MATEMATYKA KROK PO KROKU
PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKI
W KLASACH I III GIMNAZJUM
Autorzy: prof. dr hab. Jacek M. Jêdrzejewski
prof. dr hab. Ryszard J. Pawlak
mgr Kinga Ga³¹zka
mgr Edward Lesiak
Program zosta³ zatwierdzony i dopuszczony
do u¿ytku szkolnego przez Ministra Edukacji Narodowej.
Numer dopuszczenia DKW-4014-91/99.
MATEMATYKA KROK PO KROKU. PROGRAM NAUCZANIA
MATEMATYKI W KLASACH I-III GIMNAZJUM jest oparty na
Podstawie programowej kszta³cenia ogólnego dla szkó³ podsta-
wowych i gimnazjów.
© Copyright by Wydawnictwo Edukacyjne
RES POLONA Sp. z o.o.
ISBN 83-7071-158-8
Wydawca:
Wydawnictwo Edukacyjne RES POLONA Sp. z o.o.
90-613 £ód, ul. Gdañska 80, tel. (0-42) 636-36-34,
fax (0-42) 637-30-10
e-mail: info@res-polona.com.pl
Recenzenci
dr Alicja Molêda
mgr Leokadia Koper
Projekt ok³adki
Barbara Zawadzka
Redaktor
Alicja Laskowska
Redaktor techniczny
Zofia Wasiak
Wszelkie prawa zastrze¿one. Ksi¹¿ka ta zarówno
w c a³oc i, jak i we fragmentac h nie mo¿e byæ re-
produkowana w sposób elektroniczny, fotograficz-
ny i inny bez pisemnego zezwolenia Wydawcy.
Spis treci
Za³o¿enia ogólne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Szczegó³owe cele kszta³cenia
matematycznego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Za³o¿enia szczegó³owe programu . . . . . . . . .
6
Propozycje metod oceny osi¹gniêæ uczniów .
9
Ogólny uk³ad materia³u w gimnazjum. . . . . . 14
Orientacyjny przydzia³ godzin. . . . . . . . . . . . 15
Materia³ nauczania
Klasa I
Liczby wymierne i niewymierne . . . . . . . . . . 19
Wyra¿enia algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Równania i nierównoci. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Zbieranie i porz¹dkowanie danych . . . . . . . . 29
Zwi¹zki miarowe w figurach . . . . . . . . . . . . . 30
Klasa II
Liczby rzeczywiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Wyra¿enia algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Funkcje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Równania i nierównoci. . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Relacje miêdzy figurami
geometrycznymi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Pole figury p³askiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Zbieranie i porz¹dkowanie danych . . . . . . . . 48
Klasa III
Liczby rzeczywiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Wyra¿enia algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Równania, nierównoci
i uk³ady równañ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Dowiadczenia losowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Przekszta³cenia geometryczne . . . . . . . . . . . . 59
Zwi¹zki miarowe w trójk¹cie . . . . . . . . . . . . 61
Figury przestrzenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5
Za³o¿enia ogólne
Opracowuj¹c program Matematyka krok po kroku chcie-
limy, aby uczniowie krok po kroku" zdobywali wiedzê mate-
matyczn¹, aby matematyka wyda³a im siê nauk¹ ciekaw¹, mo¿liw¹
do zrozumienia i opanowania. Mamy wiêc nadziejê, ¿e program
ten bêdzie programem przyjaznym zarówno dla ucznia jak i dla
nauczyciela. Nasz program nie jest nadmiernie prze³adowany tre-
ciami. D¹¿ymy do tego, by uczniowie zdobywali nie tylko wiado-
moci, ale przede wszystkim umiejêtnoci pozwalaj¹ce na szeroko
pojête wykorzystanie matematyki. Chcemy, aby matematyka roz-
budza³a wyobraniê, pozwala³a spostrzegaæ zjawiska zachodz¹ce
w otaczaj¹cej nas rzeczywistoci.
Program Matematyka krok po kroku zosta³ opracowany dla
klas IIII gimnazjum. Jest on tak skonstruowany, aby mo¿liwa
by³a realizacja wszystkich zagadnieñ przewidzianych dla edukacji
matematycznej w Podstawie programowej kszta³cenia ogólnego,
a uczeñ uzyska³ przewidziane tam umiejêtnoci.
Tworz¹c program, bardzo dok³adnie analizowalimy Podstawê
programow¹ dla szko³y podstawowej i oparlimy siê na umiejêt-
nociach, jakie powinni zdobyæ wszyscy uczniowie koñcz¹cy
szko³ê podstawow¹. Tak wiêc program Matematyka krok po
kroku mo¿e byæ realizowany w ka¿dym gimnazjum, niezale¿nie
od tego, wed³ug którego programu (opartego na Podstawie pro-
gramowej) byli nauczani uczniowie w szkole podstawowej.
Zak³adalimy, ¿e zgodnie z Ramowymi planami nauczania pro-
ponowanymi przez MEN, tygodniowa liczba godzin w cyklu
bêdzie wynosi³a 12 (4 godziny w ka¿dej klasie).
Realizacja programu Matematyka krok po kroku nie wymaga
specjalnych warunków bazowych. Niemniej jednak uwa¿amy, ¿e
do w³aciwej realizacji programu niezbêdne jest wykorzystanie
podstawowych pomocy dydaktycznych, w które wyposa¿ona jest
ka¿da szko³a. Zachêcamy równie¿ nauczycieli i uczniów do ko-
rzystania ze szkolnych programów informatycznych i pos³ugiwa-
nia siê dostêpnymi komputerowymi programami matematyczny-
mi, a tak¿e bazami danych i arkuszami kalkulacyjnymi. Wyko-
rzystanie ich w pracy dydaktycznej uatrakcyjni proces naucza-
niauczenia siê, a tak¿e wprowadzi element zaciekawienia,
pozwalaj¹cy na wskazanie zastosowañ matematyki.
Realizuj¹c program Matematyka krok po kroku, mo¿na
bêdzie wykorzystywaæ ró¿nego rodzaju materia³y napisane do
nowego typu szko³y, jakim jest gimnazjum. Najdogodniejsz¹ jed-
nak realizacjê tego programu zapewni¹ materia³y dydaktyczne
opracowane i wydane pod wspólnym tytu³em Matematyka krok
po kroku, które zawieraæ bêd¹ oprócz podrêcznika i poradnika
dla nauczyciela równie¿ dodatkowe materia³y pomocnicze.
Szczegó³owe cele kszta³cenia matematycznego
Nauczanie matematyki w szkole nowego typu, jakim jest gim-
nazjum, ma za zadanie nie tylko zapoznaæ uczniów z podstawo-
wymi pojêciami matematycznymi i ich w³asnociami, ale przede
wszystkim powinno byæ nakierowane na wspieranie rozwoju ucz-
nia.
Nale¿y d¹¿yæ wiêc do tego, aby ucz¹c matematyki pomóc ucz-
niowi zrozumieæ i poznaæ wiat poprzez:
rozwijanie jego uzdolnieñ i zainteresowañ,
rozwijanie samodzielnego, logicznego i twórczego mylenia,
rozwijanie umiejêtnoci wyci¹gania wniosków, stawiania
hipotez i ich weryfikowania,
6
kszta³cenie umiejêtnoci precyzyjnego wyra¿ania myli,
stawiania problemów i ich rozwi¹zywania w twórczy sposób.
Nie nale¿y jednak rezygnowaæ z realizacji typowo matematycz-
nych celów nauczania, jakimi s¹:
poznanie podstawowych pojêæ i faktów matematycznych,
rozumienie poznanych pojêæ i faktów matematycznych,
stosowanie poznanych faktów matematycznych do rozwi¹zy-
wania problemów matematycznych,
analizowanie otrzymanych rozwi¹zañ.
Nikogo nie trzeba przekonywaæ, ¿e matematykê odnajdujemy
w niemal ka¿dej dziedzinie wiedzy. Przyk³ady prostych zastoso-
wañ matematyki widzimy w ka¿dej transakcji kupna i sprzeda¿y.
Trudniejsze do zauwa¿enia s¹ zastosowania matematyki do teore-
tycznego opisu zjawisk fizycznych, b¹d opisu zachowañ grup lu-
dzi, czy analizy ekonomicznej wielu zdarzeñ z ¿ycia gospodarcze-
go. Dalszymi celami kszta³cenia matematycznego s¹ zatem te,
które pozornie nie wi¹¿¹ siê z teoretycznymi zagadnieniami
matematyki. Wród nich wymienimy:
matematyzowanie danych sytuacji (z ró¿nych dziedzin nauki
i ¿ycia),
stosowanie metod matematycznych do opisu i interpretacji
danej sytuacji,
przeprowadzanie dyskusji o sposobach rozwi¹zania pro-
blemów z ró¿nych dziedzin ¿ycia,
poszukiwanie pojêæ i formu³owanie ich definicji, przydat-
nych do rozwi¹zania danego problemu,
wykorzystanie nowoczesnych rodków technicznych,
rozumienie i stosowanie pojêæ statystyki matematycznej.
Szczegó³owe wskazówki do realizacji wy¿ej wymienionych
celów podamy w poradniku metodycznym dla nauczyciela.
Za³o¿enia szczegó³owe programu
Program Matematyka krok po kroku jest tak skonstruo-
wany, ¿e przy jego realizacji najpierw uczniowie przypominaj¹ so-
bie podstawowe, wczeniej poznane, pojêcia i ich w³asnoci, a do-
piero potem poszerzaj¹ swoje podstawy matematyczne i rozwijaj¹
zdolnoci obejmuj¹ce cis³e i precyzyjne rozumowanie, umiejêt-
noæ widzenia matematyki w problemach ¿ycia codziennego,
a tak¿e umiejêtnoæ poszukiwania rozwi¹zañ tych problemów
w drodze matematycznego rozumowania.
Przy realizacji programu nie narzucamy stosowania okrelo-
nych metod nauczania. Tylko nauczyciel jest w stanie okreliæ, ja-
kie metody powinny byæ zastosowane w pracy z uczniami. Zwra-
camy jednak uwagê na to, ¿e stosowanie metod aktywizuj¹cych
pracê ucznia, jak i wprowadzanie czynnociowego nauczania
matematyki, mo¿e spowodowaæ lepsze zrozumienie treci, a przez
to ³atwiejsze opanowanie materia³u i nabycie niezbêdnych umiejêt-
noci.
Aby uczeñ móg³ sprawnie funkcjonowaæ w rzeczywistoci,
nale¿y przygotowaæ go równie¿ do:
samodzielnego uczenia siê, wykorzystywania dostêpnych
podrêczników, encyklopedii i innych publikacji,
odczytywania i interpretowania innych ni¿ tekstowe róde³
informacji,
wyci¹gania wniosków i uogólniania,
dokonywania refleksji i oceny w³asnego procesu uczenia siê,
7
wspó³pracy w grupie i organizowania jej pracy,
efektywnego komunikowania siê w ró¿nych sytuacjach.
Nie mo¿na wiêc zapominaæ o stwarzaniu takich sytuacji dydak-
tycznych, dziêki którym uczniowie dostrzeg¹ wokó³ siebie proble-
my, które mo¿na analizowaæ, wykorzystuj¹c wiedzê matema-
tyczn¹ (np. analizowanie informacji prasowych dotycz¹cych za-
gadnieñ ekologicznych). Na lekcjach matematyki proponujemy
równie¿ rozwi¹zywanie zadañ zwi¹zanych z pojêciami fizyczny-
mi, chemicznymi, geograficznymi, biologicznymi i innymi.
Szczególn¹ uwagê pragniemy zwróciæ te¿ na zastosowania fak-
tów matematycznych do opisywania i interpretacji problemów
ekonomicznych. Zachêcamy uczniów, aby korzystaj¹c z ró¿nego
rodzaju informacji (np. podanych przez nauczyciela, zawartych
w podrêczniku, roczniku statystycznym) opisywali je jêzykiem
matematyki i wyci¹gali wnioski. Mog¹ to byæ problemy zwi¹zane
np. z oprocentowaniem wk³adów, opodatkowaniem. Warto w tym
miejscu wprowadziæ pojêcie funkcji i zastosowaæ je do opisu i in-
terpretacji tych zjawisk.
W gimnazjum przyzwyczajamy uczniów do samodzielnego
czytania tekstów matematycznych, zwracaj¹c uwagê na umiejêt-
noæ wyszukiwania przez ucznia potrzebnego mu do pracy frag-
mentu. Szczególn¹ uwagê zwracamy na czytanie ze zrozumieniem
definicji oraz twierdzeñ. D¹¿ymy przy tym do wykszta³cenia umie-
jêtnoci budowania przyk³adów i kontrprzyk³adów zwi¹zanych
z danymi definicjami i twierdzeniami. Zachêcamy uczniów do
samodzielnego formu³owania definicji oraz analizy poprawnoci
tych definicji. Przyzwyczajamy uczniów do sprawdzania, czy
spe³nione s¹ za³o¿enia twierdzenia. Analizujemy sytuacje, gdy
odwrócenie ról za³o¿enia i tezy nie jest mo¿liwe. Zwracamy uwagê
na ró¿nicê pomiêdzy twierdzeniem a hipotez¹.
Pracuj¹c z programem Matematyka krok po kroku, nauczy-
ciele mog¹ realizowaæ zagadnienia zwi¹zane ze cie¿kami eduka-
cyjnymi, proponowanymi w Podstawie programowej kszta³cenia
ogólnego, na lekcjach matematyki, b¹d w czasie odrêbnych zajêæ
modu³owych (odpowiednie przyk³ady bêd¹ przedstawione
w specjalnych materia³ach dydaktycznych dla nauczycieli). I tak
elementy Edukacji filozoficznej i edukacji Kultura polska na tle
tradycji ródziemnomorskiej mo¿na w³¹czyæ do zagadnieñ po-
wiêconych historii matematyki. Najwybitniejsi przedstawiciele
filozofii staro¿ytnej byli przecie¿ z regu³y wybitnymi matematyka-
mi. Poszczególni uczniowie, b¹d grupy uczniów mog¹ przy-
gotowaæ ciekawostki historyczne. Konieczne bêdzie zatem korzy-
stanie z ró¿nych róde³ informacji, segregowanie informacji i do-
skonalenie umiejêtnoci komunikowania siê (mamy tu zatem ele-
menty Edukacji czytelniczej i medialnej). Wplatanie elementów
historii matematyki pozwoli równie¿ na ukazanie zwi¹zków
wspó³czesnej polskiej terminologii matematycznej z jêzykami
klasycznymi i nowo¿ytnymi (elementy edukacji Kultura polska
na tle tradycji ródziemnomorskiej).
