1

Topologia I

´

Cwiczenia do wyk ladu

Przestrzenie metryczne

Sprawd´

z, ˙ze przedstawione poni˙zej przestrzenie s¸

a przestrzeniami me-

trycznymi oraz opisz jak wygl¸

adaj¸

a kule w tych przestrzeniach:

1. X = R, d(x, y) = |x − y|

2. X - dowolny zbi´

or

d(x, y) =







0

je˙zeli x = y

1

je˙zeli x 6= y

( metryka ”0-1”)

3. X = R

2

, x = (x

1

, x

2

), y = (y

1

, y

2

)

a) d(x, y) = kx − yk =

q

(x

1

− y

1

)

2

+ (x

2

− y

2

)

2

(metryka euklidesowa)

b) d(x, y) = |x

1

− y

1

| + |x

2

− y

2

|

(metryka taks´

owkowa)

c)

d(x, y) =







|x

2

− y

2

|

je˙zeli x

1

= y

1

|x

2

| + |x

1

− y

1

| + |y

2

|

w przeciwnym wypadku

(metryka rzeka)

d) d(x, y) = max(|x

1

− y

1

|, |x

2

− y

2

|)

(metryka kr´

ola szachowego)

e)

d(x, y) =







kx − yk

je˙zeli punkty x, y oraz 0 s¸

a wsp´

o lliniowe

kxk + kyk

w przeciwnym wypadku

(metryka kolejowa)

4. X = R

n

, x = (x

1

, . . . , x

n

), y = (y

1

, . . . , y

n

)

d(x, y) = kx − yk =

q

P

n

i=1

(x

i

− y

i

)

2

(metryka euklidesowa)

Topologia I – ´

Cwiczenia do wyk ladu, Instytut Matematyki UG

2

5. X = R

3

, x, y ∈ R

3

d(x, y) =







kx − yk

je˙zeli punkty x, y oraz 0 s¸

a wsp´

o lliniowe

kxk + kyk

w przeciwnym wypadku

(metryka je˙z)

6. X = C[0, 1] - zbi´

or rzeczywistych funkcji ci¸

ag lych na odcinku

[0, 1]

a) d(f, g) = max

0≤x≤1

|f (x) − g(x)|

b) d(f, g) =

R

1

0

|f (x) − g(x)|dx

7. Niech (X, k k) b¸edzie przestrzeni¸

a unormowan¸

a.

Sprawd´

z, ˙ze

funkcja d(x, y) = kx − yk jest metryka w X.

8. Niech (X, d

1

), (Y, d

2

) b¸ed¸

a przestrzeniami metrycznymi. Niech

ρ

1

, ρ

2

: X × Y −→R:

a) ρ

1

((x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

)) = d

1

(x

1

, x

2

) + d

2

(y

1

, y

2

),

b) ρ

2

((x

1

, y

1

), (x

1

, y

2

)) =

q

d

1

(x

1

, x

2

)

2

+ d

2

(y

1

, y

2

)

2

.

Sprawd´

z, ˙ze ρ

1

, ρ

2

s¸

a metrykami na X × Y . Poka˙z, ˙ze ka˙zda kula

B(z

0

, r

1

)

ρ

1

zawiera pewn¸

a kul¸e B(z

0

, r

2

)

ρ

2

(gdzie z

0

∈ X × Y ,

r

1

> 0, r

2

> 0), i na odwr´

ot.

9. Udowodnij, ˙ze diam B(x, r) ≤ 2r.

10. Udowodnij, ˙ze ka˙zda kula jest zbiorem otwartym.

11. Zbi´

or jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest sum¸

a pewnej

rodziny kul.

12. Udowodnij, ˙ze w przestrzeni z metryk¸

a ”0-1” ka˙zdy zbi´

or jest

otwarty.

13. Kt´

ore ze zbior´

ow

a) A = {(x, y) ∈ R

2

| x

2

+ y

2

≥ 4},

b) B = {(x, y) ∈ R

2

| x

2

+ y

2

> 4},

c) C = {(x, y) ∈ R

2

|

x

2

4

+

y

2

6

≤ 1},

d) D = {(x, y) ∈ R

2

| 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y ≤ 1},

e) E = {(x, 0) ∈ R

2

| 0 < x < 1}

Topologia I – ´

Cwiczenia do wyk ladu, Instytut Matematyki UG

3

s¸

a otwarte (odp. domkni¸ete, ograniczone).

14. Udowodnij, ˙ze sko´

nczona suma zbior´

ow domkni¸etych jest zbiorem

domkni¸etym.

15. Poka˙z przyk lad zbioru przeliczalnego, kt´

ory nie jest domkni¸ety.

16. Niech A ⊂ X b¸edzie takim zbiorem, ˙ze

∀a ∈ A

∃r

a

> 0

A ∩ B(a, r

a

) = {a}.

Wtedy

∀a, b ∈ A je˙zeli a 6= b to

B(a,

r

a

2

) ∩ B(b,

r

b

2

) = ∅.

17. Je˙zeli U - otwarty, F - domkni¸ety, to U \F jest otwarty oraz F \U

jest domkni¸ety.

18. Za l´

o˙zmy, ˙ze A jest domkni¸etym podzbiorem w X oraz F ⊂ A.

