Slajd 1
Fizyka kwantowa
dotyczy świata mikroskopowego
wiele wielkości jest skwantowanych,
tzn. występuje w całkowitych
wielokrotnościach pewnych minimalnych
porcji zwanych kwantami
Slajd 2
Foton, kwant światła
Zjawiska świadczące o kwantowej naturze
światła:
zjawisko fotoelektryczne  energia
kwantów - równanie Einsteina
efekt Comptona - pęd fotonów
widma emisyjne atomów
prawidłowy opis promieniowania
termicznego z postulatem kwantyzacji
energii świetlnej - prawo Plancka
Slajd 3
Zjawisko fotoelektryczne
Wiązka światła wybija elektrony z powierzchni metalu
z falowej teorii wynika:
elektron nie opuści metalu dopóki amplituda fali Eo nie
przekroczy określonej wartości krytycznej
energia emitowanych elektronów wzrasta proporcjonalnie
do Eo2
liczba emitowanych elektronów powinna zmniejszyć się ze
wzrostem częstotliwość światła
wyniki eksperymentalne:
progowego natężenia nie zaobserwowano
energia elektronów okazała się niezależna od wielkości Eo
zauważono zależność energii elektronów od częstotliwości
Slajd 4
Teoria Einsteina
Å›wiatÅ‚o o czÄ™stoÅ›ci ½ stanowi zbiór pakietów
energii zwanych fotonami lub kwantami z
których każdy posiada energiÄ™ h½
h to uniwersalna staÅ‚a Plancka = 6.626×10 34 Js
kwanty światła (fotony) zachowują się podobnie
do czÄ…stek materialnych (przy zderzeniu foton
może być pochłonięty, a cała jego energia
przekazana jest elektronowi).
maksymalna energia kinetyczna elektronu
opuszczającego metal o pracy wyjścia Wo wynosi
Kmax = h½ - Wo
Slajd 5
Kmax = h½ - Wo
Doświadczenia
h½o = Wo
fotoelektryczne
Kmax
materiał
T K
tarczy:
j
U
A
½o czÄ™stość progowa½
j liczba emitowanych elektronów
(prąd j) rośnie ze wzrostem
2Io
natężenia światła Io
maksymalna energia elektronów
Io
Kmax=Uh nie zależy od natężenia
światła Io, rośnie ze wzrostem
U
czÄ™stotliwoÅ›ci ½
Uh
0
Slajd 6
Pęd fotonu
Foton, oprócz energii E=h½, posiada również pÄ™d p
Zgodnie z teoriÄ… relatywistycznÄ… wszystkie czÄ…stki
które posiadają energię muszą posiadać pęd,
nawet jeśli nie mają masy spoczynkowej
2
mo = 0
2
E = (pc)2 + (moc2)
E = pc
E h½ h Kierunek pÄ™du fotonu jest zgodny z kierunkiem
p = = =
rozchodzenia siÄ™ fali elektromagnetycznej
c c 
Foton nie ma Å‚adunku elektrycznego ani momentu
magnetycznego, ale może oddziaływać z innymi cząstkami
z
e
c
d
ó
s
Slajd 7
Efekt Comptona
Rozpraszanie fotonów na swobodnych elektronach:
wiązka promieniowania rentgenowskiego o długości fali 
rozpraszana przez grafitową tarczę zmieniała swą długość w
zależnoÅ›ci od kÄ…ta rozpraszania ¸ (poÅ‚ożenia detektora).
W klasycznym podejściu częstość, a więc i długość wiązki
rozproszonej powinna być taka sama jak padającej.
detektor
promieniowanie
rentgenowskie
'
wiÄ…zka
 ¸
rozproszona
tarcza
grafitowa
szczeliny
kolimujÄ…ce
Slajd 8
h½ h
p = =
Zderzenie fotonu
c 
E = pc
z elektronem
z prawa zachowania energii i pędu przed i po zderzeniu (m  masa spoczynkowa)
energia spoczynkowa i całkowita elektronu
pc + mc2 = p' c + E'e - p'+mc)2 = (E'e / c)2 przed zderzeniem
(p
r
p
r r r r r r r r
2
h½
p = p'+p'e p- p'= p'e p2 - 2pp'+p'2 = p'e
e
r
p'
2
E'e 2 po
m2c2 - 2pp'+2pmc - 2p' mc + 2pp' cos ¸ = - p'e
c2
¸
2 '2
r
Eo = m2c4 = Ee - p2c2
p'e
e
m2c2 - 2p'(p + mc - p cos ¸) + 2pmc = m2c2
p
h
p' =
'- = (1 - cos ¸)
p
1 + (1 - cos ¸) mc
mc
Slajd 9
Wyniki doświadczenia
h
'- = (1 - cos ¸)
Comptona
mc
przesunięcie comptonowskie
Io Õ=90°
"= - zwiększa się wraz ze
wzrostem kÄ…ta rozpraszania
obecność wiązki o nie
zmienionej długości fali
wynika z rozproszenia na
elektronach zwiÄ…zanych
długość fali
 
im większa masa cząstki tym
mniejsze przesunięcie "
Io
Õ=135°
efekt Comptona potwierdza
korpuskularny charakter
światła  fotony obdarzone
energią i pędem
  długość fali

½
h
Slajd 10
Widma emisyjne atomów
pochodzenie dyskretnych linii
spektralnych można wyjaśnić w
oparciu o dwa założenia:
pojęcie fotonu
istnienie poziomów energetycznych
atomu
Slajd 11
1913r.  13 lat przed sformułowaniem
równania Schrodingera
Model Bohra
elektrony poruszajÄ… siÄ™ w atomach nie
promieniujÄ…c energii, po takich orbitach
kołowych, że moment pędu elektronu jest równy
całkowitej wielokrotności stałej
h
mvr = nh n = 1, 2, 3..
