3.10.2004 Zadania domowe: Seria 1 1
Zadania domowe: Seria 1
Zadanie 1.1. (Macierze Pauliego cz.1)(1.43)
Znalez
ć unormowane wektory własne i wartości własne dla operatorów
0 1 0 -i
Ãx = Ãy =
1 0 i 0
ëÅ‚ öÅ‚
Zadanie 1.2. (Macierz \
y spinu 1)(1.44)
i
0 -"2 0
Dany jest wypisany obok operator.
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ i i
"
0 -"2 ÷Å‚
\
= ìÅ‚ ÷Å‚
2
A.) Zbadać, czy operator ten jest hermitowski.
íÅ‚ Å‚Å‚
i
"
0 0
B.) Obliczyć wartości własne tego operatora.
2
C.) Znalez
ć odpowiednie wektory własne.
Zadanie 1.3. (Operatory i ich własności)(1.1)
Ć
Niech  oraz B będą operatorami. Sprowadzić do prostszej postaci wyrażenie:
Ć Ć Ć
B2 + (Â - B)(Â + B) - Â2.
Zadanie 1.4. (Elementarne własności operatorów)(1.2)
Ć
Wykazać, że o ile istnieją operatory odwrotne do operatorów  i B to spełniona jest relacja
Ć Ć
(ÂB)-1 = B-1Â-1.
Zadanie 1.5. (Hermitowskość i unitarność operatorów)(1.3)
Wykazać, że:
A.) Wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste.
B.) Wektory własne | f1 i | f2 odpowiadające dwóm różnym wartościom własnym są ortogo-
nalne.
Zadanie 1.6. (Hermitowskość i unitarność operatorów)(1.4)
Zbadać hermitowskość następujących operatorów:
a.) Â + Â , b.) ÂÂ ,
c.) Â - Â , d.) i (Â - Â ),
gdzie  jest dowolnym operatorem liniowym.
Zadanie 1.7. (Hermitowskość i unitarność operatorów)(1.5)
Zbadać hermitowskość następujących operatorów:
Ć Ć Ć
a.) $
+ K , b.) $
K , c.) $
K$
, d.) $
n,
Ć Ć Ć
e.) $
, K , f.) $
, K , g.) i $
, K ,
+
Ć
gdzie $
i K sÄ… dowolnymi operatorami hermitowskimi, zaÅ› ·, · oraz ·, · oznaczajÄ… odpowied-
+
nio komutator i antykomutator dwóch operatorów.
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 1
3.10.2004 Zadania domowe: Seria 1 2
Zadanie 1.8. (Hermitowskość i unitarność operatorów)(1.6)
Niech $
będzie operatorem hermitowskim, dla którego istnieją operatory odwrotne $
-1 oraz
($
)-1. Udowodnić, że
a.) ($
)-1 = ($
-1) , b.) ($
)-1 = $
-1.
Zadanie 1.9. (Hermitowskość i unitarność operatorów)(1.9)
Ć Ć
Jakie warunki muszą spełniać operatory hermitowskie K i $
, na to, aby operator  = $
+ iK
był operatorem:
a.) normalnym,
b.) unitarnym,
c.) spełniającym relację :  ,  = 2
.
gdzie 
jest pewnym ustalonym (znanym) operatorem.
Zadanie 1.10. (Hermitowskość i unitarność operatorów)(1.10)
Jaki warunek (warunki) musi spełniać operator hermitowski na to, aby jednocześnie był unitarny.
Omówić uzyskane wyniki.
Zadanie 1.11. (Funkcje operatorowe, itp.)(1.35)
ZakÅ‚adamy, że istnieje operator Â-1 odwrotny do danego. Udowodnić przez indukcjÄ™,
że: (Ân)-1 = (Â-1)n.
Zadanie 1.12. (Funkcje operatorowe, itp.)(1.36)
n
Ć Ć
Wykazać relacjÄ™  Bn Â-1 =  B Â-1 .
Zadanie 1.13. (Funkcje operatorowe, itp.) (1.37)
Zakładamy, że dla danego operatora  istnieje operator (1 - A)-1. Pokazać, że
"
(1 - A)-1 = An.
n=0
Zadanie 1.14. (Funkcje operatorowe, itp.)(1.38)
Ć
Niech Â, B operatory. ¾ " C, zaÅ› n " N. Pokazać, że zachodzi zwiÄ…zek
n
Ć Ć
e¾Â Bn e-¾Â = e¾Â B e-¾Â .
Zadanie 1.15. (Funkcje operatorowe, itp.)(1.39)
Udowodnić, że zachodzi następująca relacja operatorowa:
¾2 Ć ¾3 Ć
Ć Ć Ć
e¾Â B e-¾Â = B + ¾ Â, B + Â, Â, B + Â, Â, Â, B + . . . . . . ,
2! 3!
gdzie ¾ " C. Zwróćmy uwagÄ™, że relacja ta przypomina rozwiniÄ™cie Taylora.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 2
3.10.2004 Zadania domowe: Seria 2 3
Zadania domowe: Seria 2
Zadanie 2.1. (Hermitowskość i unitarność operatorów)(1.11)
Ć
Niech   hermitowski. Zbadać unitarność operatora B = exp(iÄ…Â), gdzie Ä… " C.
Zadanie 2.2. (Elementarne własności komutatorów)(1.13)
Udowodnić następujące relacje komutacyjne:
Ć Ć
a.) Â, B = - B, Â ,
b.) Â, a = 0,
Ć Ć Ć Ć Ć
c.) (a ą bB), D = a Â, D Ä… b B, D ,
Ć Ć Ć Ć Ć Ć
d.) ÂB, D = Â B, D + Â, D B,
Ć Ć Ć
e.) Â, B
= B Â, 
+ Â, B 

Ć Ć Ć
f.) Â2, B = Â Â, B + Â, B Â.
gdzie a i b sÄ… dowolnymi liczbami zespolonymi.
Zadanie 2.3. (Elementarne własności komutatorów)(1.14)
Następujące komutatory sprowadzić do prostszej postaci:
Ć Ć
a.) (Â - B), (Â + B) ,
Ć
b.) (Â - Ä…), (B + ²) Ä…, ² " C ,
Ć Ć
c.) (Â - B), (Â + B) ,
+
Ć Ć Ć
gdzie Â, B = ÂB + ÂB jest tak zwanym antykomutatorem dwóch operatorów.