Poka˙z, ˙ze zbi´

or F jest domkni¸ety w podprzestrzeni A wtedy i

tylko wtedy, gdy F jest domkni¸ety w X.

Ci¸

agi zbie ˙zne, domkni¸

ecie, wn¸

etrze zbioru

19. Udowodnij, ˙ze x = lim x

n

wtedy i tylko wtedy gdy

lim d(x, x

n

) = 0.

20. Niech z

n

= (x

n

, y

n

) ∈ X × Y . Udowodnij, ˙ze z

n

→z = (x, y) (w

metryce ρ

1

lub ρ

2

) wtedy i tylko wtedy gdy x

n

→x oraz y

n

→y.

21. Udowodnij, ˙ze

a) granica ci¸

agu jest jednoznacznie wyznaczona, tzn. je˙zeli x

n

→x

oraz x

n

→y to x = y,

b) ci¸

ag zbie˙zny jest ograniczony,

c) podci¸

ag ci¸

agu zbie˙znego jest zbie˙zny,

d) ci¸

ag zbie˙zny jest ci¸

agiem Cauchy’ego.

22. Niech U b¸edzie zbiorem otwartym oraz lim x

n

= x ∈ U . Udowod-

nij, ˙ze prawie wszystkie wyrazy ci¸

agu (x

n

) nale˙z¸

a do U . Czy

odwrotna implikacja jest prawdziwa?

Topologia I – ´

Cwiczenia do wyk ladu, Instytut Matematyki UG

4

23. Niech A ⊂ X. Poka˙z, ˙ze ka˙zdy punkt w A jest punktem izolowanym,

lub punktem skupienia zbioru A.

24. Czy punkt skupienia zbioru A mo˙ze by´

c punktem izolowanym

w podprzestrzeni A? Czy punkt izolowany w podprzestrzeni A
mo˙ze by´

c punktem skupienia zbioru A?

25. Czy zawsze A × B = ¯

A × ¯

B?

26. Udowodnij, ˙ze je˙zeli A jest podzbiorem ograniczonym R to diam A =

sup A − inf A.

27. Udowodnij, ˙ze je˙zeli diam A ≤ c to diam ¯

A ≤ c. Czy zawsze

diam A = diam ¯

A?

28. Poka˙z, ˙ze

a) ¯

∅ = ∅,

b) ¯

X = X,

c) je˙zeli A ⊂ B to ¯

A ⊂ ¯

B,

d) ¯

A \ ¯

B ⊂ A \ B,

e) A ∪ B = ¯

A ∪ ¯

B,

f) A = ¯

A.

29. Udowodnij, ˙ze

S

α

A

α

⊂

S

α

A

α

. Czy odwrotna inkluzja jest zawsze

prawdziwa?

30. Kt´

orym z symboli ”=”, ”⊂”, ”⊃” mo˙zna zawsze zast¸

api´

c ”?” we

wzorze

T

α

¯

A

α

?

T

α

A

α

, a w szczeg´

olno´sci we wzorze

¯

A ∩ ¯

B ? A ∩ B.

31. Niech d(x, A) = inf

a∈A

d(x, a). Udowodnij, ˙ze x ∈ ¯

A wtedy i tylko

wtedy gdy d(x, A) = 0.

32. Udowodnij, ˙ze

a) int A jest zawsze otwarty,

b) je˙zeli U jest otwarty oraz U ⊂ A to U ⊂ int A, czyli int A

jest najwi¸ekszym zbiorem otwartym zawartym w A,

c) int ∅ = ∅,

d) int X = X,

e) int A ∩ B = int A ∩ int B,

Topologia I – ´

Cwiczenia do wyk ladu, Instytut Matematyki UG

5

f) int (int A) = int A,

g) int A = X \ X \ A.

33. Kt´

orym z symboli ”=”, ”⊂”, ”⊃” mo˙zna zawsze zast¸

api´

c ”?” we

wzorze

a) int

S

α

A

α

?

S

α

int A

α

,

b) int

T

α

A

α

?

T

α

int A

α

.

34. Znajd´

z domkni¸ecie ¯

A, wn¸etrze int A oraz ograniczenie Fr A =

¯

A ∩ X \ A zbioru A:

a) A = [0, 1) ∪ {5, 6, 7},

b) A = N,

c) A = {(x, 0) ∈ R

2

| 0 < x < 1},

d) A = {(x, y) ∈ R

2

| 1 < x

2

+ y

2

≤ 4}

35. Udowodnij, ˙ze

a) Fr A = ¯

A \ int A,

b) int A = A \ Fr A,

c) ¯

A = A ∪ Fr A,

d) Fr (A ∪ B) ⊂ Fr A ∪ Fr B, Fr (A ∩ B) ⊂ Fr A ∪ Fr B,

e) Fr (X \ A) = Fr A,

f) X = int A ∪ Fr A ∪ int (X \ A),

g) zbi´

or A jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy Fr A = ¯

A \ A,

h) zbi´

or A jest domkni¸ety wtedy i tylko wtedy gdy Fr A = A \

int A,

i) zbi´

or A jest jednocze´snie otwarty i domkni¸ety wtedy i tylko

wtedy gdy Fr A = ∅.