przejścia elektronu z orbity o energii En na
orbitÄ™, gdzie energia wynosi Em, towarzyszy
emisja lub absorpcja fotonu o częstości
określonej wzorem
En - Em = h½
Slajd 12
Widmo atomu wodoru
wzbudzenie atomu  przejście elektronu na
wyższy poziom energetyczny
po czasie 10-8 s samorzutny powrót do stanu o
niższej energii i emisja fotonu o długości 
1 ½ En - Em 1 1 öÅ‚
= = = RëÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚
R  stała Rydberga
 c hc
íÅ‚ m2 n2 Å‚Å‚
jonizacja atomu  przejście elektronu na
najwyższy poziom energetyczny o zerowej
energii (elektron swobodny)
E"
(energia jonizacji = E0)
jonizacja
E3
me4
E2
R =
3 2
64Ä„ µoh3c
wzbudzenie
E1
Slajd 13
Serie widmowe
seria Lymana z n na 1
seria Balmera z n na 2
seria Paschena z n na 3
seria Bracketta z n na 4
seria Pfunda z n na 5
Slajd 14
Promieniowanie termiczne
model ciała doskonale czarnego
prawa promieniowania termicznego
prawo Kirchhoffa
prawo Stefana-Boltzmanna
prawo przesunięć Wiena
prawo Rayleigha-Jeansa - klasyczne
prawo Plancka - kwantowe
Jak teoria fotonów wyjaśnia ciągłe widmo
promieniowania emitowanego przez gorÄ…ce,
nieprzezroczyste ciała?
Slajd 15
Podstawowe definicje
Promieniowaniem termicznym (zwanym też cieplnym lub
temperaturowym) nazywamy promieniowanie wysyłane przez
ciała ogrzane do pewnej temperatury - jest wynikiem drgań
ładunków elektrycznych
Zdolność emisyjna ciaÅ‚a e(½,T)d½ definiujemy jako energiÄ…
promieniowania wysyłanego w jednostce czasu z jednostki
powierzchni o temperaturze T, w postaci fal elektromagne-
tycznych o czÄ™stoÅ›ciach zawartych w przedziale od ½ do ½ + d½.
Zdolność absorpcyjna, a, określa jaki
ułamek energii padającej na
powierzchnię zostanie pochłonięty.
a(½,T ) + r(½,T ) = 1
Zdolność odbicia, r, określa jaki ułamek
energii padajÄ…cej zostanie odbity.
Slajd 16
Ciało doskonale czarne
Ciało doskonale czarne (c.d.cz.) całkowicie
absorbuje promieniowanie termiczne.
a =1 i r =0
Prawo Kirchhoffa:
Stosunek zdolności emisyjnej do
Promień
świetlny
zdolności absorpcyjnej jest dla
wszystkich powierzchni jednakowy i
równy zdolności emisyjnej c.d.cz.
Powierzchnia
o dużej zdolności
absorpcyjnej
e(½,T )
= µ(½,T )
a(½,T )
Ponieważ zawsze ad"1, wiÄ™c i e(½,T) d" µ(½,T), tzn.
zdolność emisyjna każdej powierzchni nie jest większa
od zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego.
Slajd 17
Prawa promieniowania
c.d.cz.
katastrofa
nadfioletowa
Prawo Stefana-Boltzmanna
4
E = ÃT
Stała Stefana-Boltzmanna
à = 5.67×10 8 Wm 2K 4
Prawo przesunięć Wiena
½max = b Å" T
Stała Wiena
b = 5.877×1010 s 1K 1
Prawo Rayleigha-Jeansa
2Ä„½2
½max1 ½max2
µ(½,T ) = kT
c2
Slajd 18
Prawo Plancka
Hipoteza Plancka: elektryczny oscylator harmoniczny
stanowiÄ…cy model elementarnego z
ródła promieniowania, w
procesie emisji promieniowania może tracić energię tylko
porcjami, czyli kwantami "E, o wartości proporcjonalnej do
czÄ™stoÅ›ci ½ jego drgaÅ„ wÅ‚asnych.
gdzie staÅ‚a Plancka h = 6.626×10 34 Js
"E = h½
zdolność emisyjna c.d.cz. jest funkcją częstości i temperatury
2Ä„h½3 1
µ(½,T ) =
2
exp(h½ / kT ) - 1
c
i pozostaje w bardzo dobrej zgodności z doświadczeniem
Slajd 19
"
"µ(½ ,T )
E = µ(½ ,T )d½ = 0
+"
"½
0
Wnioski
Postulat Plancka (energia nie może być
wypromieniowana w sposób ciągły), doprowadził
do teoretycznego wyjaśnienia promieniowania
ciała doskonale czarnego.
Z prawa Plancka wynika prawo Stefana-
Boltzmanna i prawo przesunięć Wiena.
Porcje energii promienistej emitowanej przez
ciaÅ‚o wynoszÄ…ce h½ zostaÅ‚y nazwane kwantami
lub fotonami.
Hipoteza Plancka dała początek fizyce
kwantowej, a stała h występuje obecnie w wielu
równaniach fizyki atomowej, jądrowej i ciała
stałego.
