Wykład 6
W dowolnym pierścieniu można zdefiniować potęgowanie elementów ja-
ko a
n
= a · a · · · a
|
{z
}
n×
. Możemy również zdefiniować potęgę a
0
jako 1
P
(jeśli P
posiada jedynkę). Dokładnie tak samo jak w pierścieniu liczb całkowitych
potęgowanie ma następujące własności:
(1) a
n+m
= a
n
· a
m
.
(2) a
nm
= (a
n
)
m
.
Podobnie można zdefiniować mnożenie elementu danego pierścienia P
przez liczby całkowite. Jeśli p ∈ P i n ∈ Z to dla n > 0 mamy np =
p + p + . . . p
|
{z
}
n×
, a dla n < 0 mamy np = −p − p − . . . − p
|
{z
}
|n|×
i dodatkowo 0p = 0
P
.
Mnożenie to ma dwie poniższe własności:
(1) (n + m)p = np + mp.
(2) (nm)p = n(mp).
(3) Jeśli P posiada jedynkę to (kl)1
P
= (k1
P
)(l1
P
).
Niech K będzie ciałem. Jeśli n jest najmniejszą liczbą naturalną 6= 0, taką
że n · 1
K
= 0 to mówimy że K ma charakterystykę równą n, a jeśli taka liczba
nie istnieje to mówimy, że K ma charakterystykę zero. Charakterystykę ciała
oznaczać będziemy przez CharK.
Przykład CharZ
p
= p, CharQ = 0.
Twierdzenie 1 Charakterystyka ciała jest liczbą pierwszą lub jest równa ze-
ro.
Dowód Przypuśćmy, że charakterystyka ciała K jest różna od zera. Wtedy
CharK = n. Jeśli n nie jest liczbą pierwszą to istnieją liczby k, l różne od
±1, że n = kl. Wtedy n1
K
= (kl)1
K
= (k1
K
)(l1
K
) = 0 i ponieważ w K nie
ma dzielników zera to k1
K
= 0 lub l1
K
= 0. A więc jeśli n nie jest pierwsza
to nie jest najmniejszą o własności n1
K
= 0.
Twierdzenie 2 Jeśli K jest ciałem to istnieje podciało K
1
tego ciała izo-
morficzne z ciałem Q lub z ciałem Z
p
dla pewnej liczby pierwszej p.
Dowód Niech charakterystyka ciała K będzie równa pewnej liczbie pierwszej
p. Oznaczmy przez K
1
zbiór:
K
1
= {n1
K
: n ∈ N}
1
Zbiór K
1
ma dokładnie p elementów: 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, . . . , 1 + 1 + . . . + 1
|
{z
}
p−1
.
Ponadto K
1
jest zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie. Rzeczy-
wiście k1 + l1 = (k + l)1 i (k1)(l1) = (kl)1. Odwzorowanie f : Z
p
→ K
1
,
f (k) = k1 jest izomorfizmem. Podobnie można udowodnić, że jeśli charakte-
rystyka ciała K jest równa zero to K
1
jest izomorficzny z pierścieniem liczb
całkowitych, a to oznacza że w ciele K istnieje podciało izomorficzne z ciałem
liczb wymiernych.
Twierdzenie 3 Jeśli ciało K jest skończone to liczba jego elementów jest
równa p
k
dla pewnej liczby pierwszej p i pewnej liczby naturalnej k.
Dowód Jeśli K jest ciałem skończonym to jego charakterystyka musi być
różna od zera. A więc istnieje liczba pierwsza p, taka że CharK = p. Na
podstawie poprzedniego twierdzenia istnieje podciało K
1
ciała K, które jest
izomorficzne z ciałem Z
p
. Ciało K można traktować jako przestrzeń linio-
wą nad K
1
. Przestrzeń ta jest skończenie wymiarowa (bo liczba wektorów
jest skończona). Istnieją, zatem, wektory v
1
, . . . , v
k
, które stanowią bazę tej
przestrzeni. To oznacza, że każdy element v ∈ K ma jednoznaczny zapis w
postaci:
v = α
1
v
1
+ α
2
v
2
+ . . . + α
k
v
k
,
gdzie α
i
∈ K
1
. A więc liczba wektorów z ciała K jest równa liczbie wszystkich
możliwych ciągów (α
1
, α
2
, . . . , α
k
) o wyrazach z ciała K
1
. Ponieważ w ciele
K
1
jest dokładnie p elementów to w ciele K jest dokładnie p
k
elementów.
