierają się w

jakiejś kuli mówimy, że są ograniczone. Topologia metryzowalna, to topo-
logia, którą można określić przez pewną metrykę. Topologia naturalna w
przestrzeni R

k

lub C

k

, to topologia metryki euklidesowej

d((a

1

, . . . , a

k

), (b

1

, . . . , b

k

)) =

q

|b

1

− a

1

|

2

+ . . . +

|b

k

− a

k

|

2

.

Topologią rodziny semimetryk

{d

j

}

j∈J

jest topologia generowana przez

wszystkie kule postaci B

d

j

(x, r), gdzie x

∈ X, r > 0, j ∈ J.

Zadanie 0.14. W przestrzeni metrycznej bazą otoczeń punktu x

0

jest

{B(x

0

, r) : r

∈ D}, o ile D ⊂ (0, +∞), inf D = 0.

4

Zadanie 0.15. Dla j = 1, 2 niech

T

j

będzie topologią metryki d

j

na X

j

.

Gdy F : X

1

→ X

2

jest izometrią, tzn. d

1

(x, y) = d

2

(F (x), F (y))

∀x, y –

wykazać, że dla podzbiorów A przestrzeni X

1

mamy int

T

2

F (A)

⊂ F (int

T

1

(A)),

a równości zachodzą gdy izometria ta jest suriekcją, czyli gdy F (X

1

) = X

2

.

Zadanie 0.16.

Domknięcie kuli: B

d

(x, r) może być mniejsze od tzw.

“kuli domkniętej”, czyli od B

d

(x, r) :=

{y : d(x, y) ¬ r}. Podać przykład.

Zadanie 0.17. Czy każdy podzbiór niepusty ustalonego zbioru jest kulą

o promieniu 1 względem pewnej metryki przyjmującej jedynie 3 wartości?

Zadanie 0.18. Wykazać, że podzbiór E jest ograniczony w semimetryce

d wtedy i tylko wtedy, gdy wielkość diam(E) := sup

{d(a, b) : a ∈ E 3 b}, czyli

tzw. średnica zbioru E jest liczbą skończoną.

Zadanie 0.19.

Niech E będzie zbiorem wyrazów ciągu

{

1

n

}

∞

n

=1

, zaś

E

0

:= E

∪ {0}. Zbiory te rozważamy z topologią naturalną, czyli pochodzącą

od metryki d(s, t) :=

|t−s|. Jakie zbiory są otwarte w tych przestrzeniach i jak

wygląda int(A) dla A

⊂ E

0

, odp. dla A

⊂ E (rozważyć przypadki).

Zadanie 0.20.

Wykazać, że przestrzeń z semimetryką d ma własność

Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy d jest metryką. Ponadto warunek ten jest
też równoważny domkniętości jej wszystkich skończonych podzbiorów.

Zadanie 0.21.

Wykazać, że topologii

T

cf

nie można zdefiniować przez

żadną semimetrykę.

Zadanie 0.22. Wprowadźmy funkcję odległości od zbioru: dist

d

(x, E) :=

inf

{d(x, e) : e ∈ E}. Przy użyciu tej funkcji opisać operacje topologiczne: wnę-

trza, brzegu i domknięcia. Wykazać np., że E =

{x ∈ X : dist

d

(x, E) = 0

}.

Zadanie 0.23. Wprowadzić możemy następujące trzy pojęcia odległo-

ści między ograniczonymi podzbiorami A, B przestrzeni X z metryką d: Niech
dist(A, B) := inf

{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}, ρ

l

(A, B) := sup

{dist(a, B) : a ∈ A, }

oraz ρ(A, B) = ρ

d

(A, B) := max

{ρ

l

(A, B), ρ

l

(B, A)

}. Tylko jedna z tych wiel-

kości określa semimetrykę. Wykazać, że ρ -tak zwana odległość Hausdorffa
jest metryką na rodzinie podzbiorów domkniętych i ograniczonych.

0.1.

PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE

5

Zadanie 0.24.

Niech U będzie dowolnie wybranym otwartym (w to-

pologii naturalnej), ograniczonym otoczeniem zera w przestrzeni R

k

. Niech

U

n

:=

{x ∈ R

k

: nx

∈ U} i dla wektora o współrzędnych wymiernych: q ∈ Q

k

niech U

n

+ q :=

{x + q : x ∈ U

n

} będzie przesunięciem równoległym zbioru

U

n

o ten wektor. Czy otrzymamy w ten sposób bazę topologii -biorąc rodzinę

B

0

:=

{U

n

+ q : n

∈ N, q ∈ Q

n

} (jeśli tak, to jakiej topologii?).

Zadanie 0.25.

W zbiorze X liczb zespolonych z takich, że

=z 6= 0 lub

z = 0 określmy funkcję d(z, w) równą

|z−w| gdy =z=w ­ 0 oraz równą |z|+|w|

gdy punkty z, w leżą w dwu różnych półpłaszczyznach. Sprawdzić, że jest to
metryka, której topologia jest taka sama, jak topologia metryki euklidesowej,
chociaż jej kule mają dość nietypową postać. Zinterpretować można d(x, y)
jako najkrótszą drogę łączącą te punkty w sytuacji, gdy są to punkty miasta
przedzielonego rzeką, na której znajduje się tylko jeden most (o zaniedbywalnej
długości) usytuowany w punkcie zero. Rzeką jest oś rzeczywista. (

=z = część

urojona liczby z

∈ C).

Zadanie 0.26. Gdy semimetryki d

j

są „silnie równoważne” w tym sen-

sie, że dla pewnych stałych C

1

, C

2

> 0 mamy C

1

d

1

¬ d

2

¬ C

2

d

1

, wykazać,

że generują one jednakowe topologie, takie same rodziny zbiorów ograniczo-
nych, klasy ciągów Cauchy’ego i równoważne metryki Hausdorffa. Jakie relacje
zachodzą między topologiami metryk spełniających warunek d

1

¬ d

2

?

Zadanie 0.27.

Wykazać, że pewne funkcje ograniczone -np. min

{d, 1}

lub

d

1+d

utworzone z metryki d są również metrykami i definiują topologię taką,

jak metryka d.

Zadanie 0.28.

Niech F : R

+

→ R

+

będzie funkcją subaddytywną:

F (s + t)

¬ F (s) + F (t), niemalejącą, taką, że F (0) = 0, F (t) > 0∀t > 0. Gdy d

jest metryką na przestrzeni X, wykazać, że również d

1

:= F

◦ d jest metryką.

Gdy ponadto pochodna prawostronna F

0

+

(0) jest > 0, to topologie metryk d

oraz d

1

są takie same.

Zadanie 0.29.

W przestrzeni M (X) funkcji ograniczonych, o warto-

ściach rzeczywistych na zbiorze X niech ρ

X

(f, g) := sup

x∈X

|f(x) − g(x)|.

Czy jest to metryka? Narysować sumę mnogościową wykresów funkcji z kuli
{f : ρ

X

(f, r) <

1
2

}, gdy r(t) =

√

t, X = [0, 1].

6

Zadanie 0.30.

