Mechanika kwantowa 6-1
6. Mechanika kwantowa
Hipoteza de Broglie a
Podobnie jak z falą elektromagnetyczną (światłem) związane są fotony 
zachowujące się pod każdym względem jak cząstki obdarzone pędem
i energią, tak i z każdą cząstką o określonej energii i pędzie związana
jest fala o długości:
h p
 = i liczbie falowej k =
p
gdzie
2Ä„ h
k = , =
 2Ä„
Związek wyrażony wzorem
p = k
nazywa siÄ™ zwiÄ…zkiem de Broglie a.
Fala, której dotyczy związek de Broglie a jest tzw. falą prawdo-
podobieństwa. Matematycznie przedstawiamy ją jako wielkość
zespolonÄ…
È = Aei(kx-Ét )
gdzie:
A jest rzeczywistÄ… amplitudÄ… (moduÅ‚em |È|) fali o liczbie falowej k
i czÄ™stoÅ›ci koÅ‚owej É.
W modelu Bohr a atomu wodoru obowiązywał warunek
h
mvR = n ,
2Ä„
z którego po przekształceniach otrzymujemy:
Mechanika kwantowa 6-2
h
2Ä„R = n = n
mv
Mechanika kwantowa 6-3
Wartość zespolona jest przedstawiona w tzw. zapisie Eulera
z = z Å" eiÕ = z Å" (cosÕ + isinÕ)
Re(z) =| z | Å"cosÕ, Im(z) =| z | Å"sinÕ
Dla funkcji falowej È = Aei(kx-Ét ) część rzeczywista i urojona
wynoszÄ… odpowiednio:
Re(È ) = Acos(kx -Ét)
Im(È ) = Asin(kx -Ét)
Mechanika kwantowa 6-4
Dyfrakcja i interferencja elektronów na dwóch szczelinach
(Joensson, 1961)
Obraz interferencyjny elektronów Obraz interferencyjny światła
Mechanika kwantowa 6-5
Dyfrakcja elektronów na powierzchni kryształu
h
"D = d sin¸ =
p
(Davisson i Germer, 1927)
Mechanika kwantowa 6-6
Interpretacja fizyczna funkcji falowej
Funkcja falowa cząstki określa prawdopodobieństwo znalezienia cząstki
w danym stanie (np. w pewnym obszarze przestrzeni, z pędem lub
energią z pewnego przedziału, itd.).
Kwadrat amplitudy (kwadrat modułu liczby zespolonej) jest odpowiednią
gęstością prawdopodobieństwa  prawdopodobieństwo otrzymujemy
całkując gęstość prawdopodobieństwa w odpowiednim przedziale (np.
obszarze przestrzeni, przedziale wartości pędu lub energii, itd.).
Rozkład gęstości prawdopodobieństwa
2
*
È =È Å"È = (Ae-i(kx-Ét) )(Aei(kx-Ét) ) = A2
Funkcja falowa czÄ…stki w postaci
È = Aei(kx-Ét )
przedstawia płaską falę harmoniczną (zespoloną) rozchodzącą się w
kierunku osi x o dokładnie określonej liczbie falowej. Oznacza to, że pęd
cząstki jest też ściśle określony:
px = k
Z drugiej strony funkcja ta ma wszędzie tę samą amplitudę, co oznacza,
że z równym prawdopodobieństwem cząstkę można znalez
ć w
dowolnym miejscu  położenie cząstki jest zupełnie nieokreślone.
Mechanika kwantowa 6-7
Paczki falowe
Do reprezentacji cząstki, o której wiadomo, że znajduje się w pewnym
obszarze przestrzeni wykorzystuje siÄ™ paczkÄ™ falowÄ…, tzn. superpozycjÄ™
nieskończenie wielu fal harmonicznych o różnych amplitudach i liczbach
falowych.
Na przykład funkcja falowa o postaci (dla chwili t = 0):
ëÅ‚ öÅ‚
x2 ik0x
ìÅ‚
È (x,0) = AexpìÅ‚- ÷Å‚
2
÷Å‚e
4Ã
íÅ‚ Å‚Å‚
x
jest sumą nieskończenie wielu składników postaci
È (x) = B(k)eikxdk
+"
Mechanika kwantowa 6-8
Korzystając z transformacji Fouriera możemy znalez
ć składowe takiej
paczki.
2
ëÅ‚ öÅ‚
x2 ik0x Ã
-Ã (k-k0 )2
x
x
ìÅ‚
expìÅ‚- ÷Å‚ eikxdk
2
÷Å‚e = Ä„ +"e
4Ã
íÅ‚ Å‚Å‚
x
co oznacza, że
2
Ã
x
x
B(k) = e-Ã (k-k0 )2
Ä„
uwzględniając
p
k =
îÅ‚
à ( p - p0)2 łł
x
B( p) = expïÅ‚-
śł
2
Ä„
()
Ã
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
x
lub
îÅ‚
à ( p - p0)2 łł
x
B( p) = expïÅ‚-
śł
2
Ä„
4( 2Ã )
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
x
Mechanika kwantowa 6-9
Prawdopodobieństwa i zasada nieokreśloności Heisenberga
Kwadrat modułu funkcji falowej daje rozkład prawdopodobieństwa
znalezienia cząstki w określonym miejscu
ëÅ‚ öÅ‚
x2
2
ìÅ‚
È (x) = A2 expìÅ‚- ÷Å‚
2
÷Å‚
2Ã
íÅ‚ Å‚Å‚
x
Rozkład prawdopodobieństwa w dziedzinie położenia
Odchylenie standardowe Ãx jest miarÄ… rozrzutu poÅ‚ożenia czÄ…stki, a
przez to i naszej niepewności co do jej położenia.
Mechanika kwantowa 6-10
Prawdopodobieństwo, że cząstka ma określony pęd jest proporcjonalne
do kwadratu amplitudy składowej funkcji falowej
B(k)eikx = B( p)eipx /
2
îÅ‚
à ( p - p0)2 łł
2
x
B( p) = expïÅ‚-
śł
2
Ä„
()
2 2Ã
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
x
lub
2
îÅ‚
à ( p - p0)2 łł
2
x
B( p) = expïÅ‚-
śł
2
Ä„ 2Ã
p
ðÅ‚ ûÅ‚
Rozkład prawdopodobieństwa w dziedzinie pędu
W tym przypadku odchylenie standardowe Ãp jest miarÄ… rozrzutu pÄ™du
cząstki (niepewności wartości pędu).
Mechanika kwantowa 6-11
Między odchyleniami standardowymi obu rozkładów zachodzi przy tym
zwiÄ…zek:
à = à Å"à =
p x p
2Ã 2
x
Dla paczek falowych o innych kształtach iloczyn odchyleń
standardowych może być tylko większy od połowy stałej Planck a.
à Å"à e"
x p
2
Związek ten jest znany jako zasada nieoznaczoności Heisenberga.
Mechanika kwantowa 6-12
Dodatek. Dyfrakcja fal na wÄ…skiej szczelinie
2
Ä„a sin ¸
ëÅ‚ ()÷Å‚
öÅ‚
sin

ìÅ‚
I = I0 ìÅ‚ 2 Ä„a sin ¸ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚

położenie kątowe pierwszego minimum
Ä„asin¸ 
= nÄ„ sin¸min =
 a