PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W CHEŁMIE
INSTYTUT NAUK TECHNICZNYCH

Laboratorium Mechaniki Płynów

Ćwiczenie 1

Powierzchnia cieczy wirujących

Opracował: dr inż. Dariusz Mika

1. Wprowadzenie teoretyczne
.

Niech dana będzie ciecz w naczyniu wirującym ze stałą prędkością ω. Znajduje się ona w

stanie względnego spoczynku, tzn. nie podlega przyspieszeniu (dv/dt=0) względem naczynia.
Powyższe zagadnienie jest więc zagadnieniem statycznym i opisane jest równaniem
równowagi cieczy w postaci:

0

)

(







p

F





(1)

gdzie:

ρ - gęstość masy [ kg/m

3

];

F - Jednostkowa siła masowa [N/m

3

];

p - ciśnienie [Pa].



- operator gradientu

W potencjalnym polu sił

)

(U

F







(2)

Funkcję U nazywamy potencjałem wektorowego pola sił F. Podstawiając (2) do (1)
otrzymujemy:

)

(

)

(

p

U









(3)

Powierzchnią ekwipotencjalną nazywa się taką powierzchnię, na której w każdym jej

punkcie potencjał jest jednakowy.

Z równania (3) widać, że przy p=const, powierzchnie stałego potencjału U są

powierzchniami stałego ciśnienia p.

Rozpisując równanie wektorowe (1) we współrzędnych x

,

y

,

z otrzymuje się trzy

równania skalarne:

x

p

X









(4a)

y

p

Y









(4b)

z

p

Z









(4c)

gdzie: X,Y,Z - składowe jednostkowej siły masowej F.

Mnożąc (4.a),(4.b),(4.c) przez odpowiednie przyrosty współrzędnych dx, dy, dz,

dodając stronami i wyciągając ρ przed nawias otrzymuje się:

dz

z

p

dy

y

p

dx

x

p

Zdz

Ydy

Xdx























)

(



(5)

dp

dU





(6)

gdzie:
dU - różniczka zupełna potencjału U;
dp - różniczka zupełna ciśnienia p;

Na powierzchni ekwipotencjalnej musi być spełniony warunek stałości potencjału U =

const, czyli dU = 0 stąd:

0









Zdz

Ydy

Xdx

dU

(7)

Współrzędne jednostkowej siły masowej od siły odśrodkowej i siły ciężkości wyrażone

są wzorami:

x

X

2





(8a)

y

Y

2





(8b)

g

Z





(8c)

gdzie

:

x,y,z - współrzędne położenia;

ω - prędkość obrotowa wirującej cieczy;

g - przyspieszenie ziemskie.

Przy wykorzystaniu równań (8a), (8b), (8c) równanie (7) przyjmuje pozostać:

0

)

(

2

2









dz

g

ydy

xdx





(9)

stąd po scałkowaniu

const

gz

y

x







2

2

2

2

2

2





(10)

Równanie (10) jest równaniem rodziny powierzchni ekwipotencjalnych. Dla z = z

0

otrzymuje się powierzchnię swobodną opisana równaniem paraboloidy obrotowej:

0

2

2

2

gz

gz

R









(11)

gdzie:
R=x

2

+y

2

z

0

- współrzędna z-towa najniższego punktu powierzchni swobodnej

W przypadku naszego ćwiczenia pomijamy zmiany kształtu powierzchni swobodnej w

kierunku osi y (mała grubość komórki z pleksi). Równanie powierzchni swobodnej (10)
przyjmuje więc postać:

const

gz

x





2

2

2



(12)

stąd:

c

g

x

z





2

2

2



(13)

Jest to równanie paraboli. Stałą całkowania c wyznaczamy przy założeniu, że oś x

znajduje się na powierzchni cieczy przy ω = 0 a oś z jest osią obrotu. Korzystając z zasady
zachowania masy i założeniu o nieściśliwości cieczy, otrzymujemy





a

zdx

0

0 (14)

zakładając, że 2a jest szerokością komórki. Stąd miejsce najniższego punktu powierzchni
swobodnej cieczy

g

a

c

6

2

2







(15)

Ostatecznie równanie (13) przyjmuje postać:

g

a

g

x

z

6

2

2

2

2

2









(16)

Zależność tą można przedstawić w ogólności jako:

2

2





b

x

z





(17)

gdzie:

g

2

2







(18)

g

a

b

6

2





(19)

Wszystkie parabole tego typu niezależnie od prędkości obrotowej ω przecinają się w tych
samych punktach. Punkt ten wyznaczamy z równania (16) oraz warunku z=0

3

1

,

0

a

x



3

2

,

0

a

x





(20)

2. Cele ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest poznanie zjawiska równowagi cieczy w naczyniu wirującym,

form matematycznego opisu jego modelu fizycznego oraz metod pomiaru parametrów
charakteryzujących warunki równowagi. Szczególną uwagę należy zwrócić na statyczny
charakter rozważanego zjawiska.

