Obwody I rzędu

zasilane źródłami napięć stałych

Obwody I rzędu zasilane źródłami napięć stałych

Obwód RL

(rezystancyjno-indukcyjny)

R

L

U

Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)

R

v

R

v

L

i

L

2

0

2

1

)

0

(

I

L

W

⋅

=

0

=

+

R

L

u

u

i

R

u

R

⋅

=

dt

di

L

u

L

⋅

=

0

=

⋅

+

⋅

i

R

dt

di

L

0

)

0

(

I

i

=

(7.1)

t

D

i

⋅

−

=

ττττ

1

ln

ττττ

t

e

D

i

−

⋅

=

(7.2)

K

t

i

+

⋅

−

=

ττττ

1

ln

D

K

ln

=

R

L

=

ττττ

0

1

=

⋅

+

i

dt

di

ττττ

0

)

0

(

I

i

=

ττττ

dt

i

di

−

=

K

dt

i

di

+

−

=

∫

∫

ττττ

Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)

0

=

⋅

+

⋅

i

R

dt

di

L

0

)

0

(

I

i

=

(7.1)

lub

Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)

D

I

=

0

ττττ

t

e

I

i

−

⋅

=

0

0

)

0

(

I

i

=

Stała D ma spełnia

ć

warunki pocz

ą

tkowe:

To prowadzi do równania

(7.3)

Podstawiaj

ą

c

(7.3)

do

(7.2)

ττττ

t

e

D

i

−

⋅

=

znajdujemy

(7.4)

Rys. 7.2

Zale

ż

no

ść

(7.4)

jest nazwana odpowiedzi

ą

na zerowy sygna

ł

wej

ś

ciowy, poniewa

ż

nie

wyst

ę

puje

sygnał

wej

ś

ciowy

w

obwodzie, a odpowied

ź

i(t)

wynikiem

pr

ą

du pocz

ą

tkowego

I

0

. Wykres funkcji

(7.4)

jest pokazany na rys. 7.2

Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)

Taka sama krzywa jest otrzymana dla ka

ż

dego obwodu z pocz

ą

tkowym

pr

ą

dem I

0

tak długo jak

ττττ

= L/R jest taka sama. Je

ś

li stała czasowa

ττττ

zostanie podwojona wtedy pr

ą

d pozostanie niezmieniony je

ś

li czas t

b

ę

dzie równie

ż

podwojony.

ττττ

To oznacza,

ż

e nowa krzywa zostanie otrzymana przez przesuni

ę

cie

(pomno

ż

enie) razy dwa ka

ż

dego punktu na krzywej pierwotnej . Wi

ę

c pr

ą

d

potrzebuje dłu

ż

szego czasu do osi

ą

gni

ę

cia tej samej danej warto

ś

ci.

ττττ

2

Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)

0

0

1

|

I

dt

di

t

⋅

−

=

=

ττττ

x

I

0

−

Wyznaczenie graficzne stałej czasowej

ττττ

:

narysowa

ć

prost

ą

styczn

ą

do krzywej dla

t = 0

i znale

źć

miejsce przeci

ę

cia si

ę

tej stycznej z osi

ą

czasu.

x

I

I

0

0

1

−

=

⋅

−

ττττ

x

=

ττττ

0

1

I

⋅

−

=

ττττ

a to prowadzi do

Jest to nachylenie prostej stycznej
przechodz

ą

cej przez punkt

(0, I

0

)

Pocz

ą

tkowa szybko

ść

zaniku pr

ą

du

i(t)

wynosi:

To nachylenie jest równe:

przyrównuj

ą

c mamy:

Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)

0

1

0

368

.

0

)

(

I

e

I

i

⋅

=

⋅

=

−

ττττ

Wi

ę

c w jednej stałej czasowej odpowied

ź

zmniejsza

si

ę

do 36.8 procenta warto

ś

ci pocz

ą

tkowej

0

4

0

0183

.