Przykład Nie istnieje ciało, które ma dokładnie 6 elementów, bo liczba 6
nie jest potęgą liczby pierwszej.
Pierścienie wielomianów
Niech P będzie pewnym pierścieniem. Wielomianem o współczynnikach
z pierścienia P nazywamy wyrażenie postaci:
a
0
+ a
1
x + . . . + a
n
x
n
gdzie a
i
∈ P . Każdy element a
i
nazywamy współczynnikami tego wielomianu,
a element x nazywamy zmienną. Wyrażenia te rozumiemy w sposób formal-
ny nie jako funkcje ale jako napisy formalne. Zbiór wszystkich wielomianów
jednej zmiennej x o współczynnikach z pierścienia P oznaczamy przez P [x].
Zmienna x spełnia następujące własności:
(i) ax = xa dla każdego a ∈ P .
(ii) Każdy element ze zbioru P [x] ma jednoznaczny zapis w postaci:
a
0
+ a
1
x + . . . + a
n
x
n
2
gdzie a
i
∈ P i n 0.
(iii) Jeśli n ¬ m i:
a
0
+ a
1
x + . . . + a
n
x
n
= b
0
+ b
1
x + . . . + b
m
x
m
wtedy a
i
= b
i
dla każdego i ¬ n i b
i
= 0
P
dla każdego i > n.
Przykład Wielomian 2 + 0x − x
2
+ 0x
3
+ 5x
4
∈ R[x] zapisywać będziemy
zwykle w postaci 2 − x
2
+ 5x
4
.
Przykład Jak wiadomo wielomiany można dodawać i mnożyć:
Niech f (x) = 1 + 5x − x
2
+ 4x
3
+ 2x
4
, g(x) = 4 + 2x + 3x
2
+ x
3
∈ Z
7
[x] wtedy:
f (x) + g(x) = 5 + 2x
2
+ 5x
3
+ 2x
4
.
f (x)g(x) = 2x
7
+ 3x
6
+ x
5
+ 4x
4
+ 2x
3
+ 2x
2
+ x + 4.
Ogólniej działania dodawania i mnożenia wielomianów można wprowadzić
następująco:
(a
0
+ a
1
x + . . . + a
n
x
n
) + (b
0
+ b
1
x + . . . + b
n
x
n
) =
(a
0
+ b
0
) + (a
1
+ b
1
)x + . . . + (a
n
+ b
n
)x
n
(a
0
+ a
1
x + . . . + a
n
x
n
) · (b
0
+ b
1
x + . . . + b
m
x
m
) =
a
0
b
0
+ (a
0
b
1
+ a
1
b
0
)x + (a
0
b
2
+ a
1
b
1
+ a
2
b
0
)x
2
+ . . . + a
n
b
m
x
n+m
dokładniej mówiąc współczynnik przy x
k
jest równy:
a
0
b
k
+ a
1
b
k−1
+ a
2
b
k−2
+ . . . + a
k−2
b
2
+ a
k−1
b
1
+ a
k
b
0
=
k
X
i=0
a
i
b
k−i
Twierdzenie 4 Struktura (P [x], +, ·) (z działaniami jak powyżej) jest pier-
ścieniem. Jeśli P jest pierścieniem przemiennym to P [x] też jest pierście-
niem. Jeśli P ma jedynkę to P [x] też.
