Piotr Kowalczewski
III rok fizyki, e-mail: [e-mail]
Krótki wstęp do mechaniki kwantowej
Spotkanie Sekcji Informatyki Kwantowej
1. Mechanika kwantowa w cytatach
If quantum mechanics hasn t profoundly shocked you, you haven t un-
derstood it yet.
Niels Bohr (1885-1962, duński fizyk, twórca modelu atomu)
I think I can safely say that nobody understands Quantum Mechanics.
Richard Feynman (1918-1988, fizyk teoretyk amerykański)
I do not like it, and I am sorry I ever had anything to do with it.
Erwin Schroedinger (1887-1961, fizyk austriacki, pionier mechaniki
kwantowej)
2. Notacja Diraca
Niech H będzie pewną przestrzenią Hilberta. Elementem tej przestrzeni
jest wektor |È okreÅ›lany jako  ket . Iloczyn skalarny przedstawiany jest
jako:
|È , |Õ " H - È|Õ " C. (1)
Wektor È| nosi nazwÄ™  bra . Iloczyn skalarny jest wiÄ™c  bra-ketem od
słowa bracket (nawias). Związek pomiędzy ketem i bra ma postać:
È| = |È , (2)
przy czym operacja określona jest jako sprzężenie hermitowskie.
Bra È| jest wiÄ™c obiektem matematycznym, który dziaÅ‚ajÄ…c na ket |Õ
 produkuje liczbę zespoloną równą iloczynowi skalarnemu wektorów (ketów)
|È i |Õ .
ZachodzÄ… przy tym zwiÄ…zki
|aÕ + bÈ = a|Õ + b|È . (3)
Å»
aÕ + bÈ| =

Õ| + b È|. (4)
Å»
dla a, b " C; Õ, È " H. Przy czym

, b - sprzężenia zespolone.
1
Przyjmijmy, że wektory |Õi tworzÄ… bazÄ™ w przestrzeni H. Wówczas wek-
tor |È przedstawiony jest jako:
"

|È = Õi|È |Õi . (5)
i=1
Ket |È można również przedstawić macierzowo:
îÅ‚ Å‚Å‚
Õ1|È
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ Õ2|È śł
|È = . (6)
ðÅ‚ ûÅ‚
.
.
.
Wówczas element bra będzie miał postać:

|È = È|Õ1 È|Õ2 · · · . (7)
Czyli będzie to macierz sprzężona i transponowana względem macierzy
(6).
Niech operator  w dziaÅ‚aniu na ket |Õ daje wektor |È , tzn.
|È = Â|Õ . (8)
Przedstawmy tą operację jako działanie operatora  na poszczególne wek-
tory bazy |Õi . Zgodnie ze wzorem (5) mamy:
" "

|È = Õi|È |Õi = Õi|ÂÕ |Õi . (9)
i=1 i=1
"
Ć
WstawiajÄ…c do wyrażenia (9) operator jednostkowy 1 = |Õj Õj|
j=1
otrzymujemy:
"

|È = Õi|Â|Õj Õj|Õ |Õi . (10)
i,j=1
Operator  w zapisie macierzowym ma więc postać:
îÅ‚ Å‚Å‚
Õ1|Â|Õ1 Õ1|Â|Õ2 · · ·
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Õ2|Â|Õ1 Õ2|Â|Õ2 · · ·
. (11)
ðÅ‚ ûÅ‚
. .
.
. . .
.
. .
Innymi słowy, tak jak wektor przedstawiamy w pewnej abstrakcyjnej ba-
zie za pomocÄ… n liczb, tak samo za pomocÄ… n2 liczb (a konkretnie macierzy
n × n) przedstawić możemy operator. Równanie (8) bÄ™dzie wyglÄ…daÅ‚o wiÄ™c
następująco:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Õ1|È Õ1|Â|Õ1 Õ1|Â|Õ2 · · · Õ1|Õ
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ Õ2|È śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ Õ2|Õ śł
Õ2|Â|Õ1 Õ2|Â|Õ2 · · ·
= · . (12)
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
. .
. .
.
. .
. . .
. . .
. .
Przykład 1. Operacja logiczna  negacja działająca dla bramki 1-qubitowej
(a więc w przestrzeni C2) reprezentowana jest przez operator NOT , który
ma postać macierzy 2 × 2:
2

0 1
. (13)
1 0
Działanie operatora NOT na element przestrzeni C2, w tym wypadku
wektor |0 odpowiadający wartości logicznej 0 klasycznego bitu algebry Bo-
ole a, tj.

