Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
Wykład FIZYKA II
12. Mechanika kwantowa
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
MECHANIKA KWANTOWA
�� Podstawę mechaniki kwantowej stanowi związek de Broglie`a:
h
p =�
l�
wyrażany częściej przez tzw. liczbę falową k=2p�/l� i wielkość h kreślone h� =� h 2p�
p =� h�k
y�
�� Kwadrat funkcji falowej cząstki opisuje rozkład
prawdopodobieństwa znalezienia się tej cząstki w określonym
punkcie przestrzeni położeń (bądz
pędu).
Ze względu na sens fizyczny funkcji falowej, należy ją przyjąć ogólnie
w postaci zespolonej.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
MECHANIKA KWANTOWA
�� Jaką długość fali przewiduje dla obiektów  masywnych równanie fali de
Broglie`a, a jaką dla  lekkich ? Przykład: piłka o masie 1 kg poruszająca się z
prędkością 10 m/s i elektron przyspieszony napięciem 100 V.
a) Dla piłki: pęd p=mv=10kg m/s
Długość fali de Broglie`a:
l�=h/p=(6,6*10-34 Js)/(10 kg m/s)=6,6*10-35 m
Ta wielkość jest praktycznie równa zeru, zwłaszcza w porównaniu z rozmiarami obiektu.
Doświadczenie prowadzone na takim obiekcie nie pozwala więc na rozstrzygnięcie, czy materia
wykazuje własności falowe (zbyt małe l�). Przypomnijmy, że falowy charakter światła przejawia
się, gdy rozmiary obiektu, z którym światło wchodzi w interakcję, są porównywalne z długością
fali.
b) Elektron przyspieszony napięciem 100 V uzyska energię kinetyczną:
Ek=eU=100 eV=1,6*10-17 J
a prędkość, jaką uzyska: v=(2Ek/m)1/2=5,9*106 m/s
co da w efekcie odpowiednią długość fali de Broglie`a: l�=0.12 nm
Jest to wielkość rzędu odległości międzyatomowych w ciałach stałych.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
RÓWNANIE SCHR�DINGERA
�� Równanie Schr�dingera jest podstawowym równaniem mechaniki
kwantowej. Opisuje ono ewolucję w czasie funkcji falowej, która
pozwala na wyznaczenie położenia cząstki w określonym miejscu
przestrzeni i czasu z pewnym prawdopodobieństwem.
(niezależne od czasu, jednowymiarowe)
2
d y�(�x)� 2m
+� [�E -�U(�x)�]�y�(�x)� =� 0
dx2 h�2
(E. SCHR�DINGER, 1926)
" Warunki brzegowe: dla dużych wartości |x| prawdopodobieństwo
znalezienia cząstki równe jest zero;
" Tylko pewne wartości energii En i odpowiadające im funkcje y�n spełniają te
warunki  nazywamy je wartościami własnymi i funkcjami własnymi.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
RÓWNANIE SCHR�DINGERA
�� W przypadku potencjałów zależnych od czasu:.
2
h�2 d y�(�x)�+�U(�x,t)�y�(�x,t)� =� ih� ś�y�(�x,t)�
-�
2m dx2 ś�t
�� W przypadku trójwymiarowym:
2 2 2
2
d d d
d y�(�x)�
��
�2 =� +� +�
dx2 dy2 dz2
dx2
(laplasjan)
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
PACZKA FALOWA
�� Rozważmy funkcję falową cząstki w postaci (w chwili t=0):
ć� ��
x2
y�(�x,0)� =� Aexp��-� ��exp(�ik0x)�
2
�� ��
4s�
Ł� ł�
x
Odpowiadający jej rozkład prawdopodobieństwa ma postać:
ć� ��
x2
2
y� =� A2 exp��-� ��
2
�� ��
2s�
Ł� ł�
x
Jest to znana funkcja zwana funkcją Gaussa;
jest tzw. odchyleniem standardowym, które oznaczymy jako D�x
s�
x
i nazwiemy nieokreślonością położenia.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
PACZKA FALOWA
�� Tak zlokalizowana fala nazywana jest paczką fal. Można ją
przedstawić jako sumę funkcji sinusoidalnych postaci exp(ikx).
