ZADANIA Z TOPOLOGII

I. PRZESTRZENIE METRYCZNE.

1. Niech
będzie przestrzenią metryczną zaś
liczbą rzeczywistą dodatnią. Wykaż, że funkcja
określona wzorem
jest metryką na zbiorze X.

Jak wyglądają kule w przestrzeni
w stosunku do kul w przestrzeni
?

Wykaż, że metryki
i
są równoważne.

2. Sprawdź warunki metryki, a następnie narysuj kule na płaszczyźnie z metryką euklidesową, maksimum, „rzeka”, kolejową i dyskretną.

Które z tych metryk są równoważne a które nie?

3. Podaj przykład nieskończonego podzbioru zbioru liczb rzeczywistych, w którym metryka dyskretna i naturalna metryka euklidesowa są równoważne.

4. Niech X = C[0,1] będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłych określonych na odcinku domkniętym [0,1]. Udowodnij, że funkcja
określona wzorem
jest metryką na zbiorze X.

5. Niech X będzie przestrzenią z poprzedniego zadania. Jakie funkcje należą do kuli o promieniu 1 której środkiem jest funkcja

a) stała, dla każdego x przyjmująca wartość 2,

b) identycznościowa ( zdefiniowana wzorem f(x) = x ) ?
6. Niech X będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłych
.Dla

Udowodnić, że
jest przestrzenią metryczną.

7. Udowodnij, że każdy podzbiór płaszczyzny otwarty w metryce euklidesowej jest także otwarty w metryce kolejowej i w metryce „rzeka”.

8. Podaj przykład podzbioru płaszczyzny, który jest domknięty na płaszczyźnie z metryką „rzeka” a nie jest domknięty na płaszczyźnie z metryką kolejową i przykład zbioru, który jest domknięty na płaszczyźnie z metryką kolejową a nie jest domknięty na płaszczyźnie z metryką „rzeka”.
9. Niech
będzie przestrzenią metryczną, niech k będzie dowolną liczbą większą od zera i niech
będzie odległością zdefiniowana w następujący sposób
. Wykazać, że zbiór jest otwarty w
wtedy i tylko wtedy gdy jest otwarty w

10. Udowodnij, że każdy podzbiór przestrzeni C[0,1] otwarty w metryce z zadania 6. jest także otwarty w metryce z zadania 4., ale nie na odwrót.

11.Niech Z oznacza zbiór liczb całkowitych. Mając dane dwie liczby całkowite m, n definiujemy liczbę

gdzie k jest liczbą całkowitą niepodzielną przez 3. Definiujemy funkcję

.

Udowodnić, że Z z tak określoną funkcją jest przestrzenią metryczną. Z jakich elementów zbioru Z składa się zbiór punktów odległych od zera o mniej niż jeden, a z jakich zbiór punktów odległych od zera o mniej niż
?
12. Wykazać, że zbiór wszystkich ciągów liczb naturalnych stanowi przestrzeń metryczną, jeżeli za odległość dwóch różnych ciągów
przyjmiemy liczbę
gdzie r jest najmniejszym wskaźnikiem takim, że

13. Wykazać, że dla każdej przestrzeni metrycznej
po wprowadzeniu na zbiorze X nowej metryki za pomocą wzoru
otrzymujemy przestrzeń homeomorficzną z przestrzenią wyjściową.

14. Czy w nieskończonej przestrzeni metrycznej musi być nieskończenie wiele różnych kul?

II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.

1. Podaj przykład przestrzeni metrycznej i jej podzbioru, który jest jednocześnie otwarty i domknięty, różnego od całej przestrzeni i od zbioru pustego.

2. Wykaż, że w przestrzeni dyskretnej każdy zbiór jest otwarty i każdy zbiór jest domknięty.

3. Udowodnij, że kula jest zbiorem otwartym.

4. Udowodnij, że część wspólna skończenie wielu zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

5. Udowodnij, że skończona suma zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

6. Podaj przykład pokazujący, że przeliczalna suma zbiorów domkniętych nie musi być zbiorem domkniętym.
7. Podaj przykład pokazujący, że przeliczalny iloczyn zbiorów otwartych nie musi być zbiorem otwartym.