0

)

4

(

I

e

I

i

⋅

=

⋅

=

−

ττττ

Natomiast dla

t =

5

ττττ

:

0

0067

.

0

)

5

(

I

i

⋅

=

ττττ

Dla

t =

ττττ

otrzymamy:

Dla

t =

4

ττττ

mamy:

co oznacza

ż

e warto

ść

odpowiedzi jest mniejsza ni

ż

2% warto

ś

ci pocz

ą

tkowej

jest pomijaln

ą

cz

ęś

ci

ą

warto

ś

ci

pocz

ą

tkowej. Dlatego zwykle przyjmuje

si

ę

,

ż

e po 5 stałych czasowych warto

ść

pr

ą

du jest ustalona.

Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)

ττττ

t

R

e

I

R

i

R

p

2

2

0

2

−

⋅

⋅

=

⋅

=

2

0

2

0

0

2

2

0

0

2

1

2

I

L

R

I

dt

e

R

I

dt

p

W

t

R

R

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

∫

∫

∞ −

∞

ττττ

ττττ

i

R

v

R

v

L

L

Moc i energia w obwodzie

R

3

i

L

L

R

2

R

1

i

1

Obwód: rezystory – indukcyjność (RL)

Mo

ż

emy do

ść

łatwo rozszerzy

ć

wyniki uzyskane dla tego prostego obwodu

RL do obwodu zawieraj

ą

cego jak

ąś

liczb

ę

rezystorów i jedn

ą

indukcyjno

ść

Rozwa

ż

my przykład przedstawiony na rys. 7.6.

3

2

1

3

2

1

)

(

R

R

R

R

R

R

R

Z

+

+

+

⋅

=

Obwód: rezystory – indukcyjność (RL)

R

3

i

L

L

R

2

R

1

i

1

3

2

1

3

2

1

)

(

R

R

R

R

R

R

R

Z

+

+

+

⋅

=

gdzie

ττττ

t

L

L

e

i

t

i

−

⋅

=

)

0

(

)

(

Z

R

L

=

ττττ

R

Z

L

i

L

Układ rezystorów ze źródłem prądowym

3

2

1

3

2

1

)

(

)

(

R

R

R

R

R

R

t

i

u

L

L

+

+

+

⋅

⋅

−

=

3

2

1

3

2

1

1

)

(

R

R

R

R

R

t

i

R

u

i

L

L

+

+

+

⋅

−

=

=

Analizuj

ą

c ten obwód otrzymamy:

v

L

R

3

i

L

(t)

R

2

R

1

i

1

Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)
wraz ze źródłem napięciowym V

Rozwa

ż

my obwód zawieraj

ą

cy dodatkowo

ź

ródło napi

ę

ciowe U pr

ą

du stałego.

Mamy wi

ę

c rezystor R i indukcyjno

ść

L, z pr

ą

dem pocz

ą

tkowym i(0)=I

0

i

ź

ródło napi

ę

ciowe.

v

R

v

L

i

R

U

(7.5)

U

i

R

dt

di

L

=

⋅

+

⋅

0

)

0

(

I

i

=

L

U

i

dt

di

=

⋅

+

ττττ

1

R

L

=

ττττ

gdzie:

(7.7)

(7.6)

ττττ

i

R

U

dt

di

−

=

(7.8)

ττττ

dt

R

U

i

di

−

=

−

∫

∫

+

−

=

−

K

dt

R

U

i

di

ττττ

1

A

t

R

U

i

ln

ln

+

−

=

−

ττττ

gdzie

K

jest stał

ą

całkowania

ττττ

t

e

A

R

U

i

−

⋅

=

−

(7.9)

gdzie A jest stał

ą

, która mo

ż

e by

ć

dodatnia lub ujemna.