Slajd 20
Jak światło może być
jednocześnie falą i cząstką
opisy światła: falowy i korpuskularny
są uzupełniające się
potrzeba obu tych opisów do
pełnego modelu świata, ale do
określenia konkretnego zjawiska
wystarczy tylko jeden z tych modeli
dlatego mówimy o dualizmie
korpuskularno-falowym światła
Slajd 21
Falowa natura czÄ…stek
Promień świetlny jest falą,
ale energię i pęd przekazuje
materii w postaci fotonów.
Dlaczego innych czÄ…stek np.
elektronów nie traktować jako
fal materii ?
Slajd 22
Hipoteza de Broglie a
W 1924 r. Louis de Broglie przypisał elektronom o pędzie p
długość fali 
h
 =  długość fali de Broglie a
p
h 6,63 Å"10-34 J Å" s
dla pyłku unoszonego
 = = = 6,6 Å"10-27 m
przez wiatr p
0,1 Å"10-6kg Å" 1m s
Słuszność hipotezy de Broglie a została potwierdzona w 1927 r.
przez Davissona i Germera, którzy wykazali, że wiązka
elektronów ulega dyfrakcji tworząc typowy obraz interferencyjny
Promieniowanie i materia wykazujÄ… dwoistÄ… falowo-korpuskularnÄ…
naturÄ™  nazywamy to dualizmem korpuskularno-falowym
Slajd 23
h h
 = =
Dla elektronów o K=1000eV =4×10 11 m
p 2mK
Dyfrakcja elektronów
Doświadczenie Davissona - Germera
(dyfrakcja elektronów)
ZnajÄ…c kÄ…t ¸ przy którym
obserwuje siÄ™ pierwsze
maksimum można określić
stałą Plancka
"D = d sin¸
"D =
h
= d sin ¸
p
h = pd sin ¸
Slajd 24
Fale prawdopodobieństwa
Rozkład elektronów na ekranie powinien być
sumą rozkładów dla każdej szczeliny
oddzielnie - obserwujemy obraz
interferencyjny dla dwóch szczelin
Do wyjaśnienia tego paradoksu musimy
stworzyć nowy formalizm matematyczny:
fale materii traktować jako fale
prawdopodobieństwa wytwarzającą na ekranie
obraz  prążków prawdopodobieństwa
Rozkład
obserwowany
B
P1
r2
A
r1 P2
Rozkład
klasyczny
Slajd 25
Funkcja falowa
Formalizm matematyczny za pomocą którego usuwa się te
paradoksy, przypisuje każdej cząstce materialnej funkcję
falowÄ… ¨ (x,y,z,t) bÄ™dÄ…cÄ… funkcjÄ… współrzÄ™dnych i czasu
Znajdując rozkład natężenia w obrazie dyfrakcyjnym
można określić prawdopodobieństwo, że elektron padnie w
określonym miejscu ekranu
Kwadrat amplitudy funkcji falowej jest proporcjonalny do
gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w
danym elemencie obszaru
Slajd 26
Właściwości funkcji falowej
Prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu
w objętości dV=dxdydz wynosi
2
2
gdzie ¨ = ¨ Å" ¨"
PdV = ¨ dxdydz
warunek unormowania
2
¨ dV = 1
+"
funkcji falowej
V
zasada superpozycji ¨ = ¨1 + ¨2
funkcja falowa powinna być ograniczona |¨|<"
funkcja falowa ¨ nie stanowi bezpoÅ›rednio obserwowanej
wielkości. Fale klasyczne i fale odpowiadające cząstkom
podlegają równaniom matematycznym tego samego typu.
Lecz w przypadku klasycznym amplituda fali jest
bezpoÅ›rednio obserwowana, a dla funkcji falowej ¨ nie.
Slajd 27
ho
ho =
Postać funkcji falowej 2Ą
h 2Ä„ h
po = = ko po = hko
Z hipotezy de Broglie a: po = h o
2Ä„ o 2Ä„
Funkcja falowa cząstki o pędzie po poruszającej się wzdłuż osi x,
odpowiada równaniu fali o długości o i wektorze falowym ko
2
¨ = A2 cos2(kox - Ét)
¨ = A cos(kox - Ét)
Rzeczywista postać funkcji falowej jest niewłaściwa bo istniałyby
punkty, gdzie nie można cząstki zaobserwować. Lepsza zespolona
2
(Ae-i(kox -Ét ))(Aei(kox -Ét )) = A2
¨ = Aei(kox -Ét) ¨ = ¨"¨ =
Pokazaliśmy, że jeżeli pęd cząstki posiada określoną wartość, to
cząstkę można znalez
ć z jednakowym prawdopodobieństwem w
dowolnym punkcie przestrzeni. Inaczej mówiąc, jeżeli pęd cząstki
jest dokładnie znany, to nic nie wiemy o jej miejscu położenia.
