Kmieć A Procesy cieplne i aparaty

mienników cieplnych z uwzględnieniem zarówno klasycznych ujęć teoretycznych,
takich jak teoria Nusselta zastosowana do opisu wnikania ciepła podczas skraplania
pary nasyconej, jak i obliczeniowej mechaniki płynów (CFD).

Podręcznik składa się z jedenastu rozdziałów o różnorodnym znaczeniu, i zakre

sie. Zrozumienie podstawowych praw i metod obliczeniowych powinny ułatwić liczne
zamieszczone w nim rysunki.

Autor serdecznie dziękuje swoim współpracownikom: mgr inż. Leokadii Lesz

czyńskiej, mgr inż. Agnieszce Pleśniarskiej, mgr inż. Sebastianowi Englartowi oraz
dr. inż. Romanowi Szafranowi za staranne wykonanie rysunków.

Książkę poświęcam Świętej Pamięci moich Rodziców.

Wrocław, październik 2004

Andrzej Kmieć

1. Zasady wymiany ciepła

1.1. Wstęp

W termodynamice działanie otoczenia na układ jest nazywane pracą, jeżeli wynik

tego działania można sprowadzić do zmiany położenia ciężaru znajdującego się poza

układem względem jakiegoś poziomu odniesienia. Działania otoczenia na układ za

mknięty, które nie mogą być zaliczone do jakiegoś rodzaju prac, są nazywane ze
wnętrznym ciepłem układu, a sposób, w jaki ciepło jest przekazywane - wymianą

ciepła, przepływem ciepła lub przenoszeniem ciepła [1]. W układach otwartych ener
gia jest przekazywana również przez granice układu wraz z przepływającą substancją

w postaci energii kinetycznej, potencjalnej lub entalpii, zwanej często w technice

energią cieplną. Praca lub energia dyssypowana wewnątrz układu jest nazywana cie

płem dyssypacji pracy i występuje w postaci tzw. wewnętrznych źródeł ciepła, wyni

kających z rozpraszania energii mechanicznej (ciepło tarcia), elektrycznej (ciepło
Joule’a) lub z zachodzących reakcji chemicznych. Energia jest skalarną wielkością
fizyczną, która spełnia zasadę zachowania zgodnie z 1 zasadą termodynamiki.

1.2. Pole temperatury

Zgodnie z 11 zasadą termodynamiki przenoszenie energii cieplnej w dowolnym

ciele lub między różnymi ciałami zachodzi zawsze od punktu o wyższej temperaturze
do punktu o niższej temperaturze.

Przestrzeń materialną w ciele stałym, cieczy lub gazie, w której każdemu punkto

wi przyporządkujemy temperaturę, nazywamy polem temperaturowym. Pole tempera
turowe jest również skalarne [2]. Jego punkty o tej samej temperaturze wyznaczają
powierzchnie izotermiczne. Gdy temperatura w dowolnym punkcie pola zależy tylko

od położenia tego punktu, nazywamy je ustalonym (stacjonarnym) polem temperatu

rowym, co wyraża się równaniem:

T = T ( x , y , z )

( 1. 1)

Jeżeli tem peratura w dow olnym punkcie p o la zależy rów nież od czasu, to pole ta

kie nazyw am y nieustalonym (lub niestacjonarnym ) polem tem peraturow ym , określo

nym rów naniem

K ształt i ułożenie pow ierzchni izoterm icznych w tym przypadku je s t zależne od czasu.

K ażdem u punktow i p o la tem peraturow ego je s t przyporządkow any w ektor, zw any

gradientem tem peratury:

gdzie n je s t n o rm alną w danym punkcie p o la do pow ierzchni izoterm icznej. G radient

tem peratury tw orzy pole w ektorow e (rys. 1.1). K ierunek gradientu je s t w yznaczony
przez n orm aln ą n, a jej zw rot je s t skierow any ku pow ierzchniom izoterm icznym

o wyższej tem peraturze. W ustalonym polu tem peraturow ym gradient zależy tylko od

położenia rozw ażanego punktu w przestrzeni, nie zależy zaś od czasu. W n ieu stalo

nym polu tem peraturow ym gradient je s t fu n k c ją n ie tylko położenia, ale i czasu.

