Wykład 6. Działania na macierzach. Rz ˛
ad ma-
cierzy, macierz odwrotna.
6.1. Działania na macierzach
Definicja 6.1.1. W wyniku sumy (różnicy) macie-h
i
h
i
rzy A = aij i B = bij o rozmiarach m × n po-h
i
wstaje macierz C = cij
, której elementy
m×n
określone są wzorem
cij = aij ± bij
dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Wynik oznaczamy przez C = A ± B.
Definicja 6.1.2. W wyniku pomnożenia macierzy h
i
A = aij
przez liczb ę α ∈ K powstaje ma-
m×n
h
i
cierz C = cij
, której elementy określone
m×n
są wzorem
cij = αaij
dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Wynik oznaczamy przez C = αA.
Dygresja: Zobacz wykład 5 - własnoś ´
c 5.2.1.
Własnoś ć 6.1.1. ( liniowoś ć działa ń na macierzach) Je żeli macierze A, B, C b ędą macierzami tego samego wymiaru, których elementy na-le żą do tego samego ciała oraz niech α, β ∈ K
to zachodzą nast ępujące zale żności: 1. A ± B = B ± A
2. A ± 0 = 0 ± A = A
3. α (A ± B) = αA ± αB
4. 1 · A = A
5. A ± (B ± C) = (A ± B) ± C
6. A + (−A) = 0
7. (α ± β) A = αA ± βA
8. (αβ) A = α (βA)
Definicja 6.1.3. W wyniku pomnożenia dwóch h
i
macierzy A = aij
(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n)
m×n
h
i
i B = bjk
(1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ k ≤ o) po-
n×o
wstaje macierz C = [cik]m×o , której elementy określone są wzorem
n
X
cik =
aijbjk.
j=1
Dygresja: Mnożenie macierzy jest antyprzemienne.
Aby pomnoży ć dwie macierze przez siebie to liczba kolumn w pierwszej macierzy musi by ć równa liczbie wierszy w drugiej macierzy.
Własnoś ć 6.1.2. Najwygodniej wykonuje si ę mno-
żenie macierzy przy pomocy schematu Falka: k − kolumna
b1k
..
.
. . .
b
jk
. . .
...
bnk
..
.
..
i − wiersz a
. . . c
i1
. . . aij . . . ain
ik
. . .
.
.
...
Własnoś ć 6.1.3. Działania z uwzgl ędnieniem ilo-czynu macierzy są nast ępujące:
h
i
h
i
1. dla macierzy A = aij
, B = b
i
m×n
jk n×o
h
i
C = cjk
zachodzi
n×o
A (B ± C) = AB ± AC
h
i
h
i
2. dla macierzy A = aij
, B = b
i
m×n
ij m×n
h
i
C = cjk
zachodzi
n×o
(A ± B) C = AC ± BC
h
i
h
i
3. dla macierzy A = aij
i B = b
,
m×n
jk n×o
i α ∈ K zachodzi
A (αB) = (αA) B = α (AB)
h
i
h
i
4. dla macierzy A = aij
, B = b
i
m×n
jk n×o
C = [ckl]o×p zachodzi
(AB) C = A (BC)
h
i
h
i
5. dla macierzy A = aij
, In = δ
,
m×n
jk n×o
h
i
Im = δkj
zachodzi
o×m
AIn = ImA = A
h
i
6. dla macierzy A = aij
i p ∈ N zachodzi
n×n
(A)p = A . . . A
|
{z
}
p−razy
Własnoś ć 6.1.4. Działania z uwzgl ędnieniem trans-pozycji macierzy (zobacz wykład 5 - definicja 5.1.2. pkt. 9):
h
i
1. dla macierzy A = aij
zachodzi
m×n
ATT = A
h
i
h
i
2. dla macierzy A = aij
, B = bij
m×n
m×n
zachodzi
(A + B)T = AT + BT
h
i
3. dla macierzy A = aij
i α ∈ K zacho-
m×n
dzi
(αA)T = αAT
h
i
h
i
4. dla macierzy A = aij
, B = b
m×n
jk n×o
zachodzi
(AB)T = BT AT
h
i
5. dla macierzy A = aij
i p ∈ N zachodzi
m×n
(Ap)T = AT p
Własnoś ć 6.1.5. ( dla macierzy symetrycznych i skośnosymetrycznych)
h
i
1. dla macierzy kwadratowej A = aij otrzy-n×n
mujemy
A + AT − macierz symetryczną
A − AT − macierz skośnosymetryczną h
i
2. dla macierzy A = aij
otrzymujemy
m×n
AAT
lub
AT A
które są symetryczne
h
i
3. dla macierzy kwadratowej A = aij otrzy-n×n
mujemy
1
1
A =
A + AT +
A − AT .
2
2
Inaczej mówiąc, każdą macierz kwadratową można przedstawi ć jako sum ę jej macierzy symetrycznej i skośnosymetrycznej.
Twierdzenie 6.1.1. ( Cauchy’ego) Dla macierzy h
i
h
i
kwadratowych A = aij
, B = b
za-
n×n
ij n×n
chodzi
det (AB) = det A det B
6.2. Rząd macierzy, macierz odwrotna.
h
i
Definicja 6.2.1. Rz ędem macierzy A = aij m×n nazywamy maksymalny stopie ń wyznacznika tej macierzy różny od zera, a je żeli jest równy zero to rząd określa maksymalny stopie ń podwyznacz-nika dowolnej macierzy minorów, który jest różny od zera. Rząd macierzy oznaczamy przez rzA lub rankA.
Przykład: Rząd macierzy
1 −1 0 0
A = 0
1
1 0
1
2
2 0
jest równy rankA = 2 ponieważ
1 −1 0
−1 0 0
0
1
1 = 0 oraz 1
1 0 = 0
,
1
1
2
2
2 0
ale już np.
1 −1
1 1
6= 0
lub
6= 0
lub
0
1
1
2
1 0
1 0
= 0
6= 0
itd. chociaż
.
1
2
2
0
Definicja 6.2.2. Dla macierzy kwadratowej h
i
A =
aij
, która jest nieosobliwa, określa
n×n
si ę macierz odwrotn ˛
a A−1 spełniającą nast ę-
pujący warunek
AA−1 = A−1A = I.
Dygresja: Aby można było dowolną macierz A odwróci ć to musi by ć ona kwadratowa i det A 6= 0.
... ci ˛
ag dalszy na kolejnym wykładzie.
• Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.
• Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ę-
stochowa 2001.
• Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2000.
• Kiełbasi ński A., Schetlick H., Numeryczna algebra liniowa, PWN, Warszawa 1992.
• Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, Warszawa 1968.
• Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1975.
• Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.