Slajd 28
Równanie Schrodingera
W sytuacjach stacjonarnych, gdy potencjał nie zmienia się w czasie,
zmienne przestrzenne i czas można rozseparować i zapisać funkcję
falowÄ… w postaci:
¨(x, y, z,t) = ¨(x, y, z)e-iÉt
Postać przestrzennej funkcji falowej, dla przypadku jednowymia-
rowego, wyznaczamy z równania Schrödingera:
d2¨ 2m stacjonarne, jednowymiarowe
= - [E - U(x)]¨
równanie Schrödingera
dx2 h2
gdzie: m  masa cząstki, E  całkowita energia mechaniczna cząstki,
U(x)  energia potencjalna w danym obszarze
równania Newtona  fale dz
więkowe i fale w strunach
równania Maxwella  fale świetlne
równanie Schrödingera  fale materii (funkcja falowa)
Slajd 29
Równanie Schrodingera dla
d2¨ 2m
= - [E - U(x)]¨
czÄ…stki swobodnej
dx2 h2
tylko
kinetyczna
d2¨ 2m
2m
U(x) = 0 = - E ¨ oznaczajÄ…c p2
k = E
dx2 h2 h2 E =
2m
2
d ¨
2
którego rozwiązaniem jest
¨(x) = Aeikx + Be- ikx
= -k ¨
dx2
przyjmujÄ…c B=0 (czÄ…stka porusza siÄ™ w kierunku dodatnich x)
(kx
¨(x,t) = ¨(x)e-iÉt = Aei -Ét)
2Ä„ 2Ä„ h
2m 2m p2 p
 = = h =
k = E = =
k p p
h2 h2 2m h
funkcją falową cząstki swobodnej jest fala płaska o długości 
określonej zależnością de Broglie a
Slajd 30
Paczki falowe materii
Dla czÄ…stki znajdujÄ…cej siÄ™ w t=0 w
określonym obszarze przestrzeni
kwadrat modułu funkcji falowej
przyjmuje postać funkcji Gaussa
2
ëÅ‚ öÅ‚
x
¨(x,0) = A expìÅ‚ - ÷Å‚
exp(ikox)
ìÅ‚ ÷Å‚
4Ã2
íÅ‚ x Å‚Å‚
2
ëÅ‚ öÅ‚
2 x
2
¨ = A2 expìÅ‚ - ÷Å‚
¨
ìÅ‚ ÷Å‚
2Ã2
íÅ‚ x Å‚Å‚
Tak zlokalizowana
funkcja nazywana
jest paczkÄ… falowÄ…
Slajd 31
Superpozycja fal
monochromatycznych
Paczka falowa powstaje w wyniku superpozycji fal o różnych
długościach, którym odpowiadają różne wartości pędu
"
ëÅ‚ öÅ‚
x2
¨ = expìÅ‚ - ÷Å‚ exp(ikox) = B(k)exp(ikx)dk
2
ìÅ‚ ÷Å‚ +"
4Ã
íÅ‚ x Å‚Å‚
-"
współczynniki Fouriera
Amplitudy tych fal B(k), zwane
B(k)
współczynnikami Fouriera,
posiadają również postać funkcji
Gaussa wokół wartości ko
PomiÄ™dzy funkcjÄ… falowÄ… ¨(x),
a współczynnikami Fouriera B(k) ko k
istnieje ścisły związek
Slajd 32
Zasada nieoznaczoności
"k
"k
B(k) B(k)
ko k ko k
Re (¨) Re (¨)
x x
"x
"x
czym szerszy zakres k odpowiadający większemu rozrzutowi "px , tym
paczka falowa jest przestrzennie węższa (mniejsze "x)
h
1 "px = h"k gdy " px=0,
"x =
"x =
"px to " x = "
"k
czÄ…stka
niemożliwe jest jednoczesne dokładne określenie wartości
"x"px e" h swobodna
współrzędnej i pędu cząstki
Slajd 33
Zasada nieoznaczoności w pociągu

chcemy zmierzyć prędkość pociągu wiedząc, że każdy wagon ma długość 
minęło nas n wagonów w ciągu czasu t
pokonana przez pociÄ…g droga wynosi
l = n "l =  2
średnia prędkość l n "l  v
v = = "v = = =
pociÄ…gu wynosi
t t t 2t 2n
im większy przedział czasu tym pomiar prędkości dokładniejszy, ale maleje
dokładność położenia pociągu w chwili pomiaru
v p
"x = l 2 = n 2 "x Å" "v = "x Å" "p =
4 4
w mechanice kwantowej pociąg to paczka falowa o długości fali 
rozciÄ…gajÄ…ca siÄ™ na obszar l = n
h h
 = "x Å" "p = H" h
p 4
Slajd 34
Znaczenie zasady
nieoznaczoności Heisenberga
p = hk
szerokość "x Å" "p = h
"x=1/"k
paczki
"S = h
E = hÉ
falowej
"E Å" "t = h
"t=1/"É
h
Działanie S można określić z dokładnością stałej Plancka
Zasada nieoznaczoności określa granice możliwości naszych
pomiarów.
Jest jednym z fundamentalnych twierdzeń mechaniki kwantowej:
" wyjaśnia dyfrakcję na szczelinie
" energie cząstek są zawsze większe od zera
" elektron nie spada na jÄ…dro atomowe
Slajd 35
Prędkość grupowa paczki
klasycznie
hk = p
dÉ
p2
(hk)2
vg =
E =
hÉ =
dk
2m
hÉ = E 2m
dÉ hk
dÉ hk p
=
vg = = = = v vg = v
dk m
dk m m
Paczka falowa przemieszcza się z prędkością równą
prędkości cząstki
relatywistycznie
2
E2 = Eo + p2c2
dÉ dE p mv
vg = = = c2 = c2 = v
dk dp E
mc2
2E dE = 2pc2dp
Slajd 36
 Rozpływania się paczki falowej można uniknąć
umieszczając cząstkę w studni potencjału
Rozpływanie się paczki falowej
Udowodnimy, że pojedynczej paczce falowej właściwy
jest rozrzut wartości prędkości grupowej "vg, który
powinien prowadzić do zwiększenia szerokości "x.