Odwzorowania ci¸

ag le

36. Uzasadnij, ˙ze odwzorowanie identyczno´sciowe oraz odwzorowanie

sta le s¸

a funkcjami ci¸

ag lymi.

Topologia I – ´

Cwiczenia do wyk ladu, Instytut Matematyki UG

6

37. Niech X b¸edzie przestrzeni¸

a z metryk¸

a ”0-1”, a Y dowoln¸

a przestrzeni¸

a

metryczn¸

a. Udowodnij, ˙ze ka˙zde odwzorowanie f : X−→Y jest

ci¸

ag le.

38. Udowodnij, ˙ze odwzorowanie f = (f

1

, f

2

) : X−→Y

1

× Y

2

jest

ci¸

ag le wtedy i tylko wtedy gdy f

1

, f

2

s¸

a ci¸

ag le.

39. Funkcja f : X → Y jest ci¸

ag la wtedy i tylko wtedy, gdy przeci-

wobraz ka˙zdej kuli w Y jest otwarty w X.

40. Niech (X, d) b¸edzie przestrzeni¸

a metryczn¸

a. Udowodnij, ˙ze funkcja

d : X × X−→R jest ci¸

ag la.

41. Niech f : X → X b¸edzie funkcj¸

a ci¸

ag l¸

a. Poka˙z, ˙ze funkcja

p = p(x) = d(f (x), x) : X → R

jest ci¸

ag la.

42. Czy przekszta lcenie identyczno´sciowe R

2

−→R

2

jest ci¸

ag le je˙zeli

w dziedzinie i przeciwdziedzinie we´

zmiemy parami inne metryki,

np. metryk¸e euklidesow¸

a, ”kolejow¸

a”, ”rzek¸e”, ”0-1”.

43. Czy przekszta lcenie f (x) = (2x, 3x) : R → R

2

jest ci¸

ag le, je˙zeli w

R we´

zmiemy metryk¸e euklidesow¸

a, a w R

2

metryk¸e euklidesow¸

a,

metryk¸e ”rzek¸e”, metryk¸e ”kolejow¸

a”.

44. Czy przekszta lcenie identyczno´sciowe C[0, 1]−→C[0, 1] jest ci¸

ag le,

je˙zeli w dziedzinie i przeciwdziedzinie we´

zmiemy metryki d

1

(f, g) =

max

0≤x≤1

|f (x) − g(x)| oraz

d

2

(f, g) =

R

1

0

|f (x) − g(x)|dx?

(Sprawd´

z oba mo˙zliwe przypadki wyboru kolejno´sci metryk.)

45. Niech f, g : X → R b¸ed¸

a ci¸

ag le, niech h(x) = max(f (x), g(x)).

Czy h : X → R jest ci¸

ag la?

46. Za l´

o˙zmy, ˙ze A, B ⊂ X s¸

a takimi zbiorami domkni¸etymi, ˙ze A ∪

B = X. Niech f : A−→Y , g : B−→Y b¸ed¸

a takimi funkcjami

ci¸

ag lymi, ˙ze ∀x ∈ A ∩ B f (x) = g(x). Zdefiniujmy h : X−→Y :

h(x) =







f (x)

, gdy x ∈ A

g(x)

, gdy x ∈ B

Sprawd´

z, ˙ze h jest funkcj¸

a ci¸

ag l¸

a.

Topologia I – ´

Cwiczenia do wyk ladu, Instytut Matematyki UG

7

47. Udowodnij, ˙ze je˙zeli f : X−→Y jest odwzorowaniem ci¸

ag lym to

wykres W

f

= {(x, f (x)) | x ∈ X} jest domkni¸etym podzbiorem

w X × Y . Czy implikacja odwrotna jest prawdziwa?

48. Niech f : R−→R b¸edzia funkcj¸

a rosn¸

ac¸

a i ”na”. Poka˙z, ˙ze f jest

ci¸

ag la (sprawd´

z, ˙ze spe lniony jest warunek Cauchy’ego ci¸

ag lo´sci).

Stosuj¸

ac podobne metody sprawd´

z, ˙ze funkcja f (x) =

√

x jest

ci¸

ag la.

49. Niech f : X−→R b¸edzie ci¸

ag la oraz f (x

0

) > 0. Udowodnij, ˙ze

∃r > 0 ∀x ∈ B(x

0

, r)

f (x

0

)

2

< f (x) < 2f (x

0

).

50. Udowodnij, ˙ze je˙zeli f, g : X−→Y s¸

a przekszta lceniami ci¸

ag lymi

to zbi´

or A = {x ∈ X | f (x) = g(x)} jest domkni¸ety.

51. Niech f : R−→R b¸edzie tak¸

a funkcj¸

a, ˙ze

∀x ∈ R

lim

h

→

0

(f (x + h) − f (x − h)) = 0.

Czy f musi by´

c funkcj¸

a ci¸

ag la?

Przestrzenie o´

srodkowe

52. Kt´

ore z poni˙zszych przestrzeni s¸

a o´srodkowe?

a) prosta R,

b) p laszczyzna R

2

,

c) p laszczyzna z metryk¸

a ”kolejow¸

a”,

d) p laszczyzna z metryk¸

a ”rzeka”,

e) p laszczyzna z metryk¸

a ”0-1”.