ć� ��
x2
y� =� Aexp��-� ��exp(�ik0x)� =�
��B exp(�iknx)�
n
2
�� ��
4s�
n
Ł� ł�
x
Dla nieskończonej liczby fal  jest to całka
��B(�k)�exp(�ikx)�dk
Rozwiązaniem jest:
s�
2
2
x
B(�k)� =� exp[�-�s� (�k -� k0)� ]�
x
p�
2
lub, zapisując w postaci  pędowej :
�� ł�
s� (�p -� p0)�
x
B(�p)� =� expę�-�
ś�
2
p�
(�h� s� )�
�� ��
x
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
PACZKA FALOWA
��  Pędowa funkcja prawdopodobieństwa:
2
2
�� ł�
s� (�p -� p0)�
2
x
B(�p)� =� expę�-�
ś�
2
p�
2(�h� 2s� )�
�� ��
x
jest również rozkładem gaussowskim:
2
2
�� ł�
s� (�p -� p0)�
2
x
B(�p)� =� expę�-�
ś�
2
p� 2s�
p
�� ��
gdzie jest standardowym odchyleniem czyli  nieokreślonością pędu.
s�
p
h�
s� s� =�
x p
2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ZASADA HEISENBERGA
�� Dla paczek falowych o dowolnych kształtach również spełniona jest:
Zasada nieokreśloności (nieoznaczoności) Heisenberga
h�
D�xD�p ł�
2
Jeśli cząstka jest zlokalizowana w
przestrzeni z odchyleniem standardowym
D�x, to nie ma ona określonego pędu, lecz
pewien rozkład pędów |�B(p)|�2 o
szerokości D�p.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KONIEC  KOSZMARU DETERMINIZMU
�� Jeśli znana jest postać funkcji falowej w chwili początkowej, to teoria
kwantowa pozwala przewidzieć postać tej funkcji w dowolnej następnej
chwili czasu  ale rozszerzanie się funkcji falowej czyni te wiedzę
nieprzydatną przy przewidywaniu przyszłości...
Przykłady:
�� Nie ma sposobu rozstrzygnięcia który elektron pochłonie foton w zjawisku fotoelektrycznym 
możemy tylko obliczyć prawdopodobieństwo pochłonięcia fotonu przez dany elektron.
�� Obraz interferencyjny wiązki elektronów  mówi nam jedynie o prawdopodobieństwie znalezienia
danego elektronu w każdym punkcie ekranu.
�� Rozpad promieniotwórczy - nie można przewidzieć, kiedy rozpadnie się pojedyncze jądro uranu,
znamy tylko prawdopodobieństwo rozpadu jądra w określonym przedziale czasu.
Przewidywane prawdopodobieństwa można jedynie
porównywać z wartościami średnimi, otrzymanymi w wyniku
dużej liczby obserwacji.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
RÓWNANIE SCHR�DINGERA
�� Cząstka swobodna: na cząstkę nie działają żadne siły, czyli
potencjał jest funkcją stałą  można przyjąć go za równy zeru.
�� Fizyka klasyczna: cząstka porusza się ruchem jednostajnym;
2
�� Fizyka kwantowa: równanie Schr�dingera:
h�2 d y�
-� =� Ey�(�x)�
2m dx2
Rozwiązanie ogólne: fala bieżąca
E
-�i t
h�
y�(�x,t)� =� (�Aeikx +� Be-�ikx)���e
2mE
przy czym: k =�
h�
Rozwiązanie  praktyczne : paczka falowa!
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
RÓWNANIE SCHR�DINGERA
�� Próg potencjału: funkcja skoku V
V0
0dla x <� 0
V(�x)� =� {
x
V0 dla x >� 0
Opis klasyczny:
p2
Energia całkowita cząstki:
E =� +�V
2m
1) Dla: E>V0
Dla x<0: energia kinetyczna cząstki jest równa jej energii całkowitej;
vL =� 2E m
Dla x>0: energia kinetyczna: E-V0
vP =� 2(�E -�V0)� m
Prędkość cząstki w tym obszarze:
2) Dla: ECząstka porusza się TYLKO w obszarze x<0. Energia kinetyczna cząstki jest równa
jej energii całkowitej.