Gdy d jest metryką ograniczoną na X, dla a

∈ X

zdefiniujmy funkcję f

a

: X

→ R wzorem f

a

(x) := d(a, x). Na przykładzie

X = [0, 1], d(s, t) =

|t − s| (albo: ogólnie) sprawdzić, czy d(a, b) = ρ

X

(f

a

, f

b

).

Zadanie 0.31. W przestrzeni M funkcji ograniczonych f : R

→ R z me-

tryką ρ

R

zbadać, czy funkcja arcus tangens jest punktem wewnętrznym zbioru

A =

{f ∈ M : f(t) < f(t + 1) (∀t)}. Czy zbiory:

{f ∈ M : (∃

δ>

0

) f (t) + δ

¬ f(t + 1) (∀

t

)

}, M \ {f ∈ M : f(t) ­ f(t + 1) (∀

t

)

}

są otwarte w topologii tej metryki?

Mówimy, że przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności, gdy

każdy jej punkt posiada przeliczalną bazę otoczeń. Drugi aksjomat przeli-
czalności to postulat istnienia przeliczalnej bazy zbiorów otwartych. Ośrod-
kowość, to istnienie podzbioru przeliczalnego gęstego D

⊂ X, czyli takiego,

którego domknięcie jest całą przestrzenią.

Zadanie 0.32. Z drugiego wywnioskować pierwszy aksjomat przeliczal-

ności i ośrodkowość. Podać przykład przestrzeni nieośrodkowej spełniającej
pierwszy aksjomat przeliczalności.

Zadanie 0.33. Wykazać, że przestrzenie metryczne spełniają pierwszy

aksjomat przeliczalności, zaś drugi aksjomat przeliczalności jest dla nich rów-
noważny z ośrodkowością.

Zadanie 0.34.

Zbadać aksjomaty przeliczalności dla topologii

T

cf

,

T

d

oraz

T

arrL

na prostej R.

Zadanie 0.35.

Rozważmy metryki d

1

, d

2

na zbiorze R. Niech

B

j

będą

bazami topologii tych metryk, złożonymi z kul. Czy topologia generowana
przez

B

1

∪ B

2

jest metryzowalna? Czy rodzina

B

1

∪ B

2

jest bazą topologii?

Zadanie 0.36. Gdy istnieje baza przeliczalna otoczeń punktu x

0

, to wy-

kazać istnienie ciągu otoczeń W

n

punktu x

0

, który stanowi bazę jego otoczeń

i jest zstępujący, tzn. W

n

+1

⊂ W

n

(

∀n).

Zadanie 0.37. W przestrzeni metrycznej znaleźć zstępujący ciąg two-

rzący bazę otoczeń punktu x

0

taki, że W

n

+1

⊂ W

n

= int(W

n

) (

∀n). Czy tego

typu bazy istnieją w

T

cf

?

0.1.

PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE

7

0.1.3

Zbieżność

Gdy x

∈ B

d

(x

0

, r), punkt x znajduje się ”blisko (rzędu

¬ r) punktu x

0

”.

Podobnie, w przestrzeni topologicznej (X,

T ) możemy powiedzieć, że pewna

własność Ψ(x) zachodzi w punktach x dostatecznie bliskich x

0

, gdy

istnieje otoczenie U

∈ T punktu x

0

takie, że x

∈ U ⇒ Ψ(x).

Gdy mamy przestrzenie topologiczne X, Y i na podzbiorze D

⊂ X -funkcję

f : D

→ Y , to mówimy, że y

0

jest granicą funkcji f w punkcie x

0

, pisząc

y

0

= lim

x→x

0

f (x), lub „f (x)

→ y

0

przy x

→ x

0

”, jeżeli x

0

∈ D \ {x

0

} i w

dowolnie zadanym otoczeniu W punktu y

0

zawiera się obraz f (U

∩ D \ {x

0

})

(śladu na zbiorze D) pewnego sąsiedztwa punktu x

0

. Innymi słowy, wartości

f w punktach x

6= x

0

, x

∈ D dostatecznie bliskich punktowi x

0

są dowolnie

bliskie punktowi y

0

. Zauważmy, że w żadnym otoczeniu punktu x

0

topologia

nie może być dyskretna.

Zadanie 0.38. Gdy w topologiach

T

X

,

T

Y

mamy y

0

= lim

x→x

0

f (x), to

y

0

jest również granicą f : D

⊂ X → Y w tym punkcie względem topologii

T

0

X

,

T

0

Y

, z których pierwsza jest silniejsza, a druga słabsza:

T

X

⊂ T

0

X

,

T

0

Y

⊂ T

Y

(o ile nadal x

0

jest punktem skupienia D).

Zadanie 0.39. Funkcja może mieć dwie różne granice w danym punkcie

gdy pewne zbiory jedno-elementowe w (Y,

T

Y

) nie są domknięte. Niech y

1

∈

{y

0

} oraz X = Y, f(y) = y. Wykazać, że zarówno f(y) → y

0

, jak i f (y)

→ y

1

przy y

→ y

0

. Zbadać też zbiór wszystkich granic dowolnej funkcji o wartościach

w przestrzeni Y , której jedynymi podzbiorami otwartymi są

∅, Y . Gdy Y jest

T

2

-przestrzenią, wykazać jednoznaczność granic f : X

→ Y .

Zadanie 0.40.

W zbiorze ¯

N

= N

∪ ∞, przy konwencji

1

∞

= 0, 0

6∈ N

zdefiniujmy topologię metryki d(m, n) :=

|

1

m

−

1

n

|. Wykazać, że na podprze-

strzeni N metryka ta określa topologię dyskretną i jedynym punktem skupienia
zbioru N jest punkt

∞. Ponadto dla ciągu {y

n

} ⊂ Y o wartościach w prze-

strzeni topologicznej (Y,

T ), traktowanego jako funkcja f : N 3 n → y

n

mamy

g = lim

n→∞

g

⇔ (∀

g∈U ∈T

)(

∃

M

) (n > M

⇒ y

n

∈ U). Ostatni warunek de-

finiuje zbieżność ciągu o wyrazach y

n

do granicy g. Granica ciągu podpada

więc pod ogólny schemat granicy funkcji w punkcie.

Zadanie 0.41.

Czy gdy topologia przestrzeni Y pochodzi od semime-

tryki ρ, to dla f : D

⊂ X → Y , x

0

∈ D \ {x

0

} warunki: y

0

= lim

x→x

0

f (x)

oraz 0 = lim

x→x

0

ρ(f (x), y

0

) (wzgl. topologii naturalnej w R) są równoważne?

8

W przestrzeniach topologicznych niemetryzowalnych istotne znaczenie od-

grywa następujące uogólnienie pojęcia granicy ciągu.

Zbiorem skierowanym nazywamy zbiór M z relacją binarną

 , która

jest zwrotna (n

 n), przechodnia i taka, że

(

∀m, n ∈ M) (∃k ∈ M) n  k, m  k.

Ciągiem uogólnionym w przestrzeni X nazwiemy każdą rodzinę jej punk-

tów, (x

m

)

m∈M

indeksowaną przez pewien zbiór skierowany M . Gdy n

 l,

mówimy, że wyraz x

n

poprzedza element x

l

(a wyraz x

l

następuje po x

n

).