1
|0 = .
0
ma postać analogicznego do (12) równania:

0 1 1 0
· = . (14)
1 0 0 1
W skrócie, jak można było przypuszczać, mamy więc:
NOT |0 = |1 . (15)
3. Postulaty mechaniki kwantowej
Podstawą mechaniki kwantowej jest kilka postulatów, które przyjęte są
 na wiarę - tj. nie wiadomo dlaczego te postulaty są słuszne, natomiast
wyniki doświadczalne są z nimi zgodne. W ten sposób zbudowana jest każda
teoria fizyczna, np. mechanika klasyczna bazuje na trzech zasadach dynamiki
Newtona.
Postulat 1. Przestrzenią stanów układu jest ośrodkowa przestrzeń Hilberta
H. W każdej chwili t stan ukÅ‚adu reprezentowany jest przez ket |È(t) " H.
W bazie H, tj. B = {|Õi }" charakteryzujemy stan |È przez podanie
i
ukÅ‚adu liczb: { Õi|È }" (współrzÄ™dne |È w bazie B).
i
Postulat 2. Każda mierzalna wielkość fizyczna (obserwabla) reprezentowa-
na jest przez operator hermitowski, którego wektory własne tworzą bazę w
H.
Niech A bÄ™dzie pewnÄ… wielkoÅ›ciÄ… fizycznÄ…, której odpowiada operator Â
o wartościach własnych ai.
Postulat 3. Wynikiem pomiaru wielkości fizycznej A może być tylko jedna
z wartoÅ›ci wÅ‚asnych Â.
Wynik pomiaru jest zawsze liczbÄ… rzeczywistÄ…, dlatego operatory repre-
zentujące obserwable muszą być hermitowskie (wartości własne operatorów
hermitowskich sÄ… zawsze rzeczywiste).
Postulat 4. Prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru obserwabli
 wartości ai wynosi:
2
| Õi|È |
P (ai) = . (16)
È|È
3
Dla stanu unormowanego È|È = 1 bÄ™dzie:
2
P (ai) = | Õi|È | . (17)
PrzykÅ‚ad 2. Niech unormowany stan qubitu |È " C2 przedstawiony bÄ™dzie
w postaci liniowej kombinacji:
|È = Ä…|0 + ²|1 . (18)
Prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru wartości logicznej 0
wynosi:
2 2
| 0|È | = |Ä… 0|0 + ² 0|1 |2 = |Ä…| .
Przy czym wykorzystaliśmy fakt, że skoro wektory |0 i |1 stanowią bazę,
to są względem siebie ortogonalne, czyli 0|0 = 1 i 0|1 = 0. Analogicznie
liczymy prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru wartości logicznej
1:
| 1|È |2 = |Ä… 1|0 + ² 1|1 |2 = |²|2.
Ponieważ prawdopodobieństwo otrzymania czegokolwiek wynosi 1 (układ
musi znajdować się w jakimś stanie), dochodzimy do następującej tożsamości:
|Ä…|2 + |²|2 = 1. (19)
Przyjmijmy, że dokonaliÅ›my pomiaru obserwabli Â, jako wynik otrzymu-
jÄ…c wartość wÅ‚asnÄ… an, odpowiadajÄ…cÄ… wektorowi wÅ‚asnemu |Õn .
Postulat 5. Stanem układu po przeprowadzeniu pomiaru jest unormowany
rzut stanu |È na unormowany wektor wÅ‚asny |Õn .
Õn|È