Prędkość cząstki w tym obszarze: vL =� 2E m
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
RÓWNANIE SCHR�DINGERA
V
V0
Próg potencjału: Opis kwantowy:
x
1) Dla: E>V0
Równania Schr�dingera dla obu obszarów:
2 2
h�2 d y� h�2 d y�
a) dla x<0 b) dla x>0
-� =� Ey�(�x)� -� =� (�E -�V0)�y�(�x)�
2m dx2 2m dx2
a) rozwiązanie dla x<0
1 1
y�1(�x)� =� Aeik x +� Be-�ik x
k1 =� 2mE h�
b) rozwiązanie dla x>0:
2 2
y�2(�x)�=� Ceik x +� De-�ik x
k2 =� 2m(�E -�V0)� h�
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
RÓWNANIE SCHR�DINGERA
V
V0
Próg potencjału: opis kwantowy (E>V0):
x
�� Warunki normowania:
D =� 0
, bo brak fali odbitej w obszarze  2 .
�� Warunki brzegowe: (ciągłość,  zszywanie funkcji ):
y�1(�x =� 0)� =�y�2(�x =� 0)�
ś�y�1(�x =� 0)� ś�y�2(�x =� 0)�
=�
C ć� k2 �� C ć� k2 ��
ś�x ś�x
A =� ��1+� �� B =� ��1-� ��
2 k1 ł� 2 k1 ł�
Ł� Ł�
2
vB*B (�k1 -� k2)�
�� Współczynnik odbicia:
R =� =�
2
vA*A
(�k1 +� k2)�
�� Współczynnik przejścia (transmisji):
vC*C 4k1k2
T =� =�
2
vA*A
(�k1 +� k2)�
Oczywiście: R +�T =�1 , co można potraktować również jako zasadę zachowania
strumienia prawdopodobieństwa.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
RÓWNANIE SCHR�DINGERA
V
V0
Próg potencjału: opis kwantowy (E>V0):
x
Wnioski:
" skok potencjału spowodował, że  mimo, iż energia cząstki
jest większa od wysokości skoku potencjału  współczynnik
przejścia nie jest równy jedności, czyli przejście cząstki NIE jest
całkiem pewne;
vC*C 4k1k2
T =� =�
2
vA*A
(�k1 +� k2)�
" co więcej, może zajść ODBICIE cząstki od takiej bariery
pomimo tego, że wysokość bariery jest niższa niż energia
cząstki!
2
vB*B (�k1 -� k2)�
R =� =�
2
vA*A
(�k1 +� k2)�
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
RÓWNANIE SCHR�DINGERA
V
Próg potencjału: Opis kwantowy:
V0
2) Dla: Ex
Równania Schr�dingera dla obu obszarów:
2
2
a) dla x<0 b) dla x>0
h�2 d y�
h�2 d y�
-� =� (�E -�V0)�y� (�x)�
-� =� Ey�(�x)�
2m dx2
2m dx2
a) równanie dla cząstki swobodnej (znane)  fala biegnąca:
1 1
y�1(�x)� =� Aeik x +� Be-�ik x
k1 =� 2mE h�
b) rozwiązanie podobne:
2 2
k2'=� 2m(�E -�V0)� h�
y�2(�x)� =� Ceik 'x +� De-�ik 'x
ale: jest wielkością urojoną! Więc wprowadzamy:
k2' k2 �� ik2'
2 2
i wtedy:
y�2(�x)� =� Ce-�k x +� Dek x
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
RÓWNANIE SCHR�DINGERA
V
V0
Próg potencjału: opis kwantowy (Ex
1) Warunki normowania (ograniczoność funkcji):
D =� 0
2) Warunki brzegowe (ciągłości,  zszycie funkcji ):
y�1(�x =� 0)� =�y�2(�x =� 0)�
ś�y�1(�x =� 0)� ś�y�2(�x =� 0)�
=�
Stąd:
ś�x ś�x
C ć� k2 �� C ć� k2 ��
A =� ��1+� i �� B =� ��1-� i ��
2 k1 ł� 2 k1 ł�
Ł� Ł�
E
-�i t
h�
e
(Funkcje falowe otrzymujemy, oczywiście, mnożąc przez:
�� Prawdopodobieństwo, że cząstka znajdzie się w obszarze x<0:
gdzie:
v =� k1h� / m
P1(�x,t)� =� vA*A -� vB*B
(strumień padający) (strumień odbity)
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
RÓWNANIE SCHR�DINGERA
V
Próg potencjału: opis kwantowy (EV0
x
�� Współczynnik odbicia:
vB*B
R =� =�1
vA*A
�� Prawdopodobieństwo, że cząstka znajdzie się w obszarze x>0:
2
P2(�x,t)� =� C*Ce-�2k x >� 0
Istnieje więc skończone, choć malejące ze wzrostem odległości od progu
prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki w obszarze klasycznie
niedozwolonym.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
RÓWNANIE SCHR�DINGERA
V
V0
Próg potencjału: opis kwantowy (ciąg dalszy):
x
�� Z zasady nieoznaczoności Heisenberga: jeśli nieoznaczoność położenia
cząstki wynosi:
D�x
to nieoznaczoność jej pędu:
D�p � h� D�x � 2m(�V -� E)�
2
D�E � (�D�p)� 2m � V -� E
a energii:
Czyli: gdybyśmy chcieli zmierzyć współrzędną cząstki w obszarze D�x,
to doprowadzilibyśmy do takiej nieoznaczoności w jej energii, że nie
można by było w ogóle twierdzić, że jest ona mniejsza od V0!
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
RÓWNANIE SCHR�DINGERA
Bariera potencjału (o skończonej szerokości): V
V0
L
x
Równania Schr�dingera dla poszczególnych obszarów:
a) dla x<0 i x>L
b) dla x>0
2 2
h�2 d y� h�2 d y�
-� =� Ey�(�x)� -� =� (�E -�V0)�y�(�x)�
2m dx2 2m dx2
Dla E1 1
dla x<0
k1 =� 2mE h�
y�1(�x)� =� Aeik x +� Be-�ik x
2 2
dla 0k2 =� 2m(�E -�V0)� h�
y�2(�x)� =� Ceik x +� De-�ik x
1 1
dla x>L
k1 =� 2mE h�
y�3(�x)� =� Feik x +� Ge-�ik x
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
RÓWNANIE SCHR�DINGERA
V
Bariera potencjału (o skończonej szerokości):
V0
(dla EL
x
�� Warunki normowania (w obszarze x>L nie powinno być fali
odbitej):
G =� 0
�� Warunki brzegowe (ciągłości,  zszycie funkcji ):
y�1(�x =� 0)� =�y�2(�x =� 0)� y�2(�x =� L)� =�y�3(�x =� L)�
ś�y�1(�x =� 0)� ś�y�2(�x =� 0)� ś�y�2(�x =� L)� ś�y�3(�x =� L)�
=� =�
ś�x ś�x ś�x ś�x
ć� 2 2m(�V0 -� E)� ��
Stąd:
2
T � e-�2k L =� exp��-� L��
�� ��
h�
Ł� ł�
Zjawisko tunelowania (tunelowe,
przenikania przez barierę)
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
RÓWNANIE SCHR�DINGERA
V
Studnia potencjału
(o nieskończonej głębokości):
x
a
�� Potencjał nieskończony, więc: y�(�x)� =� 0
dla x<0 i dla x>a.