Taki ciąg jest zbieżny do punktu z, co zapisujemy symbolem

z

∈ lim

m∈M

x

m

,

z

∈ lim

M

x

m

lub x

m −→

m∈M

z,

jeżeli w dowolnym otoczeniu punktu z znajdują się wszystkie wyrazy nastę-
pujące po pewnym wyrazie (”wszystkie od pewnego miejsca”), czyli gdy

(U

∈ U, z ∈ U) ⇒ (∃

k∈M

∀

n∈M

k

 n ⇒ x

n

∈ U).

Najczęściej będziemy mieli do czynienia z ciągami zbieżnymi tylko do jednej
granicy i wówczas zamiast z

∈ lim

M

x

m

piszemy z = lim

M

x

m

.

Twierdzenie 0.42. Gdy M =

B

0

jest dowolnie ustaloną bazą otoczeń

punktu x

0

∈ X, to relacja U  W zdefiniowana przez ”odwrotną inkluzję” U ⊃

W skierowuje zbiór M . Dla dowolnego wyboru punktów x

W

∈ W otrzymujemy

ciąg uogólniony zbieżny do x

0

. (Sprawdzić bezpośrednio na podstawie definicji!)

Zadanie 0.43.

Gdy M = N z relacją n

 m oznaczającą n ¬ m,

otrzymamy zwykłą definicję ciągu i jego granicy (x

0

= lim

n→∞

x

n

). Wykazać,

że jeżeli istnieje przeliczalna baza otoczeń punktu x

0

przestrzeni Hausdorffa,

to punkt ten należy do domknięcia (odp. jest punktem skupienia) zbioru E
wtedy i tylko wtedy, gdy jest on granicą pewnego ciągu (odpowiednio -ciągu
różnowartościowego) punktów ze zbioru E.

Zadanie 0.44. Zbadać równoważność relacji x

∈ E z istnieniem ciągu

(odp. ciągu uogólnionego) zbieżnego do x.

0.1.

PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE

9

Zadanie 0.45.

(Zbieżność określa topologię) Gdy dla topologii

T

1

,

T

2

na X ciągi uogólnione zbieżne w

T

1

są też zbieżne w

T

2

i to do takich

samych granic, wykazać, że zbiory domknięte w jednej z tych topologii (któ-
rej?) muszą być domknięte w drugiej. Wywnioskować odpowiednią inkluzję
typu:

T

2

⊂ T

1

lub

T

1

⊂ T

2

.

Zadanie 0.46.

(Zbieżność ciągów determinuje topologię me-

tryczną) Sprawdzić, czy równość topologii generowanych na zbiorze X przez
ustalone dwie metryki (odp. semimetryki) d

1

, d

2

jest równoważna warunkowi:

[d

1

(x

n

, x

0

)

→ 0 ⇔ d

2

(x

n

, x

0

)

→ 0 (∀(x

n

)

∞

n

=0

-ciągu punktów zbioru X)].

Zadanie 0.47.

(Zbieżność punktowa). Właśnie tę topologię (na do-

wolnej przestrzeni X złożonej z pewnych funkcji f : Ω

→ R) łatwiej jest zdefi-

niować poprzez zbieżność. Dla ciągu uogólnionego funkcji f

m

przez zbieżność

punktową do funkcji g rozumiemy zbieżności liczbowych ciągów uogólnionych:
f

m

(ω)

−→

m∈M

g(ω) (

∀

ω∈

Ω

). Sprawdzić, że jest to zbieżność w topologii rodziny

semimetryk

{ρ

ω

}

ω∈

Ω

, gdzie ρ

ω

(f, g) :=

|f(ω) − g(ω)|.

Zadanie 0.48. Gdy X = R

R

jest zbiorem wszystkich funkcji zmiennej

rzeczywistej, wykazać, że jej podprzestrzeń

P = R[x] złożona z wielomianów

jest zbiorem gęstym:

P = X w topologi zbieżności punktowej. Nasuwa się py-

tanie: czy każda funkcja jest granicą punktowo zbieżnego ciągu wielomianów?

Zadanie 0.49.

Na ogół rozważamy relacje

 na zbiorze M, które są

zarazem relacjami częściowego porządku. Wówczas skierowanie zbioru M przez
relację oznacza, że każdy skończony podzbiór ma majorantę. Gdy w zbiorze M
istnieje element maksymalny m

∗

, to wykazać, że jest on największy. Ponadto

relacja g = lim

m∈M

x

m

dla ciągu uogólnionego o wartościach w T

2

-przestrzeni

X zachodzi w tym szczególnym przypadku wtedy i tylko wtedy, gdy x

m

∗

= g.

Zadanie 0.50.

(Warunek Heinego dla granic) Dla przestrzeni, w

której punkt x

0

posiada przeliczalną bazę otoczeń, dowieść równoważności

warunków: g = lim

x→x

0

f (x) oraz [(x

n

→ x

0

, x

n

∈ D \ {x

0

}) ⇒ f(x

n

)

→ g].

Zadanie 0.51. Dla podzbioru ograniczonego E na prostej rzeczywistej

(z metryką euklidesową) wykazać, że sup E

∈ E.

10

Zadanie 0.52.

Jakiego typu zbieżność zachodzi dla ciągu (restrykcji)

wielomianów jednorodnych f

n

|

(−1,1)

: (

−1, 1) → R, gdy f

n

(t) = t

n

? Dla

jakich przedziałów [α, β] restrykcje f

n

|

[α,β]

tworzą ciąg zbieżny jednostajnie?

Zadanie 0.53. Wykazać, że gdy każda z funkcji f

n

: X

→ R przyjmuje

w dowolnym punkcie jedną z dwu wartości: 0 lub 1, to zbieżność jednostajna
-czyli według metryki ρ

X

z zadania 0.29 ciągu f

n

może zachodzić jedynie w

przypadku ciągu stałego od pewnego miejsca.

Zadanie 0.54.

Wykazać, że zbieżność punktowa ciągu z zadania 0.53

(takiego, że f

n

= χ

E

n

dla E

n

= f

−

1

n

{1}) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

∞

[

n

=1

∞

\

k

=n

f

−

1

k

{1} =

∞

\

n

=1

∞

[

k

=n

f

−

1

k

{1}.

Zadanie 0.55.

(Całka Riemanna

R

b

a

f (t)dt z funkcji f : [a, b]

→ R

jako granica ciągu uogólnionego) Gdy m oznacza ustalony układ punk-
tów podziału t

0

= a < t

1

< . . . < t

k

= b i punktów pośrednich ξ

j

∈ [t

j−

1

, t

j

],

to niech δ(m) = max

{|t

j

− t

j−

1

| : 1 ¬ j < k} oznacza ”średnicę” tego

podziału i niech S

m

= S

m

(f ) będzie odpowiednią ”sumą całkową”: S

m

:=

P

k

j

=1

f (ξ

j

)(t

j

− t

j−

1

). Relacja skierowania: m

 m

0

zdefiniowana przez waru-

nek δ(m)

­ δ(m

0

) nie jest tym razem relacją częściowego porządku. Określić,

kiedy istnieje i co przedstawia granica tego ciągu uogólnionego (S

m

(f ))

m∈M

.