Na lekcjach matematyki wdra¿amy uczniów do logicznego i re-
fleksyjnego mylenia, pokazujemy ró¿nice miêdzy wiatem ty-
powo matematycznym a rzeczywistym (np. pokazuj¹c fraktaln¹
geometriê natury). Pomagamy im te¿ w odkrywaniu w³asnej
to¿samoci, przyzwyczajaj¹c ich do samooceny i refleksji nad
w³asnym uczeniem siê.
Okazjê do realizacji zagadnieñ zwi¹zanych z Edukacj¹ pro-
zdrowotn¹ i Edukacj¹ ekologiczn¹ stwarzaj¹ zadania pole-
gaj¹ce na zbieraniu, porz¹dkowaniu i interpretowaniu danych.
Odpowiednio dobrane zadania uwiadomi¹ uczniom w³asn¹ od-
powiedzialnoæ za ochronê swojego zdrowia, wyzwol¹ aktywne
8
postawy wobec zagro¿eñ rodowiska przyrodniczego (dobrym
przyk³adem bêdzie zbieranie i interpretowanie danych na temat
spo¿ywanych pokarmów, natê¿enia ha³asu w najbli¿szym oto-
czeniu itp.).
Wiedzê o kulturze w³asnego regionu i jej zwi¹zkach z kultur¹
narodow¹ mo¿na poszerzaæ, realizuj¹c zagadnienia dotycz¹ce
symetrii (sztuka ludowa). Poznanie historii regionu i jego naj-
wybitniejszych przedstawicieli to powód do z³o¿enia wizyty w lo-
kalnym orodku naukowym, zak³adzie pracy, muzeum itp. Ucznio-
wie mog¹ siê wtedy dowiedzieæ, jak teorie matematyczne mo¿na
zastosowaæ w zagadnieniach praktycznych.
Tematykê zwi¹zan¹ z elementami rodowiska geograficznego
regionu mo¿na wplataæ w realizacjê zagadnieñ dotycz¹cych pla-
nu, skali, mapy.
W ramach zdobywania przez uczniów wiedzy dotycz¹cej obro-
ny cywilnej, analizujemy diagramy obrazuj¹ce wp³yw zanieczy-
szczeñ na rodowisko (np. ród³a promieniowania radioaktywnego
i ich wp³yw na rodowisko).
Dzia³aniami sprzyjaj¹cymi integracji europejskiej bêdzie
udzia³ uczniów w miêdzynarodowych konkursach matematycz-
nych (Kangur Matematyczny), co stworzy nauczycielom mo¿li-
woæ porównania efektów swojej pracy z osi¹gniêciami nauczycie-
li z innych krajów. W zadaniach matematycznych mo¿na wyko-
rzystaæ dane dotycz¹ce gospodarki rynkowej, zamiany walut itp.
Elementy Edukacji czytelniczej i medialnej nale¿y uwzglêd-
niaæ w zasadzie podczas realizacji ka¿dego dzia³u programowego.
Poprzez zachêcanie uczniów do wyszukiwania ró¿nych cieka-
wostek, wdra¿amy ich do korzystania ze zbiorów bibliotecznych
i innych róde³ informacji (np. Internet). Uczniom przygotowu-
j¹cym prace semestralne (projekty) polecamy sporz¹dzanie biblio-
grafii do w³asnych opracowañ. Ró¿ne sposoby pracy z uczniami
(np. lekcje bez s³ów, wplatanie elementów dramy, praca z kompu-
terem) przyzwyczajaj¹ uczniów do ró¿nego sposobu komunikowa-
nia siê (równie¿ niewerbalnego). Odró¿nianiu komunikatów infor-
macyjnych od perswazyjnych bêdzie sprzyja³a analiza og³oszeñ
(np. proponowane oprocentowanie kapita³u w banku).
Realizuj¹c program Matematyka krok po kroku, nie nale¿y
zapominaæ o stwarzaniu takich sytuacji, w których uczeñ bêdzie
pracowa³ nad zadaniami wielopoziomowymi i otwartymi, co da
mu sposobnoæ stawiania pytañ w sytuacjach problemowych oraz
badania mo¿liwoci uzyskania ró¿nych odpowiedzi.
Nasz program nie ma charakteru rozk³adu materia³u. Nauczy-
ciel nie jest wiêc zmuszony do zachowania kolejnoci realizowa-
nych treci. D¹¿ylimy przede wszystkim do tego, aby stworzyæ
przejrzysty uk³ad materia³u pozwalaj¹cy na ³atw¹ orientacjê w pro-
ponowanych treciach.
Treci programowe zosta³y podzielone na klasy, a w ich obrêbie
na dzia³y programowe, has³a, przekazywane treci i umiejêtnoci
(w rubryce: Zak³adane osi¹gniêcia ucznia. Uczeñ potrafi), które
uczeñ powinien zdobyæ w zakresie danej tematyki. Aby u³atwiæ
nauczycielowi realizacjê programu, w rubryce: Opis procedur
osi¹gania celów przedstawiamy sugestie dotycz¹ce realizacji
poszczególnych hase³ oraz zakres, w jakim uczniowie powinni
opanowaæ poszczególne umiejêtnoci, aby krok po kroku
osi¹gn¹æ zamierzone cele. Trzeba pamiêtaæ, ¿e wiele tematów siê
przenika, a poszczególne zagadnienia mog¹ byæ realizowane
w ramach ró¿nych jednostek lekcyjnych. Niektóre problemy nie
musz¹ wystêpowaæ jako samodzielne tematy.
Dobieraj¹c treci programowe, uwzglêdnilimy wymagania za-
warte w Podstawie programowej, jednoczenie staraj¹c siê, aby
9
mo¿liwa by³a realizacja programu w ci¹gu 33 tygodni nauki.
W proponowanych orientacyjnych przydzia³ach godzin staralimy
siê dobraæ tak¹ liczbê godzin, aby zrealizowaæ przewidywane has³a
programowe, a nauczycielowi pozosta³y jeszcze do dyspozycji
godziny, które zagospodaruje w zale¿noci od potrzeb uczniów.
Mog¹ to byæ zajêcia utrwalaj¹ce lub te¿ zajêcia przeznaczone na
pog³êbianie wiedzy, czy te¿ prezentowanie ró¿nych ciekawostek
matematycznych.
Propozycje metod oceny osi¹gniêæ uczniów
W procesie dydaktycznym ocenianie odgrywa niezmiernie
wa¿n¹ rolê. W chwili obecnej dominuje jednak ocenianie intui-
cyjne, w którym uwzglêdniane s¹ na ogó³ nastêpuj¹ce elementy:
wiedza ucznia, wk³ad pracy, mo¿liwoci, aktywnoæ, praca do-
mowa, porównanie na tle klasy, umiejêtnoci. Taki sposób ocenia-
nia daje ma³o informacji nauczycielowi i nie pozwala na okrelenie
mocnych i s³abych stron poszczególnych uczniów.
Wprowadzane zmiany w systemie owiaty spowoduj¹, ¿e
zwiêkszy siê grono osób, które na podstawie oceny bêd¹ chcia³y
uzyskaæ ró¿ne informacje. Istotne jest wiêc, aby nauczyciel,
pracuj¹c z programem Matematyka krok po kroku" korzysta³
z takiego systemu oceniania, który pozwoli mu na uzyskanie
doskonalszego obrazu ucznia, ni¿ tylko poprzez jego ocenê
wyra¿on¹ stopniem.
Planuj¹c proces nauczania, nauczyciel sam musi rozstrzygn¹æ
co, kiedy i w jaki sposób bêdzie oceniane. W planie powinien
uwzglêdniæ podstawowe funkcje oceny szkolnej:
klasyfikuj¹c¹, która pozwala na ocenienie poziomu opano-
wania wiedzy, dokonanie zró¿nicowania i selekcji w zwi¹zku
z wyborem dalszej drogi kszta³cenia, porównanie efektyw-
noci programów, porównanie osi¹gniêæ uczniów ze standar-
dami, przekazanie informacji dla rodowiska i nadzoru,
diagnostyczn¹, która jest u¿yteczna do opisu rozwoju umie-
jêtnoci ucznia, rozpoznawania indywidualnych potrzeb ucz-
nia, okrelania efektywnoci stosowanych metod pracy,
planowania procesu nauczania.
Funkcja diagnostyczna oceny pozwala na przekazanie informa-
cji zwrotnej o czynionych postêpach rodzicom i uczniom, którzy
poczuj¹ siê bardziej odpowiedzialni za efekty pracy. Natomiast
nauczyciel na podstawie analizy poczynionych obserwacji mo¿e
dokonaæ ewaluacji swojego procesu dydaktycznego i wprowadziæ
zmiany, które spowoduj¹ jego udoskonalenie.
W zwi¹zku z wymienionymi funkcjami oceny, mo¿emy wyod-
rêbniæ dwa rodzaje oceniania:
a) wspomagaj¹ce,
b) sumuj¹ce.
10
Rozpatruj¹c funkcje oceny i sposoby oceniania, nale¿y za-
uwa¿yæ, ¿e proces oceniania nie mo¿e ograniczaæ siê do gromadze-
nia ocen i zestawieñ statystycznych, ale powinien byæ integraln¹
czêci¹ procesu nauczania. Tak wiêc ocenianie powinno byæ:
procesem gromadzenia informacji,
integraln¹ czêci¹ procesu edukacyjnego,
wspieraniem szkolnej kariery uczniów i stymulowaniem ich
motywacji do uczenia siê.
Maj¹c zatem na uwadze ocenianie, nauczyciel powinien
uwzglêdniaæ:
planowanie procesu nauczania,
przebieg procesu nauczania,
sposoby zbierania informacji,
sposoby przekazywania informacji,
ewaluacjê procesu edukacyjnego.
Jednym ze sposobów gromadzenia informacji, który proponu-
jemy nauczycielowi, jest arkusz obserwacji ucznia. Pozwala on na
zbieranie ró¿nych informacji, które bêd¹ okrela³y rozwój ucznia.
Oto przyk³ad arkusza obserwacji ucznia, który mo¿e byæ zastoso-
wany w praktyce.
..............................................................................................
Imiê i nazwisko
Analiza treci zadania
Komunikacja
Jêzyk matematyczny
Wnioskowanie
Uogólnianie
Stawianie hipotez
Argumentacja
W arkuszu obserwacji proponujemy stosowanie skali ci¹g³ej.
Znak postawiony bli¿ej lewej strony skali oznacza s³absze poru-
szanie siê ucznia we wskazanym obszarze. Pierwsze informacje do
arkusza obserwacji nale¿y wpisaæ po wstêpnym zapoznaniu siê
z klas¹, np. po pierwszym miesi¹cu nauki. Nastêpne informacje
nale¿y wpisywaæ kolejno przed zakoñczeniem ka¿dego semestru
nauki. Arkusz taki mo¿e funkcjonowaæ przez ca³y cykl kszta³cenia.
Po zakoñczeniu nauki nauczyciel otrzyma obraz absolwenta. Mo¿e
okreliæ wtedy, w których obszarach nast¹pi³ najwiêkszy rozwój,
Ocenianie
wspomagaj¹ce
Ocenianie
sumuj¹ce
Cel
Monitorowanie rozwoju
ucznia.
Selekcja. Monitorowa-
nie systemu szkolnego.
Metody
Wszystkie dostêpne
sposoby, a wiêc: obser-
wacja, rozmowa, ró¿ne
rodzaje i formy prac.
Sprawdziany pisemne
zgodne ze standardami.
Sposoby
notowania
wyników
Sposoby ustalone przez
szko³ê lub nauczyciela,
pozwalaj¹ce opisaæ
ró¿ne aspekty szkolnej
kariery ucznia.
Jakociowe i ilociowe
analizy wyników.
Szczególna
przydatnoæ
Nauczyciel, uczeñ,
rodzice.
klasa
11
a w których najmniejszy. Brak skali stopniowej pozwala oceniæ
ucznia równie¿ na tle klasy. Umo¿liwi to w efekcie koñcowym
dokonanie analizy tempa rozwoju uczniów. Wskazane by³oby, aby
arkusz ten otrzymali uczniowie dla dokonania samooceny. Mo¿li-
we jest wówczas porównanie obserwacji nauczyciela i ucznia, oraz
omówienie ewentualnych rozbie¿noci.
Ocenianie uczniów powoduje, ¿e prze¿ywaj¹ oni ró¿ne emocje,
które motywuj¹ ich do nauki b¹d wywo³uj¹ zniechêcenie.
W praktyce szkolnej powinnimy stosowaæ nastêpuj¹ce zasady
pobudzaj¹ce motywacjê do nauki:
1. Uczniowie s¹ motywowani przez takie sytuacje i czynnoci,
które:
sk³aniaj¹ ich do tego, by osobicie i aktywnie zaanga¿owaæ
siê w naukê,
pozwalaj¹ na wybór i podejmowanie decyzji zgodnie z mo¿-
liwociami ucznia i wymogami postawionego przed nim za-
dania.
2. Motywacja uczniów zwiêksza siê, gdy postrzegaj¹ zadania
szkolne jako:
bezporednio lub porednio zwi¹zane z osobistymi potrze-
bami, zainteresowaniami i celami,
takie, które maj¹ odpowiedni dla ucznia poziom trudnoci.
3. Naturalna uczniowska motywacja do uczenia siê, mo¿e
byæ stymulowana w bezpiecznym, pe³nym zaufania otoczeniu,
w którym dobre stosunki z troskliwymi doros³ymi stwarzaj¹ szan-
sê w³aciwego rozwoju ucznia. Stopniowanie trudnoci dostoso-
wane do indywidualnych potrzeb ucznia oraz atmosfera zrozu-
mienia i ochrona dziecka przed zbêdnym stresem w przypadku nie-
powodzenia, s¹ tak¿e czynnikami wspomagaj¹cymi proces ucze-
nia siê.