3. Zadania

a) określić kształt powierzchni swobodnej cieczy wirującej,

b) wyznaczyć zależność położenia najniższego punktu powierzchni

swobodnej cieczy wirującej c od prędkości obrotowej ω oraz ω

2

,

c) doświadczalnie sprawdzić teoretyczną zależność (17).

4. Przebieg ćwiczenia.

Odpowiednio zestawione stanowisko pomiarowe przedstawiono na Rysunku 1. Wodę,

do której dodano nie wielką ilość błękitu metylenowego, należy wprowadzić do komórki.
Wysokość powierzchni cieczy należy wybrać tak, aby pokrywała się z poziomą linią na
"pleksi" płytki, ponad którą wydrukowano 3 parabole.

Rys. 1 Stanowisko do badania parametrów powierzchni swobodnej wirującej cieczy.

Do wyznaczenia najniższego punktu i krzywizny powierzchni cieczy, do prowadnicy

komórki, wraz z płytką z pleksiglasu, wciśnięta jest folia z osiami współrzędnych. Aby
zapewnić stałą prędkość, ważne jest, aby pas napędowy między silnikiem i podstawą
łożyskową był naciągnięty, a komórka mocno przykręcona.

Ponieważ komórka jest zamknięta od góry, za wyjątkiem małego otworu do

napełniania, można wybrać wyższe prędkości kątowe.

Do pomiaru prędkości kątowej ω, służy ekran ze sztywnej płytki o szerokości 1 cm,

przyklejony do dna lub jednej z krawędzi komórki. Podczas obracania, przerywa on strumień
światła wewnątrz fotobramki, która jest w trybie pracy

. Włącza i wyłącza licznik tylko

jeśli komórka wykonuje pełny obrót, a ekran ponownie przetnie strumień światła. Prędkość
kątową oblicza się z wyznaczonego okresu:

T





2



5. Opracowanie wyników pomiaru.

Należy wyznaczyć krzywą przedstawiającą zależność c[m]-ω[rad/s

1

] oraz c[m]-

ω

2

[rad

2

/s

2

].

Rys. 2. Położenie najniższego punktu c cieczy w zależności od prędkości

kątowej. c[m]-ω[s

-1

]

Rys. 3. Położenie najniższego punktu c cieczy w zależności od kwadratu prędkości

kątowej. c[m]-ω

2

[s

-2

]

Zależność (16) opisującą kształt powierzchni swobodnej wirującej cieczy możemy

przedstawić w postaci ogólnej jako:

c

x

z





2



(21)

Współczynnik proporcjonalności α wyznaczamy doświadczalnie z warunku z=0 oraz

zależności (21).

2

0

x

c







(22)

Zadanie c) polega na teoretycznym wyliczeniu parametrów b i α (zależności (18) i

(19)) i porównaniu ich z wynikami doświadczenia. Współczynnik b wyznaczamy
doświadczalnie z nachylenia wykresu zależności

2





c

(należy przeprowadzić regresję

liniową otrzymanych wyników doświadczenia). Natomiast współczynnik α wyznaczamy z
zależności (22).

Zadanie do wykonania:

1. Wyznaczyć zależność c[m]-ω[rad/s

1

] oraz c[m]-ω

2

[rad

2

/s

-2

].

2. Na podstawie otrzymanych wyników pomiaru wyznaczyć współczynniki
proporcjonalności b i α.

Szerokość komórki z pleksi: 2a=13,9cm.

Tabela ćwiczeniowa:

Lp.

n





s

rad

n

/

60

2







ω

2

[rad

2

/s

2

]

c

[m]

x

0

[m]

2

0

x

c







1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Chełmie

Laboratorium Me

chaniki Płynów

Laboratorium mechaniki płynów, ćwiczenie nr 1

Temat ćwiczenia: „Powierzchnia cieczy wirujących”

Imię i nazwisko

Grupa

Semestr/rok akademicki

Prowadzący

Data wykonania ćwiczenia/godz.

Ocena