|È - |Õn . (20)
| Õn|È |2
Jednym sÅ‚owiem w wyniku pomiaru nastÄ™puje redukcja stanu |È do sta-
nu |Õn . Klasycznie pomiar rejestruje rzeczywistość (która istnieje tak czy
inaczej). Kwantowo pomiar rzeczywistość kreuje.
Przykład 3. Wśród proponowanych fizycznych realizacji obliczeń kwanto-
wych ważną rolę odgrywa koncepcja Jądrowego Rezonansu Magnetycznego
(ang. NMR - Nuclear Magnetic Resonance). Wykorzystuje ona wewnętrzny
moment magentyczny cząsteczki - spin. Mówiąc obrazowo - cząsteczki posia-
dające spin zachowują się jak niewielkie magnesy, przy czym dwa możliwe
ustawienia (równoległe i antyrównoległe) odpowiadają dwóm stanom kwanto-
wym tworzącym qubit (przyjmijmy: ustawienie równoległe - |1 , ustawienie
antyrównoległe - |0 ).
Pokazuje to doświadczenie Sterna-Gerlacha. Idea doświadczenia wyglą-
dała następująco: atom złota Ag lub wodoru H (oba atomy mają po jednym
elektrnonie walencyjnym, więc tylko ten jeden elektron decyduje o kierunku
spinu) wpadał pomiędzy dwa magnesy o specjalnie ukształtowanych biegu-
nach.
4
Spin w stanie |0 zostaje odchylony do góry i pozostaje w stanie |0 . Ana-
logicznie spin w stanie |1 zostanie odchylony do dołu i pozostaje w stanie |1 .
1 1
Natomiast spin w stanie |È = (|0 + |1 ) z prawdopodobieÅ„stwem P =
2 2
zostanie odchylony ku górze i znajdzie się w stanie |0 i z takim samym praw-
dopodobieństwem zostanie odchylony ku dołowi i znajdzie się w stanie |1 .
Postulat 6. Ewolucję układu fizycznego w czasie określa równanie Schro-
edingera (z czasem).
d
i |È(t) = $
(t)|È(t) . (21)
dt
Dla pełnego rozwiązania tego równania konieczne jest określenie stanu
dla pewnej chwili t0 (warunek poczÄ…tkowy).
4. Funkcja falowa, równanie Schroedingera
Tak samo jak zwykły wektor w przestrzeni Rn można określić przez zestaw
liczb (x1, . . . , xi, . . . , xn), xi " R, tak wektor stanu określa się przez zestaw
liczb C. W reprezentacji położeniowej (reprezentacja - baza, w której rozkła-
damy odpowiednie wektory) wektor stanu |È jest jednoznacznie okreÅ›lony
przez podanie wszystkich iloczynów skalarnych x|È . Skoro każdej wartoÅ›ci
x przypisujemy liczbę, można mówić o funkcji:
È(x) = x|È . (22)
Funkcja określona wyrażeniem 22 nosi nazwę funkcji falowej (w reprezen-
tacji położeniowej).
Funkcja È mogÅ‚aby być miarÄ… znalezienia czÄ…stki w okreÅ›lonym punk-
cie w przestrzeni, jednak prawdopodobieństwo ma być liczbą rzeczywistą
i nieujemnÄ…. Pod uwagÄ™ brany jest wiÄ™c kwadrat moduÅ‚u wartoÅ›ci È, tzn.
|È(x)|2 = È(x)È(x). Wyrażenie |È(x)|2 okreÅ›lone jest jako gÄ™stość prawdo-
podobieństwa.
Prawdopodobieństwo P znalezienia cząstki w nieskończenie małej obję-
tości dxdydz wokół punktu wyznaczonego przez wektor wynosi w takim
r
razie
P = |È(x)|2dxdydz. (23)
Pewne jest, że cząstka znajduje się gdziekolwiek. Zachodzi więc (tzw.
warunek normalizacyjny):

|È(x)|2dxdydz = 1. (24)
R3
Hamiltonian (operator energii) cząstki klasycznej ma postać:
2
p

H( p) = + V ( (25)
r, r).
2m
Po skwantowaniu (tj. zastąpieniu odpowiednich wartości z mechaniki kla-
sycznej operatorami), otrzymujemy:
5
2
Ć
p

Ć
$
= + V ( (26)
r).
2m
W reprezentacji położeniowej operatory pędu i potencjału mają odpo-
wiednio postać (co podaję bez dowodu):
Ć2
p = -i ". (27)

Ć
V ( = V ( (28)
r) r).
Tak więc ze związków 27 i 28, równanie 26 przyjmuje postać:
- 2
$
= + V ( (29)
r).
2m
Równanie 29 nosi nazwę równania Schroedingera (bez czasu). Innymi sło-
wy, jest to równanie na wektory ÕE( i wartoÅ›ci wÅ‚asne E operatora energii.
r
Mamy więc:
- 2
ÕE( + V ( r) = EÕE( (30)
r) r)ÕE( r).
2m
6