2
h�2 d y�
-� =� Ey�(�x)�
�� Wewnątrz studni potencjału:
2m dx2
Rozwiązania typu:
y�(�x)� =� Aeikx +� Be-�ikx
gdzie:
k =� 2mE h�
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
RÓWNANIE SCHR�DINGERA
V
Studnia potencjału
(o nieskończonej głębokości):
x
y�(�x)� =� Aeikx +� Be-�ikx
a
�� Warunki brzegowe:
A =� -�B
y�(�x =� 0)� =� 0 więc: a stąd: y�(�x)� =� C sin kx
n =�1,2,3...
y�(�x =� a)� =� 0 więc: kna =� np� gdzie:
n2h2
En =�
�� Dyskretne poziomy energii:
8ma2
dla funkcji własnych:
2 np�
y�n(�x)� =� sinć� x��
�� ��
a a
Ł� ł�
(stała C z warunku normowania)
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
RÓWNANIE SCHR�DINGERA
V
Studnia potencjału
(o nieskończonej głębokości):
x
a
n2h2
En =�
Dyskretne poziomy energii:
8ma2
2 np�
y�n(�x)� =� sinć� x��
�� ��
dla funkcji własnych:
a a
Ł� ł�
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
RÓWNANIE SCHR�DINGERA
V
Studnia potencjału
(o skończonej głębokości):
a
x
�� Funkcje własne NIE znikają na granicy obszaru studni;
�� Otrzymane wartości własne energii są w dalszym ciągu skwantowane i
zależą dodatkowo od głębokości studni;
�� Gdy energia cząstki jest większa od głębokości studni, energie tworzą
kontinuum (dozwolona jest każda wartość energii);
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
BOHRA MODEL ATOMU WODORU
�� Niels Bohr (1913)  prosty model atomu wodoru, niezgodny z
najnowszą teorią, ale symbolika używana do dziś.
�� Założenia modelu Bohra:
1)Elektrony poruszają się po kołowych orbitach wokół jądra;
2)Utrzymują je siły elektrostatycznego przyciągania z protonami jądra oraz
siła odśrodkowa;
3)Krążąc po tych orbitach, elektrony nie tracą energii;
4)Wielkość,  opisująca ruch po kołowej orbicie  moment pędu  jest
skwantowana:
n =�1,2,3...
mvR =� nh�
�� Teoria współczesna mówi, że ruch po klasycznych  orbitach nie jest poprawnym opisem
zachowania elektronu jak również, że wartość momentu pędu równa jest:
l(�l +�1)�h�
ale mimo to teoria Bohra doprowadziła do (w miarę) poprawnych obliczeń poziomów
energetycznych atomu wodoru (tak więc w sumie niewłaściwe rozumowanie doprowadziło
do poprawnych wniosków  zdarza się...).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
BOHRA MODEL ATOMU WODORU
�� Z czwartego postulatu Bohra wynika następujący wzór na promień
orbity elektronu:
h�
Rn =� n
mv
�� Przyrównując siłę dośrodkową do siły elektrostatycznej (Coulomba):
mv2 k0Ze2
(Z  liczba atomowa)
=�
2
Rn Rn
�� Podstawiając wyrażenie na promień orbity, obliczamy prędkość
elektronu na  n -tej orbicie:
k0Ze2
vn =�
nh�
�� Energia elektronu to suma energii kinetycznej i potencjalnej:
k0Ze2
mv2
U =� -� =� -�mv2
En =� +�U
Rn
2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
BOHRA MODEL ATOMU WODORU
�� Ostatecznie otrzymujemy wzory na energię elektronu na  n -tej
orbicie i promień tejże orbity:
2 2
k0e2 k0 Z me4 1 h�2
En =� -� =� -� Rn =� n2
2Rn 2h�2 n2 k0Zme2
�� Wzory te bardzo dobrze zgadzają się z wzorami, otrzymanymi we
współczesnej teorii kwantowej, dla atomu jednoelektronowego (wodoru). Model
Bohra daje też prostą odpowiedz
na pytanie o  rozmiary atomu (Rn).
�� Dla atomu wodoru (Z=1) mamy:
1
En =� -�13,6ć� ��eV
�� ��
n2
Ł� ł�
co dla poszczególnych wartości n daje znane serie widmowe przejść
elektronowych (Lymana, Balmera, ...).