dvg 1 h
ëÅ‚ öÅ‚
"x = ("vg)t
"vg H" ìÅ‚ ÷Å‚
"vg = "p
ìÅ‚
m "xo ÷Å‚
dp
íÅ‚ Å‚Å‚
h
"x H" t
m"xo - szerokość paczki falowej rośnie proporcjonalnie do t
swobodny elektron zlokalizowany w chwili poczÄ…tkowej w
obszarze " xo = 10 10 m (typowy rozmiar atomu) po upływie
sekundy będziemy mieć "x = 1100 km
Slajd 37
Mechanika kwantowa
dział mechaniki zajmujący się
ruchem mikrocząstek, których
stan opisany jest funkcjÄ… falowÄ…
będącą rozwiązaniem równania
Schrodingera
Slajd 38
E3
U=" U="
Równanie Schrodingera dla
E2
nieskończonej jamy potencjału
E1
2
0 L
U=0
d ¨ 2m
2m
U(x) = 0
= - [E - U(x)]¨
k = E
dx2 h2
h2
d2¨
2
= -k ¨ ¨(x) = Aeikx + Be-ikx
dx2
warunki brzegowe
¨(0) = ¨(L) = 0
A + B = 0
A(eikL - e- ikL) = 0
AeikL + Be- ikL = 0
n=1,2,3...
sin(kL) = 0 kL = nĄ
nĄx
Ä„2h2
C = 2Ai
¨n(x) = C sinëÅ‚ öÅ‚
En = n2 ìÅ‚ ÷Å‚
L
íÅ‚ Å‚Å‚
2mL2
wartości energii En nazywamy wartościami własnymi
odpowiadajÄ…ce im funkcje falowe ¨n  funkcjami
własnymi
Slajd 39
Wnioski
energia jest skwantowana, występują dyskretne wartości
(poziomy) energii (n  liczba kwantowa)
cząstka nie może posiadać energii zerowej  wynika z
zasady nieoznaczoności
p2
E = > 0
" x" p e" h
" x = L " p e" h L
2m
stałą C wyznaczamy z warunku unormowania
L
LL
nĄ L
öÅ‚
nĄ
2 öÅ‚
sin2ëÅ‚ x dx =
ìÅ‚ ÷Å‚
¨ Å" ¨*dx = C sin2ëÅ‚ x dx = 1 +"
ìÅ‚ ÷Å‚
+"+"
L 2
íÅ‚ Å‚Å‚
L
íÅ‚ Å‚Å‚ 0
00
L
2 nĄ
2 öÅ‚
C = 1
C = 2 L ¨n(x) = sinëÅ‚ x
ìÅ‚ ÷Å‚
2
L L
íÅ‚ Å‚Å‚
dla obiektów klasycznych poszczególne poziomy są tak
bliskie, że nierozróżnialne
Slajd 40
Elektron w skończonej
studni potencjału
studnia potencjału o głębokości Uo
2
d ¨ 2m
= - [E - U(x)]¨
dx2 h2
równanie
Schrodingera
rozwiÄ…zujemy dla
trzech obszarów
wyniki zbliżone jak dla nieskończonej studni, lecz:
" fale materii wnikają w ściany studni
" energie dla każdego stanu są mniejsze niż w "
" elektron o energii większej od U0 nie jest
zlokalizowany, jego energia nie jest skwantowana
Slajd 41
E>Uo U(x)
Bariera
U0
1
2
U=0 U=U0
potencjału
0 x
ruch cząstek w obszarze w którym bariera potencjału zmienia się skokowo
0 dla x < 0
Å„Å‚ 2m 2m
k1 = E k2 = (E - Uo )
U(x) =
òÅ‚
dla x > 0 h2 h2
ółUo
1 2
2
d ¨2 2m
d2¨1 2m
+ (E - Uo )¨2 = 0
+ E¨1 = 0
dx2 h2
dx2 h2
B2 = 0, bo nie
¨1(x) = A1eik1x + B1e-ik1x ¨2(x) = A2eik2x + B2e-ik2x ma fali odbitej
k1 - k2
¨1(0) = ¨2(0) A1 + B1 = A2
z warunków B1 = A1
k1 + k2
brzegowych
d¨1 d¨2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
dla x = 0
=
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ k1(A1 - B1) = k2 A2 A2 = A1 2k1
dx dx
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
x =0 x =0
k1 + k2
Slajd 42
Współczynnik transmisji T
i odbicia R
k1 - k2
¨1 = A1eik1x + A1 e-ik1x współczynnik transmisji to gÄ™stość
strumienia czÄ…stek
k1 + k2
przechodzÄ…cych do padajÄ…cych,
2k1
¨2 = A1 eik2x
odbicia to odbitych do padajÄ…cych
k1 + k2
R + T = 1
2
v2 A2
p1 hk1 p2 hk2
T = -
v1 = = v2 = =
2
v1 A1 m m m m
2
k2 ëÅ‚ 2k1 öÅ‚ 4k1k2 4 (E - Uo ) E
T = ìÅ‚ ÷Å‚ = =
k1 ìÅ‚ k1 + k2 ÷Å‚ k2 + - Uo E)2
(k1
íÅ‚ Å‚Å‚ + )2
(1 (E )
podejście falowe  fala świetlna odbija się od granicy dwóch ośrodków