+
Zadanie 2.4. (Elementarne własności komutatorów)(1.15)
Obliczyć sumę komutatorów:
Ć Ć Ć
Â, B , 
+ B, 
, Â + 
, Â , B .
Zadanie 2.5. (Elementarne własności komutatorów)(1.16)
Udowodnić tożsamości operatorowe:
Ć Ć
a.) Â, B , 
= 
, B, Â
Ć Ć Ć
b.) Â, B , 
= ÂB, 
+ 
, BÂ .
Zadanie 2.6. (Przemienność operatorów)(1.17)
Niech operator  speÅ‚nia relacjÄ™: Â,  = 1. Obliczyć komutator: Â2,  .
Zadanie 2.7. (Przemienność operatorów)(1.18)
Ć
Zbadać przemienność operatorów  oraz B spełniających kolejno warunki:
Ć Ć Ć Ć
a.) [Â, B]+ = 2ÂB; b.) Â = BÂB-1,
Ć
gdzie Â, B jest antykomutatorem.
+
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 3
3.10.2004 Zadania domowe: Seria 2 4
Zadanie 2.8. (Przemienność operatorów)(1.19)
Ć
Niech operator  będzie przemienny z operatorami B oraz 
. Obliczyć komutatory:
2 2
Ć Ć
a.) [Â, [B, 
]], b.) [B + 
, Â].
Zadanie 2.9. (Przemienność operatorów)(1.20)
Ć
Jakie warunki muszą spełniać operatory  oraz B na to, aby były przemienne z operatorem:
Ć

= Ä…Â + ²B, gdzie Ä…, ² " C.
Zadanie 2.10. (Przemienność operatorów)(1.21)
Ć
Niech K, $
będą operatorami hermitowskimi, spełniającymi relację komutacyjną:
1
Ć Ć
[$
, K] = i. Określamy nowy operator  = $
+ iK. Obliczyć komutatory:
2
Ć
a.) Â, Â , b.) Â, $
, c.) Â, K ,
Ć Ć
d.) (Â + Â ), K , e.) K, ÂÂ , f.) Â, ÂÂ .
Zadanie 2.11. (Przemienność operatorów)(1.22)
Ć Ć Ć
Niech Â, B = 0. W punkcie a) zakÅ‚adamy istnienie B-1 odwrotnego do B. Pokazać, że
Ć Ć
a.) Â, B-1 = 0, b.) Â, Bn = 0.
Zadanie 2.12. (Pożyteczne relacje komutatorowe)(1.23)
Ć
 oraz B są pewnymi operatorami. Udowodnić następujące stwierdzenie:
Ć Ć
Â, B = Å‚, Å‚ " C =Ò! Ân, B = nÅ‚Ân-1 .
Zadanie 2.13. (Pożyteczne relacje komutatorowe)(1.24)
Pokazać, że zachodzi następująca relacja komutacyjna:
n
Ć Ć
Ân, B = Ân-k Â, B Âk-1.
k=1
Zadanie 2.14. (Pożyteczne relacje komutatorowe)(1.25)
n
Niech W (x) = akxk oznacza wielomian n-tego stopnia. Wykazać następujące stwierdzenie:
k=0
Ć Ć d W (Â) .
Â, B = Å‚, Å‚ " C =Ò! W (Â), B = Å‚
dÂ
Ostatnia pochodna powstaje przez zróżniczkowanie wielomianu W (x) po zmiennej x, a następnie
podstawienie  zamiast x.
Zadanie 2.15. (Pożyteczne relacje komutatorowe)(1.26)
"
Niech funkcja F (z) ma rozwinięcie w szereg F (z) = an zn, (szereg Taylora, gdzie an są
n=0
liczbami zespolonymi).
Ć Ć
Niech  oraz B będą dwoma operatorami, których komutator 
= Â, B ma wÅ‚asność
Ć
Â, 
= 0 = B, 
.
Udowodnić, że:
Ć
dF (B)
Ć Ć
[Â, F (B)] = [Â, B] .
Ć
dB
gdzie dF (z)/dz = F (z) jest pochodnÄ… funkcji F (z).
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 4
3.10.2004 Zadania domowe: Seria 3 5
Zadania domowe: Seria 3
Zadanie 3.1. (Operatorowy model momentu pędu)(1.42)
Ć
Niech operatory hermitowskie Â, B, 
spełniają następujące trzy związki komutacyjne:
Ć Ć Ć
(i) Â, B = i
, (ii) B, 
= iÂ, (iii) 
, Â = iB,
Ć Ć
Definiujemy operator T = B + i
. Obliczyć następujące komutatory:
Ć, Ć Ć Ć ,
a.) T T , b.) Â, T , c.) T Â ,
Ć Ć
d.) Â2, T , e.) Â, (B2 + 
2) .
Zadanie 3.2. (Tożsamości Bakera Hausdorffa)(1.40)
Ć Ć Ć Ć
Niech Â, B operatory speÅ‚niajÄ…ce relacje komutacyjne: [Â, [Â, B]] = 0 = [B, [B, Â]].
Pokazać, że:
Ć Ć
Ć
a.) eÂ+B = e eB exp -1 Â, B ,
2
Ć Ć
Ć
b.) eÂ+B = eB e exp +1 Â, B .
2
Zadanie 3.3. (Hermitowskość i unitarność operatorów)(1.7)
Rozważamy przestrzeń L2(a, b) funkcji całkowalnych w kwadracie na odcinku (a, b) (ściślej, pod-
przestrzeń funkcji falowych  znikających na brzegach przedziału). W przestrzeni tej mamy
iloczyn skalarny
b
f, g = dx f"(x) g(x).
a
Udowodnić, że operator ÂF dziaÅ‚ajÄ…cy na tej przestrzeni i polegajÄ…cy na mnożeniu f " L2(a, b)
przez funkcjÄ™ F (x)
ÂF f (x) = F (x)f(x)
jest hermitowski, tj. ÂF = Â .