53. Udowodnij, ˙ze je˙zeli przestrzenie X, Y s¸

a o´srodkowe to przestrze´

n

X × Y te˙z jest o´srodkowa.

54. Niech X b¸edzie tak¸

a przestrzeni¸

a o´srodkow¸

a, ˙ze ka˙zdy p ∈ X jest

punktem izolowanym. Czy przestrze´

n X mo˙ze by´

c nieprzeliczalna?

55. Niech X b¸edzie przestrzeni¸

a o´srodkow¸

a zawieraj¸

ac¸

a tylko sko´

nczenie

wiele punkt´

ow skupienia. Czy przestrze´

n X mo˙ze by´

c nieprzeliczalna?

Topologia I – ´

Cwiczenia do wyk ladu, Instytut Matematyki UG

8

56. Niech f, g : X −→ Y b¸ed¸

a ci¸

ag le. Za l´

o˙zmy, ˙ze A ⊂ X jest

podzbiorem g¸estym, oraz ˙ze ∀ a ∈ A f (a) = g(a). Udowodnij,

˙ze

∀x ∈ X f (x) = g(x).

57. Niech f : R−→R b¸edzie tak¸

a funkcj¸

a ci¸

ag l¸

a, ˙ze

∀x, y ∈ R f (x + y) = f (x) + f (y)

Niech c = f (1). Udowodnij, ˙ze

∀x ∈ R f (x) = cx

58. Jak¸

a posta´

c maj¸

a takie funkcje ci¸

ag le f : R−→R, ˙ze

∀x, y ∈ R f (x · y) = f (x) · f (y)

59. Niech f : X−→Y b¸edzie przekszta lceniem ci¸

ag lym, A ⊂ X

zbiorem g¸estym. Za l´

o˙zmy, ˙ze ∀a, b ∈ A d(f (a), f (b)) ≥ d(a, b).

Czy f musi by´

c r´

o˙znowarto´sciowe?

60. Niech f : X−→Y b¸edzie przekszta lceniem ci¸

ag lym, A ⊂ X

zbiorem g¸estym. Za l´

o˙zmy, ˙ze ∀a, b ∈ A, je˙zeli a 6= b to f (a) 6=

f (b). Czy f musi by´

c r´

o˙znowarto´sciowe?

Przestrzenie zwarte

61. Kt´

ore ze zbior´

ow przedstawionych w zadaniu 12 s¸

a zwarte?

62. Czy zbi´

or D = {(x, y) | x

2

+ y

2

≤ 1} jest zwarty w R

2

z metryk¸

a

a) euklidesow¸

a,

b) ”kolejow¸

a”,

c) ”0-1”?

63. Zdefiniujmy zbiory:

F

0

= [0, 1],

F

1

= [0,

1
3

] ∪ [

2
3

, 1],

F

2

= [0,

1
9

] ∪ [

2
9

,

3
9

] ∪ [

4
9

,

5
9

] ∪ [

6
9

,

7
9

] ∪ [

8
9

, 1],

Topologia I – ´

Cwiczenia do wyk ladu, Instytut Matematyki UG

9

F

3

= [0,

1

81

] ∪ [

2

81

,

3

81

] ∪ [

4

81

,

5

81

] ∪ . . . ∪ [

78
81

,

79
81

] ∪ [

80
81

, 1], . . .

F

n

= [0,

1

3

n

] ∪ [

2

3

n

,

3

3

n

] ∪ [

4

3

n

,

5

3

n

] ∪ . . . ∪ [

3

n

−3

3

n

,

3

n

−2

3

n

] ∪ [

3

n

−1

3

n

, 1], . . .

Poka˙z, ˙ze F

0

∩F

1

∩. . .∩F

n

jest sum¸

a sko´

nczonej rodziny odcink´

ow

o l¸

acznej d lugo´sci

2

n

3

n

.

Zbi´

or C =

T

∞

n=0

F

n

nazywamy zbiorem Cantora.

Poka˙z, ˙ze C jest niepustym nieprzeliczalnym zbiorem zwartym.

64. Udowodnij, ˙ze suma sko´

nczonej rodziny zbior´

ow zwartych jest

zwarta.

65. Udowodnij, ˙ze przekr´

oj dowolnej rodziny zbior´

ow zwartych jest

zwarty.

66. Za l´

o˙zmy, ˙ze w zbiorze A istniej¸

a elementy a

1

, a

2

, . . . takie, ˙ze

∃δ > 0 ∀i 6= j d(a

i

, a

j

) ≥ δ.

Uzasadnij, ˙ze A nie jest zbiorem zwartym.

67. Udowodnij, ˙ze ci¸

ag (x

n

) jest zbie˙zny w przestrzeni X do x

0

wtedy i tylko wtedy gdy z ka˙zdego podci¸

agu (x

φ(n)

) mo˙zna wybra´

c

podci¸

ag (x

φ(ψ(n))

) zbie˙zny w X do x

0

.