8. Udowodnij, że podzbiór A przestrzeni metrycznej X jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy
(gdzie
).
9. Podać przykład dwóch zbiorów domkniętych i rozłącznych na prostej, których odległość jest zero.
10. Wykazać, że zbiór punktów płaszczyzny o obu współrzędnych całkowitych jest podzbiorem domkniętym płaszczyzny.

11. Wykazać, że zbiór punktów płaszczyzny o obu współrzędnych wymiernych nie jest podzbiorem domkniętym płaszczyzny.

III. CIĄGI ZBIEŻNE.

1. Niech

Na płaszczyźnie z jakimi metrykami (z metryk: maksimum, euklidesowa, dyskretna, kolejowa, „rzeka”) poszczególne ciągi są zbieżne?

2. Udowodnij, że każdy ciąg Cauchy'ego jest zbieżny.

3. Udowodnij, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

4. Udowodnij, że jeśli
oraz
, to
.

5. Udowodnij, że podzbiór A przestrzeni metrycznej X jest domknięty w X wtedy i tylko wtedy gdy granica każdego ciągu punktów zbioru A zbieżnego w przestrzeni X należy do A.

6. Udowodnij, że ciąg
jest ciągiem Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy gdy

.

7. Udowodnij, że jeśli A jest podprzestrzenią przestrzeni metrycznej X oraz ciąg
jest ciągiem punktów A zbieżnym w A do punktu x, to jest także zbieżny w X do punktu x.

8. Podaj przykład przestrzeni metrycznej X, jej podprzestrzeni A oraz ciągu punktów A zbieżnego w X, który nie jest zbieżny w A.

9. Udowodnij, że przestrzeń metryczna X jest dyskretna (ma topologię dyskretną, nie koniecznie metrykę 0 - 1 ) wtedy i tylko wtedy gdy w przestrzeni X są zbieżne jedynie ciągi od pewnego miejsca stałe.

IV. OPERACJA DOMKNIĘCIA. WNĘTRZE ZBIORU.

1. Znajdź domknięcie, wnętrze i ograniczenie na płaszczyźnie z metryką euklidesową następujących zbiorów:

a)
,

b)
,

c)
.

2. Znajdź domknięcie, wnętrze i ograniczenie na płaszczyźnie z metryką „rzeka” następujących zbiorów:

a)
,

b)
,

c)

d)
.

3. Znajdź domknięcie, wnętrze i ograniczenie na płaszczyźnie z metryką kolejową następujących zbiorów:

a)
,

b)
,

c)

d)
.

4. Uzasadnij, że w przestrzeni dyskretnej X dla każdego zbioru
prawdziwe są równości: intA = clA = A oraz FrA = Ø.

5. Czy między następującymi zbiorami zachodzą jakieś inkluzje, jeśli tak, to jakie?

a)
oraz
,

b)
oraz
,

c)
oraz
,

d)
oraz
,

e)
oraz
,

f)
oraz
.

Inkluzje, które zachodzą udowodnij. W przeciwnym przypadku podaj przykłady przestrzeni metrycznej i jej podzbiorów, gdzie inkluzje nie są prawdziwe.

6. Udowodnij, że zbiór A jest w przestrzeni metrycznej X

a) otwarty wtedy i tylko wtedy gdy
,

b) domknięty wtedy i tylko wtedy gdy
,

c) domknięto-otwarty wtedy i tylko wtedy gdy
Ø.

7. Udowodnij, że jeśli zbiór A jest gęsty, a zbiór U otwarty w przestrzeni X, to
.

8. Podaj przykład pokazujący, że założenie otwartości zbioru U w poprzednim zadaniu jest istotne.
9. Rodzinę podzbiorów danej przestrzeni nazywamy lokalnie skończoną gdy każdy punkt tej przestrzeni ma otoczenie przecinające się tylko ze skończoną ilością zbiorów danej rodziny.