F
Zadanie 3.4. (Hermitowskość i unitarność operatorów)(1.8)
d
Udowodnić, że operator -i na przestrzeni L2(a, b) jest operatorem hermitowskim. Podać
dx
pełny dowód (tzn. nie korzystać z żadnych stwierdzeń pomocniczych).
Zadanie 3.5. (Operatory położenia i pędu)(1.27)
d
Ć
Znalez
ć operator sprzężony do operatora Dx = (działającego w przestrzeni funkcji falowych
dx
 funkcji całkowalnych w kwadracie z odpowiednimi warunkami brzegowymi).
Zadanie 3.6. (Operatory położenia i pędu)(1.28)
d
Ć
Zbadać przemienność następujących operatorów:  = x, B = .
dx
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 5
3.10.2004 Zadania domowe: Seria 3 6
Zadanie 3.7. (Operatory położenia i pędu)(1.29)
d
Podnieść do kwadratu operator  = + x.
dx
Zadanie 3.8. (Operatory położenia i pędu)(1.30)
d 1
Obliczyć trzecią potęgę operatora  = + .
dx x
Zadanie 3.9. (Operatory położenia i pędu)(1.31)
d
Ć Ć Ć Ć Ć Ć
Obliczyć komutator (Q + D), (Q - D) , gdzie Q = x oraz D = .
dx
Zadanie 3.10. (Operatory położenia i pędu)(1.32)
d
Ć
Obliczyć komutator operatorów  = eix oraz B = e-ix .
dx
Zadanie 3.11. (Operatory położenia i pędu)(1.33)
2 2
d d
Ć
Porównać operatory: Â2 = x , oraz B2 = x .
dx dx
Ć Ć
Zadanie 3.12. (Operator translacji)(1.41) Niech Q, P  operatory hermitowskie położenia
Ć Ć]
i pędu. Spełniają one relację komutacyjną [Q, P = i . Na tej podstawie udowodnić, że dla
rzeczywistego parametru x zachodzi relacja:
ix ix
Ć Ć Ć Ć
exp P Q exp - P = Q + x.
ix
Ć
Dlatego też operator exp P bywa nazywany operatorem translacji.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 6
18.10.2004 Zadania domowe: Seria 4 7
Zadania domowe: Seria 4
Zadanie 4.1. (Prąd prawdopodobieństwa i wartość oczekiwana pędu)(2.5(49))
Kwantowo-mechaniczną gęstość prądu prawdopodobieństwa
J( r) = È"( r) "È( r) - È( r) "È"( r) ,
2mi
po pomnożeniu przez m  masę cząstki, można uważać za gęstość pędu niesionego przez cząstkę
(gÄ™stość pÄ™du pola schrödingerowskiego). Wykazać, że wartość oczekiwana pÄ™du czÄ…stki opisy-
wanej funkcjÄ… falowÄ… È( r) wynosi
p = m d3r J( r).
Zadanie 4.2. (Analiza funkcji falowej)(3.1(55))
W pewnej chwili czasu czÄ…stka swobodna jest opisana funkcjÄ… falowÄ…
x2
È(x) = A exp - + ikox
a2
A.) Wyznaczyć współczynnik A.
B.) Wyznaczyć obszar, w którym zlokalizowana jest cząstka.
C.) Znalez
ć gęstość prądu prawdopodobieństwa. (w danej chwili czasu).
D.) Obliczyć średnie położenie i średni pęd cząstki.
Zadanie 4.3. (Cząstka w nieskończonej, symetrycznej studni potencjału)(3.2(56))
Część pierwsza zadania dotyczy metod matematycznych, a druga mechaniki kwantowej.
A.) Udowodnić, że następujące całki nieoznaczone wyrażają się wzorami
sin[(a - b)x] sin[(a + b)x]
dx sin ax sin bx = - ,
2(a - b) 2(a + b)
sin[(a - b)x] sin[(a + b)x]
dx cos ax cos bx = + ,
2(a - b) 2(a + b)
cos[(a - b)x] cos[(a + b)x]
dx sin ax cos bx = - - .
2(a - b) 2(a + b)
Zbadać przypadek gdy a b. Wyniki porównać z elementarnymi całkami z kwadratów
funkcji trygonometrycznych.
B.) Za pomocą powyższych całek przedyskutować ortogonalność funkcji własnych energii dla
cząstki poruszającej się w nieskończonej (jednowymiarowej) studni potencjału
Å„Å‚
òÅ‚
+ ", |x| a,
V (x) =
ół
0, |x| < a.
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 7
18.10.2004 Zadania domowe: Seria 4 8
Zadanie 4.4. (Cząstka w nieskończonej, symetrycznej studni potencjału)(3.4(58))
W nieskończonej, symetrycznej jamie potencjału znajduje się cząstka w stanie opisanym funkcją
falowÄ…
4 Ä„x
È(x) = sin2
3a 2a
Znalez
ć prawdopodobieństwo otrzymania, w wyniku pomiaru, energii o wartości równej energii
stanu podstawowego w jamie. Wykorzystać funkcje znalezione w trakcie ćwiczeń.
Zadanie 4.5. (Cząstka w skończonej, symetrycznej studni potencjału)(QM.23.4.2)
Cząstka o masie m znajduje się w symetrycznej, skończonej studni potencjału:
0 dla x < -a i x > a,
V (x) =
-V0 dla - a < x < a.
Obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia cząstki wewnątrz studni. Wykorzystać funkcje znale-
zione w trakcie ćwiczeń.
Zadanie 4.6. (Cząstka w nieskończonej, symetrycznej studni potencjału)(3.5(59))
W nieskończenie głębokiej, symetrycznej studni potencjału znajduje się cząstka w stanie opisa-
nym modelowÄ… funkcjÄ… falowÄ…
Å„Å‚
ôÅ‚ 3 a + x
ôÅ‚
ôÅ‚
dla - a < x < 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 2a a
ôÅ‚
òÅ‚
È(x) = 3 a - x
ôÅ‚
dla 0 < x < a,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 2a a
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
0 inne x.