68. Je˙zeli Y jest przestrzeni¸

a zwart¸

a, to przekszta lcenie f : X−→Y

jest ci¸

ag le wtedy i tylko wtedy gdy wykres W

f

⊂ X × Y jest

domkni¸ety w X × Y .

69. Je˙zeli X jest przestrzeni¸

a zwart¸

a, to przekszta lcenie f : X−→Y

jest ci¸

ag le wtedy i tylko wtedy gdy wykres W

f

jest zwarty.

70. Czy je˙zeli A × B jest zwartym podzbiorem w X × Y to A (odp.

B) jest zawsze zwartym podzbiorem w X (odp. Y )?

71. Niech A b¸edzie takim zbiorem, ˙ze K = ¯

A jest zwarty. Poka˙z, ˙ze

dla ka˙zdego r > 0 istnieje sko´

nczony podzbi´

or S ⊂ A taki, ˙ze

K ⊂

S

s∈S

B(s, r).

72. Niech K

1

, . . . , K

n

, . . . b¸edzie przeliczaln¸

a rodzin¸

a zwartych podzbior´

ow

przestrzeni X, takich ˙ze lim

n→∞

diam K

n

= 0 oraz

T

∞

1

K

n

6= ∅.

Czy

S

∞

1

K

n

jest zawsze zwarty?

Topologia I – ´

Cwiczenia do wyk ladu, Instytut Matematyki UG

10

73. Niech K

1

, K

2

, . . . b¸eda domkni¸etymi podzbiorami w [0, 1] × [0, 1]

takimi, ˙ze ∀ n

T

n

i=1

K

i

6= ∅.

Czy zawsze

T

∞

i=1

K

i

6= ∅?

Jednostajna ci¸

ag lo´

s´

c

74. Poka˙z, ˙ze je˙zeli f : X−→Y jest jednostajnie ci¸

ag la, (x

n

) jest

ci¸

agiem Cauchy’ego w X to (f (x

n

))jest ci¸

agiem Cauchy’ego w Y .

Czy funkcje ci¸

ag le maj¸

a zawsze t¸

a w lasno´s´

c?

75. Udowodnij, ˙ze je˙zeli f : X−→Y nie jest przekszta lceniem jednos-

tajnie ci¸

ag lym to istniej¸

a ci¸

agi (p

i

), (q

i

) w X takie, ˙ze d(p

i

, q

i

)→0

oraz ∃ > 0 ∀i d(f (p

i

), f (q

i

)) > .

76. Niech f : X−→Y b¸edzie funkcj¸

a jednostajnie ci¸

ag la. Za l´

o˙zmy,

˙ze X jest zbiorem ograniczonym. Czy f (X) jest zawsze zbiorem

ograniczonym?

77. Udowodnij, ˙ze funkcja ci¸

ag la f : (a, b)−→R jest jednostajnie

ci¸

ag la wtedy i tylko wtedy gdy istniej¸

a granice

lim

x→a

+

f (x) , lim

x→b

−

f (x)

Przestrzenie zupe lne

78. Kt´

ore z poni˙zszych przestrzeni s¸

a zupe lne?

a) R, Q, Z, [0, 1], (0, 1) z metryk¸

a euklidesow¸

a,

b) R

n

z metryk¸

a euklidesow¸

a,

c) R

2

z metryk¸

a ”kolejow¸

a”,

d) C[0, 1] z metrykami opisanymi w zadaniu 6.

79. Za l´

o˙zmy, ˙ze przestrzenie X, Y s¸

a zupe lne. Czy X × Y jest zawsze

przestrzeni¸

a zupe ln¸

a.

80. Za l´

o˙zmy, ˙ze przestrzenie X, Y s¸

a homeomorficzne oraz X jest

przestrzeni¸

a zupe ln¸

a. Czy Y musi by´

c przestrzeni¸

a zupe lna?

Topologia I – ´

Cwiczenia do wyk ladu, Instytut Matematyki UG

11

81. Niech f : R−→R b¸edzie odwzorowanieniem danym wzorem:

f (x) = 3 −

x

9

+ cos

x

8

.

Poka˙z, ˙ze f posiada punkt sta ly.

82. Niech f : R

2

−→R

2

b¸edzie odwzorowanieniem danym wzorem:

f (x, y) = (1 +

x

7

− sin

y

9

, 2 +

y

12

+ cos

x

11

).

Poka˙z, ˙ze f posiada punkt sta ly.

83. Niech A : C[0, 1]−→C[0, 1] b¸edzie odwzorowanieniem danym wzorem:

A(x)(t) = exp t +

1

3

x(t/2) , gdzie x = x(t) ∈ C[0, 1].

Poka˙z, ˙ze A posiada punkt sta ly.

84. Podaj przyk lady przekszta lce´

n ci¸

ag lych f : X−→X bez punkt´

ow

sta lych dla X = (0, 1), R, S

1

, S

2

.

85. Niech f (x) = ln(1 + e

x

) : R−→R. Sprawd´

z, ˙ze

∀x 6= y |f (x) − f (y)| < |x − y|

oraz f nie posiada punktu sta lego.

86. Za l´

o˙zmy, ˙ze K jest zbiorem zwartym oraz f : K → K jest tak¸

a

funkcj¸

a ci¸

ag l¸

a, ˙ze d(f (x), f (y)) < d(x, y) je˙zeli x 6= y. Niech

p = p(x) = d(f (x), x) : K → R,

c = min{p(x) : x ∈ X}.

