Wykład 6

W dowolnym pierścieniu można zdefiniować potęgowanie elementów ja-

ko a

n

= a · a · · · a

|

{z

}

n×

. Możemy również zdefiniować potęgę a

0

jako 1

P

(jeśli P

posiada jedynkę). Dokładnie tak samo jak w pierścieniu liczb całkowitych
potęgowanie ma następujące własności:
(1) a

n+m

= a

n

· a

m

.

(2) a

nm

= (a

n

)

m

.

Podobnie można zdefiniować mnożenie elementu danego pierścienia P

przez liczby całkowite. Jeśli p ∈ P i n ∈ Z to dla n > 0 mamy np =
p + p + . . . p

|

{z

}

n×

, a dla n < 0 mamy np = −p − p − . . . − p

|

{z

}

|n|×

i dodatkowo 0p = 0

P

.

Mnożenie to ma dwie poniższe własności:
(1) (n + m)p = np + mp.
(2) (nm)p = n(mp).
(3) Jeśli P posiada jedynkę to (kl)1

P

= (k1

P

)(l1

P

).

Niech K będzie ciałem. Jeśli n jest najmniejszą liczbą naturalną 6= 0, taką

że n · 1

K

= 0 to mówimy że K ma charakterystykę równą n, a jeśli taka liczba

nie istnieje to mówimy, że K ma charakterystykę zero. Charakterystykę ciała
oznaczać będziemy przez CharK.
Przykład CharZ

p

= p, CharQ = 0.

Twierdzenie 1 Charakterystyka ciała jest liczbą pierwszą lub jest równa ze-
ro.

Dowód Przypuśćmy, że charakterystyka ciała K jest różna od zera. Wtedy
CharK = n. Jeśli n nie jest liczbą pierwszą to istnieją liczby k, l różne od
±1, że n = kl. Wtedy n1

K

= (kl)1

K

= (k1

K

)(l1

K

) = 0 i ponieważ w K nie

ma dzielników zera to k1

K

= 0 lub l1

K

= 0. A więc jeśli n nie jest pierwsza

to nie jest najmniejszą o własności n1

K

= 0.

Twierdzenie 2 Jeśli K jest ciałem to istnieje podciało K

1

tego ciała izo-

morficzne z ciałem Q lub z ciałem Z

p

dla pewnej liczby pierwszej p.

Dowód Niech charakterystyka ciała K będzie równa pewnej liczbie pierwszej
p. Oznaczmy przez K

1

zbiór:

K

1

= {n1

K

: n ∈ N}

1

Zbiór K

1

ma dokładnie p elementów: 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, . . . , 1 + 1 + . . . + 1

|

{z

}

p−1

.

Ponadto K

1

jest zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie. Rzeczy-

wiście k1 + l1 = (k + l)1 i (k1)(l1) = (kl)1. Odwzorowanie f : Z

p

→ K

1

,

f (k) = k1 jest izomorfizmem. Podobnie można udowodnić, że jeśli charakte-
rystyka ciała K jest równa zero to K

1

jest izomorficzny z pierścieniem liczb

całkowitych, a to oznacza że w ciele K istnieje podciało izomorficzne z ciałem
liczb wymiernych.

Twierdzenie 3 Jeśli ciało K jest skończone to liczba jego elementów jest
równa p

k

dla pewnej liczby pierwszej p i pewnej liczby naturalnej k.

Dowód Jeśli K jest ciałem skończonym to jego charakterystyka musi być
różna od zera. A więc istnieje liczba pierwsza p, taka że CharK = p. Na
podstawie poprzedniego twierdzenia istnieje podciało K

1

ciała K, które jest

izomorficzne z ciałem Z

p

. Ciało K można traktować jako przestrzeń linio-

wą nad K

1

. Przestrzeń ta jest skończenie wymiarowa (bo liczba wektorów

jest skończona). Istnieją, zatem, wektory v

1

, . . . , v

k

, które stanowią bazę tej

przestrzeni. To oznacza, że każdy element v ∈ K ma jednoznaczny zapis w
postaci:

v = α

1

v

1

+ α

2

v

2

+ . . . + α

k

v

k

,

gdzie α

i

∈ K

1

. A więc liczba wektorów z ciała K jest równa liczbie wszystkich

możliwych ciągów (α

1

, α

2

, . . . , α

k

) o wyrazach z ciała K

1

. Ponieważ w ciele

K

1

jest dokładnie p elementów to w ciele K jest dokładnie p

k

elementów.