A.) Sporządzić wykres tej funkcji falowej. Czy jest to "dobra" funkcja falowa (tzn. spełnia
wszelkie warunki jakie powinna, na to aby być funkcją falową) ?
Czy to tylko model "dobrej" funkcji falowej ?
B.) Znalez
ć prawdopodobieństwo otrzymania, w wyniku pomiaru, wartości energii
n2Ä„2 2
En = .
8ma2
Uwaga. Wziąć znane już z poprzednich zadań funkcje falowe.
Zadanie 4.7. (Cząstka w niesymetrycznej nieskończonej jamie)(3.6(60))
Cząstka o masie m znajduje się w polu sił (jednowymiarowym) o potencjale
0 dla 0 < x < a,
V (x) =
" pozostałe x.
W pewnej chwili czasu funkcja falowa czÄ…stki dana jest wzorem
Ax x - a dla 0 < x < a,
È(x) =
0 pozostałe x.
A.) Unormować funkcjÄ™ È(x).
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 8
18.10.2004 Zadania domowe: Seria 4 9
B.) RozwiÄ…zać stacjonarne równanie Schrödingera, tj. znalez
ć wartości własne hamiltonianu
(dozwolone poziomy energetyczne) oraz odpowiednie funkcje falowe (funkcje własne ener-
gii).
C.) Wyznaczyć prawdopodobieństwo Pntego, że w wyniku pomiaru energii cząstki (której stan
opisuje funkcja È(x)) otrzymamy En  jednÄ… z dozwolonych energii (wartoÅ›ci wÅ‚asnych
energii).
D.) Oszacować prawdopodobieństwo P1. Skorzystać z informacji we wskazówkach, a nie z kal-
kulatora. Następnie porównać uzyskany wynik z obliczeniami na kalkulatorze.
E.) Dla podanego stanu È(x) znalez
ć wartość oczekiwaną energii E .
Wskazówka.
1. Logarytmy naturalne do oszacowań
ln 2 = 0.693147, ln 3 = 1.098612, ln 5 = 1.609438, ln Ä„ = 1.144730,
2. Rozwinięcie w szereg logarytmu naturalnego
"
x2 x3 xn
ln(1 - x) = -x - - - . . . = - dla - 1 x < 1.
2 3 n
n=1
3. Mathematica w obliczeniach symbolicznych podaje
1 Ä„6 1 Ä„4
" = , " = .
(2k - 1)6 960 (2k - 1)4 96
k=1 k=1
Zadanie 4.8. (Cząstka w niesymetrycznej nieskończonej jamie)(3.7(61))
Cząstka o masie m znajduje się w (jednowymiarowym) polu sił o potencjale (energii potencjalnej)
0 dla 0 < x < a
V (x) =
" dla x < 0 i x > a
W chwili poczÄ…tkowej t = 0 funkcja falowa czÄ…stki dana jest wzorem
Å„Å‚
4 Ä„x
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ " sin3 dla 0 < x < a
a
5a
È(x, t = 0) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
0 dla x < 0 i x > a
A.) Znalez
ć poziomy energetyczne cząstki w jamie potencjału (energie i funkcje falowe).
B.) Znalez
ć funkcjÄ™ falowÄ… È(x, t) dla czasu t > 0. Wynik uzasadnić. W szczególnoÅ›ci obliczyć
okres zmian È(x, t) w czasie.
C.) Znalez
ć (w funkcji czasu) prawdopodobieństwo wystąpienia stanów o określonej energii.
D.) Obliczyć średnią energię cząstki.
Wskazówki.
4 sin3 Ä… = 3 sin Ä… - sin 3Ä…
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 9
26.10.2004 Zadania domowe: Seria 5 10
Zadania domowe: Seria 5
Zadanie 5.1. (Cząstka w nieskończonej, symetrycznej jamie potencjału (3.3(57))
Jednowymiarowa, nieskończenie głęboka studnia potencjału mieści się w przedziale x " (-a, +a).
W jamie tej znajduje się cząstka o masie m w stanie opisanym funkcją falową, którą modelujemy
w następujący sposób
Å„Å‚
1
òÅ‚
" dla -a < x < 0
u(x) = a
ół
0 dla 0 < x < a
Znalez
ć prawdopodobieństwo otrzymania, w wyniku pomiaru, energii o wartości wynoszącej
2
En = (n2 Ą2)/(8ma2). Otrzymany wynik przedyskutować. W jamie takiej mamy dwa typy
unormowanych funkcji falowych
1 (2k - 1)
"
dla n = 2k - 1 È2k-1(x) = cos Ä„x
a 2a
1 2k
"
dla n = 2k È2k(x) = sin Ä„x
a 2a
Zadanie 5.2. (Transmisja i odbicie na skończonym skoku potencjału (3.12(66)))
A.) Niech czÄ…stce o masie m odpowiada fala pÅ‚aska: È(x) = Aeikx. Obliczyć i przedyskutować
prąd prawdopodobieństwa odpowiadający tej cząstce.
B.) CzÄ…stka o masie m porusza siÄ™ w jednowymiarowym polu o potencjale
0 dla x < 0,
V (x) =
V0 dla x > 0 ( V0 > 0 ).
Załóżmy, że energia cząstki jest większa niż skok potencjału, tzn. E > V0. Cząstka porusza się
z lewa na prawo (tj. od ujemnych, w kierunku dodatnich x-ó). Przedyskutować funkcje falową
czÄ…stki.
C.) Jakie jest prawdopodobieństwo przejścia cząstki przez barierę (współczynnik przejścia), a ja-
kie prawdopodobieństwo (współczynnik) odbicia.
Zadanie 5.3. Pakiet falowy minimalizujący zasadę nieoznaczoności (3.13(67))
Rozważamy jednowymiarowy pakiet falowy minimalizujący zasadę nieoznaczoności w pewnej
chwili czasu (dlatego nie zaznaczamy wyraz
nie zależności od czasu):
A (x - a)2 ib
È(x) = exp - + (x - a)
2 ||
||
A.) Przeprowadzić normowanie (wyznaczyć stałą A).
B.) Obliczyć średnie położenie x .
Ć
C.) Obliczyć średni kwadrat położenia x2 .
Ć
D.) Obliczyć średni pęd p .
