Wykład 6. Działania na macierzach. Rz ˛

ad ma-

cierzy, macierz odwrotna.

6.1. Działania na macierzach

Definicja 6.1.1. W wyniku sumy (ró˙znicy) macie-
rzy A =

h

a

ij

i

i B =

h

b

ij

i

o rozmiarach m × n po-

wstaje macierz C =

h

c

ij

i

m

×n

,

której elementy

okre´slone s ˛

a wzorem

c

ij

= a

ij

± b

ij

dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Wynik oznaczamy
przez C = A ± B.

Definicja 6.1.2. W wyniku pomno˙zenia macierzy
A

=

h

a

ij

i

m

×n

przez liczb ˛e α ∈

K

powstaje ma-

cierz C =

h

c

ij

i

m

×n

,

której elementy okre´slone

s ˛

a wzorem

c

ij

= αa

ij

dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Wynik oznaczamy
przez C = αA.

Dygresja: Zobacz wykład 5 - własno´s ´

c 5.2.1.

Własno´s ´

c 6.1.1. (liniowo´s ´c działa ´n na macier-

zach) Je ˙zeli macierze A, B, C b ˛ed ˛

a macierzami

tego samego wymiaru, których elementy na-
le ˙z ˛

a do tego samego ciała oraz niech α, β ∈

K

to zachodz ˛

a nast ˛epuj ˛

ace zale ˙zno´sci:

1. A ± B = B ± A

2. A ± 0 = 0 ± A = A

3. α (A ± B) = αA ± αB

4. 1 · A = A

5. A ± (B ± C) = (A ± B) ± C

6. A + (−A) = 0

7. (α ± β) A = αA ± βA

8. (αβ) A = α (βA)

Definicja 6.1.3. W wyniku pomno˙zenia dwóch
macierzy A =

h

a

ij

i

m

×n

(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n)

i B =

h

b

jk

i

n

×o

(1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ k ≤ o) po-

wstaje macierz C = [c

ik

]

m

×o

,

której elementy

okre´slone s ˛

a wzorem

c

ik

=

n

X

j

=1

a

ij

b

jk

.

Dygresja: Mno˙zenie macierzy jest antyprzemienne.
Aby pomno˙zy ´

c dwie macierze przez siebie to

liczba kolumn w pierwszej macierzy musi by ´

c

równa liczbie wierszy w drugiej macierzy.

Własno´s ´

c 6.1.2. Najwygodniej wykonuje si ˛e mno-

˙zenie macierzy przy pomocy schematu Falka:

k

− kolumna

















b

1k

...

. . . b

jk

. . .

...

b

nk

















i

− wiersz







...

a

i

1

. . . a

ij

. . . a

in

...













...

. . . c

ik

. . .

...







Własno´s ´

c 6.1.3. Działania z uwzgl ˛ednieniem ilo-

czynu macierzy s ˛

a nast ˛epuj ˛

ace:

1. dla macierzy A =

h

a

ij

i

m

×n

, B

=

h

b

jk

i

n

×o

i

C

=

h

c

jk

i

n

×o

zachodzi

A

(B ± C) = AB ± AC

2. dla macierzy A =

h

a

ij

i

m

×n

, B

=

h

b

ij

i

m

×n

i

C

=

h

c

jk

i

n

×o

zachodzi

(A ± B) C = AC ± BC

3. dla macierzy A =

h

a

ij

i

m

×n

i B =

h

b

jk

i

n

×o

,

i α ∈

K

zachodzi

A

(αB) = (αA) B = α (AB)

4. dla macierzy A =

h

a

ij

i

m

×n

, B

=

h

b

jk

i

n

×o

i

C

= [c

kl

]

o

×p

zachodzi

(AB) C = A (BC)

5. dla macierzy A =

h

a

ij

i

m

×n

, I

n

=

h

δ

jk

i

n

×o

,

I

m

=

h

δ

kj

i

o

×m

zachodzi

AI

n

= I

m

A

= A

6. dla macierzy A =

h

a

ij

i

n

×n

i p ∈

N

zachodzi

(A)

p

= A . . . A

|

{z

}

p

−

razy

Własno´s ´

c 6.1.4. Działania z uwzgl ˛ednieniem trans-

pozycji macierzy (zobacz wykład 5 - definicja
5.1.2. pkt. 9):