Przykład Nie istnieje ciało, które ma dokładnie 6 elementów, bo liczba 6
nie jest potęgą liczby pierwszej.

Pierścienie wielomianów

Niech P będzie pewnym pierścieniem. Wielomianem o współczynnikach

z pierścienia P nazywamy wyrażenie postaci:

a

0

+ a

1

x + . . . + a

n

x

n

gdzie a

i

∈ P . Każdy element a

i

nazywamy współczynnikami tego wielomianu,

a element x nazywamy zmienną. Wyrażenia te rozumiemy w sposób formal-
ny nie jako funkcje ale jako napisy formalne. Zbiór wszystkich wielomianów
jednej zmiennej x o współczynnikach z pierścienia P oznaczamy przez P [x].
Zmienna x spełnia następujące własności:
(i) ax = xa dla każdego a ∈ P .
(ii) Każdy element ze zbioru P [x] ma jednoznaczny zapis w postaci:

a

0

+ a

1

x + . . . + a

n

x

n

2

gdzie a

i

∈ P i n ­ 0.

(iii) Jeśli n ¬ m i:

a

0

+ a

1

x + . . . + a

n

x

n

= b

0

+ b

1

x + . . . + b

m

x

m

wtedy a

i

= b

i

dla każdego i ¬ n i b

i

= 0

P

dla każdego i > n.

Przykład Wielomian 2 + 0x − x

2

+ 0x

3

+ 5x

4

∈ R[x] zapisywać będziemy

zwykle w postaci 2 − x

2

+ 5x

4

.

Przykład Jak wiadomo wielomiany można dodawać i mnożyć:
Niech f (x) = 1 + 5x − x

2

+ 4x

3

+ 2x

4

, g(x) = 4 + 2x + 3x

2

+ x

3

∈ Z

7

[x] wtedy:

f (x) + g(x) = 5 + 2x

2

+ 5x

3

+ 2x

4

.

f (x)g(x) = 2x

7

+ 3x

6

+ x

5

+ 4x

4

+ 2x

3

+ 2x

2

+ x + 4.

Ogólniej działania dodawania i mnożenia wielomianów można wprowadzić

następująco:

(a

0

+ a

1

x + . . . + a

n

x

n

) + (b

0

+ b

1

x + . . . + b

n

x

n

) =

(a

0

+ b

0

) + (a

1

+ b

1

)x + . . . + (a

n

+ b

n

)x

n

(a

0

+ a

1

x + . . . + a

n

x

n

) · (b

0

+ b

1

x + . . . + b

m

x

m

) =

a

0

b

0

+ (a

0

b

1

+ a

1

b

0

)x + (a

0

b

2

+ a

1

b

1

+ a

2

b

0

)x

2

+ . . . + a

n

b

m

x

n+m

dokładniej mówiąc współczynnik przy x

k

jest równy:

a

0

b

k

+ a

1

b

k−1

+ a

2

b

k−2

+ . . . + a

k−2

b

2

+ a

k−1

b

1

+ a

k

b

0

=

k

X

i=0

a

i

b

k−i

Twierdzenie 4 Struktura (P [x], +, ·) (z działaniami jak powyżej) jest pier-
ścieniem. Jeśli P jest pierścieniem przemiennym to P [x] też jest pierście-
niem. Jeśli P ma jedynkę to P [x] też.

