Materiały dydaktyczne  Geodezja geometryczna
Marcin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska
UKA
ADY WSPÓA
RZ
DNYCH NA KULI
Pierwszym przybliżeniem kształtu Ziemi (oczywiście po latach płaskich dysków wspieranych
na słoniach, krokodylach i innych bajkowych stworach) była kula (krótka historia zawarta jest
w konspekcie nr 1). Oczywiście w dalszym ciągu jest wykorzystywana w wielu
uproszczeniach i przybliżeniach w rozwiązywaniu zadań na elipsoidzie oraz tam gdzie
wystarczająca jest dokładność rzędu kilkudziesięciu metrów. Przyjmuje się, że promień takiej
kulistej Ziemi wynosi 6371 km.
WSPÓA
RZ
DNE GEOGRAFICZNE
PG
h
PK
R
j�
R
R l�
Oś podstawowa  oś obrotu Ziemi
Oś podstawowa przebija kulę w dwóch punktach, zwanych biegunami ziemskimi 
północnym i południowym.
Każde połączenie biegunów ziemskich połową łuku koła wielkiego nazywamy południkiem.
Jest jeden wyróżniony południk  południk  0 , określony przez punkt Obserwatorium
Astronomicznego w Greenwich.
Każde koło małe leżące w płaszczyz
nie prostopadłej do osi obrotu jest zwane
równoleżnikiem, jedynie równik jest kołem wielkim.
Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch
kątów (j�, l�).
j�  szerokość geograficzna  jest to kąt jaki normalna do powierzchni sfery w punkcie PK
p� p�
�� ł�
tworzy z płaszczyzną równika. Przyjmuje wartości z przedziału , , na północ od
ę�-� ś�
2 2
�� ��
równika dodatnie wartości na południe ujemne.
Materiały dydaktyczne  Geodezja geometryczna
Marcin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska
l�  długość geograficzna  jest to kąt dwuścienny zawarty między płaszczyzną południka  0
a płaszczyzną południka zawierającą punkt PK. Przyjmuje wartości z przedziału [�-� p� ,p�]�, na
wschód od południka  0 dodatnie wartości na zachód ujemne.
UKA
AD WSPÓA
RZ
DNYCH KARTEZJAC
SKICH (PROSTOK
TNYCH PROSTOLINIOWYCH)
z
PK
R
a
z
j�
y
l�
x
y
x
Początek układu współrzędnych pokrywa się ze środkiem kuli.
Oś z pokrywa się z osią obrotu Ziemi
Oś x pokrywa się z krawędzią przecięcia płaszczyzny równika z płaszczyzną południka  0
Oś y tworzy z pozostałymi osiami układ prowoskrętny
W prosty sposób można wyprowadzić związki między współrzędnymi kartezjańskimi a
współrzędnymi geograficznymi:
Dla punktu na powierzchni kuli:
x =� R cosj� cosl�
y =� R cosj� sin l�
z =� Rsin j�
Dla punktu pod/nad powierzchnią kuli:
x =� (�R +� h)�cosj� cosl�
y =� (�R +� h)�cosj� sin l�
z =� (�R +� h)�sin j�
Znając współrzędne kartezjańskie można oczywiście dokonać przeliczenia odwrotnego:
y
tgl� =�
x
Materiały dydaktyczne  Geodezja geometryczna
Marcin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska
UWAGA!!! Wzór powyższy posiada pewną niedogodność  x w mianowniku, jeśli równa się
zero to mamy problem, oferuję dużego plusa, temu, kto ten problem wyeliminuje J�. To jest
jedna sprawa, a druga to oczywiście odpowiedni znak J�.
z
tgj� =�
x2 +� y2
UWAGA!!!
Tutaj również pojawia się podobny problem gdy, x = 0 i równocześnie y = 0, ale to
oczywiście dotyczy punktów o szerokości geograficznej j� = 90o, zatem łatwo ustalić znak w
zależności od wartości  z .