Wykazać, że dla dowolnej rodziny lokalnie skończonej zbiorów domknięcie sumy tej rodziny jest równe sumie domknięć elementów tej rodziny

V. ZBIORY GĘSTE, NIGDZIEGĘSTE, BRZEGOWE. OŚRODKOWOŚĆ.

1. Które z następujących zbiorów są gęste, które nigdziegęste, a które brzegowe na prostej:

N, Q, (2, 4),
, P, R,
, Z?

2. Które z następujących zbiorów są gęste, które nigdziegęste, a które brzegowe na płaszczyźnie z metryką euklidesową:

,
,
,
,
,
,
,
?

3. Które z następujących zbiorów są gęste, które nigdziegęste, a które brzegowe na płaszczyźnie z metryką „rzeka”:

,
,
,
,
,
,
,
,
?

4. Udowodnij, że jeśli A jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni X, a X gęstą podprzestrzenią przestrzeni Y, to A jest gęste w Y.

5. Podaj przykład pokazujący, że w poprzednim zadaniu założenie gęstości X w Y jest istotne.

6. Udowodnij, że jeśli A jest brzegowym podzbiorem przestrzeni X, która jest podprzestrzenią przestrzeni Y, to A jest brzegowe w Y.

7. Czy następujące podprzestrzenie płaszczyzny z metryką „rzeka” są ośrodkowe:

a)
,

b)
,

c)
,

d)
?

8. Niech

będą podprzestrzeniami płaszczyzny z metryką „kolejową”.

Czy przestrzeń

a) X,

b) Y

jest ośrodkowa? Odpowiedź uzasadnij.

9. Udowodnij, że przestrzeń dyskretna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy gdy jest przeliczalna.
10. Wykazać, że dla dowolnej przestrzeni metrycznej

11. Dla danego podzbioru A przestrzeni metrycznej X punkt x, który należy zarówno do domknięcia zbioru A jak i do domknięcia jego dopełnienia nazywamy punktem brzegowym zbioru A. Zbiór wszystkich takich punktów nazywamy brzegiem zbioru A (ograniczeniem zbioru A) i oznaczamy Fr(A).

Wykazać, że brzeg każdego zbioru jest zbiorem domkniętym.

12. Wykazać, że

15. Wykazać, że zbiór punktów izolowanych przestrzeni ośrodkowej jest co najwyżej przeliczalny.
16. Udowodnij, że suma zbioru brzegowego i zbioru brzegowego domkniętego w przestrzeni topologicznej X jest zbiorem brzegowym w X.

VI. PODPRZESTRZENIE. ILOCZYNY KARTEZJAŃSKIE SKOŃCZONE.

1. Udowodnij, że jeśli A jest podzbiorem przestrzeni X, która jest podprzestrzenią przestrzeni Y, to:

a)
,

b)

2. Podaj przykład pokazujący, że w punkcie b) poprzedniego zadania inkluzji nie można zastąpić równością.

3. Udowodnij, że domknięta podprzestrzeń przestrzeni zwartej jest zwarta.

4. Udowodnij, że domknięta podprzestrzeń przestrzeni zupełnej jest zupełna.

5. Udowodnij, że jeśli A jest zwartą podprzestrzenią przestrzeni X, to A jest domknięte w X.

6. Udowodnij, że jeśli A jest zupełną podprzestrzenią przestrzeni X, to A jest domknięte w X.

7. Udowodnij, że jeśli
, to
.

7.Udowodnij, że iloczyn kartezjański skończenie wielu przestrzeni ośrodkowych jest przestrzenią ośrodkową.

8.Udowodnij, że iloczyn kartezjański skończenie wielu przestrzeni spełniających II aksjomat przeliczalności spełnia II aksjomat przeliczalności.