klasycznie  niemożliwe, cząstka nie odbije się lecąc nad siatką
Slajd 43
Dla Etj. dla x>0
d2¨2 2m
- (Uo - E) ¨2 = 0
dx2 h2
Z warunku ograniczonoÅ›ci ¨2 wynika A2 = 0
¨2(x) = A2eÇx + B2e-Çx
*
k1 - iÇ
B1B1
B1 = - A1
R = = 1
k1 + iÇ *
2m
A1A1
Ç = (Uo - E)
2k1
h2
B2 = A1 całkowite odbicie
k1 + iÇ
fala wchodząca do obszaru drugiego jest wykładniczo tłumiona i
gÄ™stość prawdopodobieÅ„stwa jest proporcjonalna do exp( 2Ç x)
Slajd 44
U(x)
1 2 3
U0
Bariera potencjału o
U=0 U=U0 U=0
skończonej szerokości
0 L x
Dla obszarów 1 i 3
0 dla x < 0
Å„Å‚
ôÅ‚U
U(x) = dla 0 < x < L d2¨ 2m
òÅ‚ 2m
o
ôÅ‚0 dla x > L dx2 + E¨ = 0 k = E
h2
ół h2
¨1 = A1eikx + B1e-ikx Dla obszaru 2
2m
d2¨ 2m
Ç = (Uo - E)
¨2 = A2eÇx + B2e-Çx
- (Uo - E)¨ = 0
h2
dx2 h2
¨3 = A3eikx
Współczynnik transmisji bariery jest równy w przybliżeniu
" " 2L
v3 A3A3 A3A3 - 2m(Uo -E)
T = = h
T H" e-2ÇL
T H" e
" "
v1 A1A1 A1A1
ze względu na wykładniczą postać wartość T jest bardzo czuła na trzy zmienne:
masę cząstki m, szerokość bariery L i różnicę energii Uo-E
Slajd 45
Schemat obliczeń
¨1(0) = ¨2(0)
A1 + B1 = A2 + B2
2m
k = E
d¨1 d¨2
= h2
ik(A1 - B1) = Ç(A2 - B2 )
dx dx
0 0
¨2(l) = ¨3(l)
A2eÇl + B2e-Çl = A3eikl
2m
d¨2 d¨3
Ç = (Uo - E)
=
Ç(A2eÇl - B2e-Çl) = ikA3eikl h2
dx dx
l l
" "
A3 4iÇkeikl
v3 A3A3 A3A3
=
T = =
A1 + iÇ)2eÇl iÇ)2e-Çl " "
(k - (k -
v1 A1A1 A1A1
2
2
16k Ç2
16k Ç2
T =
T = e-2Çl
2
2 2 2
2
(k + Ç2) (e2Çl + e-2Çl - 2)+ 16k Ç2
(k + Ç2)
Slajd 46
Efekt tunelowy - przenikanie
cząstki przez barierę potencjału
prawdopodobieństwo
2L
- 2m(Uo -E)
przejścia przez barierę
h
T H" e
potencjału zależy od L i Uo
szybko maleje ze
¨(x)
wzrostem jej szerokości i
wysokości
B1
wg. mechaniki klasycznej
przenikanie przez barierÄ™
jest niemożliwe
energia czÄ…stki, w
odróżnieniu od jamy
A1 potencjału nie jest
skwantowana
A3
E U>E
o
x
0 l
Slajd 47
Przykłady efektu
tunelowego
Dioda tunelowa (efekt tunelowy w złączu
p-n) Nagroda Nobla 1973r
Esaki - tunelowanie w półprzewodnikach
np. diody tunelowe
Giaever - tunelowanie w nadprzewodnikach
Josephson  złącze Josephsona, szybki
przełącznik kwantowy
Skaningowy Mikroskop Tunelowy
Binning i Rohrer Nagroda Nobla 1986r
Slajd 48
Diody
tunelowe
Slajd 49
Oscylator harmoniczny
Oscylator jako model
procesu okresowego
mechaniczny
elektromagnetyczny
drgajÄ…cy dipol
kwantowy
wiele układów fizycznych można traktować jak oscylatory harmoniczne
Slajd 50
Oscylator klasyczny
k  stała sprężystości
x
CzÄ…stka wykonujÄ…ca ruch pod
wpływem siły quasisprężystej
r
F = -k x
r
F = -kx
x=0
k
r
r
Ékl =
F = -kx
m
x = xo cos(Éklt + Õ)
U
E
Energia potencjalna i całkowita
2
2
kx2 mÉkl x2 kxo
U(x) = = E =
2 2 2
-xo xo
0 x
klasycznie energia E może przyjmować dowolne
wartości, w tym również wartość zerową
Slajd 51
k
Ékl =
m
Oscylator kwantowy
2
RozwiÄ…zanie kwantowo-mechaniczne
mÉkl x2
U(x) =
otrzymujemy z równania Schrodingera przyjmując
2
2
d ¨ 2m 1
ëÅ‚E öÅ‚¨
2 2
= - ìÅ‚ - mÉkl x
÷Å‚ Równanie to ma rozwiÄ…zanie jeżeli:
2
2
dx h2 íÅ‚ Å‚Å‚
1
ëÅ‚n öÅ‚hÉ
En = - ÷Å‚ gdzie n=1, 2, 3 ...