UKA
AD WSPÓA
RZ
DNYCH AZYMUTALNYCH
Obieramy na kuli dowolny punkt P0 (z wyjątkiem biegunów), o znanych współrzędnych
geograficznych (j�0, l�0), zatem inny dowolny punkt na powierzchni kuli będzie jednoznacznie
określony względem punktu P0 gdy podamy odległość sferyczną d� od tego punktu oraz jego
azymut a�. Punkt P0 nazywamy punktem głównym a (d�, a�) współrzędnymi azymutalnymi.
A
atwo to zapamiętać poprzez analogię do współrzędnych biegunowych na płaszczyz
nie.
B
P
d�
a�
P0
B
Z trójkąta biegunowego P0BP można wyprowadzić związki między współrzędnymi
azymutalnymi a współrzędnymi geograficznymi:
sin(�l� -� l�0 )�cosj�
sin a� =�
sin d�
lub
sin(�l� -� l�0 )�
tga� =�
tgj� cosj�0 -� cos(�l� -� l�0 )�sin j�0
Materiały dydaktyczne  Geodezja geometryczna
Marcin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska
cosd� =� sin j�0 sin j� +� cosj� cosj�0 cos(�l� -� l�0 )�
lub
sin(�l� -� l�0 )�cosj�
sin d� =�
sin a�
lub
sin j� cosj�0 -� cosj� sin j�0 cos(�l� -� l�0 )�
sin d� =�
cosa�
Zamiany odwrotnej, mając współrzędne azymutalne punktu P, można dokonać według
wzorów:
sin j� =� cosd� sin j�0 +� sin d� cosj�0 cosa�
sin a� sin d�
sin(�l� -� l�0 )� =�
cosj�
UWAGA!!! Oczywistą sprawą jest, że jeżeli ktoś z Was wyprowadzi inny, poprawny i
stabilny wzór na przeliczanie współrzędnych to będzie mógł go używać i przedstawić
wszystkim a zarazem zarobić dobrą notę. Zachęcam do własnej pracy twórczej J�.
UKA
AD WSPÓA
RZ
DNYCH PROSTOK
TNYCH SFERYCZNYCH
Na kuli obieramy dowolny południk, na rysunku jest to południk BCB o długości
geograficznej l�0. Aby jednoznacznie określić położenie dowolnego punktu P (j�, l�) na kuli,
prowadzimy łuk koła wielkiego od punktu P prostopadle do wybranego południka BCB .
Punkt przecięcia łuku koła wielkiego wychodzącego z P i prostopadłego do BCB oznaczamy
przez C. Odległość punktu C od równika nazywamy odciętą sferyczną i oznaczamy jako  x
(lub x/R), natomiast rzędną sferyczną CP oznaczamy jako  y (lub y/R).
B
90o
C
y
P
x
B
Materiały dydaktyczne  Geodezja geometryczna
Marcin Ligas, Katedra Geomatyki, Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska
Aby dokonać zamiany współrzędnych geograficznych na sferyczne prostokątne
wykorzystujemy trójkąt sferyczny prostokątny BCP, z którego dostajemy następujące
związki:
y
sin =� cosj� sin(�l� -� l�0 )�
R
oraz:
x
ctg =� ctgj� cos(�l� -� l�0 )�
R
Dla zamiany odwrotnej  współrzędne sferyczne prostokątne na współrzędne geograficzne
możemy wykorzystać następujące wzory:
x y
sin j� =� sin cos
R R
y
tg
R
tg(�l� -� l�0 )� =�
x
cos
R
Konspekt przygotowany na podstawie:
Szpunar W., Geodezja Wyższa i Astronomia Geodezyjna, Wydanie trzecie, tom I, PWN, 1963
Gajderowicz I., Odwzorowania Kartograficzne  Podstawy, Wydawnictwo UWM, 2009
Praca zbiorowa, Geodezja Wyższa i Astronomia Geodezyjna  zadania i przykłady, PWN, 1988
Materiały dydaktyczne udostępnione przez dr hab. inż. Piotra Banasika