A

R

U

I

=

−

0

ττττ

t

e

R

U

I

R

U

t

i

−

⋅













−

+

=

0

)

(

Dla t = 0 oraz i(0) = I

0

równanie (7.9) przyjmuje posta

ć

:

ττττ

t

e

A

R

U

i

−

⋅

=

−

(7.9)

(7.10)

podstawiaj

ą

c (7.10) do (7.9) mamy:

Obwód: rezystor, indukcyjność, źródło napięciowe

(7.11)

Kiedy t

→

→

→

→ ∞

∞

∞

∞

drugi człon prawej strony

( )

R

U

i

=

∞

równania (7.11) zanika; zatem:

Wtedy mo

ż

emy napisa

ć

:

(

)

ττττ

t

e

i

i

i

t

i

−

⋅

∞

−

+

∞

=

)

(

)

0

(

)

(

)

(

(7.12)

R

U

R

L

=

ττττ

gdzie

i

(

∞

∞

∞

∞

) jest warto

ś

ci

ą

ustalon

ą

i(t)

dla t =

∞

∞

∞

∞

, równ

ą

oraz

- pierwszy człon

i

w

= i(

∞

∞

∞

∞

)

jest odpowiedzi

ą

stałego

ź

ródła i jest nazywana

odpowiedzi

ą

wymuszon

ą

,

ττττ

t

n

e

A

i

−

⋅

=

n

w

i

i

i

+

=

Wi

ę

c, odpowied

ź

zawiera dwa człony:

(

)

ττττ

t

e

i

i

i

t

i

−

⋅

∞

−

+

∞

=

)

(

)

0

(

)

(

)

(

(7.12)

Obwód: rezystor, indukcyjność, źródło napięciowe

- drugi człon

Zatem odpowied

ź

i(t)

jest sum

ą

odpowiedzi wymuszonej

i

w

oraz odpowiedzi naturalnej

i

n

nazywany jest odpowiedzi

ą

naturaln

ą

.

(7.13)

Obwód: rezystor, indukcyjność, źródło napięciowe

(

)

)

(

)

0

(

1

|

0

∞

−

⋅

−

=

=

i

i

dt

di

t

ττττ

(7.14)

Pocz

ą

tkowa szybko

ść

zaniku:

(

)

x

i

i

)

(

)

0

(

∞

−

−

(7.15)

przyrównuj

ą

c

(7.14)

i

(7.15)

mamy zale

ż

no

ść

:

(

)

(

)

)

(

)

0

(

1

)

(

)

0

(

1

∞

−

−

=

∞

−

−

i

i

x

i

i

ττττ

x

=

ττττ

R

V

i

=

∞

)

(

Wyznaczenie graficzne stałej czasowej

ττττ

:

narysowa

ć

prost

ą

styczn

ą

do krzywej dla

t = 0

i znale

źć

miejsce przeci

ę

cia

si

ę

tej stycznej z poziom

ą

linia przechodz

ą

c

ą

przez punkt (0,

i(

∞

∞

∞

∞

)

)

Przykład obwodu:

rezystory, indukcyjność, źródło napięciowe

t = 0

R

2

v

L

i

V

R

1

Wył

ą

cznik jest otwarty a

ż

stan ustalony pr

ą

du w obwodzie b

ę

dzie

dominował i nast

ę

pnie zostaje zamkni

ę

ty; zakładaj

ą

c,

ż

e

zamkni

ę

cie wył

ą

cznika wyst

ą

pi w t = 0 szukamy jak zmienia si

ę

i(t)

(

)

ττττ

t

e

i

i

i

t

i

−

⋅

∞

−

+

∞

=

)

(

)

0

(

)

(

)

(

(7.12)

2

R

L

=

ττττ

(7.16)

(7.17)

Dla t = 0, oznaczonego 0

-

wył

ą

cznik jest jeszcze otwarty, zatem:

W obwodzie płynie ustalony stały
pr

ą

d, zatem spadek napi

ę

cia na

indukcyjno

ś

ci wynosi zero, bo:

dt

di

L

u

L

⋅

=

2

1

)

0

(

R

R

u

i

L

+

=

−

Dla t = 0, wył

ą

cznik zostaje zamkni

ę

ty,

z wła

ś

ciwo

ś

ci prawa ci

ą

gło

ś

ci zapiszemy:

2

1

)

0

(

)

0

(

R

R

U

i

i

L

L

+

=

=

−

(7.18)

Dla t =

∞

∞

∞

∞

, stan ustalony,

u

L

= 0 płyn

ą

cy pr

ą

d:

2

)

(

R

U

i

=

∞

(7.19)

Przykład obwodu:

rezystory, indukcyjność, źródło napięciowe

Podstawiaj

ą

c (7.18) i (7.19) do 7.16) otrzymamy rozwi

ą

zanie na pr

ą

d:

ττττ

t

L

e

R

U

R

R

U

R

U

t

i

−

⋅













−

+

+

=

2

2

1

2

)

(

(7.20)

2

R

V

2

1

R

R

V

+

Obwody I rzędu zasilane źródłami napięć stałych

2

0

2

1

)

0

(

U

C

W

⋅

=

Obwód: rezystor – indukcyjność (RL)
Obwód: rezystor – pojemność (RC)

Obwód rezystor – pojemność (RC)

bez źródła zasilania

i

R

v

R

v

C

C

U

Q

C

=

U

C

q

⋅

=

i

dt

dq

=

dt

dU

C

i

⋅

=

Udq

dW

=

dU

C

dq

⋅

=

∫

⋅

=

u

C

Udu

C

W

0

2

2

1

U

C

W

C

⋅

⋅

=

Obwody I rzędu zasilane źródłami napięć stałych

Obwód RC

(rezystancyjno-pojemnościowy)

R

C

U

0

=

+

R

C

u

u

i

R

u

R

⋅

=

dt

du

C

i

⋅

=

(8.2)

0

=

⋅

+

dt

du

RC

u

C

c

0

)

0

(

U

u

C

=

(8.1)

Obwód rezystor – pojemność (RC)

i

R

v

R

v

C

C

(8.4)

Obwód rezystor – pojemność (RC)

(8.2)

0

=

⋅

+

dt

du

RC

u

C

c

0

)

0

(

V

v

C

=

0

1

=

⋅

+

C

C

u

dt

du

ττττ

(8.3)

C

R

⋅

=

ττττ

0

1

=

⋅

+

i

dt

di

ττττ

ττττ

t

C

e

U

t

u

−

⋅

=

0

)

(

0

)

0

(

U

u

C

=

Dla

Rys. 8.2

Napi

ę

cie na okładkach kondensatora

powoduje przepływ energii z pojemno

ś

ci

do rezystora, na którym jest tracona w
postaci ciepła

(8.4)

ττττ

t

C

e

U

t

u

−

⋅

=

0

)

(

0

)

0

(

U

u

C

=

∞

→

t

napi

ę

cie u

C

osi

ą

ga zero

Dla czasu t = 0 mamy warunek pocz

ą

tkowy

Obwód rezystor – pojemność (RC)

Widzimy,

ż

e całkowita energia pocz

ą

tkowa zgromadzona na

pojemno

ś

ci jest rozpraszana na rezystorze w postaci ciepła

Obwód rezystor – pojemność (RC)

Zale

ż

no

ść

pomi

ę

dzy moc

ą

i energi

ą

elektryczn

ą

w obwodzie

R

e

U

R

u

R

u

P

t

C

R

R

ττττ

2

2

0

2

2

−

⋅

=

=

=

2

2

0

0

2

2

0

0

ττττ

ττττ

⋅

=

⋅

=

⋅

=

∫

∫

∞ −

∞

R

U

dt

e

R

U

dt

P

W

t

R

R

(8.5)

(8.6)

C

R

⋅

=

ττττ

2

0

2

1

U

C

W

R

⋅

⋅

=

Równanie (8.8) jest podobne do
równania (7.6) opisuj

ą

cego obwód RL

Podstawmy za RC

ττττ

i podzielmy to równanie przez

ττττ

v

C

i

C

v

R

R

V

C

Obwód rezystor – pojemność (RC) wraz
ze źródłem napięciowym U

U

u

dt

du

C

R

C

C

=

+

⋅

⋅

(8.7)