Ć
E.) Obliczyć średni kwadrat pędu p2 .
Ć
F.) Skonstruować dyspersje Ã2(x) oraz Ã2(p). Przekonać siÄ™, że zasada nieoznaczonoÅ›ci jest
rzeczywiście minimalizowana.
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 10
26.10.2004 Zadania domowe: Seria 5 11
||
Odp. A = ( ||/Ä„)1/4. x = a. p = b. x2 = + a2. p2 = + b2.
Ć Ć Ć Ć
2 2||
Zadanie 5.4. *("Połówka" potencjału oscylator (4.5(72))
Znalez
ć poziomy energetyczne i funkcje falowe cząstki o masie m w polu o energii potencjalnej
" dla x 0
V (x) =
1
mÉ2x2 dla x > 0
2
Potencjał ten (a ściślej energię potencjalną) można by nazwać "połówką" potencjału kwantowo-
-mechanicznego oscylatora harmonicznego.
Zadanie 5.5. (Efekt Starka dla jednowymiarowego oscylatora (4.3(70))
Znalez
ć i przedyskutować funkcje falowe i poziomy energetyczne dla jednowymiarowego oscylato-
ra harmonicznego o masie m i czÄ™stoÅ›ci É. CzÄ…stka oscylatora ma Å‚adunek elektryczny q i znajduje
się w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E0. Przyjąć potencjał pola elektrycznego w
postaci Õ = -E0x. Jest to tzw. efekt Starka dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego.
Zadanie 5.6. (Elementy macierzowe x2 oraz p2 dla oscylatora harmonicznego (B.4))
Ć Ć
Rozważamy kwantowo-mechaniczny (jednowymiarowy) oscylator harmoniczny. W czasie ćwiczeń
podano, że element macierzowy kwadratu operatora położenia ma postać
îÅ‚ Å‚Å‚
1 n(n - 1) (n + 1)(n + 2)
ðÅ‚
k | x2 | n = n + ´k, n + ´k, n-2 + ´k, n+2ûÅ‚ ,
Ć
mÉ 2 4 4
zaś element macierzowy kwadratu operatora pędu to
îÅ‚ Å‚Å‚
1 n(n - 1) (n + 1)(n + 2)
ðÅ‚
k | p2 | n = mÉ n + ´k, n - ´k, n-2 - ´k, n+2ûÅ‚
Ć
2 4 4
Przeprowadzić pełne rachunki prowadzące do powyższych rezultatów.
Zadanie 5.7. (Wartości oczekiwane i dyspersja energii dla stanu superponowanego (B.5))
Niech funkcje falowe Õ1( r) oraz Õ2( r) bÄ™dÄ… funkcjami wÅ‚asnymi hamiltonianu pewnego ukÅ‚adu
fizycznego
$
Õk( r) = Ek Õk( r), k = 1, 2, E1 = E2.

Funkcje te sÄ… ortonormalne, tj. Õj | Õk = ´jk. Niech teraz funkcja falowa opisujÄ…ca stan ukÅ‚adu
będzie superpozycją
È( r, t) = ²1 e-iÉ1t Õ1( r) + ²2 e-iÉ2t Õ2( r),
gdzie Ék = Ek/ , zaÅ› (w ogólnoÅ›ci zespolone) współczynniki speÅ‚niajÄ… warunek |²1|2 + |²2|2 = 1.
A.) Zbadać i przedyskutować normowanie funkcji falowej È( r, t).
B.) Jakie wyniki będą dawać pojedyncze pomiary energii układu, jeśli jest on przygotowany
w stanie opisywanym przez funkcjÄ™ falowÄ… È( r, t).
C.) Obliczyć E  wartość oczekiwaną energii uzyskaną w długiej serii pomiarów.
D.) Obliczyć Ã2(E)  odpowiedniÄ… dyspersjÄ™ energii.
E.) Kiedy dyspersja Ã2(E) = 0 ?
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 11
3.11.2004 Zadania domowe: Seria 6 12
Zadania domowe: Seria 6
Zadanie 6.1. (Superpozycja stanów oscylatora (4.1 (68))
Oscylator harmoniczny jest opisany hamiltonianem
p 1
Ć2
$
= + mÉ2x2
Ć
2m 2
a jego (unormowane) funkcje wÅ‚asne oznaczamy przez Èn(x). W chwili poczÄ…tkowej funkcja
falowa oscylatora była dana wzorem
È(x, t = 0) = cos ¸ È0(x) + sin ¸ È1(x) gdzie ¸ " (0, Ä„).
A.) Znalez
ć funkcję falową oscylatora dla póz
niejszych chwil czasu t > 0.
2
B.) Obliczyć wartoÅ›ci oczekiwane energii E , E2 , oraz dyspersjÄ™ Ã2(E) = E2 - E .
C.) Zbadać zależność od czasu wartości oczekiwanej x .
t
Wskazówka. Element macierzowy operatora położenia x dany jest wzorem
Ć
"
"
Èk | x | Èn = n + 1 ´k,n+1 + n ´k,n-1 .
Ć
2mÉ
Zadanie 6.2. (Potencjał jednowymiarowyV (x) = V0 e-2ąx - 2e-ąx (1.2(B.2))
CzÄ…stka o masie m porusza siÄ™ w jednowymiarowym polu o energii potencjalnej
V (x) = V0 e-2Ä…x - 2e-Ä…x ,
gdzie V0 oraz ą to rzeczywiste stałe dodatnie.
A.) Przedyskutować przebieg funkcji V (x) i sporządzić jej wykres.
B.) Wybierając nową zmienną y = e-ąx skonstruować odpowiednie (stacjonarne) równanie
Schrödingera
d2È(y) d È(y)
y2 + y - ²2 y2 - 2y È(y) + EÈ(y) = 0,
dy2 dy
gdzie wprowadzono oznaczenia
2mV0 2mE
² = oraz E = .
2 2
Ä…2 Ä…2
C.) Przedyskutować zachowanie asymptotyczne. Pokazać, że dla y " funkcja falowa
"
zachowuje siÄ™ jak È(y) H" e-²y. Natomiast dla y 0 mamy È(y) H" yÄ… -E,
D.) Ograniczyć analizę do stanów związanych, dla których energia cząstki E < 0.
