II KOLOKWIUM Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ 1b

zestaw A

1. Znaleźć równanie prostej stycznej do wykresu funkcji

f (x) = x

2

e

1
x

,

która jest równoległa do osi 0x.

2. Wyznaczyć lokalne ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji f (x) =

ln

2

x

x

2

.

3. Wykorzystując regułę de L’Hospitala obliczyć granicę

lim

x→∞

√

x sin

1

x

.

4. Obliczyć całki :

a)

Z

ln x

3

√

x

dx,

b)

Z

cos

3

x ·

√

sin xdx

5. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f (x) =

1

e

x

−1

.

zestaw C

1. Znaleźć równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f (x) = x

2

ln

2

x, która jest równoległa do osi 0x.

2. Wyznaczyć lokalne ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji f (x) = sin

2

x −

x

2

.

3. Wykorzystując regułę de L’Hospitala obliczyć granicę

lim

x→∞

4

x

2

2

x

.

4. Obliczyć całki;

a)

Z

ln x

x

3

dx

b)

Z

x

3

√

3 − x

2

dx

5. Wyznaczyć asymptoty funkcji f (x) =

cos x

x

.

zestaw B

1. Pod jakim kątem przecinają się wykresy funkcji f (x) =

cos 2x

x+1

oraz

g(x) = 3

3

√

x + 1 − 2

w punkcie (0, 1).

2. Wyznaczyć lokalne ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji f (x) =

x

2

e

2x

.

1

2

3. Wykorzystując regułę de L’Hospitala obliczyć granicę

lim

x→1

(

1

ln x

−

1

x − 1

).

4. Obliczyć całki;

a)

Z

x2

−x

dx

b)

Z

1 + x

√

x + 2

dx

5. Wyznaczyć asymptoty funkcji f (x) =

1

1+

3

√

x

.

zestaw D

1. Pod jakim kątem przecinają się wykresy funkcji f (x) =

√

x + 1 sin 2x

oraz

g(x) = −arctg

x
2

w punkcie (0, 0).

2. Wyznaczyć lokalne ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji f (x) =

1

x

e

x

2

.

3. Wykorzystując regułę de L’Hospitala obliczyć granicę

lim

x→0

(ctg x −

1

x

).

4. Obliczyć całki;

a)

Z

x cos

x

2

dx

b)

Z

ln

2

x + 2

x ln x

dx

5. Wyznaczyć asymptoty funkcji f (x) =

1

ln x−1

.