1

Przestrzenie topologiczne - zadania

5.1. Niech N = { 1 , 2 , 3 , . . . } bedzie zbiorem liczb naturalnych. Rozważmy

,

dwie rodziny podzbiorów:

F 1 = {∅, N , { 1 , 2 , 3 , . . . , n}, n ∈ N }

F 2 = {∅, N , { 1 , 3 , 5 , . . . , 2 n − 1 }, n ∈ N }

Czy któraś z nich jest topologia na X? Jeśli tak, czy ta topologia ma wÃlasność

,

Hausdorffa?

5.2. Niech X bedzie zbiorem nieskończonym. Rozważmy nastepujace

,

,

,

dwie rodziny podzbiorów X:

F 1 = {A ⊆ X | A jest skończony lub A = X}

F 2 = {A ⊆ X | ( X \ A) jest skończony lub A = ∅}

Która z nich jest topologia na X ?

,

5.3. Udowodnij, że każda przestrzeń topologiczna wyznaczona przez pewna , metryke jest przestrzenia Hausdorffa.

,

,

5.4. Udowodnij, że każda skończona przestrzeń Hausdorffa jest przestrzenia , dyskretna. ,

5.5. Pokaż, że jeśli X jest przestrzenia Hausdorffa, to granica ciagu w

,

,

przestrzeni X jest wyznaczona jednoznacznie.

5.6. Udowodnij, że każdy podzbiór przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenia , Hausdorffa.

5.7. Niech X bedzie przestrzenia topologiczna. Udowodnij, że rodz-

,

,

,

ina zbiorów domknietych speÃlnia nastepujace warunki: zbiór pusty i caÃla

,

,

,

przestrzeń sa domkniete, a ponadto skończone sumy i dowolne przeciecia

,

,

,

zbiorów domknietych sa domkniete.

,

,

,

5.8. Niech ( X, d) bedzie przestrzenia metryczna. Uzasadnij, że rodzina

,

,

,

kul otwartych {B( x 0 , r) }x

a topologii na X wyznaczonej przez

0 ∈X,r> 0 jest baz ,

metryke d.

,

2

5.9. Niech B bedzie baza topologii na R skÃladajaca sie z przedziaÃlów

,

,

,

,

,

( a, b), a < b. Czy topologia na R2 wprowadzona przez B × B pokrywa sie ze

,

zwykÃla topologia na R2? Odpowiedź uzasadnij.

,

,

5.10. Udowodnij, że rodzina przedziaÃlów

{[ a, b) | a, b ∈ R }

speÃlnia warunki twierdzenia o bazach. Liczby rzeczywiste z topologia wyz-

,

naczona przez te baze bedziemy oznaczać przez R

,

,

,

,

l i nazywać ,,liczbami

rzeczywistymi z topologia strzaÃlka”. Czy jest ona uboższa, czy bogatsza

,

niż zwykÃla topologia na R? Czy ciagi x

oraz y

sa zbieżne

,

n = 1 + 1

n

n = 1 − 1

n

,

w tej topologii?

5.11. Czy istnieje baza przeliczalna wprowadzajaca zwykÃla topologie na

,

,

,

R? Odpowiedź uzasadnij.

5.12. Niech X = {x 0 , x 1 , x 2 , . . . } bedzie nieskończonym zbiorem przeliczal-

,

nym. Udowodnij, że rodzina wszystkich zbiorów jednoelementowych za-wartych w X\{x 0 } oraz zbiorów postaci X\F gdzie F jest zbiorem skończonym nie zawierajacym x

a. Dla dowolnego A ⊆ X opisz int A oraz A.

,

0, jest baz ,