2
Wówczas E = -2, przy czym  = 2m|E|/( ą2).
E.) Szukać rozwiÄ…zania równania Schrödingera w postaci È(y) = y e-²y f(y).
(Czemu odrzucamy rozwiÄ…zanie proporcjonalne do y- ?).
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 12
3.11.2004 Zadania domowe: Seria 6 13
F.) Zbudować równanie dla funkcji f(y)
d2f(y) d f(y) 1
y2 + 2 + 1 y - 2²y2 + 2²y ² - -  f(y) = 0,
dy2 dy 2
Szukać jego rozwiązania za pomocą rozwinięcia w szereg. Prowadzi to do warunku reku-
rencyjnego
1
n +  + - ²
2
an+1 = 2² an
(n + 1)(2 + n + 1)
Jak wyznaczymy stałą a0.
G.) Przedyskutować konieczność urywania się szeregu. Z warunku na urywanie się szeregu
1
n +  - ² + = 0, gdzie n " N,
2
otrzymać warunek istnienia stanów związanych. Przedyskutować liczbę stanów związanych
mogących istnieć w badanej jamie potencjału.
H.) Z warunku na urywanie się szeregu otrzymać warunek kwantowania energii
îÅ‚ Å‚Å‚2
2
Ä…2 2mV0 1
ðÅ‚ ûÅ‚
En = - - n +
2
2m Ä…2 2
I.) Wracając do zmiennej x wypisać i omówić funkcje falowe.
Zadanie 6.3. (Potencjał jednowymiarowyV (x) = V0 e-2ąx - 2e-ąx (1.2(B.2))
W poprzednim zadaniu założyć, że w studni potencjalnej jest bardzo wiele poziomów związanych,
to znaczy spełniony jest warunek
2mV0
1.
2
Ä…2
Przedyskutować (w przybliżeniu) energie kilku najniżej położonych stanów, to jest stanów dla
których liczba kwantowa n jest niewiele większa od jedności. Zestawić uzyskane wyniki z rezul-
tatami dotyczÄ…cymi oscylatora harmonicznego.
Zadanie 6.4. (Oscylator harmoniczny)
Znalez
ć energie własne i odpowiednie funkcje własne dla standardowego kwantowo mechanicz-
nego oscylatora harmonicznego. Posłużyć się metodą konfluentnego równania hipergeometrycz-
nego. Metoda ta jest przedstawiona w skrypcie, więc nie powinna sprawiać trudności.
Zadanie 6.5. (Pewne własności wielomianów Hermite a)
Wielomiany Hermite a definiujemy za pomocÄ… wzoru Rodriguesa lub poprzez funkcjÄ™ tworzÄ…cÄ…
"
n
2 d 2 2 sn
Hn(x) = (-1)n ex e-x lub e-s +2sx = Hn(x).
dxn n!
n=0
Korzystając z tych zależności udowodnić następujące relacje rekurencyjne
d
A. Hn+1(x) = 2xHn(x) - Hn(x).
dx
d
B. Hn(x) = 2nHn-1(x).
dx
C. Hn+1(x) = 2xHn(x) - 2nHn-1(x).
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 13
15.11.2004 Zadania domowe: Seria 7 14
Zadania domowe: Seria 7
Zadanie 7.1. (Komutatory dla orbitalnego momentu pędu (5.1(75))
Z definicji orbitalnego momentu pÄ™du : L = r × p. Na tej podstawie wykazać, że:
A.) zachodzÄ… relacje komutacyjne:
Ć
Lk, xj = i µkjmxm
Ć Ć
Ć
Lk, pj = i µkjmpm
Ć Ć
Ć Ć Ć Ć
B.) WiedzÄ…c, że Lj, Lk = i µjkmLm, sprawdz
, że L2, Lk = 0.
Ć1 Ć3 Ć3 Ć2
C.) Posługując się wynikiem punktu B) pokaż, że L2, L2 = L2, L2 .
Zadanie 7.2. (Komutatory dla orbitalnego momentu pędu (5.2(76))
Obliczyć komutatory
Ć Ć2 Ć Ć Ć
Lk, p , Lk, Ć2 , Lk, Ć · p .
r r
Ć2 r
gdzie Lk jest operatorem k tej składowej momentu pędu, p oraz Ć2 to kwadraty operatorów
pędu i położenia. Przyjąć za znane następujące relacje komutacyjne:
Ć Ć
Lj, xk = i µjkmxm oraz Lj, pk = i µjkmpm
Ć Ć Ć Ć
Zadanie 7.3. (Komutatory dla orbitalnego momentu pędu (5.3(77))
Niech F ( r, p) bÄ™dzie skalarnÄ… funkcjÄ… trzech skalarów r2, p2 oraz r · p. Udowodnić nastÄ™pujÄ…cÄ…
relacjÄ™ komutacyjnÄ….
Li, F ( r, p) = 0
gdzie Li jest operatorem i tej składowej orbitalnego momentu pędu. Przyjąć za znane następu-
jÄ…ce relacje komutacyjne:
Lj, xk = i µjkmxm, oraz Lj, pk = i µjkmpm.
Zadanie 7.4. (Wartości oczekiwane składowych orbitalnego momentu pędu (5.6(80))
Obliczyć średnią wartość kwadratu z-owej składowej orbitalnego momentu pędu (a więc dla
obserwabli L2) dla cząstki, której stan opisany jest przez funkcję falową
z
4
È(Õ) = sin2 Õ, przy czym Õ " [0, 2Ä„].
3Ä„
Zadanie 7.5. (Komutatory dla ogólnego momentu pędu (5.7(81))
Niech J = (J1, J2, J3) będzie operatorem momentu pędu, oraz Ją = J1 ąiJ2. Korzystając jedynie
z kanonicznej relacji komutacyjnej
Ja, Jb = i µabcJc,
udowodnić poniższe związki komutacyjne
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 14
15.11.2004 Zadania domowe: Seria 7 15
A.) [J3, JÄ…] = Ä… JÄ…;
B.) [J+, J-] = 2 J3;
C.) J2, JÄ… = 0;
D.) a · J, J = -i a × J , gdzie wektor a komutuje z J;
E.) a · J, b · J = i J · a × b gdzie wektory a i b komutujÄ… z J.
