Kwantyzacja momentu p du
W mechanice kwantowej ka dej wielko ci fizycznej przypisuje si operator.
Np.:
dla energii
dla p du
dla po o enia
Aby zapewni przej cie mechaniki kwantowej w mechanik klasyczn przy
przechodzeniu do coraz wi kszych uk adów, jako postulat przyjmuje si
zasad odpowiednio ci:
Relacje, w których nie wyst puj pochodne, spe nione przez wielko ci
fizyczne w mechanice klasycznej zachodz równie po zast pieniu tych
wielko ci odpowiadaj cymi im operatorami kwantowymi.
W przypadku momentu p du definiowanego klasycznie
W mechanice kwantowej dla momentu p du wa ne s cztery operatory:
,
oraz
Mechanika kwantowa 19
Okazuje si , e w mechanice kwantowej wielko ci rzutów wektora momentu
p du , i s wzajemnie sprz one przez zasad nieokre lono ci
Heisenberga. W danym stanie ca kowicie okre lony mo e by tylko jeden z
nich oraz modu wektora momentu p du. Kierunek wektora momentu p du
pozostaje nieokre lony.
Analiz w asno ci momentu p du wygodnie jest prowadzi we
wspó rz dnych sferycznych
Operatory , i maj wtedy posta
Mechanika kwantowa 20
Modu momentu p du
Operator
we wspó rz dnych sferycznych przyjmuje posta
Rozwi zanie równania w asnego tego operatora
jest trudne. W wyniku otrzymuje si
- azymutalna (orbitalna) liczba kwantowa
St d wynika, e modu wektora momentu p du mo e mie jedynie dyskretne
warto ci
Sta a Plancka mo e by traktowana jako naturalna jednostka momentu
p du. Moment p du wszystkich cia jest skwantowany. Jednak e, na skutek
niewielkiej warto ci praktycznie nie mo na obserwowa nieci g o ci
momentów p du cia makroskopowych.
Mechanika kwantowa 21
Sk adowa z momentu p du
Sk adow z momentu p du stanowi warto w asna operatora b d ca
rozwi zaniem równania
lub we wsp. sferycznych:
Z podstawienia mamy , a dalej . Zatem
funkcja w asna operatora ma posta
C - pewna funkcja niezale na od
Z warunku jednoznaczno ci funkcji falowej mamy , czyli
St d
m - magnet yczna
liczba kwantowa
Rzut wektora nie mo e by wi kszy ni modu tego wektora, czyli
St d
Mechanika kwantowa 22
Kwantowanie przestrzenne momentu
p du dla . K t azymutalny jest
dowolny.
Kierunek osi z jest kierunkiem wyró nio-
nym (np. przez kierunek zewn trznego
pola magnetycznego). Moment p du
wykonuje precesj wokó tego kierunku.
St d jego rzuty na osie x i y nie s
okre lone.
Funkcje w asne operatorów i
Operatory i posiadaj wspólne funkcje w asne, które nosz nazw
funkcji kulistych (sferycznych) i s oznaczane . Po unormowaniu
Funkcje s tzw. stowarzyszonymi funkcjami Legendre a
zwi zanymi z wielomianami Legendre a poprzez równania
Zachodz wi c relacje
Mechanika kwantowa 23
Atom wodoru i jony wodoropodobne
S to uk ady sk adaj ce si z nieruchomego j dra o adunku ( - liczba
ca kowita) i poruszaj cego si wokó niego elektronu.
atom wodoru
jon wodoropodobny
Energia potencjalna elektronu
Równanie Schrödingera
Operator we wspó rz dnych sferycznych mo na zapisa w postaci
gdzie
Równanie Schrödingera we wspó rz dnych sferycznych
Z postaci tego równania mo na wnosi , e
Mechanika kwantowa 24
W rezultacie otrzymujemy równanie:
Dwie funkcje ró nych argumentów mog by to samo ciowo równe sobie
tylko wtedy, kiedy s one równe sta ej. Przyjmiemy, e ka da ze stron
powy szego równania jest równa .
1) prawa strona
St d na podstawie poprzednich wyników wnioskujemy, e
a) ,
b) funkcje s typu .
2) lewa strona
lub
Mechanika kwantowa 25
Interesuje nas stan zwi zany elektronu z j drem, czyli przypadek . W
tych warunkach równanie to ma rozwi zania dla dyskretnych warto ci
energii ca kowitej. Energia elektronu w atomie wodoru lub jonie
wodoropodobnym jest skwantowana
n - g ówna liczba
kwantowa
Rozwi zania spe niaj ce warunki naturalne mo na uzyska jedynie dla
warto ci nie przekraczaj cych . Zatem azymutalna liczba
kwantowa mo e przyjmowa ró nych warto ci
Dla danego , magnetyczna liczba kwantowa mo e przyjmowa
ró nych warto ci
Dla danego , stany kwantowe opisane funkcjami w asnymi
o ró nych warto ciach i maj t sam energi .
Mechanika kwantowa 26
stany zdegenerowane - stany o jednakowych energiach
(zwyrodnia e)
krotno degeneracji - liczba stanów o jednakowych
(zwyrodnienia) warto ciach energii
W atomie wodoru i jonie wodoropodobnym stan o danej warto ci jest
- krotnie zdegenerowany.
Stanom o ró nych warto ciach , a tak e elektronom b d cym w tych
stanach przypisuje si umowne oznaczenia wed ug schematu:
l 0 1 2 3 4 ...
oznaczenie stanu s p d f g ...
(elektronu)
Dla oznaczenia stanu elektronu, warto g ównej liczby kwantowej podaje
si przed umownym oznaczeniem liczby kwantowej . Mo liwe s
nast puj ce stany elektronu:
1s,
2s, 2p,
3s, 3p, 3d,
4s, 4p, 4d, 4f,
... ... ... ......
Mechanika kwantowa 27