PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W CHEŁMIE 
INSTYTUT NAUK TECHNICZNYCH 

Laboratorium Mechaniki Płynów 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ćwiczenie 1

 

Powierzchnia cieczy wirujących 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Opracował: dr inż. Dariusz Mika 

 

1.  Wprowadzenie teoretyczne 
. 

Niech dana będzie ciecz w naczyniu wirującym ze stałą prędkością ω. Znajduje się ona w 

stanie względnego spoczynku, tzn. nie podlega przyspieszeniu (dv/dt=0) względem naczynia. 
Powyższe  zagadnienie  jest  więc  zagadnieniem  statycznym  i  opisane  jest  równaniem 
równowagi cieczy w postaci: 

0

)

(







p

F





                                                       (1) 

gdzie:   

ρ - gęstość masy [ kg/m

3

 ]; 

F - Jednostkowa siła masowa [N/m

3

]; 

p - ciśnienie [Pa]. 



- operator gradientu 

W potencjalnym polu sił 

 

)

(U

F







                                                           (2) 

 

Funkcję U nazywamy potencjałem wektorowego pola sił F. Podstawiając (2) do (1) 
otrzymujemy: 
 

)

(

)

(

p

U









                                                     (3) 

 
 

Powierzchnią  ekwipotencjalną  nazywa  się  taką  powierzchnię,  na  której  w  każdym  jej 

punkcie potencjał jest jednakowy. 

Z  równania  (3)  widać,  że  przy  p=const,  powierzchnie  stałego  potencjału  U  są 

powierzchniami stałego ciśnienia p. 

Rozpisując  równanie  wektorowe  (1)  we  współrzędnych    x

,  

y

,  

z  otrzymuje  się  trzy 

równania skalarne: 

x

p

X









                                                               (4a) 

y

p

Y









                                                               (4b) 

 

z

p

Z









                                                               (4c) 

gdzie: X,Y,Z - składowe jednostkowej siły masowej F. 

Mnożąc  (4.a),(4.b),(4.c)  przez  odpowiednie  przyrosty  współrzędnych  dx,  dy,  dz, 

dodając stronami i wyciągając ρ przed nawias otrzymuje się: 

dz

z

p

dy

y

p

dx

x

p

Zdz

Ydy

Xdx























)

(



                             (5) 

dp

dU





                                                                           (6) 

 

gdzie: 
dU - różniczka zupełna potencjału U; 
dp - różniczka zupełna ciśnienia p; 
 

Na powierzchni ekwipotencjalnej musi być spełniony warunek stałości potencjału U = 

const, czyli dU = 0 stąd: 

 

0









Zdz

Ydy

Xdx

dU

                                                           (7) 

 

Współrzędne jednostkowej siły masowej od siły odśrodkowej i siły ciężkości wyrażone 

są wzorami: 

 

x

X

2





                                                                            (8a) 

y

Y

2





                                                                            (8b) 

g

Z





                                                                               (8c) 

 

gdzie

:

 

x,y,z - współrzędne położenia; 

ω - prędkość obrotowa wirującej cieczy; 

g - przyspieszenie ziemskie. 

 

Przy wykorzystaniu równań  (8a), (8b), (8c)  równanie (7) przyjmuje pozostać: 

 

0

)

(

2

2









dz

g

ydy

xdx





                                                            (9) 

 

stąd po scałkowaniu 
 

const

gz

y

x







2

2

2

2

2

2





                                                          (10) 

 

Równanie  (10)  jest  równaniem  rodziny  powierzchni  ekwipotencjalnych.  Dla  z  =  z

0

  

otrzymuje się powierzchnię swobodną opisana równaniem paraboloidy obrotowej: 

 
 

0

2

2

2

gz

gz

R









                                                                (11) 

 

gdzie: 
R=x

2

+y

2

  

z

0

 - współrzędna z-towa najniższego punktu powierzchni swobodnej 

 

W przypadku naszego ćwiczenia pomijamy zmiany kształtu powierzchni swobodnej w 

kierunku  osi  y  (mała  grubość  komórki  z  pleksi).  Równanie  powierzchni  swobodnej  (10) 
przyjmuje więc postać: 
 

const

gz

x





2

2

2



                                                            (12) 

stąd: 
 

c

g

x

z





2

2

2



                                                                  (13) 

Jest  to  równanie  paraboli.  Stałą  całkowania  c  wyznaczamy  przy  założeniu,  że  oś  x 

znajduje się na powierzchni cieczy przy  ω = 0 a oś z jest osią obrotu.  Korzystając z zasady 
zachowania masy i założeniu o nieściśliwości cieczy, otrzymujemy 
 





a

zdx

0

0                                                                     (14) 

 
zakładając,  że  2a  jest  szerokością  komórki.  Stąd  miejsce  najniższego  punktu  powierzchni 
swobodnej cieczy 
 
 

 

g

a

c

6

2

2







                                                                  (15) 

 

Ostatecznie równanie (13) przyjmuje postać: 
 

g

a

g

x

z

6

2

2

2

2

2









                                                           (16) 

 

Zależność tą można przedstawić w ogólności jako: 
 

2

2





b

x

z





                                                           (17) 

 

gdzie: 

g

2

2







                                                                                                                                   (18) 

g

a

b

6

2





                                                                                                                                 (19)

 

 
Wszystkie  parabole  tego  typu  niezależnie  od  prędkości  obrotowej  ω  przecinają  się  w  tych 
samych punktach. Punkt ten wyznaczamy z równania (16) oraz warunku z=0 

 

                                                             

3

1

,

0

a

x



     

3

2

,

0

a

x





                                                         

(20)

 

 
 

2.  Cele ćwiczenia 

 

 

Celem  ćwiczenia  jest  poznanie  zjawiska  równowagi  cieczy  w  naczyniu  wirującym, 

form  matematycznego  opisu  jego  modelu  fizycznego  oraz  metod  pomiaru  parametrów 
charakteryzujących  warunki  równowagi.  Szczególną  uwagę  należy  zwrócić  na  statyczny 
charakter rozważanego zjawiska. 