W procesie nauczania motywacyjna rola nauczyciela polega na
tworzeniu takiej atmosfery, w której bêdzie dominowa³a troska
i zainteresowanie ka¿dym uczniem oraz takim ustaleniu celów
nauki i organizacji jej przebiegu, aby nie powstawa³y sytuacje ry-
walizacji, w wyniku czego bêd¹ zwyciêzcy i przegrani. W ka¿dym
przypadku podejmowania przez uczniów prób rozwi¹zania zada-
nia nale¿y zwracaæ uwagê na pozytywy. W przypadku niepowo-
dzeñ ucznia nauczyciel powinien wskazaæ mo¿liwoæ uzupe³niania
wiedzy i umiejêtnoci. Sytuacjom takim sprzyja obserwacja pracy
ucznia, rozmowa z uczniem, sprawdzanie ró¿nego rodzaju prac
wykonywanych przez ucznia (np. prace domowe). Kontrola w tym
przypadku nie musi byæ uto¿samiana z ocen¹ wyra¿on¹ stopniem.
Na rzetelnoæ oceniania maj¹ wp³yw:
metody s³u¿¹ce do zbierania informacji,
proces oceniania,
uczeñ,
nauczyciel.
Potencjalne b³êdy tkwi¹ce w metodach oceniania ucznia wyni-
kaj¹ z:
1. Niejednoznacznie lub le sformu³owanych poleceñ. Nie wie-
my wówczas, czy b³¹d ucznia wynika z niepewnoci, o co py-
tamy, czy z nieumiejêtnoci rozwi¹zania zadania.
2. Niew³aciwie dobranego stopnia trudnoci. Zarówno zbyt
³atwe jak i zbyt trudne zadania powoduj¹ obni¿enie rzetelno-
ci sprawdzianu. W obu przypadkach wymykaj¹ siê szczegó³y
dotycz¹ce rzeczywistych umiejêtnoci ucznia i poziomu jego
osi¹gniêæ.
3. Niew³aciwie okrelonego czasu pracy.
Pracuj¹c z uczniami, musimy mieæ równie¿ na uwadze fakt, ¿e
ich osi¹gniêcia zmieniaj¹ siê w czasie. Powoduje to, ¿e zmieniaj¹
12
siê równie¿ wyniki naszych obserwacji. Aby zniwelowaæ wp³yw
niekorzystnych czynników na ocenê ucznia, nale¿y prowadziæ
obserwacje w ró¿nych, zmieniaj¹cych siê sytuacjach w d³u¿szym
okresie czasu. Pozwoli to na uzyskanie obrazu absolwenta i okre-
lenie stopnia jego rozwoju.
Wystawianie oceny wyra¿onej stopniem powinno byæ poprze-
dzone jasno sformu³owanymi przez nauczyciela kryteriami ocenia-
nia. Zadanie to u³atwi zawarty w programie wykaz umiejêtnoci.
Ujednolicenie wymagañ (na podstawie wypracowanych standar-
dów) spowoduje porównywalnoæ ocen zarówno na terenie szko³y,
jak i w ró¿nych szko³ach pracuj¹cych z tym samym programem
nauczania.
Chc¹c skontrolowaæ wyniki nauczania, nale¿y stosowaæ ró¿no-
rodne metody pomiaru przyrostu wiedzy i umiejêtnoci uczniów.
Najpopularniejsze z nich to krótkie pisemne sprawdziany
pozwalaj¹ce na bie¿¹c¹ informacjê o nabytych przez ucznia umie-
jêtnociach. Innym rodzajem stosowanej pracy pisemnej jest praca
klasowa. Pozwala ona okreliæ nabyte przez uczniów umiejêtnoci
w zakresie ca³ego dzia³u programowego, czy te¿ w zakresie ca³ego
zrealizowanego programu. Proponujemy w tym przypadku stoso-
wanie ró¿nych form organizowania takich sprawdzianów.
Aby zapoznaæ siê z aktualnym stanem wiedzy i umiejêtno-
ciami uczniów, mo¿na przeprowadziæ z nimi rozmowê, która
bêdzie mia³a formê ustnej odpowiedzi, albo bêdzie prezentacj¹
wyników pracy danej grupy uczniów. Uzyskamy w ten sposób
mo¿liwoæ zorientowania siê w stanie posiadanej wiedzy, a tak¿e
okrelimy umiejêtnoci uczniów w zakresie pos³ugiwania siê
jêzykiem matematyki, ocenimy precyzjê wypowiedzi oraz umie-
jêtnoæ stosowania odpowiedniej argumentacji. Warto te¿
uwzglêdniæ samoocenê i ocenê kole¿eñsk¹.
W ramach domowych prac pisemnych proponujemy wyko-
nanie przez ucznia lub grupê uczniów d³u¿szych prac ponadprzed-
miotowych, zwanych projektami problemowymi (1-2 prace w se-
mestrze). Temat takiej pracy uczeñ bêdzie móg³ wybraæ sporód
tematów przedstawionych przez nauczyciela lub zaproponowaæ te-
mat w³asny, zgodny z jego zainteresowaniami. (Przyk³ady takich
tematów wraz z omówieniem sposobu ich oceniania przedstawimy
w poradniku dla nauczyciela.) W klasach, w których uczniowie s¹
bardziej zainteresowani matematyk¹ mo¿emy zlecaæ opracowanie
ró¿nych zagadnieñ w postaci referatu. W ten sposób bêdzie mo¿na
sprawdziæ nie tylko wiedzê ucznia, ale równie¿ umiejêtnoæ komu-
nikowania siê oraz umiejêtnoæ przedstawiania, w dobrze zorgani-
zowany sposób, wyników w³asnej pracy. Chc¹c uzyskaæ pe³niejszy
obraz przyrostu umiejêtnoci i wiedzy ucznia, zachêcamy nauczy-
cieli do proponowania uczniom rozwi¹zywania zadañ otwartych
i wielopoziomowych, które pozwol¹ oceniæ umiejêtnoci roz-
wi¹zywania problemów oraz dostrzec oryginalnoæ w poszuki-
waniu rozwi¹zañ.
Konstruuj¹c ró¿nego typu sprawdziany dla ucznia, nauczyciel
korzystaj¹cy z naszego programu powinien pamiêtaæ, ¿e g³ównym
celem jest sprawdzenie, czy uczeñ potrafi stosowaæ nabyte umie-
jêtnoci w ró¿nych sytuacjach (tak¿e z ¿ycia codziennego). Dlate-
go proponujemy tak¹ budowê sprawdzianów, która pozwoli na
umieszczenie w nich zadañ wykorzystuj¹cych zagadnienia prakty-
czne, przy czym wystawiaj¹c ocenê stopniow¹, nale¿y braæ pod
uwagê nie tylko ostateczny wynik liczbowy, ale równie¿ inwencjê
w korzystaniu z posiadanej wiedzy i umiejêtnoci, efektywnoæ
i oryginalnoæ zastosowanej metody, precyzjê komunikacji.
Nikogo nie trzeba przekonywaæ jak wa¿na, zarówno dla ucznia
jak i dla nauczyciela, jest funkcja oceny szkolnej. Dlatego te¿ przy
13
ocenianiu kszta³tuj¹cym i zbieraj¹cym nauczyciel przynajmniej
raz w roku powinien wykorzystywaæ sprawdziany opracowane
specjalnie do programu Matematyka krok po kroku. (Przy ich
opracowywaniu nauczyciel powinien uwzglêdniæ równie¿ zasady
zawarte w wewn¹trzszkolnym systemie oceniania.) Do badania
wyników nauczania mo¿na te¿ stosowaæ sprawdziany opracowane
przez specjalistów z danego okrêgu. Pozwoli to na obiektywizacjê
oceny.
W trakcie realizacji programu nauczania, nauczyciel powinien
prowadziæ obserwacje umo¿liwiaj¹ce dokonanie jego ewaluacji.
Doæ znaczna liczba godzin przeznaczona do zagospodarowania
przez nauczyciela pozwala na wprowadzenie zmian niezbêdnych
dla w³aciwego funkcjonowania programu, dostosowuj¹cych pro-
gram do mo¿liwoci klasy. Równie¿ my jako autorzy bêdziemy
zbierali informacje dotycz¹ce realizacji programu Matematyka
krok po kroku i dokonywali, w miarê zaistnia³ej potrzeby, korekty
programu.
14
Ogólny uk³ad materia³u w gimnazjum
Tworz¹c program Matematyka krok po kroku, staralimy siê zachowaæ proporcje w roz³o¿eniu treci w poszczególnych klasach.
Dzia³y programowe
Klasa I
Klasa II
Klasa III
Liczby rzeczywiste
Liczby wymierne i niewymierne
Dzia³ania na liczbach
Procenty i promile
Potêgi o wyk³adniku naturalnym
Pierwiastki. Przybli¿enia dziesiêtne
Przedzia³y liczbowe
Potêga o wyk³adniku ca³kowitym
Liczba
Podzbiory zbioru liczb rzeczy-
wistych
Wyra¿enia
algebraiczne
Zapisywanie i odczytywanie
wyra¿eñ algebraicznych
Dzia³ania. Wartoæ liczbowa
wyra¿enia algebraicznego
Wzory skróconego mno¿enia
Rozk³ad na czynniki
Wyra¿enia wymierne
Przekszta³canie wzorów
Równania
i nierównoci
Równania i nierównoci
Równania i nierównoci
równowa¿ne
Nierównoci podwójne
Zastosowanie równañ i nierównoci
do rozwi¹zywania zadañ tekstowych
Proporcjonalnoæ prosta i odwrotna
Uk³ady równañ i nierównoci
Statystyka
Zbieranie i porz¹dkowanie danych
Interpretacja danych statystycznych
Dowiadczenia losowe
Funkcje
Pojêcie funkcji
Funkcja liniowa
Funkcje trygonometryczne
k¹ta ostrego
Geometria
Podstawowe figury geometryczne
Ko³o i okr¹g
Wzajemne po³o¿enie prostej
i okrêgów
Zwi¹zki miarowe w trójk¹cie
Twierdzenie Pitagorasa
Symetria osiowa i rodkowa
Przystawanie trójk¹tów
Okr¹g wpisany i opisany na
trójk¹cie. Wielok¹t foremny
Pole figury p³askiej
D³ugoæ okrêgu
Jednok³adnoæ i podobieñstwo
Twierdzenie Talesa
Proste i p³aszczyzny w przestrzeni
Rzut równoleg³y
Figury przestrzenne
Pola powierzchni i objêtoci bry³
π
15
Orientacyjny przydzia³ godzin
Dla zawartych w programie nauczania treci przewidujemy nastêpuj¹cy orientacyjny przydzia³ godzin w poszczególnych klasach:
Proponowany przydzia³ godzin jest przydzia³em orientacyjnym
i mo¿e ulegaæ modyfikacjom w zale¿noci od stopnia opanowania
przez uczniów poszczególnych dzia³ów matematyki.
Wskazane by³oby, aby zagadnienia zwi¹zane ze statystyk¹
w³¹czone by³y w realizacjê innych dzia³ów (np. diagramy przy ro-
zwa¿aniach dotycz¹cych procentów).
KLASA I
Liczby wymierne i niewymierne
30
Wyra¿enia algebraiczne
15
Równania i nierównoci
20
Zbieranie i porz¹dkowanie danych
10
Zwi¹zki miarowe w figurach
30
Godziny do dyspozycji nauczyciela
27
Razem
666666
132
8
KLASA II
Liczby rzeczywiste
15
Wyra¿enia algebraiczne
10
Funkcje
20
Równania i nierównoci
15
Relacje miêdzy figurami geometrycz-
nymi
25
Pole figury p³askiej
15
Zbieranie i porz¹dkowanie danych
10
Godziny do dyspozycji nauczyciela
22
Razem
666666
132
8
KLASA III
Liczby rzeczywiste
10
Wyra¿enia algebraiczne
10
Równania, nierównoci i uk³ady równañ
15
Dowiadczenia losowe
10
Przekszta³cenia geometryczne
20
Zwi¹zki miarowe w trójk¹cie
20
Figury przestrzenne
20
Godziny do dyspozycji nauczyciela
27
Razem
666666
132
8
17
KLASA I
18
19
Liczby wymierne i niewymierne
30 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Liczby wymierne
Rozpoznawanie liczb
wymiernych
wskazaæ liczby wymierne;
podaæ przyk³ad liczby wymiernej
Uczniowie powinni umieæ wybraæ sporód ró¿nych
liczb liczbê wymiern¹. Oprócz liczb podanych
w postaci u³amków stosujemy równie¿ rozwiniêcia
dziesiêtne skoñczone i nieskoñczone okresowe.
Liczby niewymierne
Rozpoznawanie liczb
niewymiernych
wskazaæ liczby niewymierne;
podaæ przyk³ad liczby niewymiernej
D¹¿ymy do tego, aby uczniowie potrafili sporód
ró¿nych liczb wybraæ liczbê niewymiern¹.
Porz¹dkowanie liczb
Równoæ liczb wymier-
nych
zapisaæ liczbê wymiern¹ w ró¿nych
postaciach
Stosujemy ró¿ne sposoby zapisu liczby, w tym
rozwiniêcia dziesiêtne nieskoñczone okresowe
Zaznaczanie liczb na osi
liczbowej
zaznaczyæ na osi liczbowej dan¹
liczbê wymiern¹;
podaæ liczbê odpowiadaj¹c¹
punktowi zaznaczonemu na osi;
podaæ przyk³ad zaznaczenia liczby
niewymiernej na osi liczbowej
Uczniowie poprzez ró¿ne æwiczenia powinni opa-
nowaæ odczytywanie wspó³rzêdnej punktu na osi,
oraz zaznaczanie punktów o danej wspó³rzêdnej.
Dla liczb niewymiernych uczniowie powinni
wskazaæ liczby wymierne, pomiêdzy którymi dana
liczba niewymierna jest po³o¿ona. Stosujemy
w tym przypadku æwiczenia pozwalaj¹ce na
okrelenie tych liczb z ró¿n¹ dok³adnoci¹.
Porównywanie liczb
porównaæ liczby wymierne;
porównaæ liczby niewymierne;
porównaæ liczbê wymiern¹
z niewymiern¹
Przy porównywaniu liczb wymiernych stosujemy
poznane przez uczniów operacje na u³amkach.
Porównuj¹c dwie liczby niewymierne oraz liczbê
wymiern¹ z niewymiern¹, wykorzystujemy przy-
bli¿enia. Wskazane jest w tym przypadku stoso-
wanie urz¹dzeñ technicznych u³atwiaj¹cych
obliczenia.
20
Liczby wymierne i niewymierne cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Dodawanie i odejmo-
wanie w zbiorze liczb
wymiernych
W³asnoci dodawania
stosowaæ prawa przemiennoci
i ³¹cznoci w obliczeniach;
wykorzystaæ prawo monotonicznoci
dodawania do porównywania liczb
Wskazujemy na korzyci wynikaj¹ce ze stosowania
w³asnoci dodawania przy wykonywaniu obliczeñ.