Zadanie 0.56.

Ciąg uogólniony liczb rzeczywistych (a

µ

)

µ∈M

nazwie-

my ciągiem niemalejącym, gdy z relacji (skierowania) µ

 ν wynika, że

a

µ

¬ a

ν

. Wykazać, że zbieżność takiego ciągu monotonicznego (w topolo-

gii naturalnej w R) jest równoważna jego ograniczoności z góry. Ponadto dla
S := sup

{a

µ

; µ

∈ M} mamy S = lim

µ

a

µ

. Analogicznie dla ciągów uogólnio-

nych nierosnących, ich granicą jest kres dolny zbioru wyrazów.

Zadanie 0.57. Gdy na odcinku [0, 1] rozważamy lewostronną topologię

(odpowiednio topologię

T

arrL

-por.0.3), zaś w zbiorze R -topologię naturalną,

sprawdzić, czy dla funkcji h : [0, 1]

→ R zachodzi równoważność

lim

x→x

0

h(x) = y

0

⇔ (x

n

→ x

0

, x

n

< x

0

⇒ h(x

n

)

→ y

0

).

Ostatni warunek odczytujemy „y

0

jest lewostronną granicą funkcji h w punkcie

x

0

”. Możemy przyjąć wówczas:

y

0

= lim

x→x

−
0

h(x)

lim

x→x

+
0

h(x) =

lim

x→

(1−x

0

)

−

h(1

− x).

0.1.

PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE

11

0.1.4

Ciągłość

Gdy D = X i albo x

0

6∈ X \ {x

0

}, albo lim

x→x

0

f (x) = f (x

0

), to mówimy,

że funkcja f : X

→ Y jest ciągła w punkcie x

0

. Ciągłość funkcji f :

X

→ Y , zapisywana symbolem f ∈ C(X, Y ), oznacza jej ciągłość w każdym

punkcie dziedziny. Odwzorowania ciągłe γ : [a, b]

→ X nazwiemy krzywymi

w przestrzeni X. Nazwę „krzywa” stosuje się też dla określenia jej obrazu,
czyli zbioru Γ =

{γ(t) : a ¬ t ¬ b}. Wówczas samą funkcję γ nazywa się

parametryzacją krzywej Γ.

Oprócz odwzorowań ciągłych w topologii rozważane są także tzw. od-

wzorowania otwarte (odp. domknięte). Są to odwzorowania, dla których
obrazy zbiorów otwartych są otwarte (odp. -obrazy zbiorów domkniętych są
domknięte). Pojęcie odwzorowanie domknięte będzie jednak przez nas uży-
wane (w przypadku odwzorowań liniowych) w odmiennym sensie – będzie ono
oznaczało domkniętość wykresu odwzorowania.

Mamy następujące kryteria ciągłości f : X

→ Y :

Twierdzenie 0.58. Dla funkcji f następujęce warunki są równoważne:

(a) f jest ciągła,

(b) Przeciwobrazy f

−

1

(W ) zbiorów otwartych W

⊂ Y są otwarte.

(c) przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego jest domknięty,

(d) f (cl(E))

⊆ cl(f(E)),

(e) x

m −→

m∈M

z

⇒ f(x

m

)

−→

m∈M

f (z) (

∀(x

m

)

m∈M

ciągu uogólnionego w X).

Zachodzenie warunku (e) dla wszystkich ”zwykłych” ciągów

{x

n

}

∞

n

=1

okre-

śla ciągową ciągłość funkcji.

Zadanie 0.59. Wykazać równoważność warunków (a)-(e). Ponadto za-

uważyć, że wystarczy w warunku (b) ograniczyć się do przeciwobrazów zbiorów
z pewnej rodziny generującej topologię

T

Y

przestrzeni Y .

Zadanie 0.60.

Z ciągowej ciągłości funkcji określonej na przestrzeni

spełniającej pierwszy aksjomat przeliczalności wywnioskować jej ciągłość.

Zadanie 0.61.

Dla funkcji monotonicznej h : [0, 1]

→ R punkty nie-

ciągłości (wzgl. topologii naturalnej) tworzą zbiór co najwyżej przeliczalny.
Ponadto funkcja ta funkcja musi być ciągła, jeśli obrazem dowolnego prze-
działu zawartego w dziedzinie jest przedział.

12

Zadanie 0.62. Dla bijekcji f : X

→ Y następujące 3 warunki są rów-

noważne: ciągłość f

−

1

: Y

→ X, otwartość f, domkniętość f.

Zadanie 0.63. Gdy x

0

∈ X \ {x

0

}, gdzie (X, T ) jest przestrzenią topo-

logiczną, niech

T

0

będzie topologią generowaną przez

T ∪ {E ⊂ X : x

0

6∈ E}.

Można ją zinterpretować jako lokalizację „opisującą jedynie

T w punkcie x

0

”.

Wykazać, że funkcja f : X

→ Y jest ciągła wzgl. topologii T

0

wtedy i tylko

wtedy, gdy lim

x→x

0

f (x) = f (x

0

) (w topologii

T ).

Zadanie 0.64. Wykazać, że złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Natomiast funkcja odwrotna do bijekcji ciągłej nie musi być ciągła.

Gdy zarówno f : X

→ Y , jak i f

−

1

: Y

→ X są ciągłe, funkcję f nazwiemy

homeomorfizmem. Przestrzenie, pomiędzy którymi istnieje homeomorfizm,
nazywamy homeomorficznymi. Okazuje się, że własności topologiczne prze-
strzeni homeomorficznych są takie same.

Zadanie 0.65. Jakie funkcje f : R

→ R są ciągłe względem pary topo-

logii: (

T

left

,

T

left

)

[Ciągłość funkcji o wartościach rzeczywistych względem topologii

T

left

„po stro-

nie zbioru wartości” nazywana jest półciągłością z góry.]

Zadanie 0.66. Mówimy, że odwzorowanie g : X

1

→ X

2

pomiędzy prze-

strzeniami metrycznymi (X

1

, d

1

) oraz (X

2

, d

2

) spełnia warunek Lipschitza

ze stałą M , gdy d

2

(g(s), g(t))

¬ Md

1

(s, t) (

∀s, t ∈ X

1

). Warunek H¨oldera

z wykładnikiem α > 0 to istnienie stałej C > 0 dla której d

2

(g(s), g(t))

¬

Cd

1

(s, t)

α

(

∀s, t ∈ X

1

).

Wykazać, że warunki: Lipschitza lub H¨oldera implikują ciągłość funkcji,

ale nie na odwrót. Gdy ponadto X

1

= [a, b]

⊂ R zaś d

1

(s, t) =

|t − s|, to dla

α > 1 warunek H¨oldera jest zbyt restrykcyjny: implikuje stałość funkcji.