U

u

dt

du

C

C

⋅

=

⋅

+

ττττ

ττττ

1

1

(8.8)

L

U

i

dt

di

=

⋅

+

ττττ

1

(7.6)

Całkowite rozwi

ą

zanie jest sum

ą

dwóch odpowiedzi: naturalnej i wymuszonej

St

ą

d, ogólnym rozwi

ą

zaniem jest :

Zale

ż

no

ść

wykładnicza (8.9)

jest rozwi

ą

zaniem równania

(8.3)

Obwód rezystor – pojemność (RC) wraz
ze źródłem napięciowym U

( )

ττττ

t

n

C

e

A

u

−

⋅

=

(8.9)

- naturalnej:

- wymuszonej:

( )

U

u

u

w

C

=

∞

=

)

(

(8.10)

ττττ

t

C

C

e

A

u

t

u

−

⋅

+

∞

=

)

(

)

(

(8.11)

0

1

=

⋅

+

C

C

u

dt

du

ττττ

C

R

⋅

=

ττττ

(8.3)

Obwód rezystor – pojemność (RC) wraz
ze źródłem napięciowym U

A

u

u

C

C

+

∞

=

)

(

)

0

(

Do wyznaczenia stałej A napiszemy równanie (8.11) dla czasu t = 0

a st

ą

d:

)

(

)

0

(

∞

−

=

C

C

u

u

A

Ostatni

ą

zale

ż

no

ść

podstawimy do równania (8.11):

(

)

ττττ

t

C

C

C

C

e

u

u

u

t

u

−

⋅

∞

−

+

∞

=

)

(

)

0

(

)

(

)

(

(8.12)

Podstawiaj

ą

c za u

C

(0)=U

0

i za u

C

(

∞

)=U równanie (8.12) przyjmuje posta

ć

:

Obwód rezystor – pojemność (RC) wraz
ze źródłem napięciowym U

(

)

ττττ

t

C

C

C

C

e

v

u

u

t

u

−

⋅

∞

−

+

∞

=

)

(

)

0

(

)

(

)

(

(8.12)

(8.13)

(

)

ττττ

t

C

e

U

U

U

t

u

−

⋅

−

+

=

0

)

(

Obwód rezystor – pojemność (RC) wraz
ze źródłem napięciowym U

Wykres zale

ż

no

ś

ci (8.13) dla przypadku U>U

0

v

c

(

∞

∞

∞

∞

)=v

Obwód rezystor – pojemność (RC) wraz
ze źródłem napięciowym U

Wykres zale

ż

no

ś

ci (8.13) dla przypadku U<U

0

dt

t

du

C

t

i

C

C

)

(

)

(

⋅

=

(8.14)

Pr

ą

d i

C

(t) mo

ż

e by

ć

obliczony

u

ż

ywaj

ą

c wyra

ż

enia:

Podstawiaj

ą

c za u

C

(t) wyra

ż

enie (8.13) a za

τ

=RC mamy :

(8.15)

(

)

ττττ

ττττ

ττττ

t

t

C

e

R

U

U

e

U

U

C

t

i

−

−

⋅

−

=

⋅

−

−

=

0

0

)

1

(

)

(

v

c

(

∞

∞

∞

∞

)=v

Stosuj

ą

c II prawo Kirchhoffa mo

ż

emy zapisa

ć

:

Obwód rezystor – pojemność (RC) wraz
ze źródłem napięciowym U

(8.16)

A stosuj

ą

c prawa Ohma mamy:

(8.17)

ττττ

ττττ

t

t

C

R

e

U

U

e

U

U

U

U

u

u

u

−

−

⋅

−

=

⋅

−

+

−

=

−

=

)

(

)

(

(

0

0

ττττ

t

R

C

e

R

U

U

R

u

i

−

⋅

−

=

=

0