Pokazujemy mo¿liwoæ porównywania sum bez
wykonywania dzia³añ, np. 13 + 7 < 13 + 9, bo 7 < 9.
Liczba 0 w dodawaniu.
Liczby przeciwne
podaæ liczbê przeciwn¹ do danej;
okreliæ, czy dane liczby s¹ prze-
ciwne
Uczniowie powinni bez trudnoci okrelaæ liczby
przeciwne. Dla uzyskania bieg³oci stosujemy
ró¿norodne æwiczenia.
Odejmowanie
dodawaæ i odejmowaæ liczby wy-
mierne
Odejmowanie wprowadzamy jako dodawanie licz-
by przeciwnej do danej. Przy wykonywaniu doda-
wania i odejmowania stosujemy wszystkie poznane
w³asnoci tych dzia³añ.
Mno¿enie i dzielenie
w zbiorze liczb
wymiernych
W³asnoci mno¿enia
stosowaæ prawa przemiennoci
i ³¹cznoci w obliczeniach;
wykorzystaæ prawo monotonicznoci
mno¿enia do porównywania liczb;
stosowaæ prawo rozdzielnoci
mno¿enia wzglêdem dodawania
Wskazujemy na korzyci wynikaj¹ce ze stosowania
w³asnoci mno¿enia przy wykonywaniu obliczeñ.
Pokazujemy mo¿liwoæ porównywania iloczynów
bez wykonywania dzia³añ. Szczególn¹ uwagê
zwracamy na porównywanie liczb w przypadku
jednego czynnika ujemnego. Np.
, bo
7 < 9, ale
, bo 7 < 9 i 13 < 0.
Liczba 0 w mno¿eniu
okreliæ, dla jakich liczb ich iloczyn
jest równy 0
W³asnoci iloczynu stosujemy przy rozwi¹zy-
waniu równañ typu
, przy czym
równañ tych nie musimy interpretowaæ jako równañ
wy¿szych stopni. Zwracamy uwagê na stosowanie
tych w³asnoci:
,
.
⋅
<
⋅
±
±
⋅
>
⋅
[
±
(
)
[
(
)
D E
⋅
D
⇔
E
∨
D E
D E
≠
∧
≠
⇔
≠
⋅
21
Liczby wymierne i niewymierne cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Mno¿enie i dzielenie
w zbiorze liczb
wymiernych
Liczba 1 w mno¿eniu.
Odwrotnoæ liczby
podaæ odwrotnoæ liczby;
sprawdziæ, czy dwie liczby s¹
swoimi odwrotnociami
Stosujemy ró¿norodne æwiczenia pozwalaj¹ce na
uzyskanie przez uczniów bieg³oci w okrelaniu
odwrotnoci liczby. Umiejêtnoæ ta bêdzie szcze-
gólnie przydatna przy wykonywaniu dzielenia.
Dzielenie
mno¿yæ i dzieliæ liczby wymierne
Dzielenie liczb traktujemy jako mno¿enie przez
odwrotnoæ dzielnika.
Procenty i promile
Pojêcie procentu.
Promil
zamieniæ liczbê wymiern¹ na pro-
cent i promil;
przedstawiæ dany procent w postaci
liczby wymiernej;
przedstawiæ dany promil w postaci
liczby wymiernej
Wykonujemy æwiczenia pozwalaj¹ce dokonaæ
zamiany liczby wymiernej na procenty i promile.
W celu uzyskania odpowiedniej operatywnoci
wykonujemy równie¿ æwiczenia, w których zamie-
niamy procenty i promile na liczbê wymiern¹.
Obliczenia procentowe
wykonywaæ obliczenia z wykorzy-
staniem procentów
W realizacji zagadnieñ dotycz¹cych procentów
i promili szczególn¹ uwagê zwracamy na ich prak-
tyczne zastosowania (np. obliczanie frekwencji,
stê¿enia roztworów). D¹¿ymy do tego, aby uczeñ
potrafi³ obliczyæ dany procent liczby, liczbê na
podstawie danego jej procentu oraz wyznaczyæ,
jakim procentem liczby jest inna liczba.
Diagramy
interpretowaæ dane przedstawione
na diagramach procentowych;
wykonywaæ diagramy procentowe
ró¿nych typów
Przy opracowywaniu diagramów wykorzystujemy
ró¿norodne materia³y statystyczne.
Mo¿emy równie¿ korzystaæ z wyników obserwacji
dokonanych przez uczniów.
22
Liczby wymierne i niewymierne cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Wartoæ bezwzglêdna
liczby
Okrelenie wartoci bez-
wzglêdnej
podaæ wartoæ bezwzglêdn¹ liczby;
podaæ liczbê o danej wartoci bez-
wzglêdnej
Przy realizacji zagadnieñ zwi¹zanych z wartoci¹
bezwzglêdn¹ szczególn¹ uwagê zwracamy na zro-
zumienie tego pojêcia. U³atwi to w póniejszym
okresie wykonywanie dzia³añ na liczbach ujem-
nych.
W³asnoci wartoci bez-
wzglêdnej.
Przyk³ady przedzia³ów
liczbowych
podaæ liczby spe³niaj¹ce równanie
;
podaæ przyk³ady liczb spe³niaj¹cych
nierównoæ postaci
,
,
,
Przy interpretacji nierównoci
i
nawi¹zujemy do przedzia³ów liczbowych, które
bêdziemy wykorzystywaæ przy zapisie rozwi¹zañ
nierównoci.
Potêga
Potêga o wyk³adniku natu-
ralnym
obliczyæ potêgê o wyk³adniku natu-
ralnym danej liczby
W klasie I ograniczamy siê do wprowadzenia potê-
gi o wyk³adniku naturalnym. Wykonujemy æwi-
czenia w obliczaniu potêgi na podstawie definicji.
W³asnoci potêgowania
stosowaæ w³asnoci potêgowania
w dzia³aniach
Wprowadzamy podstawowe w³asnoci potêgowa-
nia. Nale¿y przy tym szczególn¹ uwagê zwróciæ
na nieokrelonoæ potêgowania w przypadku, gdy
podstawa i wyk³adnik s¹ jednoczenie równe 0.
Pierwiastki
Pojêcie pierwiastka stop-
nia drugiego
podaæ wartoæ dok³adn¹ lub przy-
bli¿on¹ pierwiastka stopnia drugiego
Pokazujemy uczniom, w jaki sposób nale¿y korzy-
staæ z tablic matematycznych i kalkulatorów
do wyznaczania wartoci przybli¿onych pierwia-
stków.
Przyk³ady pierwiastków
wy¿szych stopni
podaæ przyk³ady pierwiastków
wy¿szych stopni
Przy pierwiastkach wy¿szych stopni podkrelamy,
¿e
, gdy¿
.
[
E
[ E
<
[ E
≤
[ E
>
[ E
≥
[ E
<
[ E
≤
±
±
±
( )
±
23
Liczby wymierne i niewymierne cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Pierwiastki
W³asnoci pierwiastków
stosowaæ w³asnoci pierwiastków
przy wy³¹czaniu czynnika i w³¹cza-
niu czynnika pod pierwiastek
Omawiamy nastêpuj¹ce w³asnoci:
i
. D¹¿ymy do
tego, aby uczeñ potrafi³ stosowaæ te w³asnoci przy
wy³¹czaniu czynnika przed znak pierwiastka oraz
przy w³¹czaniu czynnika pod znak pierwiastka.
Dzia³ania w zbiorze
liczb rzeczywistych
W³asnoci dzia³añ
stosowaæ w³asnoci rozdzielnoci
mno¿enia (dzielenia) w oblicze-
niach pamiêciowych;
okreliæ kolejnoæ wykonywania
dzia³añ w wyra¿eniu arytmetycz-
nym;
stosowaæ w³asnoci dzia³añ i kolej-
noæ ich wykonywania do oblicza-
nia wartoci liczbowej wyra¿enia
arytmetycznego
W obliczeniach pamiêciowych wskazujemy na za-
stosowania praw rozdzielnoci w prostych przypad-
kach. W sytuacjach trudniejszych u¿ywamy
do obliczeñ kalkulatorów. Koncentracja uwagi,
w tym przypadku, na wykonywaniu dzia³añ nie mo¿e
przes³oniæ nam umiejêtnoci rozwi¹zywania
problemów. Przy wykonywaniu obliczeñ wskazu-
jemy uczniom na mo¿liwe korzyci wynikaj¹ce ze
stosowania w³asnoci dodawania i odejmowania.
D¹¿ymy do tego, aby uczniowie, wykonuj¹c obli-
czenia, stosowali wszystkie poznane operacje na
u³amkach. Staramy siê tak¿e, aby wynik koñcowy
podany by³ w najprostszej postaci. Umiejêtnoci
rachunkowe s¹ jednymi z najbardziej widocznych
zastosowañ matematyki. Stosujemy tu ró¿norodne
æwiczenia pozwalaj¹ce na osi¹gniêcie pewnej bie-
g³oci rachunkowej. Umiejêtnoci te wykorzystuje-
my do rozwi¹zywania zadañ z ró¿nych dziedzin,
pokazuj¹c jednoczenie ich zastosowania przy obli-
czaniu podwy¿ek, obni¿ek cen, wzrostu i spadku
wartoci akcji, odsetek od lokat kapita³owych itp.
D E
⋅
D
E
⋅
D E
⋅
D
E
⋅
:
:
24
Liczby wymierne i niewymierne cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Przybli¿enia
Rozwiniêcie dziesiêtne
liczby wymiernej
podaæ rozwiniêcie dziesiêtne liczby
wymiernej;
podaæ przyk³ad u³amka okresowego
Uczeñ powinien umieæ przedstawiæ rozwiniêcie
dziesiêtne skoñczone i nieskoñczone okresowe
liczby wymiernej. Zwracamy uwagê na podawanie
przybli¿eñ u³amków okresowych.
Przybli¿enie z nadmiarem
i z niedomiarem
okreliæ rodzaj przybli¿enia na pod-
stawie wartoci dok³adnej;
podaæ przybli¿enie liczby z dan¹
dok³adnoci¹
Zagadnienia zwi¹zane z przybli¿eniami s¹ u¿y-
teczne w ¿yciu codziennym. Realizuj¹c je, wska-
zujemy na ich zastosowania przy szacowaniu war-
toci zakupionych towarów. Pokazujemy, ¿e dla
okrelenia wielkoci np. miasta, nie jest konieczna
dok³adna liczba mieszkañców, lecz jej wartoæ
przybli¿ona. Nie bêdziemy zajmowaæ siê
dok³adnym rachunkiem b³êdów, ale ograniczymy
siê do okrelenia dok³adnoci przybli¿enia.
Szacowanie wyniku
oszacowaæ wynik dzia³ania
D¹¿ymy do tego, aby uczeñ w okrelonych sytua-
cjach potrafi³ oceniæ przybli¿on¹ wartoæ wyniku
dzia³ania.
25
Wyra¿enia algebraiczne
15 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Wyra¿enia
algebraiczne
Budowanie i odczytywa-
nie wyra¿eñ algebraicz-
nych
odczytaæ wyra¿enie algebraiczne;
zapisaæ wyra¿enie algebraiczne na
podstawie jego s³ownego okrelenia
Zwracamy uwagê na stosowanie przy odczytywa-
niu i budowaniu wyra¿eñ algebraicznych kolej-
noci wykonywania dzia³añ. Przygotowujemy
uczniów do zapisywania praw za pomoc¹ liter oraz
d¹¿ymy do w³aciwej interpretacji zapisów.
Jednomiany
podaæ przyk³ad jednomianu;
rozpoznaæ jednomiany podobne;
podaæ przyk³ad jednomianów podob-
nych
D¹¿ymy do tego, aby uczniowie nie tylko potrafili
rozpoznawaæ jednomiany podobne, ale równie¿
aby potrafili podaæ odpowiednie przyk³ady.
Wartoæ liczbowa
wyra¿enia algebraicznego
obliczyæ wartoæ liczbow¹ wyra¿e-
nia algebraicznego
Wskazujemy na korzyci wynikaj¹ce ze sprowa-
dzania wyra¿eñ algebraicznych do najprostszej
postaci, a nastêpnie obliczamy wartoæ liczbow¹
wyra¿enia.
Wielomiany
Wielomian
dodaæ jednomiany, wykonuj¹c
redukcjê jednomianów podobnych;
rozpoznaæ wielomian;
podaæ przyk³ad wielomianu
Wielomian wprowadzamy jako sumê jednomia-
nów. Uczniowie powinni umieæ wybraæ sporód
ró¿nych wyra¿eñ algebraicznych wielomiany. Po-
winni tak¿e umieæ podaæ przyk³ady wielomianów.
Mno¿enie wielomianu
przez jednomian
pomno¿yæ wielomian przez liczbê;
pomno¿yæ wielomian przez jedno-
mian
Wskazujemy na zastosowanie prawa rozdzielnoci
mno¿enia wzglêdem dodawania. Oprócz æwiczeñ
wyrabiaj¹cych sprawnoæ w zakresie mno¿enia
powinnimy stosowaæ równie¿ æwiczenia pole-
gaj¹ce na zamianie sumy na iloczyn.
26
Wyra¿enia algebraiczne cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Wielomiany
Dodawanie i odejmo-
wanie wielomianów
dodaæ wielomiany, wykonuj¹c
redukcjê jednomianów podobnych
Odejmowanie wielomianów zastêpujemy, podobnie
jak w przypadku liczb wymiernych, dodawaniem
wielomianu przeciwnego do danego. Wskazujemy
w tym przypadku na szczególn¹ strukturê matema-
tyki pozwalaj¹c¹ na dokonywanie uogólnieñ.
Mno¿enie wielomianów
pomno¿yæ dwa wielomiany
W klasie I ograniczamy siê do mno¿enia wielo-
mianów. Pozwoli to uczniom stosowaæ prawa
rozdzielnoci mno¿enia wzglêdem dodawania.
27
Równania i nierównoci
20 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Równania
Pojêcie równania
podaæ przyk³ad równania
Pojêcie równania traktujemy w sposób intuicyjny.
Pozwoli to nam unikn¹æ trudnoci w precyzyjnym
okreleniu równania.