Poka˙z, ˙ze c = 0, a wi¸ec f ma punkt sta ly.

87. Niech A b¸edzie takim podzbiorem przestrzeni zupe lnej X, ˙ze dla

ka˙zdego r > 0 istnieje sko´

nczony podzbi´

or S ⊂ X taki, ˙ze A ⊂

S

s∈S

B(s, r). Czy K = ¯

A jest zawsze zwarty?

88. Czy Q jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbior´

ow otwartych?

89. Czy IQ (zbi´

or liczb niewymiernych) jest sum¸

a przeliczalnej rodziny

zbior´

ow domkni¸etych?

Topologia I – ´

Cwiczenia do wyk ladu, Instytut Matematyki UG

12

Przestrzenie sp´

ojne

90. Za l´

o˙zmy, ˙ze zbi´

or A ⊂ X mo˙zna przedstawi´

c w postaci sumy

A = A

1

∪A

2

, gdzie A

1

, A

2

s¸

a roz l¸

aczne, niepuste oraz A

1

∩A

2

= ∅,

A

1

∩ A

2

= ∅. Poka˙z, ˙ze A jest przestrzeni¸

a niesp´

ojn¸

a.

91. Udowodnij, ˙ze przestrze´

n X jest niesp´

ojna wtedy i tylko wtedy

gdy istnieje taki niepusty w la´sciwy podzbi´

or A ⊂ X, ˙ze Fr A = ∅.

92. Za l´

o˙zmy, ˙ze A jest niepustym w la´sciwym podzbiorem sp´

ojnej

przestrzeni X. Udowodnij, ˙ze

a) je˙zeli A jest otwarty to nie jest domkni¸ety,

b) je˙zeli A jest domkni¸ety to nie jest otwarty.

Czy mo˙zna opu´sci´

c za lo˙zenie o sp´

ojno´sci X?

93. Jak wygl¸

adaj¸

a wszystkie sp´

ojne podzbiory prostej R?

94. Poka˙z, ˙ze ka˙zdy punkt w zbiorze Cantora C jest sk ladow¸

a.

95. Poka˙z, ˙ze p laszczyzna z metryk¸

a ”rzeka” jest lukowo sp´

ojna, a

wi¸ec sp´

ojna.

96. Uzasadnij, ˙ze zbi´

or X = {0} × [−1, 1] ∪ {(x, sin

1

x

) | x > 0} jest

sp´

ojny, ale nie jest lukowo sp´

ojny.

97. Kt´

ore z poni˙zszych zbior´

ow s¸

a sp´

ojne z metryk¸

a euklidesow¸

a lub

z metryk¸

a ”rzeka”?

a) {x

2

+ y

2

≤ 1}, {x

2

+ y

2

≥ 1},

b) {1} × [0, 1],

c) {(x, x) | x ∈ R},

d) R × Q ∪ Q × R,

e) R × (R \ Q) ∪ (R \ Q) × R,

f) Q × (R \ Q) ∪ (R \ Q) × Q,

g) (R \ Q) × (R \ Q) ∪ Q × Q.

98. Jak wygl¸

adaj¸

a wszystkie sp´

ojne podzbiory przestrzeni Q.

99. Czy przekr´

oj zbior´

ow sp´

ojnych jest zawsze sp´

ojny?

Topologia I – ´

Cwiczenia do wyk ladu, Instytut Matematyki UG

13

100. Czy istnieje zst¸epuj¸

acy ci¸

ag podzbior´

ow sp´

ojnych p laszczyzny

kt´

orych przekr´

oj nie jest sp´

ojny?

101. Czy ka˙zda funkcja ci¸

ag la f : [0, 1]−→[0, 1] posiada punkt sta ly?

102. Niech X b¸edzie sp´

ojna, niech f : X−→R b¸edzie funkcj¸

a ci¸

ag l¸

a o

warto´sciach ca lkowitych. Udowodnij, ˙ze f jest funkcj¸

a sta l¸

a.

103. Czy r´

ownanie 2 sin x = x ma rozwi¸

azanie w przedziale [

π

2

, π]?

104. Niech A ⊂ R b¸edzie zbiorem sp´

ojnym, niech f : A−→R b¸edzie

funkcj¸

a ci¸

ag la, r´

o˙znowarto´sciow¸

a. Czy f jest zawsze monoton-

iczna?

105. Czy istnieje ci¸

ag la, wzajemnie jednoznaczna funkcja f : [0, 1)−→R?

106. Czy istnieje taka funkcja ci¸

ag la f : R−→R, ˙ze

f (x) ∈ Q ⇔ x 6∈ Q ?

107. Czy istnieje funkcja ci¸

ag la f : R−→R taka, ˙ze dla ka˙zdego y ∈ R

zbi´

or f

−1

(y) ma dok ladnie dwa elementy?

108. Za l´

o˙zmy, ˙ze funkcja ci¸

ag la f : [0, 1]−→R spe lnia warunek f (0) =

f (1). Udowodnij, ˙ze

∀n ∈ N ∃x

0

∈ [0, 1] f (x

0

+

1

2

n

) = f (x

0

).