Zadanie 0.67. (Zasada tożsamości) Przypuśćmy, że funkcje f

1

, f

2

:

X

→ Y są ciągłe, o wartościach w przestrzeni Hausdorffa Y . Wykazać, że

gdy dla pewnego zbioru gęstego D

⊂ X (tzn. takiego, że D = X) mamy

f

1

|

D

= f

2

|

D

, to wówczas f

1

= f

2

. Ponadto zbiór

{x ∈ X : f

1

(x) = f

2

(x)

} jest

domknięty.

0.1.

PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE

13

W przypadku funkcji o wartościach rzeczywistych (odpowiednio -zespolo-

nych, co wynika z kontekstu) zamiast C(X, R) (odp. C(X, C)) piszemy C(X).
Jak zwykle, przestrzeniach R, C, R

n

za domyślną uważać będziemy topologię

naturalną (metryki euklidesowej).

Zadanie 0.68.

Wykazać, że C(X) z określonymi w sposób naturalny

działaniami jest algebrą: sumy (odpowiednio – iloczyny) funkcji ciągłych są
ciągłe. Iloraz funkcji ciągłych jest natomiast ciągły w punktach, w których
funkcja znajdująca się w mianowniku nie przyjmuje wartości zero.

Zadanie 0.69.

Dla jakich wartości α

∈ R funkcja g

α

: R

\ {0} → R,

gdzie g

α

(x) :=

(1−cos x)

α

x

jest restrykcją jakiejś funkcji ciągłej G

α

: R

→ R ?

Zadanie 0.70. Dla jakich wartości β

∈ R funkcja h

β

: R

2

\{(0, 0)} → R,

gdzie h

β

(x, y) :=

sin(xy)

(x

2

+y

2

)

β

jest restrykcją jakiejś funkcji ciągłej H

β

: R

2

→ R ?

Zadanie 0.71. Jeżeli w przestrzeni C([0, 1]) funkcji ciągłych na odcinku

rozważamy metrykę ρ(f, g) := sup

{|f(t) − g(t)| : 0 ¬ t ¬ 1}, zbadać ciągłość

odwzorowań: φ, ψ, χ : C[0, 1]

→ R, określonych wzorami

φ(f ) =

r

ρ(f, 0)

− |f(

1
2

)

|, ψ(f) =

Z

1

0

(f (t))

2

dt, χ(f ) = lim

n→∞

(min

{|f(0)|, 1})

n

.

0.1.5

Topologie zadane przez rodziny odwzorowań

Ustalmy zbiory X, Y i niech dla każdego indeksu α

∈ A będzie dana prze-

strzeń topologiczna (Ω

α

,

T

α

) oraz odwzorowania f

α

: X

→ Ω

α

, g

α

: Ω

α

→ Y .

Topologią generowaną (określoną) na X przez rodzinę odwzorowań
f

α

: X

→ Ω

α

nazwiemy najsłabszą spośród topologii na zbiorze X, względem

których wszystkie te odwzorowania są ciągłe. Topologia ta zwana też jest to-
pologią początkową dla rodziny

{f

α

}

α∈A

. Zauważmy, że jest to topologia ge-

nerowana przez zbiory postaci f

−

1

α

(U

α

) (przeciwobrazy), gdzie α

∈ A, U

α

∈ T

α

,

więc bazę stanowią skończone przecięcia tego typu zbiorów.

Natomiast topologia generowana przez rodzinę

{g

α

}

α∈A

, zwana też topo-

logią końcową dla tej rodziny jest z definicji najsilniejsza z topologii, przy
ktorych wszystkie g

α

są ciągłe. Tym razem zbiór W

⊂ Y jest otwarty, gdy

otwarte są wszystkie jego przeciwobrazy: g

−

1

α

(W )

⊂ Ω

α

.

14

Twierdzenie 0.72. Odwzorowanie F : Z

→ X jest ciągłe w topologii

początkowej dla rodziny odwzorowań f

α

: X

→ Ω

α

wtedy i tylko wtedy, gdy

wszystkie złożenia f

α

◦ F są ciągłe.

Analogicznie, ciągłość złożeń G

◦ g

α

jest równoważna ciągłości odwzoro-

wania G określonego na przestrzeni Y z topologią końcową rodziny

{g

α

}

α∈A

.

Podstawowe konstrukcje nowych przestrzeni topologicznych na bazie za-

danych topologii podpadają z reguły pod jeden spośród tych dwu schematów.
Oto najważniejsze przykłady:

1. Topologia podprzestrzeni na podzbiorze X przestrzeni topologicznej

Ω

1

-to topologia początkowa dla rodziny jednoelementowej

{f

1

}, gdzie

f

1

(x) = x – złożonej z odwzorowania inkluzji kanonicznej f

1

: X

→ Ω

1

.

2. Topologia iloczynu kartezjańskiego pary przestrzeni na zbiorze

X = Ω

1

× Ω

2

, to topologia początkowa pary

{f

1

, f

2

}, gdzie f

1

(x, y) =

x, f

2

(x, y) = y są rzutami na odpowiednie osi.

3. Ogólniej: topologia produktowa na iloczynie kartezjańskim, to topo-

logia początkowa dla rodziny projekcji naturalnych f

α

:

Q

α∈A

Ω

α

→ Ω

α

4. Topologia sumy rozłącznej przestrzeni Ω

α

, gdzie Ω

α

∩ Ω

β

=

∅ dla

α

6= β, to topologia końcowa dla rodziny inkluzji kanonicznych g

α

: Ω

α

→

Y =

S

α∈A

Ω

α

. (Nie będziemy używać dla niej nazwy „suma prosta”)

5. Topologia ilorazowa dla przestrzeni topologicznej (Ω,

T ) względem

określonej na niej relacji równoważnościowej R, to topologia końcowa
jednoelementowej rodziny złożonej z suriekcji kanonicznej π : Ω

→ Ω/R,

gdzie π(x) jest klasą równoważności elementu x.

(W zadaniach na temat tych konstrukcji użyjemy występujących powyżej

oznaczeń.)

Zadanie 0.73. Wykazać, że zbiór W

⊂ X jest otwarty w tej topologii

(

T ) podprzestrzeni, gdy W = U ∩ X dla pewnego U ∈ T

1

. (Mówimy wtedy, że

„W jest śladem zbioru U na X”, stąd nazwa ”ślad topologii

T

1

na X”). Wy-

kazać, że domknięcie zbioru E w podprzestrzeni jest śladem na X domknięcia
E względem

T

1

. Czy podobną tezę otrzymamy dla brzegu (odp. dla wnętrza)?

Zadanie 0.74. Złożenie ψ

◦ f

1

jest restrykcją ψ : Ω

1

→ Z do podprze-

strzeni X. Wykazać, że restrykcja funkcji ciągłej jest ciągła. Dla ϕ : Z

→ X

złożenie f

1

◦ ϕ jest ”rozszerzeniem przeciwdziedziny ϕ do Ω

1

”. Tym razem –

ciągłości tych dwu funkcji są równoważne.

0.1.

PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE

15

Zadanie 0.75. Wykazać, że gdy topologia na Ω

1

pochodzi od metryki

d, to topologia podprzestrzeni X pochodzi od jej restrykcji: d

|

X×X

Ponadto

z ośrodkowości przestrzeni (Ω

1

, d) wynika ośrodkowość podprzestrzeni X.