Rozwi¹zanie równania
sprawdziæ, czy dana liczba jest
rozwi¹zaniem równania;
podaæ przyk³ad równania o danym
rozwi¹zaniu
Uczniowie powinni umieæ sprawdziæ, czy dana
liczba jest rozwi¹zaniem równania. D¹¿¹c do tego,
aby uczniowie nie tylko biernie stosowali wiedzê
matematyczn¹, wykonujemy æwiczenia pozwala-
j¹ce konstruowaæ równania o danym rozwi¹zaniu.
Równania równowa¿ne
rozpoznaæ równania równowa¿ne;
napisaæ równanie równowa¿ne
do danego;
rozwi¹zaæ równanie
Metodê równañ równowa¿nych traktujemy jako
dominuj¹c¹ metodê rozwi¹zywania równañ.
Nierównoci
Pojêcie nierównoci
podaæ przyk³ad nierównoci
Pojêcie nierównoci traktujemy, podobnie jak rów-
nanie, w sposób intuicyjny.
Rozwi¹zanie nierównoci sprawdziæ, czy dana liczba spe³nia
nierównoæ;
podaæ przyk³ad nierównoci, której
rozwi¹zania spe³niaj¹ dany warunek
Uczniowie powinni umieæ sprawdziæ, czy dana
liczba jest rozwi¹zaniem nierównoci.
D¹¿¹c do tego, aby uczniowie nie tylko biernie
stosowali wiedzê matematyczn¹, wykonujemy
æwiczenia pozwalaj¹ce na konstruowanie nierów-
noci o danym rozwi¹zaniu.
28
Równania i nierównoci cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Nierównoci
Nierównoci równowa¿ne rozpoznaæ nierównoci równowa¿ne;
napisaæ nierównoæ równowa¿n¹
do danej;
rozwi¹zaæ nierównoæ
Równie¿ w tym przypadku, podobnie jak przy
równaniach, metodê nierównoci równowa¿nych
traktujemy jako metodê dominuj¹c¹ przy roz-
wi¹zywaniu nierównoci. Staramy siê, aby ucznio-
wie potrafili interpretowaæ na osi liczbowej zbiór
rozwi¹zañ nierównoci, oraz zapisaæ nierównoæ,
której interpretacjê maj¹ przedstawion¹ na osi
liczbowej.
Nierównoci podwójne
rozwi¹zaæ nierównoæ podwójn¹
Wykorzystujemy wiadomoci uczniów doty-
cz¹ce rozwi¹zywania nierównoci z wartoci¹
bezwzglêdn¹ typu
i
.
[ D
<
[ D
≤
29
Zbieranie i porz¹dkowanie danych
10 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Zbieranie i porz¹dko-
wanie danych
Dane statystyczne
zebraæ dane dotycz¹ce okrelonego
zjawiska;
przedstawiæ dane statystyczne
w ró¿ny sposób (tabela, diagram,
wykres)
Zagadnienia statystyczne powinny byæ
uwzglêdnione przy realizacji treci zwi¹zanych
z obliczeniami procentowymi. Uzyskujemy wtedy
mo¿liwoæ po³¹czenia tych zagadnieñ bez koniecz-
noci traktowania ich jako oddzielnych dziedzin
matematyki. W naszych dzia³aniach d¹¿ymy do
tego, aby uczniowie potrafili interpretowaæ ró¿ne
dane statystyczne, przedstawiaæ dane w ró¿nych
postaciach. W miarê mo¿liwoci wskazane jest
wspomaganie nauczania przez stosowanie technik
komputerowych.
Czêstoæ zdarzenia
obliczyæ czêstoæ zdarzenia na pod-
stawie zebranych danych
Do æwiczeñ wykorzystujemy dane zebrane przez
uczniów podczas obserwacji ró¿nych zjawisk.
Pozwoli to na wskazanie praktycznych zastosowañ
matematyki.
rednia arytmetyczna
obliczyæ redni¹ arytmetyczn¹
Wykonujemy æwiczenia w obliczaniu wartoci
rednich. Pokazujemy jak inna od rzeczywistoci
mo¿e byæ interpretacja zagadnieñ statystycznych.
30
Zwi¹zki miarowe w figurach
30 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Podstawowe figury
geometryczne na
p³aszczynie
Punkt, prosta, p³aszczyzna wskazaæ podstawowe pojêcia
Wstêpne zagadnienia z geometrii traktujemy jako
powtórzenie ze szko³y podstawowej. G³ównym
celem jest ujednolicenie terminologii, któr¹
pos³uguj¹ siê uczniowie.
Przy okrelaniu figur geometrycznych pos³ugu-
jemy siê terminem ,,zbiór. Omawiamy tylko figu-
ry p³askie. Przypominamy sposoby konstruowania
figur.
Odcinek
narysowaæ dowolny odcinek;
podaæ miarê odcinka
Okr¹g i ko³o
narysowaæ dowolne ko³o (okr¹g);
narysowaæ ko³o (okr¹g) o danym
promieniu;
wskazaæ ró¿nice pomiêdzy ko³em
i okrêgiem;
narysowaæ w kole (okrêgu) promieñ,
ciêciwê, rednicê
K¹ty. Rodzaje k¹tów
podaæ opis k¹ta;
narysowaæ dowolny k¹t;
narysowaæ k¹t o danej mierze;
rozró¿niaæ rodzaje k¹tów
Przypominamy wiadomoci dotycz¹ce ró¿nych ro-
dzajów k¹tów. Æwiczymy umiejêtnoæ wykorzysta-
nia zale¿noci pomiêdzy miarami k¹tów wierz-
cho³kowych i przyleg³ych oraz k¹tów przy prostych
równoleg³ych przeciêtych trzeci¹ prost¹. Podajemy
zale¿noæ pomiêdzy miarami charakterystycznych
k¹tów w kole.
£amana
narysowaæ ³aman¹;
wskazaæ boki, wierzcho³ki ³amanej;
obliczyæ d³ugoæ ³amanej
D¹¿ymy do tego, aby uczniowie potrafili stwier-
dziæ, czy dany zbiór odcinków tworzy ³aman¹,
wskazaæ boki i wierzcho³ki ³amanej oraz potrafili
ustaliæ d³ugoæ ³amanej.
31
Zwi¹zki miarowe w figurach cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Podstawowe figury
geometryczne na
p³aszczynie
Wielok¹t
narysowaæ dowolny wielok¹t;
okreliæ rodzaj narysowanego
wielok¹ta
Uczniowie powinni rozpoznawaæ ró¿ne rodzaje
wielok¹tów, wskazywaæ: boki, wierzcho³ki,
przek¹tne, k¹ty wielok¹tów.
Wzajemne po³o¿enie
prostej i okrêgów
okreliæ wzajemne po³o¿enie prostej
i okrêgu;
narysowaæ konstrukcyjnie styczn¹
do okrêgu;
okreliæ wzajemne po³o¿enie dwóch
okrêgów;
narysowaæ okrêgi styczne
zewnêtrznie;
narysowaæ okrêgi styczne
wewnêtrznie;
narysowaæ okrêgi wspó³rodkowe
Omawiamy podstawowe w³asnoci stycznej do
okrêgu. D¹¿ymy do tego, aby uczniowie nabrali
wprawy w wykonywaniu ró¿nych konstrukcji.
D¹¿ymy do tego, aby uczniowie potrafili narysowaæ
styczn¹ do okrêgu. Pokazujemy sposób uzasadnie-
nia, ¿e dana prosta jest styczna do okrêgu (promieñ
jest prostopad³y do stycznej w punkcie stycznoci).
Wykonujemy æwiczenia pozwalaj¹ce na rozwijanie
wyobrani uczniów, co u³atwi im zrozumienie za-
gadnieñ zwi¹zanych z okrelaniem wzajemnego
po³o¿enia okrêgów. Omawiaj¹c po³o¿enie okrê-
gów, mo¿emy nawi¹zaæ do zagadnieñ fizycznych
zwi¹zanych z optyk¹ (ró¿ne rodzaje soczewek).
Obwód figury p³askiej Jednostki d³ugoci
dokonaæ pomiaru d³ugoci odcinka;
narysowaæ odcinek o danej d³ugoci;
zamieniaæ jednostki d³ugoci
Zagadnienia te powinny byæ realizowane przy
omawianiu podstawowych figur geometrycznych.
Obwód figury p³askiej
obliczyæ obwód wielok¹ta
32
Zwi¹zki miarowe w figurach cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Zwi¹zki miarowe
w trójk¹cie
Warunek istnienia trój-
k¹ta
okreliæ, czy z danych odcinków
mo¿na zbudowaæ trójk¹t;
podaæ przyk³ad trzech odcinków,
które mog¹ byæ bokami trójk¹ta;
podaæ przyk³ad trzech odcinków,
które nie mog¹ byæ bokami trójk¹ta
Realizacja zagadnieñ powinna byæ zwi¹zana
z obserwacjami w ¿yciu codziennym (wybór naj-
krótszej drogi). Pozwala to na przejcie od obser-
wacji do zbudowania odpowiedniego modelu
matematycznego.
Odcinki w trójk¹cie
narysowaæ wysokoci w trójk¹cie;
narysowaæ rodkowe boków trójk¹ta;
stosowaæ w zadaniach podstawowe
w³asnoci wysokoci i rodkowych
trójk¹ta
Æwiczymy umiejêtnoæ rysowania i rozpoznawania
wysokoci oraz rodkowych boków w trójk¹cie.
Podstawowe w³asnoci wykorzystujemy do
rozwi¹zywania zadañ.
Klasyfikacja trójk¹tów
okreliæ rodzaj trójk¹ta;
narysowaæ okrelony rodzaj trójk¹ta
Wykonujemy æwiczenia polegaj¹ce na rysowaniu
ró¿nych rodzajów trójk¹tów. Uczniowie powinni
rozró¿niaæ rodzaje trójk¹tów oraz umieæ je nary-
sowaæ.
Suma miar k¹tów trójk¹ta stosowaæ w zadaniach w³asnoæ
sumy miar k¹tów w trójk¹cie
W celu uzyskania odpowiedniej operatywnoci
uczniowie powinni nie tylko umieæ podaæ miary
k¹tów, które mog¹ byæ k¹tami trójk¹ta, ale równie¿
okreliæ, czy k¹ty o danych miarach mog¹ byæ
k¹tami trójk¹ta.
33
Zwi¹zki miarowe w figurach cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Zwi¹zki miarowe
w trójk¹cie
Twierdzenie Pitagorasa
wykorzystaæ twierdzenie do wyzna-
czania d³ugoci odcinków;
wykorzystaæ twierdzenie do kon-
struowania odcinków o d³ugociach
wyra¿onych liczbami niewymier-
nymi (np.
)
Twierdzenie Pitagorasa wykorzystujemy do
wyznaczania d³ugoci odcinków oraz do kon-
struowania odcinków o d³ugociach wyra¿onych
liczbami niewymiernymi. Pokazujemy równie¿
sposoby zaznaczania na osi liczbowej punktów
odpowiadaj¹cych liczbom niewymiernym.
Twierdzenie odwrotne
do tw. Pitagorasa
sprawdziæ, czy z danych odcinków
mo¿na zbudowaæ trójk¹t prostok¹tny
Du¿y nacisk k³adziemy na praktyczne zastosowania
twierdzenia Pitagorasa. W pracy dydaktycznej
d¹¿ymy do tego, aby uczniowie w miarê swobodnie
stosowali pojêcia zwi¹zane z trójk¹tem. Zwracamy
uwagê na umiejêtnoæ wyró¿niania w twierdzeniu
za³o¿enia i tezy.
34
35
KLASA II
36
37
Liczby rzeczywiste
15 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Potêga liczby wymier-
nej
Potêga o wyk³adniku
ca³kowitym
zapisaæ potêgê o wyk³adniku ca³ko-
witym za pomoc¹ potêgi o wy-
k³adniku naturalnym;
zapisaæ potêgê o wyk³adniku natural-
nym za pomoc¹ potêgi
o wyk³adniku ca³kowitym;
obliczyæ potêgê o wyk³adniku ujem-
nym danej liczby
Rozszerzamy pojêcie potêgi na potêgi o wyk³ad-
nikach ca³kowitych. Poprzez stosowanie odpowied-
nich æwiczeñ d¹¿ymy do tego, aby uczniowie
potrafili wyraziæ potêgê o wyk³adniku ca³kowitym
poprzez potêgê o wyk³adniku naturalnym. Wskazu-
jemy na zastosowania potêg postaci
(
) do
zapisu ró¿nych wielkoci (np. masa atomowa, masa
planet, odleg³oci astronomiczne itp.).
Dzia³ania w zbiorze
liczb rzeczywistych
Przekszta³canie wyra¿eñ
zawieraj¹cych pierwiastki
stosowaæ w³asnoci pierwiastków do
przekszta³cania wyra¿eñ;
wykonywaæ dodawanie i mno¿enie
na liczbach postaci
Przy realizacji zagadnieñ zwi¹zanych z dzia³aniami
w zbiorze liczb rzeczywistych wprowadzamy po-
jêcie liczby rzeczywistej i zwracamy uwagê na
doskonalenie nabytych ju¿ umiejêtnoci. W zada-
niach uwzglêdniamy równie¿ szacowanie wartoci
wyra¿eñ arytmetycznych, w których wystêpuj¹
pierwiastki.
Usuwanie niewymier-
noci z mianownika
usun¹æ niewymiernoæ z mianownika
w liczbach postaci
Rozwiniêcie zagadnieñ zwi¹zanych z usuwaniem
niewymiernoci z mianownika u³amka nast¹pi po
zrealizowaniu wzorów skróconego mno¿enia.
Przekszta³canie wyra¿eñ
zawieraj¹cych potêgi
i pierwiastki.
sprowadzaæ wyra¿enia arytmetycz-
ne zawieraj¹ce potêgi i pierwiastki
do najprostszej postaci
D¹¿ymy do tego, aby uczniowie osi¹gnêli du¿¹
sprawnoæ rachunkow¹ w wykonywaniu dzia³añ na
liczbach rzeczywistych. Stosujemy ró¿norodne
æwiczenia nawi¹zuj¹ce do zastosowañ matematyki
w innych dziedzinach nauki.
Q
Q &
∈
D E F
E F
38
Liczby rzeczywiste cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Liczba
Liczba jako przyk³ad
liczby niewymiernej.
podaæ przybli¿on¹ wartoæ liczby ;
stosowaæ liczbê i jej wartoæ
przybli¿on¹ w zadaniach
Liczbê przedstawiamy jako przyk³ad liczby
niewymiernej. Liczbê stosujemy g³ównie w za-
daniach dotycz¹cych obliczania d³ugoci okrêgu
i pola ko³a. D¹¿ymy do wykszta³cenia umiejêtnoci
racjonalnego stosowania zapisu symbolicznego
oraz wartoci przybli¿onej liczby .