1. dla macierzy A =

h

a

ij

i

m

×n

zachodzi



A

T



T

= A

2. dla macierzy A =

h

a

ij

i

m

×n

, B

=

h

b

ij

i

m

×n

zachodzi

(A + B)

T

= A

T

+ B

T

3. dla macierzy A =

h

a

ij

i

m

×n

i α ∈

K

zacho-

dzi

(αA)

T

= αA

T

4. dla macierzy A =

h

a

ij

i

m

×n

, B

=

h

b

jk

i

n

×o

zachodzi

(AB)

T

= B

T

A

T

5. dla macierzy A =

h

a

ij

i

m

×n

i p ∈

N

zachodzi

(A

p

)

T

=



A

T



p

Własno´s ´

c 6.1.5. (dla macierzy symetrycznych i

sko´snosymetrycznych)

1. dla macierzy kwadratowej A =

h

a

ij

i

n

×n

otrzy-

mujemy

A

+ A

T

− macierz symetryczn ˛

a

A

− A

T

− macierz sko´snosymetryczn ˛

a

2. dla macierzy A =

h

a

ij

i

m

×n

otrzymujemy

AA

T

lub

A

T

A

które s ˛

a symetryczne

3. dla macierzy kwadratowej A =

h

a

ij

i

n

×n

otrzy-

mujemy

A

=

1
2



A

+ A

T



+

1
2



A

− A

T



.

Inaczej mówi ˛

ac, ka˙zd ˛

a macierz kwadratow ˛

a

mo˙zna przedstawi ´

c jako sum ˛e jej macierzy

symetrycznej i sko´snosymetrycznej.

Twierdzenie 6.1.1. (Cauchy’ego) Dla macierzy
kwadratowych A =

h

a

ij

i

n

×n

, B

=

h

b

ij

i

n

×n

za-

chodzi

det (AB) = det A det B

6.2. Rz ˛

ad macierzy, macierz odwrotna.

Definicja 6.2.1. Rz ˛edem macierzy A =

h

a

ij

i

m

×n

nazywamy maksymalny stopie ´n wyznacznika tej
macierzy ró˙zny od zera, a je ˙zeli jest równy zero
to rz ˛

ad okre´sla maksymalny stopie ´n podwyznacz-

nika dowolnej macierzy minorów, który jest ró˙zny
od zera. Rz ˛

ad macierzy oznaczamy przez rzA

lub rankA.

Przykład: Rz ˛

ad macierzy

A

=







1 −1 0 0
0

1

1 0

1

2

2 0







jest równy rankA = 2 poniewa˙z















1 −1 0
0

1

1

1

1

2















= 0

oraz















−1 0 0

1

1 0

2

2 0















= 0,

ale ju˙z np.











1 −1
0

1











6= 0

lub











1 1
1 2











6= 0

lub











1 0
1 2











6= 0

itd. chocia˙z











1 0
2 0











= 0.

Definicja 6.2.2. Dla macierzy kwadratowej
A

=

h

a

ij

i

n

×n

,

która jest nieosobliwa, okre´sla

si ˛e macierz odwrotn ˛

a A

−1

spełniaj ˛

ac ˛

a nast ˛e-

puj ˛

acy warunek

AA

−1

= A

−1

A

= I.

Dygresja: Aby mo˙zna było dowoln ˛

a macierz A

odwróci ´

c to musi by ´

c ona kwadratowa

i det A 6= 0.

... ci ˛

ag dalszy na kolejnym wykładzie.

Literatura

•

Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometri ˛

a, PWN,

Warszawa 1976.

•

Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ˛e-
stochowa 2001.

•

Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.

•

Kiełbasi ´nski A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.

•

Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.

•

Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wy ˙zszej, PWN,
Warszawa 1975.

•

Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.