Zadanie 0.76.

(Płaszczyzna Niemytzkiego) W przestrzeni Ω

1

=

R

× [0, +∞) = C

+

niech bazę otoczeń punktu z stanowi

{(B(z + ir, r) ∪ {z} :

r > 0

} w przypadku gdy z ∈ R × {0}, natomiast {(B(z, r) : 0 < r < b}

gdy z = (a, b) : b > 0. Znaleźć tu zbiór przeliczalny gęsty i wykazać, że
prosta R

× {0} jako podprzestrzeń przestrzeni Ω

1

nie jest ośrodkowa. Zbadać

aksjomaty przeliczalności dla Ω

1

.

Zadanie 0.77. Wykazać, że przekątna iloczynu kartezjańskiego X

× X,

czyli zbiór δ :=

{(x, y) ∈ X ×X : x = y} jest zbiorem domkniętym w topologii

produktu wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenią Hausdorffa

Zadanie 0.78. Zestawienie: (f

1

, f

2

) : Ω

3 ω → (f

1

(ω), f

2

(ω))

∈ X

1

× X

2

jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy obydwie funkcje f

1

, f

2

są ciągłe.

Zadanie 0.79. Wykazać domkniętość (w topologii produktowej) wykre-

su funkcji ciągłej i przykład nieciągłej f : R

→ R o domkniętym wykresie.

Zadanie 0.80. Wykazać metryzowalność produktu kartezjańskiego pary

przestrzeni metrycznych. W przypadku przeliczalnego produktu przestrzeni
(X

j

.d

j

) sprawdzić, czy wzór

d(x, y) :=

∞

X

j

=1

2

−j

min

{1, d

j

(x

j

, y

j

)

} dla x = (x

n

)

∞

n

=1

, y = (y

n

)

∞

n

=1

określa metrykę i czy jest to metryka określająca topologię produktową.

Zadanie 0.81. Elementy produktu kartezjańskiego X =

Q

α∈A

X

α

moż-

na traktować jako funkcje x : A

→

S

α

X

α

. Gdy wszystkie przestrzenie X

α

są

takie same -równe Ω, przestrzeń produktową zapisujemy też jako A

Ω

. Wyka-

zać, że gdy X

α

= R lub C, to topologia zbieżności punktowej (określona w

0.47) jest równa topologii produktowej. Z zadania 0.48 wywnioskować nieme-
tryzowalność produktu nieprzeliczalnej ilości prostych euklidesowych.

16

Zadanie 0.82.

Wywnioskować niemetryzowalność produktu nieprzeli-

czalnej ilości przestrzeni przynajmniej 2-punktowych z następującej własno-
ści: w przestrzeni metrycznej dla dowolnego punktu P istnieje ciąg otoczeń U

n

tego punktu taki, że

T

∞

n

=1

U

n

=

{P }.

Zadanie 0.83. Czy „prostsza” definicja topologii

T

0

na zbiorze: X :=

Q

α

X

α

-jako topologii generowanej przez produkty (dowolnych) otwartych

podzbiorów nie daje przypadkiem „rozsądnej zbieżności”? Wątpliwości rozwie-
je następujące rozumowanie: Gdy X

α

= R, to otoczeniami funkcji stale równej

zero będą zbiory postaci W

h

:=

{f : A → R : |f(α)| < h(α) (∀α ∈ A)}, gdzie

h(α) > 0 (

∀α). Gdy ciąg funkcji f

n

∈ X zmierza do zera w topologii T

0

wy-

kazać, że poza pewnym skończonym zbiorem indeksów

{α

1

, . . . , α

k

} ⊂ A musi

być f

n

(α) = 0 dla dostatecznie dużych n

∈ N. (W przeciwnym przypadku

zdefiniować odpowiednio wartości h(α) w punktach, w których

|f

n

(α)

| > 0 dla

nieskończenie wielu n.)

0.1.6

Spójność

Przestrzeń topologiczną (X,

T ) nazywamy spójną, gdy ∅, X są jedynymi jej

podzbiorami, które są równocześnie otwarte i domknięte. (Takie zbiory nazy-
wamy otwarto-domkniętymi): (U

∈ T , X \ U ∈ T ) ⇒ U ∈ {∅, X}. Podzbiór E

przestrzeni topologicznej (X,

T ) nazwiemy zbiorem spójnym, gdy topologia

podprzestrzeni E jest spójna. Spośród wszystkich podzbiorów spójnych zawie-
rających ustalony punkt x

0

∈ X zawsze istnieje podzbiór największy -zwany

składową spójną punktu x

0

w przestrzeni X.

Twierdzenie 0.84. W przestrzeni euklidesowej R zbiór E jest spójny

wtedy i tylko wtedy, gdy jest on przedziałem (niekoniecznie ograniczonym).

Twierdzenie 0.85. Obraz zbioru spójnego przez odwzorowanie ciągłe jest

zbiorem spójnym. W szczególności spójne są wszystkie krzywe.

Zadanie 0.86. Wykazać, że przestrzeń X jest spójna wtedy i tylko wte-

dy, gdy jedynymi funkcjami ciągłymi z X do dowolnej przestrzeni dyskretnej
– są funkcje stałe.

0.1.

PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE

17

Zadanie 0.87. Niech A, B, A

n

będą spójnymi podzbiorami danej prze-

strzeni topologicznej. Który z następujących warunków gwarantuje spójność
zbiorów: A

∪ B (odpowiednio

S

∞

n

=1

A

n

:

1. A

∩ B 6= ∅

(odp.

T

∞

n

=1

A

n

6= ∅ )

2. A

∩ B 6= ∅ (odp.∀

n

∃

k6

=n

A

n

∩ A

k

6= ∅ )

3. A

∩ B 6= ∅

(odp.

∀

n

(A

n

∩ A

n

+1

)

∪ (A

n

∩ A

n

+1

)

6= ∅

Zadanie 0.88. Wykazać, że jeśli funkcja ciągła f : X

→ R na przestrze-

ni spójnej X przyjmuje wartości a, c, gdzie a < c, to przyjmuje ona również
wszystkie wartości pośrednie: b

∈ [a, c].

Zadanie 0.89.

Ustalmy pewien podzbiór E przestrzeni topologicznej

Y . Wykazać, że jeśli funkcja ciągła f : X

→ Y na przestrzeni spójnej X

przyjmuje wartości zarówno wewnątrz, jak i na zewnątrz zbioru E (czyli gdy
(f (X)

∩ int(E) 6= ∅ oraz f(X) ∩ int(Y \ E) 6= ∅), to przyjmuje ona również

wartości należące do brzegu tego zbioru: f (X)

∩ Fr(E) 6= ∅.

Przestrzeń (X,

T ) nazwiemy łukowo spójną, gdy każde dwa jej punkty x

0

,x

1

można połączyć pewną krzywą γ

∈ C([0, 1], X) - czyli x

1

= γ(1), x

0

= γ(0).