3.      Zadania 

 

a)  określić kształt powierzchni swobodnej cieczy wirującej, 

b) wyznaczyć zależność położenia najniższego punktu powierzchni 

swobodnej cieczy wirującej c od prędkości obrotowej ω oraz ω

2

, 

c) doświadczalnie sprawdzić teoretyczną zależność (17).

 

 

4.     Przebieg ćwiczenia. 
 

Odpowiednio zestawione stanowisko pomiarowe  przedstawiono na Rysunku 1. Wodę, 

do  której  dodano  nie  wielką  ilość  błękitu  metylenowego,  należy  wprowadzić  do  komórki. 
Wysokość  powierzchni  cieczy  należy  wybrać  tak,  aby  pokrywała  się  z  poziomą  linią  na 
"pleksi" płytki, ponad którą wydrukowano 3 parabole.  

  

Rys. 1 Stanowisko do badania parametrów powierzchni swobodnej wirującej cieczy. 

 

Do  wyznaczenia  najniższego  punktu  i  krzywizny  powierzchni  cieczy,  do  prowadnicy 

komórki,  wraz  z  płytką  z  pleksiglasu,  wciśnięta  jest  folia  z  osiami  współrzędnych.  Aby 
zapewnić  stałą  prędkość,  ważne  jest,  aby  pas  napędowy  między  silnikiem  i  podstawą 
łożyskową był naciągnięty, a komórka mocno przykręcona. 

Ponieważ  komórka  jest  zamknięta  od  góry,  za  wyjątkiem  małego  otworu  do 

napełniania, można wybrać wyższe prędkości kątowe. 

Do  pomiaru  prędkości  kątowej  ω,  służy  ekran  ze  sztywnej  płytki  o  szerokości  1  cm, 

przyklejony do dna lub jednej z krawędzi komórki. Podczas obracania, przerywa on strumień 
światła wewnątrz fotobramki, która jest w trybie pracy

 . Włącza i wyłącza licznik tylko 

jeśli  komórka wykonuje pełny obrót, a  ekran ponownie przetnie strumień światła. Prędkość 
kątową oblicza się z wyznaczonego okresu: 

T





2



 

 

5.   Opracowanie wyników pomiaru. 
 

Należy  wyznaczyć  krzywą  przedstawiającą  zależność  c[m]-ω[rad/s

1

]  oraz  c[m]-

ω

2

[rad

2

/s

2

]. 

 

 

 

Rys.  2.  Położenie najniższego punktu c cieczy w zależności od prędkości 

kątowej. c[m]-ω[s

-1

] 

 

 

 

Rys.  3.  Położenie najniższego punktu c cieczy w zależności od kwadratu prędkości 

kątowej. c[m]-ω

2

[s

-2

] 

 

Zależność  (16)  opisującą  kształt  powierzchni  swobodnej  wirującej  cieczy  możemy 

przedstawić w postaci ogólnej jako: 
 

c

x

z





2



                                                                  (21) 

 
Współczynnik  proporcjonalności  α  wyznaczamy  doświadczalnie  z  warunku    z=0  oraz 

zależności (21). 

 

2

0

x

c







                                                                     (22) 

 
Zadanie  c)  polega    na  teoretycznym  wyliczeniu  parametrów  b  i  α  (zależności  (18)  i 

(19))  i  porównaniu  ich  z  wynikami  doświadczenia.  Współczynnik  b  wyznaczamy 
doświadczalnie  z  nachylenia  wykresu  zależności 

2





c

  (należy  przeprowadzić  regresję 

liniową  otrzymanych  wyników  doświadczenia).  Natomiast  współczynnik  α  wyznaczamy  z 
zależności (22).  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Zadanie do wykonania: 

  1.   Wyznaczyć zależność c[m]-ω[rad/s

1

] oraz c[m]-ω

2

[rad

2

/s

-2

]. 

2.  Na  podstawie  otrzymanych  wyników  pomiaru  wyznaczyć  współczynniki 
proporcjonalności b i α. 
 
Szerokość komórki z pleksi: 2a=13,9cm. 
 
Tabela ćwiczeniowa: 

Lp. 

n 





s

rad

n

/

60

2







 

ω

2 

[rad

2

/s

2

] 

c 

[m] 

x

0 

[m] 

2

0

x

c







 

1. 

 

 

 

 

 

 

2. 

 

 

 

 

 

 

3. 

 

 

 

 

 

 

4. 

 

 

 

 

 

 

5. 

 

 

 

 

 

 

6. 

 

 

 

 

 

 

7. 

 

 

 

 

 

 

8. 

 

 

 

 

 

 

9. 

 

 

 

 

 

 

10. 

 

 

 

 

 

 

 
 
 

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Chełmie 

Laboratorium Me

chaniki Płynów

 

Laboratorium mechaniki płynów, ćwiczenie nr 1

 

 

Temat ćwiczenia: „Powierzchnia cieczy wirujących”

 

Imię i nazwisko

 

Grupa

 

Semestr/rok akademicki

 

Prowadzący

 

Data wykonania ćwiczenia/godz.

 

Ocena