9. Udowodnij, że iloczyn kartezjański skończenie wielu przestrzeni zwartych jest przestrzenią zwartą.

10. Udowodnij, że rzutowanie iloczynu kartezjańskiego na każdą z osi jest przekształceniem ciągłym.

11. Udowodnij, że jeśli przekształcenie
przestrzeni Hausdorffa (np. metrycznej) X w siebie jest ciągłe, to zbiór {x
X: f(x)=x}jest domknięty w X.

12. Udowodnij, że jeśli
jest przekształceniem ciągłym przestrzeni metrycznej X w przestrzeń metryczną Y to wykres
funkcji
jest domkniętym podzbiorem iloczynu
.

13. Czy ciężar podprzestrzeni może być większy od ciężaru przestrzeni? Czy kwadrat z metryką "rzeka" jest podprzestrzenią płaszczyzny euklidesowej?

VII. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI.

1. Czy przekształcenie identycznościowe

a) płaszczyzny z metryką euklidesową w płaszczyznę z metryką „rzeka”,

b) płaszczyzny z metryką „rzeka” w płaszczyznę z metryką euklidesową,

c) płaszczyzny z metryką „rzeka” w płaszczyznę z metryką kolejową,

d) płaszczyzny z metryką kolejową w płaszczyznę z metryką „rzeka”,

e) płaszczyzny z metryką euklidesową w płaszczyznę z metryką kolejową

f) płaszczyzny z metryką euklidesową kolejową w płaszczyznę z metryką euklidesową

jest ciągłe?

2. Wykaż, że w definicji ciągłości funkcji
zbiory otwarte w przestrzeni Y równoważnie można zastąpić elementami ustalonej bazy, tzn. udowodnij, że funkcja
jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego elementu ustalonej bazy przestrzeni Y jest otwarty w przestrzeni X.

3. Udowodnij, że przekształcenie
przestrzeni metrycznej X w przestrzeń metryczną Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy
.

4. Wykaż, że każde przekształcenie określone na przestrzeni dyskretnej jest ciągłe.

5. Wykaż, że przekształcenie różnowartościowe w przestrzeń dyskretną jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy jest określone również na przestrzeni dyskretnej.

6. Czy przekształcenie

a)
dane wzorem
,

b)
dane wzorem
,

c)
dane wzorem

płaszczyzny z metryką

i) euklidesową,

ii) „rzeka”,

iii) kolejową

w siebie jest ciągłe?

7. Udowodnij, że w przestrzeni metrycznej odległość punktu od zbioru
zdefiniowana wzorem
jest funkcją ciągłą.

8. Korzystając z zadania poprzedniego i z zadania II 7. udowodnij, że dla dowolnych rozłącznych podzbiorów domkniętych A i B przestrzeni metrycznej X istnieją rozłączne podzbiory otwarte U i V tej przestrzeni takie że
oraz
.

9. Udowodnić, że jeżeli przestrzeń
gdzie U i V są zbiorami otwartymi, to istnieją zbiory domknięte A i B takie, że

10. Udowodnij, że jeśli przestrzeń X jest sumą swoich domkniętych podprzestrzeni A i B oraz funkcje
i
są ciągłymi przekształceniami w przestrzeń Y takimi, że
, to funkcja
dana wzorem
jest ciągła.

11. Podaj przykład pokazujący, że w poprzednim zadaniu założenie domkniętości zbiorów A i B jest istotne.

12. Udowodnij, że twierdzenie z zadania 6 pozostaje prawdziwe jeśli słowo „domkniętych” zastąpić słowem „otwartych”.

13. Udowodnij, że jeśli A jest gęstym podzbiorem przestrzeni X, funkcje
i
są ciągłe oraz
, to
.

14. Niech funkcja
będzie określona wzorem

Wykazać, że funkcja f jest funkcją ciągłą gdy na płaszczyźnie euklidesowej rozważamy metrykę max lub metrykę euklidesową.
15.Niech
będzie przestrzenia metryczna a k liczba rzeczywista większą od zera. Zdefiniujemy nową metrykę w przestrzeni X w następujący sposób:
Wykazać, że

są funkcjami ciągłymi, gdzie i jest identycznością na zbiorze X.