Lokalna spójność oznacza istnienie otoczenia otwartego i spójnego dla każ-
dego punktu przestrzeni.

Zadanie 0.90.

Znaleźć przykład podzbioru spójnego płaszczyzny eu-

klidesowej, który nie jest łukowo spójny, chociaż jego domknięcie jest łukowo
spójne. Ponadto ani zbiór ten, ani jego domknięcie nie są lokalnie spójne.

Zadanie 0.91. Każdy punkt x

0

przestrzeni topologicznej (X,

T ) zawiera

się w pewnym X(x

0

) -maksymalnym spośród jej podzbiorów, które są spójne.

Taki zbiór X(x

0

) nazwiemy składową spójną elementu x

0

w tej przestrzeni.

Sprawdzić, że składowe spójne są klasami równoważności w pewnej relacji rów-
noważności. Składowe spójne są zbiorami otwartymi w przypadku przestrzeni
lokalnie spójnej. Wywnioskować, że otwarte podzbiory prostej (euklidesowej)
R

są sumami parami rozłącznych przedziałów otwartych.

Zadanie 0.92. Znaleźć składowe spójne w przestrzeni Q liczb wymier-

nych z metryką euklidesową i w przestrzeni R z topologią

T

arrL

(por. 0.4).

Zadanie 0.93. Opisać składową spójną macierzy identyczności w zbio-

rze GL(n) macierzy nieosobliwych n

× n o wyrazach rzeczywistych (traktowa-

nej jako podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej R

k

dla k = n

2

).

18

0.1.7

Zwartość

Przestrzeń Hausdorffa (X,

T ) nazywamy przestrzenią pre-zwartą, gdy z

każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać pokrycie skończone:

X

⊂

[

j∈J

W

j

, W

j

∈ T (∀j ∈ J) ⇒ (∃

k∈N

,

∃

j

1

,...,j

k

∈J

) X

⊂ W

j

1

∪ . . . ∪ W

j

k

.

Przestrzeń zwarta, to przestrzeń, pre-zwarta, która jest przestrzenią Haus-
dorffa (T

2

). Zbiór zwarty w przestrzeni topologicznej (Y,

T

1

), to podzbiór

X

⊂ Y , który jako podprzestrzeń topologiczna przestrzeni Y jest przestrzenią

zwartą. Zbiór relatywnie zwarty, to zbiór, którego domknięcie jest zwarte.

Rodzinę

F zbiorów nazwiemy scentrowaną, gdy każda jej skończona pod-

rodzina

F

1

(tzn.

F

1

⊂ F, #F

1

<

∞) ma niepuste przecięcie.

Twierdzenie 0.94. Przestrzeń jest pre-zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy

każda scentrowana rodzina złożona ze zbiorów domkniętych ma przecięcie nie-
puste. Zwarte podzbiory przestrzeni Hausdorffa są domknięte. Domknięte pod-
zbiory przestrzeni zwartych są zwarte.

Gdy z każdego ciągu (x

n

)

∞

n

=1

⊂ X można wybrać podciąg zbieżny, to

przestrzeń nazwiemy ciągowo pre-zwartą.

Twierdzenie 0.95. Obraz zbioru pre-zwartego przez odwzorowanie cią-

głe jest pre-zwarty. Obraz zbioru ciągowo pre-zwartego przez odwzorowanie
ciągowo ciągłe jest ciągowo pre-zwarty.

Zadanie 0.96. Wykazać, że funkcja półciągła z góry f : X

→ R osiąga

na zbiorze zwartym wartość największą.

Zadanie 0.97. Wykazać, że obraz przez odwzorowanie ciągłe przecięcia

rodziny skierowanej zbiorów zwartych jest równy przecięciu odpowiedniej ro-
dziny obrazów. Która z inkluzji może nie zachodzić, jeśli pominiemy założenie
o zwartości?

Twierdzeniem o wielkim znaczeniu, którego dowód wymaga użycia pew-

nika wyboru jest następujący rezultat.

Twierdzenie 0.98.

(Tichonow) Iloczyn kartezjański X :=

Q

α∈A

X

α

dowolnej rodziny przestrzeni zwartych X

α

jest zwarty w topologii produktowej.

0.1.

PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE

19

Zadanie 0.99.

Czy przestrzeń Z z topologią

T

cf

:=

{∅} ∪ {E ⊂ Z :

#(Z

\ E) < ∞} (por. zadanie 0.1) jest zwarta (odp. pre-zwarta)?

Zadanie 0.100. Wykazać, że zbiory zwarte w przestrzeni metrycznej są

ograniczone. Natomiast zbiory domknięte i ograniczone nie muszą być zwarte.

Zadanie 0.101. Wykazać, że suma A

∪B pary zbiorów relatywnie zwar-

tych jest relatywnie zwarta. W przestrzeni euklidesowej R

n

zbiory ograniczone

są relatywnie zwarte.

Zadanie 0.102.

Punktem skupienia ciągu nazwiemy punkt z, w

którego dowolnym otoczeniu U

z

znajdziemy ”dowolnie odległe” wyrazy tego

ciągu. W przypadku ciągu uogólnionego (x

µ

)

µ∈M

oznacza to, że

∀

µ∈M

∃

ν∈M, µν

x

ν

∈ U

z

, czyli z

∈

\

µ∈M

{x

ν

: ν

∈ M, µ  ν}.

Sprawdzić, że gdy punkt skupienia „zwykłego ciągu” (x

n

)

∞

n

=1

ma przeliczalną

bazę otoczeń, to jest on granicą pewnego podciągu: (x

n

k

)

∞

k

=1

tego ciągu.

Zadanie 0.103. Wykazać, że przestrzeń Hausdorffa jest zwarta w. t. w.

gdy dowolny ciąg uogólniony ma w niej przynajmniej jeden punkt skupienia.

Zadanie 0.104.

Wykazać zbieżność ciągu (x

n

)

∞

n

=1

w przestrzeni me-

trycznej zwartej, jeśli ma on co najwyżej jeden punkt skupienia.

Zadanie 0.105. Sformułować w terminach punktu g := lim x

n

warunek

konieczny i wystarczający dla zwartości zbioru E =

{x

n

: n

∈ N}, który

tworzą wyrazy ciągu zbieżnego w danej przestrzeni Hausdorffa.

Zadanie 0.106.

Zbadać, czy z ciągłości restrykcji funkcji do każdego

zwartego podzbioru danej przestrzeni (X,

T ) wynika ciągłość tej funkcji na

całej przestrzeni, o ile (X,

T ) spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.

20

Zadanie 0.107. Wykazać, że funkcja na przestrzeni spełniającej pierw-

szy aksjomat przeliczalności, przyjmująca wartości w przestrzeni zwartej jest
ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jej wykres jest zbiorem domkniętym (w topo-
logii produktowej).

Definicja 0.108.

Ciąg uogólniony (y

k

)

k∈K

jest ciągiem subtelniej-

szym od (lub: podciągiem uogólnionym) ciągu (x

m

)

m∈M

, jeśli istnieje

pewne odwzorowanie µ : K

→ M zbiorów skierowanych K w M takie, że

x

µ

(k)

= y

k

oraz

∀

n∈M

∃

l∈K

(l

 k ⇒ n  µ(k) ).