109. Za l´

o˙zmy, ˙ze zbi´

or otwarty U ⊂ R

2

jest sp´

ojny. Niech u = u(x, y),

v = v(x, y) b¸ed¸

a funkcjami klasy C

1

na U takimi, ˙ze

∂u

∂x

=

∂v

∂x

oraz

∂u

∂y

=

∂v

∂y

na U.

Poka˙z, ˙ze istnieje taka sta la c ∈ R, ˙ze u(x, y) − v(x, y) = c dla
ka˙zdego (x, y) ∈ U .

110. Poci¸

ag przejecha l 320 km w 4 godziny. Poka˙z, ˙ze poci¸

ag prze-

jecha l pewien odcinek d lugo´sci 80 km dok ladnie w czasie jednej
godziny.

111. Poka˙z, ˙ze je˙zeli sp´

ojna przestrze´

n metryczna posiada co najmniej

dwa punkty, to posiada co najmniej continuum punkt´

ow.

Topologia I – ´

Cwiczenia do wyk ladu, Instytut Matematyki UG

14

112. Niech A

1

, A

2

, . . . b¸ed¸

a takimi zbiorami sp´

ojnymi, ˙ze ∀i, j A

i

∩

A

j

jest zbiorem niepustym.

Czy

S

∞

i=1

A

i

jest zawsze zbiorem

sp´

ojnym?

113. Niech A

1

, A

2

, . . . b¸ed¸

a takimi zbiorami sp´

ojnymi, ˙ze ∀i

A

i

∩

A

i+1

jest zbiorem niepustym. Czy

S

∞

i=1

A

i

jest zawsze zbiorem

sp´

ojnym?

114. Niech A

1

⊃ A

2

⊃ . . . ⊃ A

n

⊃ . . . b¸edzie przeliczaln¸a rodzin¸a

zwartych sp´

ojnych podzbior´

ow p laszczyzny R

2

. Czy A =

T

∞

n=1

A

n

mo˙ze si¸e sk lada´

c dok ladnie z dw´

och punkt´

ow, np. A = {(0, −1), (0.1)}.

Czy A mo˙ze by´

c niesp´

ojny?

115. Niech f : S

1

−→R b¸edzie tak¸a funkcj¸a ci¸ag l¸a, ˙ze

∀x ∈ S

1

f (−x) = −f (x)

Poka˙z, ˙ze istnieje punkt x

0

∈ S

1

taki, ˙ze f (x

0

) = 0.

116. Niech g : S

1

−→R b¸edzie funkcj¸a ci¸ag l¸a. Poka˙z, ˙ze istnieje x

0

∈ S

1

taki, ˙ze g(x

0

) = g(−x

0

).

(Wskaz´

owka: Zbadaj funkcj¸e f (x) = g(x) − g(−x).)

Homeomorfizmy

117. Ka˙zde dwa odcinki otwarte (odp. domkni¸ete) s¸

a homeomorficzne.

118. Uzasadnij, ˙ze tg : (−

π

2

,

π

2

)−→R jest homeomorfizmem.

119. Poka˙z, ˙ze odcinek otwarty i p´

o lprosta otwarta s¸

a homeomorficzne.

120. Poka˙z, ˙ze f : [0, 2π)−→S

1

dana wzorem f (t) = (cos t, sin t) jest

odwzorowaniem ci¸

ag lym, wzajemnie jednoznacznym, ale nie jest

homeomorfizmem.

121. Niech f : R−→R b¸edzie wzajemnie jednoznaczn¸

a monotoniczn¸

a

funkcj¸

a. Czy f jest ci¸

ag la, czy f zawsze jest homeomorfizmem?

122. Uzasadnij, ˙ze [0, 1], S

1

nie s¸

a homeomorficzne.

Topologia I – ´

Cwiczenia do wyk ladu, Instytut Matematyki UG

15

123. Uzasadnij dlaczego ka˙zde dwie z poni˙zszych podprzestrzeni prostej

R nie s¸

a homeomorficzne:

{0}, [0, 1], (0, 1), [0, 1), [0, 1] ∪ [2, 3],
[0, 1] ∪ [2, 3), [0, 1) ∪ [2, 3), [0, 1] ∪ (2, 3),
[0, 1) ∪ (2, 3), (0, 1) ∪ (2, 3), Q, R \ Q,
{0, 1,

1
2

,

1
3

,

1
4

, . . . }, {1,

1
2

,

1
3

,

1
4

, . . . }.

124. Za l´

o˙zmy, ˙ze h : X−→Y jest homeomorfizmem. Udowodnij, ˙ze

x

n

→¯

x wtedy i tylko wtedy gdy h(x

n

)→h(¯

x).

125. Za l´

o˙zmy, ˙ze h : R

n

−→R

n

jest homeomorfizmem. Udowodnij, ˙ze

ci¸

ag (x

n

)

∞

1

jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy ci¸

ag (h(x

n

))

∞

1

jest ograniczony.

126. Za l´

o˙zmy, ˙ze przestrze´

n X jest homeomorficzna z Y . Czy zawsze

przestrze´

n X × X jest homeomorficzna z Y × Y ?