16. Niech
będzie funkcją ściśle rosnącą i ciągłą. Wykazać, że odwzorowanie odwrotne jest odwzorowaniem ciągłym.

17. Wykazać, że jeżeli funkcja określona na przestrzeni metrycznej X jest ciągła, to jej wykres jest homeomorficzny z przestrzenią X.

18. Podać przykład odwzorowania nieciągłego o domkniętym wykresie.

19.Sprawdzić, czy następujące przekształcenia są homeomorfizmami (w metrykach euklidesowych):

(a)
dana wzorem
;

(b)
dana wzorem f(x) = <x, sin x>;

(c)
dane wzorem
;

(d)
określone wzorem f(x; y; z) = <x, y>, gdzie

;

jaką figurą jest C?

(e) inwersja względem sfery
,
takie, że i(x)=y wtedy i tylko wtedy, gdy y leży na półprostej 0x oraz ||x|| ||y|| = r² .

20. Uzasadnij, że następujące pary przestrzeni (z metrykami euklidesowymi) przedstawiają przestrzenie homeomorficzne:

(a) dowolny okrąg i elipsa

(b) dowolna sfera i elipsoida

(c) powierzchnia walca i pierścień na płaszczyźnie

VIII. PRZESTRZENIE ZWARTE.

1. Które z następujących podprzestrzeni prostej są zwarte: [-1,1], Q, [0,1),
, {1,2,3,4,5,6,7}, N,
,
,
,
, [0,2]\{1},
,
?

W każdym przypadku z wyjątkiem pierwszego, tezę uzasadnij dwoma sposobami (korzystając z def. pokryciowej i ciągowej).

2. Które z następujących podprzestrzeni płaszczyzny z metryką euklidesową są zwarte:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
?

W przypadku odpowiedzi negatywnej tezę uzasadnij dwoma sposobami (korzystając z def. pokryciowej i ciągowej).

3. Które z następujących podprzestrzeni płaszczyzny z metryką „rzeka” są zwarte:

A =
, B =
, C =
, D =
, E=
,

F=
,

G=
,

H=
,
,

K=
,

L=
,

M=
, N=

S=
,

T=
?

W przypadku odpowiedzi negatywnej tezę uzasadnij dwoma sposobami (korzystając z def. pokryciowej i ciągowej).

4. Które z następujących podprzestrzeni płaszczyzny z metryką kolejową są zwarte:

A =
, B=
, C =
, D=
, E=

W przypadku odpowiedzi negatywnej tezę uzasadnij dwoma sposobami (korzystając z def. pokryciowej i ciągowej).

5. Udowodnij, że przestrzeń metryczna X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego jej pokrycia kulami można wybrać podpokrycie skończone.

6. Udowodnij, że przestrzeń Hausdorffa (w szczególności metryczna) X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy w każdego jej pokrycie otwarte można wpisać pokrycie skończone.

7. Udowodnij, że suma skończenie wielu zbiorów zwartych jest zwarta.

8. Udowodnij, że jeśli A jest zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej X, to A jest domknięte w X.

9. Udowodnij, że jeśli A jest domkniętym podzbiorem iloczynu kartezjańskiego
przestrzeni metrycznej X i przestrzeni zwartej Y, to obraz π_X(A) zbioru A przy rzutowaniu na zbiór X jest domknięty w X.

10. Podaj przykład pokazujący, że założenie zwartości w poprzednim zadaniu jest istotne.

11. Udowodnij, że przestrzeń metryczna X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda funkcja ciągła z X w prostą euklidesową jest ograniczona.