Sprawdzić że, podciągi zwykłych ciągów (tu K = M = N, µ(k) := n

k

) speł-

niają ten warunek. Analogicznie jest w przypadku, gdy funkcja µ : M

1

→ M

jest niemalejąca względem relacji skierowujących te zbiory, zaś zbiór µ(M

1

)

jest ”nieograniczony z góry w M ” (albo współkońcowy z M ), czyli taki, że
(

∀m ∈ M)(∃l ∈ M

1

) m

 µ(l) .

Zadanie 0.109.

Gdy mamy ciąg uogólniony (x

m

)

m∈M

i bazę otoczeń

U punktu z w danej przestrzeni topologicznej (X, T ), wykazać, że iloczyn
kartezjański M

×U stanowi zbiór skierowany przez relację w której para (m, V )

poprzedza parę (n, W ), gdy m

 n oraz V ⊃ W . Jeśli za y

(m,W )

przyjąć

dowolnie wybrany wyraz x

j

, gdzie m

 j, wykazać, że otrzymamy w ten

sposób podciąg uogólniony. Gdy ponadto j dobierzemy tak, aby x

j

∈ W ,

wykazać, że otrzymany ciąg uogólniony będzie zbieżny (do jakiej granicy?).

Zadanie 0.110. Wykazać, że przestrzeń Hausdorffa jest zwarta

⇔ gdy

każdy ciąg uogólniony jej punktów ma podciąg uogólniony zbieżny. Wykazać
też, że granica podciągu uogólnionego jest zawsze punktem skupienia.

Zadanie 0.111.

Zbadać odpowiednik tezy z zadania 0.104 dla ciągów

uogólnionych.

Zadanie 0.112.

Gdy w przestrzeni topologicznej (X,

T ) dana jest ro-

dzina

A otwartych otoczeń punktu z

0

która jest skierowana przez odwrotną

inkluzję i taka, że

T

{W : W ∈ A} = {z

0

}, to A nie musi, na ogół, być ba-

zą otoczeń punktu z

0

(podać przykład gdy X = R). Gdy jednak przestrzeń

(X,

T ) jest zwarta, wykazać, że A jest bazą otoczeń z

0

.

0.1.

PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE

21

0.1.8

Zupełność

Przestrzeń (X, d) z semimetryką d jest zupełna, gdy zbieżny jest każdy ciąg
{x

n

}

∞

n

=1

jej elementów spełniający warunek Cauchy’ego, czyli taki, że od-

ległości jego wyrazów: d(x

m

, x

k

) są dowolnie małe dla m, k dostatecznie du-

żych. Jeśli oznaczymy przez x

[m,→)

tzw. „m-tą końcówkę” tego ciągu, czyli

zbiór

{x

k

: k

∈ N, k ­ m}, to warunek Cauchy’ego można zapisać w postaci:

lim

m→∞

diam(x

[m,→)

) = 0. Równoważny zapis „d(x

m

, x

k

)

−→

m,k→∞

0” można in-

terpretować jako zmierzanie do zera ciągu uogólnionego (d(x

m

, x

k

))

(m,k)∈N×N

,

jeśli relacja (n, k)

 (n

1

, k

1

) oznacza np., że max(n, k)

¬ min(n

1

, k

1

).

Zadanie 0.113.

Wykazać, że podzbiór przestrzeni metrycznej zupeł-

nej jest przestrzenią zupełną (wzgl. restrykcji metryki) wtedy i tylko wtedy
gdy jest on zbiorem domkniętym. Ponadto przestrzenie metryczne zwarte są
zupełne (lecz, na ogół, implikacja przeciwna nie zachodzi).

Zadanie 0.114. Wykazać, że gdy pewien podciąg ciągu Cauchy’ego (x

n

)

jest zbieżny do granicy g, to również lim x

n

= g.

Zadanie 0.115. Ustalmy pewien ciąg liczb dodatnich c

n

, który jest su-

mowalny:

P

∞

n

=1

c

n

<

∞. Wykazać, że przestrzeń metryczna (X, d) jest zu-

pełna, gdy wszystkie ciągi jej punktów spełniające warunek: d(x

n

, x

n

+1

)

¬

c

n

(

∀n) są zbieżne.

Zadanie 0.116.

(Twierdzenie Cantora) Warunkiem koniecznym i

wystarczającym dla zupełności przestrzeni (X, d) jest, by każdy ciąg zbiorów
domkniętych F

n

⊂ X i takich, że F

n

+1

⊂ F

n

, lim diam(F

n

) = 0 miał przecięcie

niepuste. (Wówczas dla pewnego punktu x

0

mamy

T

n

F

n

=

{x

0

}.)

Zadanie 0.117.

Podać przykład homeorfizmu f : R

→ X który prze-

kształca ciągi Cauchy’ego w ciągi Cauchy’ego, lecz którego obraz nie jest prze-
strzenią zupełną.

Zadanie 0.118. Mówimy, że funkcja F : X

1

→ X

2

jest jednostajnie

ciągła względem mertyk d

j

na przestrzeniach X

j

, jeżeli

∀



> 0

∃

δ

> 0

∀

s,t∈X

1

(d

1

(s, t) < δ

⇒ d

2

(F (s), F (t)) < ).

Wykazać, że funkcje jednostajnie ciągłe przekształcają ciągi Cauchy’ego w
ciągi Cauchy’ego. Istnieją funkcje ciągłe, które nie są ciągłe jednostajnie, ale
nie jest to możliwe w przypadku, gdy przestrzeń (X

1

, d

1

) jest zwarta.

22

Zadanie 0.119. Gdy D

⊂ X

1

jest podzbiorem gęstym przestrzeni me-

trycznej, to wykazać, że każda funkcja jednostajnie ciągła f : D

→ X

2

daje

się przedłużyć (jednoznacznie) do funkcji ciągłej F : X

1

→ X

2

. Skonstruować

F i wykazać, że jest to funkcja jednostajnie ciągła. Czy istnieje odpowiednik
tej tezy dla warunku Lipschitza (por. zadanie 0.66)?

Zadanie 0.120.

Wykazać, że dla każdej przestrzeni metrycznej (X, d)

istnieje przestrzeń metryczna zupełna ( ˜

X, ˜

d) i odwzorowanie j : X

→ ˜

X ta-

kie, że j jest zanurzeniem izometrycznym: d(s, t) = ˜

d(j(s), j(t)), zaś zbiór

j(X) jest gęsty w X. Parę (j, ( ˜

X, ˜

d)) nazywamy uzupełnieniem przestrze-

ni metrycznej(X, d). Ponadto gdy (ˆj, ( ˆ

X, ˆ

d)) jest innym uzupełnieniem tej

samej przestrzeni, to istnieje bijekcja izometryczna Φ : ˜

X

→ ˆ

X, dla której

Φ

◦ j = ˆj. Innymi słowy, uzupełnienie jest wyznaczone jednoznacznie z do-

kładnością do izomorfizmu izometrycznego „zgodnego z zanurzeniami”.