127. Kt´

ore z poni˙zszych podzbior´

ow R

2

s¸

a homeomorficzne?

A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U W

X Y Z

128. Kt´

ore z poni˙zszych podzbior´

ow R

2

s¸

a homeomorficzne?

R × {0}, R × {0, 1}, R × {0, 1, 2}, {0} × R,
R

2

, [0, 1] × [0, 1], (0, 1) × (0, 1), (0, 1) × R,

{(x, y) | y > x

2

}, {(x, y) | y = x

2

}, {(x, y) | y < x

2

},

{(x, y) | x

2

+ y

2

≤ 1}, {(x, y) |

x

2

a

2

+

y

2

b

2

≤ 1},

R × Q, Q × Q, (R \ Q) × (R \ Q).

129. Uzasadnij, ˙ze przestrzenie X, Y s¸

a homeomorficzne:

a) X = S

1

× [0, 1], Y = {(x, y) | 1 ≤ x

2

+ y

2

≤ 4}

b) X = S

1

× R, Y = R

2

\ {0}

c) X = S

1

× [0, 1] ∪ {(x, y, 0) ∈ R

3

| x

2

+ y

2

≤ 1},

Y = {(x, y) ∈ R

2

| x

2

+ y

2

≤ 4}

d) X = S

2

\ {(0, 0, −1)}, Y = R

2

e) X = {(x, y) | x

2

+ y

2

> 1}, Y = R

2

\ {0}

f) X = [−1, 1] × [0, 1], Y = {(x, y) | x

2

+ y

2

≤ 1}

130. Niech (X, d) b¸edzie przestrzeni¸

a metryczn¸

a. Dla x, y ∈ X niech

¯

d(x, y) = min(d(x, y), 1). Poka˙z, ˙ze:

Topologia I – ´

Cwiczenia do wyk ladu, Instytut Matematyki UG

16

a) (X, ¯

d) jest przestrzeni¸

a metryczn¸

a,

b) odwzorowanie identyczno´sciowe (X, d)−→(X, ¯

d) jest homeo-

morfizmem,

c) diam (X, ¯

d) ≤ 1.

131. Poka˙z, ˙ze R

3

z metryk¸

a ”je˙z” jest homeomorficzna z R

2

z metryk¸

a

”kolejow¸

a”.

132. Je˙zeli f : X−→Y jest przekszta lceniem ci¸

ag lym to jej wykres

W

f

jest homeomorficzny z X. Czy prawdziwa jest implikacja

odwrotna?

133. Czy prawdziwe jest zdanie:

Je˙zeli przestrze´

n X jest homeomorficzna z pewnym podzbiorem w

przestrzeni Y oraz Y jest homeomorficzna z pewnym podzbiorem
w X, to przestrzenie X, Y s¸

a homeomorficzne.

Ci¸

agi funkcji

134. Podaj przyk lad punktowo zbie˙znego ci¸

agu funkcji ci¸

ag lych, kt´

ory

nie jest jednostajnie zbie˙zny.

135. Niech X b¸edzie przestrzeni¸

a zwart¸

a, niech C(X, Y ) b¸edzie przestrzeni¸

a

funkcji ci¸

ag lych X−→Y z metryk¸

a

ρ(f, g) = sup

x∈X

d(f (x), g(x)).

Sprawd´

z, ˙ze ci¸

ag (f

i

) jest zbie˙zny do f w (C(X, Y ), ρ) wtedy i

tylko wtedy gdy ci¸

ag (f

i

) jest jednostajnie zbie˙zny do f .

136. Niech f

n

= (1 + x

2n

)

−1

, x ∈ R. Czy ci¸

ag (f

n

) jest zbie˙zny punk-

towo (jednostajnie)?

137. Niech f

n

= nx

n

(1 − x), x ∈ [0, 1]. Czy ci¸

ag (f

n

) jest zbie˙zny

punktowo (jednostajnie)?

138. Za l´

o˙zmy, ˙ze X, Y s¸

a zwarte. Czy C(X, Y ) jest wtedy zawsze

zwarta?

Niesko´

nczone iloczyny kartezja´

nskie

139. Niech X =

Q

∞

i=1

X

i

b¸edzie iloczynem kartezja´

nskim przeliczalnej

rodziny wsp´

olnie ograniczonych przestrzeni metrycznych (X

i

, d

i

).

Dla x = (x

1

, x

2

, . . . ), y = (y

1

, y

2

, . . . ) ∈ X

d(x, y) =

∞

X

i=1

d

i

(x

i

, y

i

)

2

i

.

Sprawd´

z, ˙ze:

a) (X, d) jest przestrzeni¸

a metryczn¸

a,

b) rzut π

i

: X−→X

i

jest przekszta lceniem ci¸

ag lym,

c) je˙zeli X jest przestrzeni¸

a zwart¸

a to ka˙zda przestrze´

n X

i

jest

zwarta,

d) za l´

o˙zmy, ˙ze wszystkie przestrzenie X

i

s¸

a o´srodkowe (odp.

zupe lne, sp´

ojne). Czy X musi by´

c przestrzeni¸

a o´srodkow¸

a

(odp. zupe ln¸

a, sp´

ojn¸

a)?