�� Wzór Bohra nie daje jednak dobrych wyników dla atomów
wieloelektronowych (np. helu)!
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ATOM WODORU  ROZWI
ZANIE PRZYBLIŻONE
�� Energia potencjalna oddziaływań międzycząsteczkowych
(elektrostatycznych) w atomie:
k0e2
U(�r)� =� -�
r
�� Rozwiązanie przybliżone:
równoważna studnia prostokątna
Założenia:
R0 - maksymalna odległość elektronu od środka studni z punktu
widzenia fizyki klasycznej;
R =� R0 / 2 - średnia odległość elektronu;
U0 =� k0e2 R - równoważna głębokość studni prostokątnej;
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ATOM WODORU  ROZWI
ZANIE PRZYBLIŻONE
- Sposób rozwiązania:
l�n
n =� 2R0
�� Fala stojąca w studni prostokątnej:
2
h hn
pn � =�
�� Pęd de Broglie`a jako średni pęd elektronu:
l�n 4R0
2
pn h2n2
�� Średnia energia kinetyczna:
Ek � =�
2
2m 32mR0
- Rozwiązanie:
�� Przybliżony  promień funkcji falowej elektronu:
2
h2n2 4p� h�2
h�2
R0 � =� n2
Rn =� n2
32k0me2 32 k0me2 k0me2
�� Przybliżona wartość energii:
2
2
k0me4 1
16 k0me4 1
En =� -�
En =� -�
2
2h�2 n2
p� 2h�2 n2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ATOM WODORU  ROZWI
ZANIE ŚCISA
E
�� Trójwymiarowe równanie Schr�dingera niezależne od czasu:
ś�2y� ś�2y� ś�2y� 2m
+� +� =� -� (�E -�U )�y� (�x, y, z)�
ś�x2 ś�y2 ś�z2 h�2
�� Współrzędne sferyczne:
x =� r sinq� cosj�
y =� rsinq� sinj�
z =� r cosq�
�� Równanie Schr�dingera we współrzędnych sferycznych:
1 ś� 1 ś�
ć�r ś�y� �� ć�sinq� ś�y� ��
2
+� +�
�� �� �� ��
r2 ś�r ś�r r2 sinq� ś�q� ś�q�
Ł� ł� Ł� ł�
1 ś�2y� 2m
=� -� (�E -�U )�y�
2
r2 sin2q� ś�j� h�2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
n
ATOM WODORU  ROZWI
ZANIE ŚCISA
E
k0e2
�� Podstawiamy wyrażenie na energię potencjalną:
U(�r)� =� -�
do równania Schr�dingera i... rozwiązujemy! r
r
��
��  Najprostsze rozwiązanie: funkcja wykładnicza
y�(�r,q� ,j�)� =� expć�-�
�� ��
a
Ł� ł�
a stąd:
h�2 me4
2
a =� R1 =� =� 5,3��10-�11m
E1 =� -�k0 =� -�13,6eV
k0me2
2h�2
�� Kolejne rozwiązania:
ć� 2r 2r2 ��
ć�1-� r ��e
-�r 2a
y�3 =� 1-� +� ��
�� e-�r 3a
y�2 =�
�� ��
3a 27a2 ł�
2a
Ł� ł�
Ł�
dla:
1 me4
2
En =� -� k0
n2 2h�2 n - główna liczba kwantowa
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ATOM WODORU  ROZWI
ZANIE ŚCISA
E
�� Ogólna postać rozwiązania równania Schr�dingera:
y�n,l,m (�r,q�,j�)�=� Rn,l(�r)���Q�l,m (�q� )���F�m (�j�)�
l l l
l
gdzie: ml =� -�l,..,0,..,+�l
F�m (�j�)� =� eim j� l =� 0,..,n
l
�� Liczba ml związana jest z orbitalnym momentem pędu cząstki
względem osi z:
Lz =� mlh�
Przykład:
ć�1-� r ��
-�r 2a
y�2,0,0 =�
�� ����e
2a
Ł� ł�
y�2,1,1 =� r ��e-�r 2a ��sinq� ��eij�
Wszystkie mają energię E2
y�2,1,0 =� r ��e-�r 2a ��cosq�
y�2,1,-�1 =� r ��e-�r 2a ��sinq� ��e-�ij�
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ATOM WODORU  ROZWI
ZANIE ŚCISA
E
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ATOM WODORU  ROZWI
ZANIE ŚCISA
E
Dla dużych n i l gęstość prawdopodobieństwa
skupiona jest na okręgu o promieniu n2a, którego
środek leży na osi z - gęstość ta tworzy orbitę, jaką
przewidział Bohr, ale w teorii kwantowej elektron
jest jednorodnie  rozmyty na całej orbicie!