π
π
π
π
π
π
π
39
Wyra¿enia algebraiczne
10 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Przekszta³canie
wyra¿eñ algebraicz-
nych
Przekszta³canie wyra¿eñ
algebraicznych zawiera-
j¹cych potêgi i pierwiastki
wykonywaæ dzia³ania na wyra¿e-
niach postaci
;
przekszta³caæ nieskomplikowane
wyra¿enia zawieraj¹ce potêgi
i pierwiastki
G³ównym zadaniem przy realizacji zagadnieñ do-
tycz¹cych wyra¿eñ algebraicznych jest doskona-
lenie posiadanych umiejêtnoci. Rozszerzamy za-
kres liczbowy wspó³czynników na liczby nie-
wymierne.
Wzory skróconego
mno¿enia
stosowaæ wzory skróconego mno-
¿enia do przekszta³cania wyra¿eñ
algebraicznych;
wykonywaæ dzia³ania na wyra¿e-
niach algebraicznych, sprowadzaj¹c
je do najprostszej postaci
Ze wzorów skróconego mno¿enia realizujemy:
,
i
. W dzia³aniach swych
d¹¿ymy do tego, aby uczniowie wykazali siê opera-
tywnoci¹ umiejêtnoci. Powinni stosowaæ wzory
skróconego mno¿enia nie tylko do zapisu iloczynu
w postaci sumy, ale równie¿ stosowaæ je do roz-
k³adu wielomianów na czynniki. Omawiaj¹c wzory
skróconego mno¿enia, wskazujemy na ich zasto-
sowania w rachunku pamiêciowym.
Rozk³ad wielomianu
na czynniki
Metoda grupowania
wyrazów i wy³¹czania
wspólnego czynnika poza
nawias w rozk³adzie
wielomianu na czynniki
stosowaæ metodê grupowania
wyrazów w rozk³adzie wielomianu
na czynniki;
wy³¹czyæ wspólny czynnik poza
nawias
Rozk³ad wielomianu na czynniki powinnimy
wykorzystaæ do rozwi¹zywania równañ wy¿szych
stopni. Znajdujemy tu równie¿ okazjê do utrwalenia
w³asnoci iloczynu. Wykorzystujemy prawo roz-
dzielnoci mno¿enia wzglêdem dodawania (odej-
mowania).
Rozk³ad wielomianu na
czynniki z wykorzysta-
niem wzorów skróconego
mno¿enia
stosowaæ wzory skróconego
mno¿enia do rozk³adu wielomianu
na czynniki
Metodê tê mo¿emy wykorzystaæ do rozwi¹zywania
równañ typu
.
D E F
D E
(
)
D E
±
(
)
D
E
±
[
±
40
Funkcje
20 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Funkcja
Pojêcie funkcji
podaæ przyk³ady zale¿noci funk-
cyjnych, równie¿ nie liczbowych;
wskazaæ, w konkretnych przypadkach,
dziedzinê funkcji i zbiór
wartoci;
rozpoznaæ zale¿noci funkcyjne;
opisaæ funkcjê na ró¿ne sposoby
Uczniowie powinni umieæ rozpoznawaæ zale¿no-
ci funkcyjne w ró¿nych sytuacjach (tak¿e przy-
padki funkcji nie liczbowych). Wskazujemy na
praktyczne zastosowania funkcji (przedstawianie
na wykresach kursów akcji, kursów walut, odczy-
tywanie tendencji wzrostowych itp.). D¹¿ymy do
tego, aby uczniowie potrafili opisaæ funkcjê na
ró¿ne sposoby.
Wykres funkcji
odczytywaæ z wykresu funkcji jej
w³asnoci;
przedstawiaæ na wykresie zale¿noci
funkcyjne z ró¿nych dziedzin
Du¿y nacisk k³adziemy na odczytywanie w³as-
noci funkcji na podstawie jej wykresu. Odwo-
³ujemy siê w tym przypadku do ró¿nych dzie-
dzin, w których wykresy funkcji odgrywaj¹
znacz¹c¹ rolê.
Funkcja liniowa
Funkcja liniowa i jej
w³asnoci
rozpoznaæ na podstawie wzoru funkcjê
liniow¹;
podaæ przyk³ad wzoru okrelaj¹cego
funkcjê liniow¹;
wykonaæ wykres funkcji liniowej;
podaæ miejsce zerowe funkcji liniowej;
okreliæ monotonicznoæ funkcji
liniowej;
podaæ przyk³ad funkcji liniowej:
rosn¹cej, malej¹cej, sta³ej;
wykonaæ wykres funkcji liniowej
na podstawie jej w³asnoci
Stosujemy ró¿norodne æwiczenia pozwalaj¹ce
na zrozumienie zagadnieñ zwi¹zanych z funk-
cjami. W zadaniach wykorzystujemy równania
do badania w³asnoci funkcji liniowej.
41
Równania i nierównoci
15 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Równanie liniowe
Pojêcie równania linio-
wego
podaæ przyk³ad równania liniowego Nie wprowadzamy pojêcia równania w postaci
ogólnej. Ograniczamy siê jedynie do okrelenia
równania liniowego.
Równania równowa¿ne
rozpoznaæ równania równowa¿ne;
napisaæ równanie równowa¿ne
do danego
Metody rozwi¹zywania
równañ liniowych
sprawdziæ, czy dana liczba jest
rozwi¹zaniem równania liniowego;
stosowaæ w³asnoci równañ
równowa¿nych do rozwi¹zywania
równañ liniowych;
stosowaæ równania liniowe do bada-
nia w³asnoci funkcji liniowych;
stosowaæ równania liniowe do
rozwi¹zywania zadañ z ró¿nych
dziedzin;
podaæ przyk³ad równania, którego
rozwi¹zaniem jest dana liczba
Doskonalimy umiejêtnoci z klasy I, wprowadza-
j¹c do rozwi¹zywania nowe typy równañ.
Du¿¹ uwagê zwracamy na zastosowania równañ
do rozwi¹zywania zadañ z ró¿nych dziedzin.
Powinnimy zwróciæ równie¿ uwagê na mo¿li-
woci, jakie daj¹ nam równania przy badaniu
w³asnoci funkcji.
42
Równania i nierównoci cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Nierównoci liniowe
Pojêcie nierównoci
liniowej
podaæ przyk³ad nierównoci liniowej Nie wprowadzamy pojêcia nierównoci w postaci
ogólnej. Ograniczamy siê jedynie do okrelenia
nierównoci liniowej.
Nierównoci równowa¿ne rozpoznaæ nierównoci równowa¿ne;
napisaæ nierównoæ równowa¿n¹
do danej
Metody rozwi¹zywania
nierównoci liniowych
sprawdziæ, czy dana liczba jest
rozwi¹zaniem nierównoci;
stosowaæ w³asnoci nierównoci
równowa¿nych do rozwi¹zywania
nierównoci liniowych;
przedstawiæ zbiór rozwi¹zañ
nierównoci na osi liczbowej;
stosowaæ nierównoci do okrelania
w³asnoci funkcji liniowej;
stosowaæ nierównoci liniowe do
rozwi¹zywania zadañ z ró¿nych
dziedzin
Wzoruj¹c siê na metodach rozwi¹zywania równañ,
wprowadzamy podobne sposoby rozwi¹zywania
nierównoci. Wskazane by³oby ³¹czne realizowanie
zagadnieñ dotycz¹cych równañ i nierównoci,
chocia¿ nie jest to zabieg konieczny.
Proporcjonalnoæ
Proporcjonalnoæ prosta
i odwrotna
okreliæ rodzaj proporcjonalnoci dla
danych wielkoci;
interpretowaæ wspó³czynnik pro-
porcjonalnoci w konkretnych sytu-
acjach
Przy wprowadzaniu pojêcia wielkoci proporcjo-
nalnych i odwrotnie proporcjonalnych odwo³ujemy
siê do zastosowañ praktycznych oraz matema-
tycznego opisu pewnych zale¿noci fizycznych,
chemicznych itp. Podajemy podstawowe w³asnoci
proporcji i stosujemy je do rozwi¹zywania równañ
zapisanych w postaci proporcji i zadañ tekstowych.
43
Relacje miêdzy figurami geometrycznymi
25 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Symetria osiowa
Okrelenie symetrii
osiowej
narysowaæ obraz figury w symetrii
wzglêdem prostej
W realizacji zagadnieñ zwi¹zanych z symetri¹
osiow¹ du¿¹ uwagê zwracamy na rysowanie
obrazów figur w symetrii. Mo¿emy nawi¹zaæ do
odbicia lustrzanego, a tak¿e wskazaæ na zasto-
sowania symetrii osiowej w architekturze czy te¿
sztuce (mo¿emy realizowaæ np. elementy ,,Edukacji
regionalnej).
W³asnoci symetrii
osiowej
rozpoznawaæ figury symetryczne
wzglêdem prostej
W³asnoci symetrii osiowej wykorzystujemy do
tworzenia prostych ornamentów.
Symetria wzglêdem osi
uk³adu wspó³rzêdnych
podaæ wspó³rzêdne obrazu punktu
w symetrii wzglêdem osi uk³adu
wspó³rzêdnych;
obliczyæ wspó³rzêdne punktu na
podstawie wspó³rzêdnych jego
obrazu w symetrii wzglêdem osi
uk³adu wspó³rzêdnych
W uk³adzie wspó³rzêdnych ograniczamy siê tylko
do symetrii wzglêdem osi uk³adu wspó³rzêdnych.
D¹¿ymy do tego, aby uczniowie oprócz umiejêtno-
ci okrelenia wspó³rzêdnych obrazu punktu w sy-
metrii wzglêdem osi uk³adu potrafili równie¿
okreliæ wspó³rzêdne punktu na podstawie
wspó³rzêdnych jego obrazu. Pozwoli to nam na
uzyskanie wiêkszej operatywnoci nabytych przez
uczniów umiejêtnoci.
O symetrii figury
wskazaæ figury posiadaj¹ce
o symetrii;
narysowaæ o symetrii figury,
o ile istnieje
W pracy dydaktycznej powinnimy stosowaæ
przyk³ady z ró¿nych dziedzin (architektura, sztuka
i inne), w których mo¿emy odnaleæ osie symetrii
figury. Uzyskujemy w ten sposób mo¿liwoæ pre-
zentowania dorobku kulturalnego ró¿nych naro-
dów.
44
Relacje miêdzy figurami geometrycznymi cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Symetria osiowa
Symetralna odcinka
narysowaæ konstrukcyjnie syme-
traln¹ odcinka;
stosowaæ symetraln¹ odcinka do
podzia³u na 2
n
równych czêci
Symetraln¹ odcinka definiujemy jako jedn¹ z osi
symetrii odcinka. Omawiamy jej w³asnoci i stosu-
jemy przy wykonywaniu konstrukcji. D¹¿ymy
do tego, aby uczniowie osi¹gnêli bieg³oæ
w pos³ugiwaniu siê symetraln¹, poniewa¿ zagad-
nienia te bêd¹ wykorzystywane przy wykonywaniu
innych konstrukcji.
Dwusieczna k¹ta
narysowaæ konstrukcyjnie dwu-
sieczn¹ k¹ta;
stosowaæ w³asnoci dwusiecznej
k¹ta w zadaniach
Dwusieczn¹ k¹ta definiujemy jako jego o symetrii.
Omawiamy jej w³asnoci i stosujemy do wykony-
wania konstrukcji. D¹¿ymy do tego, aby uczniowie
osi¹gnêli bieg³oæ w pos³ugiwaniu siê dwusieczn¹
k¹ta, poniewa¿ zagadnienia te bêd¹ wykorzysty-
wane przy wykonywaniu innych konstrukcji.
Okr¹g opisany i wpisany
w trójk¹t
narysowaæ konstrukcyjnie okr¹g
wpisany w trójk¹t;
narysowaæ konstrukcyjnie okr¹g
opisany na trójk¹cie
Doskonalimy umiejêtnoci konstrukcyjne uczniów
poprzez stosowanie opanowanych ju¿ umiejêtnoci
konstruowania symetralnej odcinka i dwusiecznej
k¹ta.
Symetria rodkowa
Okrelenie symetrii rod-
kowej
narysowaæ obraz figury w symetrii
wzglêdem dowolnego punktu
Zagadnienia zwi¹zane z symetri¹ rodkow¹ traktu-
jemy analogicznie jak przy symetrii osiowej.
W³asnoci symetrii rod-
kowej
rozpoznaæ figury symetryczne
wzglêdem punktu
45
Relacje miêdzy figurami geometrycznymi cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Symetria rodkowa
Symetria wzglêdem
pocz¹tku uk³adu
wspó³rzêdnych
wyznaczyæ wspó³rzêdne obrazu
punktu w symetrii wzglêdem
pocz¹tku uk³adu wspó³rzêdnych;
wyznaczyæ wspó³rzêdne punktu
na podstawie wspó³rzêdnych jego
obrazu w symetrii wzglêdem
pocz¹tku uk³adu wspó³rzêdnych
W uk³adzie wspó³rzêdnych omawiamy symetriê
wzglêdem pocz¹tku uk³adu wspó³rzêdnych.
W zagadnieniach zwi¹zanych z wyznaczaniem
wspó³rzêdnych punktu i jego obrazu wykorzystu-
jemy umiejêtnoæ rozwi¹zywania równañ.
Pozwoli to, oprócz utrwalenia, na wskazanie ich
zastosowañ w innych dzia³ach matematyki.
rodek symetrii figury
wskazaæ figury posiadaj¹ce rodek
symetrii;
narysowaæ rodek symetrii figury,
o ile istnieje
W pracy dydaktycznej powinnimy stosowaæ
przyk³ady z ró¿nych dziedzin (architektura,
sztuka i inne), w których mo¿emy odnaleæ
rodek symetrii figury.
Wielok¹ty foremne
Rodzaje w³asnoci
wielok¹tów foremnych
wskazaæ wielok¹ty foremne;
narysowaæ niektóre wielok¹ty
foremne
Konstrukcje wielok¹tów foremnych ograniczamy
do tych, które mo¿na skonstruowaæ na bazie
kwadratu lub szeciok¹ta foremnego. Zapozna-
jemy uczniów z podstawowymi w³asnociami
dotycz¹cymi wielok¹tów foremnych.