ìÅ‚
kl
2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
¨(x)
E6
klasycznie
Funkcja falowa wnika w
E5
obszar poza amplitudÄ…
E4 drgań, co klasycznie jest
niemożliwe
E3
x
E2
-xo 0 xo
E1
Przykład funkcji falowej dla n=2
Slajd 52
Właściwości oscylatora
kwantowego
Energia oscylatora kwantowego jest skwantowana
1
ëÅ‚n öÅ‚hÉ
En = - ÷Å‚
ìÅ‚
kl
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Oscylator kwantowy nie może mieć energii równej zero 
każde ciało posiada pewną energię wewnętrzną, nie można
osiągnąć temperatury 0 K
Przy przejściach między sąsiednimi poziomami oscylator
kwantowy emituje kwanty energii (fotony) o częstotliwości
zgodnej z częstotliwością oscylatora klasycznego
E2 - E1 = hÉkl
Reguły wyboru zezwalają na przejścia jedynie między
sÄ…siednimi poziomami "n=Ä…1
Otrzymane wyniki sÄ… zgodne z postulatami Plancka dla
promieniowania ciała doskonale czarnego
Slajd 53
Atom wodoru
teoria klasyczna
a kwantowa
równanie
Schrodingera
liczby kwantowe
Slajd 54
Budowa atomu wodoru
atom wodoru składa się z pojedynczego elektronu
(-e) zwiÄ…zanego z jÄ…drem  protonem (+e)
przyciągającą siła elektrostatyczną
rozmiary jÄ…dra  10-14 m
eksperyment Rutherforda
rozmiary atomu rzędu 10-10 m rok 1911
masa protonu = 1836 masy elektronu swobodnego
klasycznie energia elektronu przyjmuje dowolne
wartości  w rzeczywistości jest skwantowana
przy ruchu po orbicie elektron powinien tracić
energiÄ™ przez promieniowanie i poruszajÄ…c siÄ™ po
spirali spaść na jądro  w rzeczywistości energia
siÄ™ nie zmienia
Slajd 55
Sprzeczności z prawami
fizyki klasycznej
niezrozumiały postulat o dyskretnych
wartościach momentu pędu elektronu
brak emisji energii promieniowania przy
ruchu elektronu po orbicie
nie opadanie elektronów na jądro atomu
trudności przy opisie atomów
wieloeletronowych
Slajd 56
Równanie Schrodingera dla
atomu wodoru
atom wodoru jest swego rodzaju studnią potencjału
(naturalną pułapką) dla elektronu
energia potencjalna oddziaływania elektron-jądro
U[eV]
jest postaci e2
U(r) = - 4 2 0 2 4 r[Å]
r[Å]
4Ä„µor
potencjał ma symetrię sferyczną
-10
stan
więc musimy wprowadzić
podstawowy
sferyczny układ współrzędnych
x = r sin Ń cos Õ
-30
y = r sin Ń sin Õ
z = r cos Ń
Slajd 57
Równanie Schrodingera dla
"2¨ "2¨ "2¨ 2m
przypadku trójwymiarowego i + + = - (E - U)¨
2 2
"x2 "y "z h2
we współrzędnych sferycznych
îÅ‚ Å‚Å‚ ëÅ‚
1 " "¨ 1 1 " "¨ 1 "2¨ 2m e2 öÅ‚
ëÅ‚r öÅ‚ ëÅ‚sin Ń öÅ‚
2
ìÅ‚E ÷Å‚¨
+ + =
ìÅ‚ ÷Å‚ ïÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł - +
2 2
"r "r
íÅ‚ Å‚Å‚
r r ïÅ‚sin Ń "Ń íÅ‚ "Ń Å‚Å‚ sin2 Ń "Õ2 ûÅ‚ h2 ìÅ‚ 4Ä„µor ÷Å‚
śł
ðÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
¨(r, Ń, Õ) ¨(r, Ń, Õ) = R(r)Åš(Ń)Åš(Õ)
podstawiając tą funkcję do równania Schrodingera otrzymujemy
trzy równania z których każde opisuje zachowanie się funkcji falowej
w zależnoÅ›ci od r, Ń, Õ - równanie radialne, biegunowe i azymutalne
Rozpatrzmy najprostszy przypadek, gdy ¨ jest tylko funkcjÄ… r
tzn. żaden kierunek w przestrzeni nie jest wyróżniony  stan s
ëÅ‚
1 d d¨ 2m e2 öÅ‚ Funkcja speÅ‚niajÄ…ca to równanie to:
ëÅ‚r 2 öÅ‚
ìÅ‚E ÷Å‚¨
+ + = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
2
dr dr
íÅ‚ Å‚Å‚
r h2 ìÅ‚ 4Ä„µor ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
¨(r) = ¨oe-r / ro
Slajd 58
Fizyczna
interpretacja
Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w
2
dV = 4Ä„r dr
elemencie objętości
2 2 2
P dV = ¨2(r)4Ä„r dr = 4Ä„r e-2r / ro ¨odr osiÄ…ga maksimum dla r = ro
wyrażenia na ro i E są identyczne jak w modelu Bohra
kwantyzacja wynikiem rozwiązania równania Schrodingera,
a nie postulatem jak u Bohra
ro to nie promień orbity, lecz odległość od jądra przy której
prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu jest
największe
przyjęcie klasycznej orbity traci sens
dla rozpatrywanego stanu s moment pędu jest równy zeru
nh
w ogólności moment pędu nie jest równy lecz L = l(l + 1)h
Slajd 59
Dokładne rozwiązanie
równania Schrodingera
rozwiązaniem równania biegunowego jest funkcja postaci
iml Õ
Åš(Õ) = Åš e ml=0,Ä…1,Ä… 2..,Ä…l