Niech f (x) = a
0
+ a
1
x + . . . + a
n
x
n
będzie wielomianem nad P i niech
a
n
6= 0
P
. Wtedy liczbę n nazywamy stopniem wielomianu f (x), a element
a
n
nazywamy elementem wiodącym. Stopień wielomianu f (x) oznaczać bę-
dziemy przez st(f (x)).
Jedynym wielomianem, który nie posiada stopnia jest wielomian zerowy
f (x) = 0
P
.
Twierdzenie 5 Jeśli P jest dziedziną całkowitości to dla dowolnych nieze-
rowych wielomianów f (x), g(x) ∈ P [x] mamy:
st(f (x)g(x)) = st(f (x)) + st(g(x))
Wniosek 1 Jeśli P jest dziedziną całkowitości to P [x] też jest dziedziną.
3
Algorytm dzielenia
Twierdzenie 6 Niech K bedzie dowolnym ciałem i niech f (x), g(x) ∈ K[x],
gdzie g(x) 6= 0
K
. Wtedy istnieje dokładnie jedna para wielomianów q(x), r(x) ∈
K[x], takich że:
f (x) = q(x)g(x) + r(x)
i r(x) = 0
K
lub st(r(x)) < st(g(x))
Wielomian r(x) nazywamy resztą z dzielenia wielomianu f (x) przez g(x).
Przykład Podzielimy wielomian 3x
5
+ 2x
4
+ 2x
3
+ 4x
2
+ x − 2 przez 2x
3
+ 1
(jako wielomiany o współczynnikach rzeczywistych).
3
2
x
2
+
x
+
1
3x
5
+
2x
4
+
2x
3
+
4x
2
+
x
−
2
:
2x
3
+ 1
3x
5
+
3
2
x
2
2x
4
+
2x
3
+
5
2
x
2
+
x
−
2
2x
4
+
x
2x
3
+
5
2
x
2
−
2
2x
3
+
+
1
5
2
x
2
−
3
← reszta
Podamy teraz łatwy sposób dzielenia wielomianu f (x) = a
n
x
n
+a
n−1
x
n−1
+
. . . a
1
x + a
0
przez dwumian postaci x − c. Algorytm ten nazywa się schema-
tem Hornera.
a
n
x
n
+a
n−1
x
n−1
+. . .+a
1
x+a
0
= (x−c)(b
n−1
x
n−1
b
n−2
x
n−2
+. . .+b
1
x+b
0
)+r
współczynniki b
i
oraz resztę r znajdujemy korzystając z następującej tabelki:
a
n
a
n−1
a
n−2
. . .
a
1
a
0
c
a
n
cb
n−1
+ a
n−1
cb
n−2
+ a
n−2
. . .
cb
1
+ a
1
cb
0
+ a
0
= b
n−1
= b
n−2
= b
n−3
= b
0
= r
Przykład Podzielić wielomian f (x) = 2x
5
−9x
4
+4x
3
−x
2
+27 przez dwumian
x − 4.
Rozwiązanie Korzystamy z powyższego algorytmu:
2
−9
4
−1
0
27
4
2
−1
0
−1
−4
11
4
Zatem mamy f (x) = (x − 4)(2x
4
− x
3
− x − 4) + 11.
Niech K będzie ciałem i niech f (x), g(x) ∈ K[x]. Będziemy mówić, że
f (x) dzieli wielomian g(x) jeśli istnieje wielomian h(x) ∈ K[x] taki, że g(x) =
f (x)h(x) i piszemy wtedy f (x)|g(x). A więc mamy:
f (x)|g(x) ⇐⇒ ∃h(x) ∈ K[x] g(x) = f (x)h(x)
Przykład (2x + 1)|(6x
2
− x − 2).
Jeśli wielomian f (x) dzieli wielomian g(x), a wielomian g(x) dzieli wielo-
mian h(x) to wielomian f (x) dzieli wielomian h(x), czyli:
f (x)|g(x) i g(x)|h(x) ⇒ f (x)|h(x)
5