Zadanie 7.6. (Komutatory dla ogólnego momentu pędu (5.8(82))
Niech J = (Jx, Jy, Jz) będzie operatorem momentu pędu.
A.) Niech J = (Jx, Jy, Jz) będzie operatorem momentu pędu. Wykazać równość komutatorów
2 2 2 2
Jx, Jy = Jz , Jx .
1 1 1
B.) Niech J = S = à będzie operatorem momentu pędu dla j = s = , to jest spinu .
2 2 2
2 2 2
Wypisać macierze operatorów Jx, Jy , Jz oraz J2 dla tego przypadku.
1
C.) Pokazać, że dla spinu s = (jak w poprzednim punkcie) elementy macierzowe
2
1 2 2 1 1 2 2 1
s = , ms | Jx, Jy | s = , m s = 0 = s = , ms | Jz , Jx | s = , m s
2 2 2 2
znikają, i to niezależnie od wartości liczb kwantowych ms i m s.
Zadanie 7.7. (Pewne własności operatorów momentu pędu (5.9(83))
Udowodnić następujące relacje dla operatora momentu pędu:
1
2
J2 = (J+J- + J-J+) + J3 , J"JÄ… = J2 - J3 (J3 Ä… ) ,
2
gdzie JÄ… = J1 Ä… iJ2.
Zadanie 7.8. (Hamiltonian via moment pędu (5.12)(86))
Układ fizyczny opisany jest przez operator momentu pędu J (liczba kwantowa j) i ma hamiltonian
2 2 2
H = A(Jx + Jy ) + BJz
gdzie A i B sÄ… pewnymi liczbami (jakimi). Znalez
ć poziomy energetyczne tego układu. Przedys-
kutować ewentualne degeneracje poziomów energetycznych.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 15
28.11.2004 Zadania domowe: Seria 8 16
Zadania domowe: Seria 8
Zadanie 8.1. (Operatory "podnoszÄ…cy" i "opuszczajÄ…cy" (5.10(84))
Niech J oznacza operator momentu pędu J = (J1, J2, J3).
A.) Wykazać, że dla Ją = J1 ą iJ2 zachodzą relacje komutacyjne
[J3, JÄ…] = Ä… JÄ…, J2, JÄ… = 0.
B.) Na podstawie powyższych relacji komutacyjnych pokazać, że
Ć
JÄ… | j m = j(j + 1) - m(m Ä… 1) | j m Ä… 1 ,
gdzie | j m to stany własne operatorów J2 oraz J3.
Zadanie 8.2. (Operatory "podnoszÄ…cy" i "opuszczajÄ…cy" (5.11(85))
Ć2 Ć
Ć
Stany | j m są stanami własnymi operatorów J oraz J3. Działanie operatorów Ją na stany
| j m dane jest wzorem
Ć
JÄ…| j m = j(j + 1) - m(m Ä… 1) | j, m Ä… 1
Na tej podstawie obliczyć elementy macierzowe
Ć Ć
j m |J1| j m , j m |J2| j m .
Zadanie 8.3. (Całka do harmonik sferycznych (5.13(87))
Rozważamy całkę pojawiającą się przy normowaniu harmonik sferycznych
p
n
In(p) = dx p2 - x2 dla n całkowitego
0
Udowodnić, że zachodzi relacja rekurencyjna
2n
In(p) = p2 In-1(p)
2n + 1
Na tej podstawie wyprowadzić wzór
(2n)!! 2n n! (2n n!)2
In(p) = p2n+1 = p2n+1 = p2n+1
(2n + 1)!! (2n + 1)!! (2n + 1)!
1
Czy analogiczna relacja zachodzi dla wykładnika n = k + , a więc połówkowego.
2
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 16
28.11.2004 Zadania domowe: Seria 8 17
Zadanie 8.4. (Operator przy obrotach 5.15(89))
Przy obrotach ukÅ‚adu współrzÄ™dnych o kÄ…t Õ wokół k-tej osi operatory transformujÄ… siÄ™ wedÅ‚ug
wzoru
i i
Ć Ć
 = exp - JkÕ  exp JkÕ
gdzie  oraz  operator przed i po obrocie.
A.) Pokazać, że dla operatorów skalarnych zachodzi
i i
Ć Ć
exp - JkÕ Â exp JkÕ = Â
t.j. operator skalarny jest niezmienniczy przy obrotach.
Ć
B.) Udowodnić, że dla operatorów wektorowych A = (Â1, Â2, Â3) mamy
3
i i
Ć Ć
 n = exp - JkÕ Ân exp JkÕ = Ân ´kn + (1 - ´kn) cos Õ + Âm sin Õ
knm
m=1
Ć
Wskazówka. Założyć, że dla operatorów skalarnych: Jk,  = 0.
Ć
Natomiast dla operatorów wektorowych: Jk, Ân = i Âm.
knm
Posłużyć się tożsamością operatorowA
¾ ¾2 Ć
Ć Ć Ć
exp(¾Â)B exp(-¾Â) = B + Â, B + Â, Â, B + .....
1! 2!
W rozwinięciach wygodnie jest rozważać oddzielnie parzyste i nieparzyste człony.
Zadanie 8.5. (Stan | jm przy obrotach (5.16(90))
Ć
Ć
Wykazać, że jeżeli | j, m jest wektorem własnym operatorów J2 oraz J3 odpowiadającym war-
tościom własnym j oraz m, to wektor
i i
Ć Ć
exp - J3Õ exp - J2¸ |j, m
Ć
Ć Ć
jest wektorem wÅ‚asnym operatorów J2 oraz Jn = J·Å„ gdzie n = (sin ¸ cos Õ, sin ¸ sin Õ, cos ¸)
należącym do tych samych wartości własnych.