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
ATOM WODORU  ROZWI
ZANIE ŚCISA
E
2
�� Unormowanie funkcji falowych:
������y� dxdydz =�1
przestrze ń
(aby było to prawdopodobieństwo bezwzględne).
�� Wartość oczekiwana:
Gdy funkcja falowa jest kombinacją liniową kilku unormowanych funkcji
własnych, odpowiadających tej samej wartości własnej energii Ej:
y�(�x)� =�
��a y� (�x)�
j j
j
2
to wartość oczekiwana energii jest równa:
E =� aj Ej
��
j
Ta wartość zostałaby uzyskana po wykonaniu serii pomiarów, z których
każdy byłby wykonywany na układzie opisywanym tą samą funkcją falową.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
EMISJA FOTONU
�� Elektrodynamika kwantowa  nowa dziedzina fizyki,
stosująca mechanizmy mechaniki kwantowej do opisu
oddziaływań elektromagnetycznych.
�� Emisja fotonu  naładowane cząstki mogą wysyłać lub pochłaniać
pojedyncze fotony, a prawdopodobieństwo tego procesu można wyliczyć na
podstawie teorii kwantowej.
�� Emisja spontaniczna  według teorii kwantowej istnieje pewne
prawdopodobieństwo, że cząstka samoistnie przejdzie z poziomu o wyższej
energii na poziom o energii niższej, jednocześnie emitując foton.
Energia takiego emitowanego fotonu jest równa:
h =� En -� Em
(różnica energii na poziomach n-tym i m-tym).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
EMISJA FOTONU
�� Liczba możliwych przejść zależy od ilości poziomów
energetycznych w atomie (przykład: 4 poziomy  > 6 przejść):
�� Linie spektralne w widmie emisyjnym atomu  jeśli atomowi dostarczona zostanie
energia (np. poprzez podgrzanie lub wyładowanie elektryczne), to atomy ze stanu
podstawowego mogą zostać wzbudzone na wyższe stany energetyczne a następnie
mogą one  wrócić do stanu podstawowego z jednoczesną emisją fotonów  światło
wysyłane przez atom powinno zawierać ściśle określone linie widmowe.
�� We współczesnej (kwantowej) teorii cząstek elementarnych foton traktowany jest
jako cząstka o orbitalnej licznie kwantowej (tzw. spinie) ml równej jedności, co
powoduje w trakcie emisji fotonu zmianę tej liczby kwantowej atomu (następny
wykład...).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
WIDMO ATOMU WODORU
�� Biorąc pod uwagę wyprowadzone wzory na poziomy energetyczne
w atomie wodoru:
1 me4
2
En =� -� k0
n2 2h�2
możemy podać wzór na możliwe częstości jego linii widmowych:
me4 ć� 1 1
��
2
=� k0 -�
�� ��
4p�h�3 n2 m2
Ł� ł�
�� Dla n=1 mamy do czynienia z tzw. serią Lymana  linie tej serii leżą w
nadfioletowej części widma fal elektromagnetycznych.
�� Dla n=2 mamy do czynienia z serią Balmera  linie tej serii odpowiadają
kolejno długościom fal: 656 nm, 486 nm, 441 nm, 433 nm, ... , 365 nm.