Przystawanie
trójk¹tów
Przekszta³cenia izometry-
czne
wskazaæ przekszta³cenia izome-
tryczne p³aszczyzny
Porównujemy w³asnoci symetrii osiowej i sy-
metrii rodkowej.
Okrelamy przekszta³cenie izometryczne.
46
Relacje miêdzy figurami geometrycznymi cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Przystawanie
trójk¹tów
W³asnoci przekszta³ceñ
izometrycznych
rozpoznaæ figury przystaj¹ce;
stosowaæ w³asnoci przekszta³ceñ
izometrycznych do rozwi¹zywania
zadañ tekstowych
W³asnoci przekszta³ceñ izometrycznych wyko-
rzystujemy do rozwi¹zywania zadañ z ró¿nych
dziedzin. Uwzglêdniamy w tym przypadku proste
zadania na dowodzenie, w których nale¿y zasto-
sowaæ podstawowe w³asnoci przekszta³ceñ izo-
metrycznych.
Cechy przystawania
trójk¹tów
stosowaæ cechy przystawania
trójk¹tów do rozwi¹zywania zadañ
konstrukcyjnych i zadañ na dowo-
dzenie
Omawiamy trzy cechy przystawania trójk¹tów
(bbb, bkb, kbk) i wykorzystujemy je do rozwi¹zy-
wania zadañ zarówno konstrukcyjnych, jak i na
dowodzenie. W tych ostatnich zadaniach zwracamy
uwagê na konstrukcjê twierdzenia. D¹¿ymy do te-
go, aby uczniowie potrafili w twierdzeniu wskazaæ
za³o¿enie i tezê.
47
Pole figury p³askiej
15 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Pole figury p³askiej
Pojêcie pola figury
Jednostki pola
zamieniaæ jednostki pola
Wprowadzamy zarówno jednostki miary pola
z uk³adu SI, jak i jednostki stosowane
w praktyce, np. a, ha.
Pola wielok¹tów
obliczyæ pole trójk¹ta;
obliczyæ pole czworok¹ta
Pole dowolnych wielok¹tów obliczamy, dziel¹c je
na odpowiednie trójk¹ty.
Pole ko³a, d³ugoæ okrêgu obliczyæ pole ko³a i d³ugoæ okrêgu Staramy siê osi¹gn¹æ sprawnoæ w zakresie obli-
czania obwodu i pola ko³a, wykorzystuj¹c zapis
symboliczny liczby (np. pole ko³a o promieniu 3
jest równe
) oraz wartoæ przybli¿on¹ (np. pole
ko³a o promieniu 3 m jest równe 28,26 m
2
).
π
π
48
Zbieranie i porz¹dkowanie danych
10 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Interpretacja danych
statystycznych
Zbieranie, przedstawianie
danych statystycznych.
zebraæ i przedstawiæ w ró¿ny sposób
dane dotycz¹ce okrelonego zjawi-
ska
Staramy siê, aby uczniowie wiadomie przed-
stawiali zgromadzone przez siebie dane w postaci
tabel, ró¿nego rodzaju diagramów i wykresów.
Bazujemy na wiadomociach i umiejêtnociach
nabytych w poprzednich latach nauki. W miarê
mo¿liwoci wykorzystujemy rodki multimedialne
do prezentacji i opracowywania danych.
Interpretowanie danych
statystycznych
interpretowaæ pewne w³asnoci
zebranych danych empirycznych
Wartoæ rednia
obliczaæ wartoæ redni¹
D¹¿ymy do tego, aby uczniowie potrafili stosowaæ
algorytm obliczania redniej arytmetycznej,
u¿ywaj¹c kalkulatorów i komputerów. Staramy siê,
aby uczniowie zrozumieli ideê wartoci redniej
szeregu dowiadczeñ i w³aciwie odnosili j¹ do
wnioskowania indywidualnego.
49
KLASA III
KLASA III
50
51
Liczby rzeczywiste
10 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Podzbiory zbioru R
Relacje miêdzy podzbio-
rami zbioru R
okrelaæ zale¿noci pomiêdzy pod-
zbiorami zbioru R
Zwracamy uwagê na liczbê 0. Zaliczamy j¹ do
zbioru liczb naturalnych. Nie jest ona jednak ani
liczb¹ dodatni¹ ani ujemn¹. D¹¿ymy do tego, aby
uczniowie wskazywali relacje miêdzy podzbiorami
zbioru R.
Porównywanie liczb
zapisaæ liczbê rzeczywist¹ w ró¿ny
sposób;
uporz¹dkowaæ rosn¹co i malej¹co
skoñczony zbiór liczb
Liczby rzeczywiste zapisujemy w ró¿nej postaci.
Przy przedstawieniu liczby rzeczywistej jako
u³amka dziesiêtnego zwracamy uwagê na to, ¿e
w zale¿noci od tego czy jest to liczba wymierna,
czy nie, przedstawienie to jest u³amkiem skoñczo-
nym, nieskoñczonym okresowym lub nieskoñczo-
nym nieokresowym. Wykonujemy æwiczenia
pozwalaj¹ce zaznaczyæ na osi liczbowej odpo-
wiednie liczby. Przypominamy wartoæ bez-
wzglêdn¹ liczby i jej w³asnoci.
Przedzia³y liczbowe
zaznaczyæ na osi liczbowej dany
przedzia³
D¹¿ymy do tego, aby uczniowie potrafili podaæ
przyk³ady przedzia³ów liczbowych oraz zaznaczyæ
je na osi liczbowej.
52
Liczby rzeczywiste cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Dzia³ania w zbiorze
liczb rzeczywistych
Wykonalnoæ dzia³añ
w podzbiorach zbioru R
wykonywaæ obliczenia w zbiorze R Staramy siê, aby uczniowie osi¹gnêli sprawnoæ
rachunkow¹, wykorzystuj¹c ró¿ne metody liczenia
(rachunki pisemne, wykorzystanie kalkulatorów,
komputerów). D¹¿ymy do sprawnego wykony-
wania rachunków, stosuj¹c wzory skróconego
mno¿enia, w tym równie¿ do usuwania nie-
wymiernoci z mianownika u³amka.
W³asnoci dzia³añ
w zbiorze R
wykorzystywaæ w³asnoci dzia³añ
w zbiorze R
Systematyzujemy wiadomoci o zbiorze liczb
rzeczywistych i dzia³aniach w tym zbiorze.
Analizujemy sytuacje, w których powinnimy
uwzglêdniaæ stosowanie nawiasów. Dzia³ ten
traktujemy jako podsumowanie nauki o liczbach
rzeczywistych w gimnazjum.
53
Wyra¿enia algebraiczne
10 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Wyra¿enia wymierne Pojêcie wyra¿enia
wymiernego
podaæ przyk³ad wyra¿enia
wymiernego;
okreliæ dziedzinê wyra¿enia
wymiernego
Staramy siê, aby uczniowie umieli przedstawiæ
dane wyra¿enie wymierne w najprostszej postaci
(bez zmiany jego dziedziny). Rozpatrujemy niezbyt
skomplikowane wyra¿enia, aby uczniowie mogli
nauczyæ siê tych zagadnieñ bez dodatkowych utrud-
nieñ. Od uczniów wymagamy starannego okrele-
nia dziedziny wyra¿enia wymiernego.
Równoæ wyra¿eñ
wymiernych
rozszerzaæ wyra¿enie wymierne
z zachowaniem tej samej dziedziny;
skracaæ wyra¿enia wymierne z za-
chowaniem tej samej dziedziny
Zwracamy uwagê na analogiê do odpowiednich
operacji stosowanych przy u³amkach.
Dodawanie i odejmowanie
wyra¿eñ wymiernych
obliczyæ sumê wyra¿eñ wymiernych;
obliczyæ ró¿nicê wyra¿eñ wymier-
nych
Wyra¿enia wymierne traktujemy jako u³amki
i zwracamy uwagê na podobieñstwo do dzia³añ
na liczbach wymiernych. Staramy siê, aby
mianowniki wyra¿eñ wymiernych by³y mo¿li-
wie najprostsze.
Mno¿enie i dzielenie
wyra¿eñ wymiernych
obliczyæ iloczyn wyra¿eñ wymier-
nych;
obliczyæ iloraz wyra¿eñ wymier-
nych
Wykorzystujemy analogiê do dzia³añ na liczbach
wymiernych. Wykonuj¹c dzia³ania na wyra¿eniach
wymiernych, wskazujemy na ich zastosowania
w fizyce, chemii i geometrii.
Wartoæ liczbowa
wyra¿enia wymiernego
przekszta³ciæ wyra¿enie wymierne
do postaci dogodnej dla wykony-
wania obliczeñ;
obliczyæ wartoæ liczbow¹ wyra¿e-
nia
D¹¿ymy do tego, aby uczniowie osi¹gnêli pewn¹
sprawnoæ w przekszta³caniu wyra¿eñ wymiernych.
Obliczamy wartoci liczbowe wyra¿eñ, które maj¹
swoje pochodzenie w sytuacjach praktycznych.
54
Wyra¿enia algebraiczne cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Wyra¿enia
wymierne
Przekszta³canie wzorów
wyznaczyæ wskazan¹ we wzorze
wielkoæ
Stosujemy nabyte przez uczniów umiejêtnoci do
przekszta³cania wzorów (fizycznych, chemicznych
itp.). D¹¿ymy do tego, aby uczniowie potrafili
okreliæ wielkoci potrzebne do wyznaczenia
wielkoci wskazanej.
55
Równania, nierównoci i uk³ady równañ
15 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Równania i nierów-
noci pierwszego
stopnia z dwiema
niewiadomymi
Metody rozwi¹zywania
równañ i nierównoci
pierwszego stopnia z jedn¹
niewiadom¹
rozwi¹zaæ równanie pierwszego
stopnia z jedn¹ niewiadom¹;
sprawdziæ, czy dana liczba jest roz-
wi¹zaniem równania;
rozwi¹zaæ nierównoæ pierwszego
stopnia z jedn¹ niewiadom¹;
sprawdziæ, czy dana liczba jest
rozwi¹zaniem nierównoci;
stosowaæ równania i nierównoci
do rozwi¹zywania zadañ z ró¿nych
dziedzin
Rozpoczêcie, w tym dziale, nauki od powtórzenia
wiadomoci i metod rozwi¹zywania równañ i nie-
równoci pierwszego stopnia z jedn¹ niewiadom¹,
ma na celu zarówno przypomnienie, jak i dosko-
nalenie umiejêtnoci rozwi¹zywania równañ.
Mo¿emy wprowadziæ nowe typy równañ.
Sposoby rozwi¹zywania
równañ pierwszego stop-
nia z dwiema niewia-
domymi
podaæ ogólne rozwi¹zanie równania
pierwszego stopnia z dwiema nie-
wiadomymi;
podaæ rozwi¹zanie szczegó³owe
równania;
sprawdziæ, czy dana para liczb jest
rozwi¹zaniem równania z dwiema
niewiadomymi
Doskonalimy przekszta³canie wielomianów, spro-
wadzaj¹c równanie pierwszego stopnia z dwiema
niewiadomymi do postaci dogodnej dla podania
rozwi¹zania ogólnego, jak i szczegó³owego.
D¹¿ymy do tego, aby uczniowie potrafili sprawdziæ,
czy dana para liczb jest rozwi¹zaniem szczegó³o-
wym równania. Wskazane by³oby, aby uczniowie
potrafili podaæ przyk³ad równania o danym roz-
wi¹zaniu.
56
Równania, nierównoci i uk³ady równañ cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Równania i nierów-
noci pierwszego stop-
nia z dwiema niewia-
domymi
Interpretacja geometrycz-
na równania i nierównoci
pierwszego stopnia
z dwiema niewiadomymi.
Równanie prostej
doprowadziæ równanie pierwszego
stopnia z dwiema niewiadomymi do
równania prostej;
narysowaæ prost¹ odpowiadaj¹c¹
danemu równaniu;
zaznaczyæ na p³aszczynie zbiór
punktów, których wspó³rzêdne
spe³niaj¹ okrelon¹ nierównoæ;
napisaæ równanie prostej o zadanych
w³asnociach
Przy równaniach pierwszego stopnia z dwiema
niewiadomymi równanie postaci
sprowadzamy do postaci
,
.
Wprowadzamy równie¿ pojêcie równania prostej,
które przydatne bêdzie do wprowadzenia interpre-
tacji geometrycznej uk³adów równañ. Przy interpre-
tacji geometrycznej równañ liniowych z dwiema
niewiadomymi uwagê zwracamy na ich szczególne
przypadki, a mianowicie:
i
.
Uk³ady równañ
pierwszego stopnia
z dwiema niewiado-
mymi
Pojêcie uk³adu równañ
pierwszego stopnia
z dwiema niewiadomymi
rozpoznaæ uk³ad równañ pierwszego
stopnia z dwiema niewiadomymi;
podaæ przyk³ad uk³adu równañ
pierwszego stopnia z dwiema nie-
wiadomymi
Wprowadzamy pojêcie uk³adu równañ pierwszego
stopnia z dwiema niewiadomymi oraz pojêcie
rozwi¹zania uk³adu równañ.
D[ E\ F
\
D[ F
E
±
E
≠
[ E\ F
⋅
D[ \ F
⋅
57
Równania, nierównoci i uk³ady równañ cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Uk³ady równañ
pierwszego stopnia
z dwiema niewia-
domymi
Metody rozwi¹zywania
uk³adów równañ
pierwszego stopnia
z dwiema niewiadomymi
sprawdziæ, czy dana para liczb jest
rozwi¹zaniem uk³adu równañ;
przekszta³ciæ dany uk³ad równañ
na uk³ad mu równowa¿ny;
podaæ przyk³ad równowa¿nych
uk³adów równañ;
rozwi¹zaæ uk³ad równañ wybran¹
przez siebie metod¹;
stosowaæ uk³ady równañ do rozwi¹-
zywania zadañ z ró¿nych dziedzin
Przy rozwi¹zywaniu uk³adów równañ pokazujemy
ró¿ne metody ich rozwi¹zywania, natomiast
d¹¿ymy do tego, aby uczniowie biegle stosowali
jedn¹ z nich. W tym celu nie okrelamy priorytetu
dla ¿adnej z metod. Uczniowie sami powinni
wybraæ najwygodniejsz¹ dla siebie metodê roz-
wi¹zywania uk³adów równañ. D¹¿ymy do tego,
aby uczniowie, za pomoc¹ uk³adów równañ,
opisywali problemy wynikaj¹ce z otaczaj¹cej ich
rzeczywistoci oraz z zakresu ró¿nych dziedzin.