Niech f (x) = a

0

+ a

1

x + . . . + a

n

x

n

będzie wielomianem nad P i niech

a

n

6= 0

P

. Wtedy liczbę n nazywamy stopniem wielomianu f (x), a element

a

n

nazywamy elementem wiodącym. Stopień wielomianu f (x) oznaczać bę-

dziemy przez st(f (x)).

Jedynym wielomianem, który nie posiada stopnia jest wielomian zerowy

f (x) = 0

P

.

Twierdzenie 5 Jeśli P jest dziedziną całkowitości to dla dowolnych nieze-
rowych wielomianów f (x), g(x) ∈ P [x] mamy:

st(f (x)g(x)) = st(f (x)) + st(g(x))

Wniosek 1 Jeśli P jest dziedziną całkowitości to P [x] też jest dziedziną.

3

Algorytm dzielenia

Twierdzenie 6 Niech K bedzie dowolnym ciałem i niech f (x), g(x) ∈ K[x],
gdzie g(x) 6= 0

K

. Wtedy istnieje dokładnie jedna para wielomianów q(x), r(x) ∈

K[x], takich że:

f (x) = q(x)g(x) + r(x)

i r(x) = 0

K

lub st(r(x)) < st(g(x))

Wielomian r(x) nazywamy resztą z dzielenia wielomianu f (x) przez g(x).

Przykład Podzielimy wielomian 3x

5

+ 2x

4

+ 2x

3

+ 4x

2

+ x − 2 przez 2x

3

+ 1

(jako wielomiany o współczynnikach rzeczywistych).

3
2

x

2

+

x

+

1

3x

5

+

2x

4

+

2x

3

+

4x

2

+

x

−

2

:

2x

3

+ 1

3x

5

+

3
2

x

2

2x

4

+

2x

3

+

5
2

x

2

+

x

−

2

2x

4

+

x

2x

3

+

5
2

x

2

−

2

2x

3

+

+

1

5
2

x

2

−

3

← reszta

Podamy teraz łatwy sposób dzielenia wielomianu f (x) = a

n

x

n

+a

n−1

x

n−1

+

. . . a

1

x + a

0

przez dwumian postaci x − c. Algorytm ten nazywa się schema-

tem Hornera.

a

n

x

n

+a

n−1

x

n−1

+. . .+a

1

x+a

0

= (x−c)(b

n−1

x

n−1

b

n−2

x

n−2

+. . .+b

1

x+b

0

)+r

współczynniki b

i

oraz resztę r znajdujemy korzystając z następującej tabelki:

a

n

a

n−1

a

n−2

. . .

a

1

a

0

c

a

n

cb

n−1

+ a

n−1

cb

n−2

+ a

n−2

. . .

cb

1

+ a

1

cb

0

+ a

0

= b

n−1

= b

n−2

= b

n−3

= b

0

= r

Przykład Podzielić wielomian f (x) = 2x

5

−9x

4

+4x

3

−x

2

+27 przez dwumian

x − 4.
Rozwiązanie Korzystamy z powyższego algorytmu:

2

−9

4

−1

0

27

4

2

−1

0

−1

−4

11

4

Zatem mamy f (x) = (x − 4)(2x

4

− x

3

− x − 4) + 11.

Niech K będzie ciałem i niech f (x), g(x) ∈ K[x]. Będziemy mówić, że

f (x) dzieli wielomian g(x) jeśli istnieje wielomian h(x) ∈ K[x] taki, że g(x) =
f (x)h(x) i piszemy wtedy f (x)|g(x). A więc mamy:

f (x)|g(x) ⇐⇒ ∃h(x) ∈ K[x] g(x) = f (x)h(x)

Przykład (2x + 1)|(6x

2

− x − 2).

Jeśli wielomian f (x) dzieli wielomian g(x), a wielomian g(x) dzieli wielo-

mian h(x) to wielomian f (x) dzieli wielomian h(x), czyli:

f (x)|g(x) i g(x)|h(x) ⇒ f (x)|h(x)

5