12. Udowodnij, że przekształcenie
przestrzeni metrycznej X w przestrzeń zwartą Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy wykres
funkcji
jest domkniętym podzbiorem iloczynu
.

13. Podaj przykład pokazujący, że założenie zwartości w poprzednim zadaniu jest istotne.

14. Udowodnij, że jeśli A jest zwartym podzbiorem przestrzeni topologicznej X, a B takim podzbiorem X, że
, to w X istnieją zbiory otwarte U i V takie, że
.
15.Wykazać, że jeżeli A jest podzbiorem domkniętym i ograniczonym prostej, to kres dolny zbioru A i kres górny zbioru A do zbioru A należą.
16. Udowodnij, że podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty wtedy i tylko wtedy,

gdy jest domknięty i ograniczony.

IX. PRZESTRZENIE ZUPEŁNE.

1. Które z następujących podprzestrzeni prostej są zupełne: [-1,1], Q, [0,1),
, {1,2,3,4,5,6,7}, N,
,
, [0,2]\{1}, P, Z?

2. Które z następujących podprzestrzeni płaszczyzny z metryką euklidesową są zupełne:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
?

3. Które z następujących podprzestrzeni płaszczyzny z metryką „rzeka” są zupełne:

A=
, B=
, C=
, D=
?

Odpowiedź uzasadnij.

4. Które z następujących podprzestrzeni płaszczyzny z metryką kolejową są zupełne:

A =
, B=
, C =
, D=
, E=
, F=
, G=
, H=
?

5. Udowodnij, że jeśli A jest zupełnym podzbiorem przestrzeni metrycznej X, to A jest domknięte w X.

6. Udowodnij, że jeśli w przestrzeni metrycznej X prawdziwe jest Twierdzenie Cantora, to przestrzeń X jest zupełna.

7. Podaj przykład pokazujący, że zupełność nie jest niezmiennikiem homeomorfizmów.

8. Czy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od początku układu współrzędnych jest liczbą niewymierną można przedstawić w postaci sumy przeliczalnie wielu domkniętych podzbiorów płaszczyzny R²?

9. Udowodnij, że jeśli X jest otwartą podprzestrzenią przestrzeni zupełnej, to w X prawdziwe jest twierdzenie Baire'a.

10. Czy zbiór liczb wymiernych Q można przedstawić w postaci części wspólnej przeliczalnie wielu otwartych podzbiorów prostej rzeczywistej R?

11. Czy zbiór liczb niewymiernych P można przedstawić w postaci sumy przeliczalnie wielu domkniętych podzbiorów prostej rzeczywistej R?

12. Korzystając z zadań7 i 17 z rozdziału VII oraz 8 z rozdziału II udowodnij, że otwarty podzbiór przestrzeni zupełnej jest homeomorficzny z przestrzenią zupełną.

X. PRZESTRZENIE SPÓJNE.

1.Opisz wszystkie podzbiory spójne prostej.

2. Niech

będą podprzestrzeniami płaszczyzny
z metryką „rzeka”.

Które z tych przestrzeni są spójne? Odpowiedź uzasadnij, a w przypadku odpowiedzi negatywnej wskaż składowe przestrzeni.

3. Udowodnij, że ciągły obraz przestrzeni spójnej jest spójny.

4. Wykaż, że przestrzeń X jest spójna wtedy i tylko wtedy gdy nie istnieje ciągłe przekształcenie przestrzeni X na dwupunktową przestrzeń dyskretną D.

5. Udowodnij, że suma dowolnej rodziny zbiorów spójnych o niepustym przecięciu jest spójna.

6. Udowodnij, że jeśli przestrzeń X można przedstawić w postaci sumy
, gdzie wszystkie przestrzenie
są spójne oraz dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość
, to przestrzeń X jest spójna.

7. Udowodnij, że każde przekształcenie ciągłe odcinka domkniętego w siebie posiada punkt stały.

8. Podaj przykład funkcji nieciągłej f: R → R, która przekształca podzbiory spójne na spójne.

---