Interpretacja geometrycz-
na uk³adu równañ
pierwszego stopnia
z dwiema niewiadomymi
podaæ interpretacjê geometryczn¹
uk³adu równañ;
okreliæ zbiór rozwi¹zañ uk³adu
równañ na podstawie jego interpre-
tacji geometrycznej
Uczniowie powinni umieæ przedstawiæ w uk³adzie
wspó³rzêdnych interpretacjê geometryczn¹ ró¿nych
rodzajów uk³adów równañ. D¹¿ymy do tego, aby na
podstawie interpretacji geometrycznej uczniowie
potrafili okreliæ rodzaj uk³adu i odczytaæ jego roz-
wi¹zania.
58
Dowiadczenia losowe
10 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Dowiadczenia
losowe
Pojêcie dowiadczenia
losowego
podaæ przyk³ad dowiadczenia loso-
wego;
zebraæ dane dotycz¹ce okrelonego
zdarzenia losowego;
przedstawiæ zebrane dane w postaci
graficznej
W ¿yciu codziennym coraz czêciej spotykamy siê
z koniecznoci¹ korzystania i interpretowania
ró¿nych danych statystycznych. Przedstawianie ich
w postaci ró¿nych tabel, wykresów, czy te¿ dia-
gramów powoduje mo¿liwoæ ich ³atwej
interpretacji. W naszej pracy d¹¿ymy do tego,
aby uczniowie potrafili zebraæ odpowiednie dane
dla okrelonego dowiadczenia losowego i przed-
stawiæ je w formie graficznej. U³atwieniem w reali-
zacji tych zagadnieñ mo¿e byæ wykorzystanie opro-
gramowania komputerowego (nale¿y nawi¹zaæ
wspó³pracê z nauczycielem informatyki). Podej-
mujemy próby zinterpretowania wyników
dowiadczenia losowego.
Czêstoæ zdarzenia
obliczyæ czêstoæ zdarzenia
w dowiadczeniu losowym
Na podstawie zebranych danych dla dowiadczenia
losowego obliczamy czêstoæ zdarzenia.
Nale¿y zwróciæ uwagê na zachodz¹ce zmiany
w czêstoci zdarzenia w zale¿noci od liczby
przeprowadzonych dowiadczeñ. Mo¿e to byæ
wstêpem do okrelenia czêstoci teoretycznej
danego zdarzenia losowego.
59
Przekszta³cenia geometryczne
20 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Jednok³adnoæ
Okrelenie i w³asnoci
jednok³adnoci
znaleæ obraz odcinka w jedno-
k³adnoci;
obliczyæ d³ugoæ obrazu odcinka
w jednok³adnoci;
znaleæ obraz okrêgu (ko³a)
w jednok³adnoci;
rozpoznawaæ figury jednok³adne;
rysowaæ figury jednok³adne
Wprowadzaj¹c pojêcie jednok³adnoci, podajemy je
jako przyk³ad przekszta³cenia nieizometrycznego.
Zwracamy uwagê na zachowanie wspó³liniowoci
punktów w jednok³adnoci. Omawiamy zmiany
d³ugoci odcinków w jednok³adnoci oraz stosunek
pól figur jednok³adnych. D¹¿ymy do tego, aby ucz-
niowie potrafili rysowaæ figury jednok³adne.
Twierdzenie Talesa
Twierdzenie Talesa
i wnioski
stosowaæ twierdzenie Talesa do
wyznaczania d³ugoci wskazanych
odcinków;
podzieliæ odcinek na równe czêci
Wprowadzamy twierdzenie Talesa i twierdzenie
do niego odwrotne, wskazuj¹c jednoczenie na ich
wszechstronne zastosowania do rozwi¹zywania
problemów ¿ycia codziennego.
Podobieñstwo
Definicja i w³asnoci
podobieñstwa
rozpoznawaæ figury podobne;
okrelaæ w³asnoci figur podob-
nych;
rysowaæ figury podobne
Staramy siê, aby uczniowie zdobyli dowiadczenie
w zakresie stosowania wiadomoci i umiejêtnoci
niezbêdnych w sytuacjach praktycznych.
(powiêkszanie, zmniejszanie figur).
60
Przekszta³cenia geometryczne cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Podobieñstwo
Cechy podobieñstwa
trójk¹tów
wskazaæ trójk¹ty podobne;
stosowaæ w³asnoci podobieñstwa
trójk¹tów w zadaniach praktycz-
nych
Du¿y nacisk k³adziemy na rozpoznawanie trójk¹tów
podobnych. W³asnoci podobieñstwa trójk¹tów
stosujemy zarówno w zadaniach zwi¹zanych
z ¿yciem codziennym jak i w zadaniach teoretycz-
nych.
Plan i mapa
naszkicowaæ plan terenu lub inne-
go obiektu w danej skali;
odczytaæ rzeczywiste wymiary
obiektu przedstawionego w danej
skali
Pos³ugujemy siê rzeczywistymi obiektami, rysuj¹c
plan w okrelonej skali lub przedstawiamy plan
istniej¹cego obiektu (wskazane by³oby, aby obiekt
by³ znany uczniom). Zwracamy uwagê na oznacze-
nia symboliczne oraz na oznaczenia rzeczywistych
obiektów w odpowiedniej skali. Powinnimy wyko-
rzystywaæ wiedzê i umiejêtnoci uczniów z lekcji
geografii.
61
Zwi¹zki miarowe w trójk¹cie
20 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Zwi¹zki miêdzy
bokami w trójk¹cie
Twierdzenie Pitagorasa
stosowaæ twierdzenie Pitagorasa
do obliczania d³ugoci brakuj¹cych
boków w trójk¹cie
Powtarzamy i utrwalamy wiadomoci z lat poprzed-
nich. Przypominamy warunek istnienia trójk¹ta
i wykorzystujemy go do badania wielok¹tów, które
dzielimy na odpowiednie trójk¹ty.
Funkcje trygonometry-
czne k¹ta ostrego
Okrelenie funkcji trygo-
nometrycznych k¹ta
ostrego
okreliæ funkcje trygonometryczne
k¹ta ostrego w trójk¹cie prosto-
k¹tnym
Nie prowadzimy rozwa¿añ dotycz¹cych funkcji
trygonometrycznych w ogólnym znaczeniu.
Ograniczamy siê jedynie do zwi¹zków pomiêdzy
bokami i k¹tami w trójk¹cie prostok¹tnym, stosuj¹c
odpowiednie nazwy funkcji trygonometrycznych.
Wartoci funkcji trygono-
metrycznych k¹ta ostrego
odczytaæ z tablic wartoci funkcji
trygonometrycznych k¹ta ostrego;
wykorzystaæ kalkulator do wyzna-
czenia wartoci funkcji trygono-
metrycznych k¹ta ostrego;
obliczyæ wartoci funkcji trygono-
metrycznych k¹tów 30
o
, 45
o
, 60
o
.
D¹¿ymy do tego, aby uczniowie nabrali wprawy
w odczytywaniu wartoci funkcji trygonometrycz-
nych k¹tów ostrych (zw³aszcza, kiedy u¿ywaj¹
kalkulatorów). Pokazujemy sposoby obliczania
wartoci funkcji dla wybranych k¹tów w przypad-
kach, w których mo¿emy wykorzystaæ w³asnoci
trójk¹tów.
62
Zwi¹zki miarowe w trójk¹cie cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Funkcje trygonometry-
czne k¹ta ostrego
Zwi¹zki pomiêdzy
funkcjami trygono-
metrycznymi tego samego
k¹ta
obliczyæ wartoci pozosta³ych funk-
cji trygonometrycznych, znaj¹c
wartoæ jednej z nich;
rozwi¹zaæ trójk¹t prostok¹tny;
stosowaæ funkcje trygonometryczne
do rozwi¹zywania zadañ
Wprowadzamy podstawowe zwi¹zki pomiêdzy
funkcjami trygonometrycznymi tego samego k¹ta.
Wykonujemy æwiczenia polegaj¹ce na wyznaczaniu
wartoci funkcji trygonometrycznych na podstawie
wartoci jednej z funkcji. Staramy siê, aby ucznio-
wie widzieli potrzebê korzystania z funkcji trygo-
nometrycznych do rozwi¹zywania trójk¹tów
prostok¹tnych. Rozwa¿aj¹c zadania o wielok¹tach,
dzielimy dany wielok¹t na odpowiednie do dal-
szych badañ trójk¹ty (prostok¹tne) i stosujemy
potrzebne funkcje trygonometryczne.
63
Figury przestrzenne
20 godzin
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Proste i p³aszczyzny
w przestrzeni
Wzajemne po³o¿enie
prostych i p³aszczyzn
w przestrzeni
okreliæ po³o¿enie prostych
i p³aszczyzn w przestrzeni;
wskazaæ, na modelu, okrelone
proste i p³aszczyzny
D¹¿ymy do wykszta³cenia sprawnoci w zakresie
dostrzegania równoleg³oci i prostopad³oci prostej
i p³aszczyzny oraz dwóch p³aszczyzn. Precyzujemy
pojêcie prostych skonych.
Rzut równoleg³y
Rzut równoleg³y
na p³aszczyznê
wyznaczyæ obraz rzutu równoleg³ego
punktu na p³aszczyznê
Naukê o rzutach rozpoczynamy od rysowania cienia
figury na p³aszczynie. Rzuty równoleg³e traktuje-
my jako przekszta³cenie geometryczne. Omawiamy
podstawowe w³asnoci, które pozwol¹ uczniom na
w³aciwe rysowanie obrazów figur przestrzennych.
Rzut równoleg³y prostych
i odcinków
wyznaczyæ obraz rzutu równoleg³ego
odcinków na p³aszczyznê;
wyznaczyæ obraz rzutu równoleg³ego
prostych na p³aszczyznê
Rzut równoleg³y figury
p³askiej
narysowaæ obraz rzutu równoleg³ego
wielok¹ta;
narysowaæ obraz rzutu równoleg³ego
ko³a
Rzut prostok¹tny.
K¹t miêdzy prost¹
i p³aszczyzn¹
stosowaæ rzut prostok¹tny do spo-
rz¹dzania planów;
wyznaczyæ k¹t nachylenia prostej
do p³aszczyzny
Wyznaczanie k¹ta nachylenia prostej do p³asz-
czyzny powinno odbywaæ siê na odpowiednich
do tego celu modelach.
K¹t dwucienny
wyznaczyæ k¹t dwucienny;
odczytaæ miarê k¹ta liniowego
danego k¹ta dwuciennego
Wyznaczanie k¹ta dwuciennego powinno odbywaæ
siê na odpowiednich do tego celu modelach.
64
Figury przestrzenne cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Bry³y
Opis graniastos³upa,
ostros³upa, walca, sto¿ka
i kuli
rozpoznawaæ poszczególne rodzaje
bry³
Omawiaj¹c ró¿nego rodzaju bry³y, d¹¿ymy do tego,
aby uczniowie potrafili rozpoznawaæ ró¿ne rodzaje
bry³.
Siatki bry³
wykonaæ siatki graniastos³upów
i ostros³upów;
rozpoznaæ bry³ê na podstawie jej
siatki
Wykonywane æwiczenia powinny doprowadziæ do
tego, aby uczniowie potrafili przygotowaæ siatkê
odpowiedniego modelu bry³y. Wiêksz¹ operatyw-
noæ wiedzy uzyskamy, stosuj¹c æwiczenia,
w których uczniowie, na podstawie przedstawionej
siatki, bêd¹ okrelaæ rodzaj odpowiedniej dla niej
bry³y, b¹d te¿ stwierdzaæ, ¿e nie odpowiada
siatce ¿adnej z poznanych bry³.
Rzut równoleg³y bry³
narysowaæ obraz rzutu równoleg³ego
bry³y;
wskazaæ na rysunku bry³y w rzucie
równoleg³ym podane k¹ty dwu-
cienne
Wykorzystujemy w³asnoci rzutu równoleg³ego do
przedstawiania bry³ na p³aszczynie. Wskazujemy
na znaczenie praktyczne i zalety czytelnie wyko-
nanego rysunku.
Pole powierzchni bry³ Jednostki pola
zamieniaæ ró¿ne jednostki pola
U¿ywamy ró¿nych jednostek miary powierzchni
zarówno z uk³adu SI, jak i stosowanych w praktyce
(np. a, ha). Zagadnienia te traktujemy jako
powtórzenie i usystematyzowanie wiadomoci.
Wykonujemy æwiczenia pozwalaj¹ce na dokony-
wanie zamiany jednego rodzaju jednostek na inny.
65
Figury przestrzenne cd.
Has³o
Realizowane treci
Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.
Uczeñ potrafi:
Opis procedur osi¹gania celów
Pole powierzchni bry³ Pole powierzchni bocznej obliczyæ pole powierzchni bocznej
poznanych bry³
Stosujemy w zadaniach umiejêtnoæ przedstawienia
na p³aszczynie odpowiedniego fragmentu bry³y.
Wykorzystujemy umiejêtnoci zwi¹zane ze stoso-
waniem funkcji trygonometrycznych, twierdzenia
Pitagorasa i Talesa.
Pole powierzchni ca³ko-
witej
obliczyæ pole powierzchni ca³ko-
witej poznanych bry³;
stosowaæ do obliczania pól po-
wierzchni funkcje trygonometryczne
Objêtoæ bry³y
Jednostki objêtoci
zamieniaæ ró¿nego rodzaju jednostki
objêtoci
Wprowadzamy jednostki objêtoci (równie¿
stosowane w praktyce). Wykonujemy æwiczenia
polegaj¹ce na zamianie jednego rodzaju jednostki
na inny.
Objêtoæ graniastos³upa,
ostros³upa, walca, sto¿ka
i kuli
obliczyæ objêtoæ poznanych bry³;
stosowaæ do obliczania objêtoci
funkcje trygonometryczne
Rozwi¹zywanie zadañ, podobnie jak obliczanie pól
powierzchni, wymaga stosowania wszystkich naby-
tych przez uczniów umiejêtnoci. Szczególn¹
uwagê zwracamy na umiejêtnoæ przedstawienia
w³aciwego fragmentu bry³y w postaci dogodnej
do rozwi¹zania zadania. D¹¿ymy do wykszta³cenia
racjonalnego stosowania zapisu symbolicznego.
W przypadkach koniecznych stosujemy odpowied-
nie przybli¿enia.