Wskazówka. Wygodnie jest wykorzystać wyniki poprzedniego zadania.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 17
8.12.2004 Zadania domowe: Seria 9 18
Zadania domowe: Seria 9
Zadanie 9.1. (Wartości oczekiwane rn dla stanu podstawowego 6.2(93))
Elektron znajduje siÄ™ w stanie podstawowym w atomie wodoropodobnym (spin elektronu zanie-
dbujemy). Odpowiednia funkcja falowa ma postać
È100( r) = R10(r) Y00(¸, Õ)
przy czym radialna funkcja falowa R10(r) i harmonika sferyczna dane sÄ… wzorami
3/2
Z Zr 1
R10(r) = 2 exp - , Y00(¸, Õ) = .
a a 4Ä„
A.) Obliczyć ogólne wyrażenie dla rn .
2
B.) Obliczyć dyspersjÄ™ odlegÅ‚oÅ›ci elektronu od jÄ…dra: Ã2(r) = r2 - r .
C.) Jaka jest najbardziej prawdopodobna odległość elektronu od środka atomu? Odpowiedz

uzasadnić.
Wskazówka.
"
n!
dx xn exp(-ax) = .
an+1
0
Zadanie 9.2. (Moment pędu i pęd radialny 6.5(96))
Elektron znajduje siÄ™ w stanie podstawowym w atomie wodoropodobnym (spin elektronu zanie-
dbujemy). Odpowiednia funkcja falowa ma postać
3//2
Z Zr
u100( r) = R10(r) Y00(¸, Õ) przy czym R10(r) = 2 exp -
a a
Ć
A.) Obliczyć średnią wartość kwadratu momentu pędu L2 .
Ć
B.) Obliczyć średnią wartość rzutu momentu pędu na oś z: Lz .
C.) Radialna składowa pędu jest w mechanice kwantowej zdefiniowana wzorem
" 1
pr = -i +
Ć
"r r
Obliczyć średnią wartość pr dla elektronu w stanie podstawowym w atomie wodoropo-
Ć
dobnym.
Zadanie 9.3. (Konstrukcja funkcji falowej i moment pędu 6.6(97))
Stan elektronu w atomie wodoru, (bez uwzględniania spinu) opisywany jest funkcją falową
r
È( r) = A exp - x + y + z
a
gdzie a jest pewną stałą (jaki jest jej wymiar ?), natomiast A to stała normalizacyjna.
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 18
8.12.2004 Zadania domowe: Seria 9 19
A.) Rozłożyć powyższą funkcję falową na część radialną i kątowa, przy czym każda część ma
być oddzielnie unormowana.
B.) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że zmierzony w tym stanie kwadrat momentu pędu i
2
rzut momentu pędu na oś z wynoszą odpowiednio: 2 oraz 0.
Wskazówka. Pierwsze harmoniki sferyczne są następujące. Dla l = 0 mamy jedynie możliwe
m = 0. Natomiast dla l = 1 mamy trzy możliwe wartości m = -1, 0, 1. Wobec tego
1 3 3
Y00(¸, Õ) = Y1,0(¸, Õ) = cos ¸ Y1,Ä…1(¸, Õ) = " eÄ…iÕ sin ¸,
4Ä„ 4Ä„ 8Ä„
Pożyteczna też jest całka oznaczona
"
n!
dx xn e-ax = .
an+1
0
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 19
13.12.2004 Zadania domowe: Seria 10 20
Zadania domowe: Seria 10
Zadanie 10.1. (Równanie ciągłości prądu prawdopodobieństwa w polu elektromagnetycznym
(7.1(100))
Hamiltonian czÄ…stki bezspinowej o masie m i Å‚adunku q w polu elektromagnetycznym opisywa-
nym potencjałami (A, Ć) ma postać
q i q q2
p2
H = + V ( r) - A · p + divA + A2 + qĆ
2m m 2m 2m
Udowodnić, że gÄ™stość prawdopodobieÅ„stwa Á = ÈÈ" i gÄ™stość prÄ…du prawdopodobieÅ„stwa speÅ‚-
niają równanie ciągłości
"Á q
+ div j = 0 gdzie j = (È""È - È"È") - A ÈÈ"
"t 2mi m
Uwaga. Rozwiązanie zadania można znalez
ć w skrypcie.
Zadanie 10.2. (Niezmienniczość gęstości i prądu prawdopodobieństwa przy transformacji ce-
chowania (7.2(101))
Transformacja cechowania potencjałów polega na dokonaniu zamian
"
A - A = A + "Ç( r, t), Ć - Ć = Ć + Ç( r, t)
"t
Wykazać, że gęstość i prąd prawdopodobieństwa są niezmiennicze względem transformacji cecho-
wania potencjałów jeśli wraz ze zmianą potencjałów dokonujemy zmiany (cechowania) funkcji
falowej
q
È - È = exp i Ç( r, t)
gdzie È = È( r) jest funkcjÄ… falowÄ… badanej czÄ…stki.
Uwaga. Rozwiązanie zadania można znalez
ć w skrypcie.
Zadanie 10.3. (Niezmienniczość r. Schrödingera przy transformacji cechowania (7.3(102))
Rozważając hamiltonian
q i q q2
p2
H = + V ( r) - A · p + divA + A2 + qĆ
2m m 2m 2m
dokonać jego transformacji wynikającej z transformacji cechowania potencjałów według wzorów
"
A - A = A + "Ç( r, t), Ć - Ć = Ć + Ç( r, t)
"t
Sprawdzić, że równanie Schrödingera dla nowego hamiltonianu i dla nowej funkcji falowej
q
È - È = exp i Ç( r, t)
redukuje siÄ™ do postaci sprzed cechowania. Fakt ten oznacza, że równanie Schrödingera jest
niezmiennicze względem transformacji cechowania potencjałów.
Uwaga. Rozwiązanie zadania można znalez
ć w skrypcie.
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 20
13.12.2004 Zadania domowe: Seria 10 21
Zadanie 10.4. (Cząstka swobodna w stałym polu B. Poziomy Landau a. (7.4(103))
Zbadać funkcje falowe i poziomy energetyczne swobodnej cząstki o masie m i ładunku q poru-
szajÄ…cej siÄ™ w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B = (0, 0, B).
Wskazówka. Wybrać potencjał wektorowy w postaci A = (-yB, 0, 0). Trzeba jednak (krót-
ko) omówić taki wybór.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 21