o
rozwiązaniem równania azymutalnego są tzw. wielomiany Legendre a
Ś(Ń) = Plml (cos Ń) np. P00 = 1; P10 = cos (Ń)
l  całkowita liczba dodatnia
rozwiązanie równania radialnego istnieje jeśli energia elektronu
przyjmuje ściśle określone wielkości
me4 1
En = - Å"
Rn,l (r )
n  całkowita liczba dodatnia
2
32Ä„2µoh2 n2
Slajd 60
Orbitalny moment pędu
elektronu
z rozwiązania równania kątowego wynika, że
wartość L orbitalnego momentu pędu elektronu
w atomie jest skwantowana
L = l(l + 1)h l = 0, 1, 2
liczba całkowita l to orbitalna liczba kwantowa
rzut momentu pędu na wyróżniony kierunek (z)
jest również skwantowany
Lz = mlh
ml d" l ml=0,Ä…1,Ä… 2..,Ä…l
liczba ml to magnetyczna liczba kwantowa
wektora L nie można w żaden sposób zmierzyć,
możemy jedynie zmierzyć składową tego
wektora wzdłuż danej osi np. określonej przez
pole magnetyczne
Slajd 61
Falowa interpretacja kwantyzacji
momentu pędu elektronu
elektron porusza się po orbicie kołowej
r
r
Lz
Lz = r p = r h k p
r
r
s = r Õ
droga przebyta przez elektron
więc jego funkcja falowa jest postaci
¨(Õ) = ¨oeiks = ¨oeikrÕ
z jednoznaczności funkcji falowej
z
L = l(l + 1)h
¨(Õ) = ¨(Õ + 2Ä„)
eikr 2Ä„ = 1
= 6 h
¨oeikrÕ = ¨oeikr(Õ+2Ä„) kr = ml
otrzymujemy warunek kwantyzacji Lz
Lz = mlh
ml d" l ml=0,Ä…1,Ä… 2..,Ä…l
długość orbity równa całkowitej wielokrotności ,
 ml = 2Ä„ r
fale nie wygaszajÄ… siÄ™  orbita dozwolona
Slajd 62
Liczby kwantowe
główna liczba kwantowa n = 1, 2, 3,...
określa możliwe wartości energii
orbitalna (poboczna) liczba kwantowa l = 0, 1, 2,....n-1
określa momentu pędu (kształt powłoki)
magnetyczna liczba kwantowa
ml = -l, -l+1,..,-1, 0, 1,....,l-1,l
określa składowe momentu pędu
dla danej wartości n liczba możliwych l i ml, czyli liczba
niezależnych rozwiązań równania Schrodingera
odpowiadająca jednej wartości energii wynosi
n-1
(2l + 1) = n2
" stan jest n2-krotnie zwyrodniały
l =0
Slajd 63
Orbital atomowy
orbital atomowy to funkcja falowa ¨ opisujÄ…ca
stan elektronu w atomie zależna od trzech liczb
kwantowych: n, l, m
|¨|2dV  okreÅ›la prawdopodobieÅ„stwo
znalezienia się elektronu w elemencie objętości
dV
obszar w którym występuje duże
prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu
nazywa siÄ™ chmurÄ… elektronowÄ…
każdy orbital atomowy jest związany z pewną
symetrią obszaru, w którym znajduje się
elektron
Slajd 64
orbitale: s, p, d, f, g, ....
l = 0, 1, 2, 3, 4,....
Pełna funkcja falowa
¨nlml = Rnl (r)Åšlml (Ń)Åšml (Õ)
l
stan n ml funkcje falowe
3 / 2
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
¨100 = ìÅ‚ ÷Å‚ e-r / ro
1s 1 0 0
ìÅ‚
Ä„ ro ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
3 / 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1 r
¨200 = ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚2 - ÷Å‚e-r / 2ro
2s 2 0 0
ìÅ‚
4 2Ä„ ro ÷Å‚ ìÅ‚ ro ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
3 / 2
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 r
¨210 = ìÅ‚ ÷Å‚ e-r / 2ro cos Ń
2p 2 1 0
ìÅ‚
4 2Ä„ ro ÷Å‚ ro
íÅ‚ Å‚Å‚
3 / 2
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 r
¨211 = ìÅ‚ ÷Å‚ e-r / 2ro sinŃeÄ…iÕ
ìÅ‚
2p 2 1 Ä…1
8 Ä„ ro ÷Å‚ ro
íÅ‚ Å‚Å‚
Slajd 65
Normowanie funkcji falowej
Stałe współczynniki wyznaczamy z warunku unormowania
dla stanu 1s: ¨100 = Ae-r ro ¨100 2dV = A2e-2r / rodV = 1
+" +"
2
dV = r sin Ń dr dŃ dÕ
element objętości we współrzędnych sferycznych
" Ä„ 2Ä„ "
2
2 2
A2 r e-2r / rodr sin ŃdŃ dÕ = 1 r e-2r / ro dr =
+" +" +" +"
(2ro)3
0 0 0 0
3 / 2
3 / 2
2
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
A2 4Ä„ = 1 / ro
A = ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
(2 ro)3 Ä„ ro ÷Å‚ ¨100 = ìÅ‚ ro ÷Å‚ e-r
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2 2
P dV = Rnl 4Ąr dr = p(r)dr p(r) = 4ĄRnl r gęstość prawdopodobieństwa
2
r
p(r) = 4 e-2r ro
dla stanu 1s:
3
ro
Slajd 66
Pułapki elektronowe
oscylator harmoniczny
studnia atom wodoru
potencjału
E3
"
" E6
Eo
E5
E2
E4
E1 stan podstawowy
E3
E2
0 L
E1
me4 1
öÅ‚hÉ
Ä„2h2 En = ëÅ‚n - 1
En = - Å"
En = n2 ìÅ‚ ÷Å‚
kl 2
2 32Ä„2µoh2 n2
íÅ‚ Å‚Å‚
2mL2