Jeżeli w określonym czasie A r je s t przekazane ciepło A Q, to średni strum ień cie

p ła Q w yraża się wzorem

Jako chw ilow y strum ień ciepła Q definiuje się granicę, do jakiej dąży stosunek

przekazyw anego ciepła A Q do przedziału czasu Ar, jeże li A r dąży do zera:

T ~ T ( x , y , z , r )

( 1.2 )

(1.3)

Rys. 1.1. Schemat pola temperaturowego:

a) przekrój powierzchni ograniczającej pole

temperaturowe, b) przekrój powierzchni izotermicznych

* -»0

A r

d r

(1.5)

w w arunkach ustalonych zaś

( 1.6)

K ierunek przepływ u ciepła, a ściślej strum ienia ciepła, je s t w yznaczony przez

kierunek gradientu tem peratury. Poniew aż ciepło je s t zaw sze przekazyw ane od punktu

o tem peraturze wyższej do punktu o tem peraturze niższej, więc zw rot w ektora stru

m ienia ciepła je s t zaw sze przeciw ny niż zw rot gradientu tem peratury.

Stosunek strum ienia ciepła Q do pow ierzchni A, przez k tó rą ten strum ień prze

pływ a, je s t nazyw any gęstością strum ienia ciepła, zdefiniow aną rów naniem

(1.7)

L okalną gęstością strum ienia ciepła q nazyw am y granicę stosunku części AQ do

w ycinka pow ierzchni AA, gdy AA dąży do zera (rys. 1.2)

lim —

Ar->0 AA

lub w zapisie w ektorow ym

dQ = ędA

( 1.8)

(1.9)

Rys. 1.2. Schemat strumienia ciepła przekazywanego

przez pow ierzchnię; A Ó - część strumienia ciepła

przekazywana przez w ycinek pow ierzchni AA

W ektory gęstości strum ieni ciepła są położone n a pow ierzchniach prostopadłych

do pow ierzchni izoterm icznych. Są to pow ierzchnie adiabatyczne. N a pow ierzchni

zew nętrznej ciała z reguły podaje się składow e gęstości strum ienia ciep ła w kierunku

prostopadłym do pow ierzchni ciała.

1.3. Rodzaje wymiany ciepła

Wymiana ciepła jest realizowana na trzy sposoby, różne pod względem fizycznym [2]:

• przewodzenie (kondukcję),
• konwekcję (unoszenie),
• promieniowanie (radiacyjną wymianę ciepła).

Przewodzenie ciepła polega na przekazywaniu energii wewnętrznej między styka

jącymi się elementami ciała lub różnych ciał. W ciałach stałych jest przenoszona

energia drgań atomów w sieci krystalicznej i ruchu swobodnych elektronów, a w pły
nach - energia kinetyczna atomów i cząsteczek. Przekazywanie ciepła wyłącznie
przez przewodzenie zachodzi jedynie w ciałach stałych nieprzenikliwych dla promie
niowania oraz w płynach, gdy nie występuje przemieszczanie się makroskopowych
elementów płynów.

Konwekcja polega na przenoszeniu energii cieplnej z makroskopowymi elemen

tami płynu różniącymi się temperaturą. Może ona zachodzić w przestrzeni nieograni
czonej, np. podczas opływania cząstki ciała stałego lub w przestrzeni ograniczonej,
np. w zbiorniku lub wewnątrz rury wymiennika ciepła. Rozróżniamy konwekcję swo
bodną, czyli naturalną, zachodzącą z udziałem sił masowych działających na elementy
płynu różniące się temperaturą, a tym samym gęstością, oraz konwekcję wymuszoną
przez maszynę albo urządzenie, np. pompę, wentylator, dmuchawę lub mieszadło.

Promieniowanie cieplne, zwane też termicznym, jest przekazywaniem ciepła za

pośrednictwem fal elektromagnetycznych albo fotonów. Energia wewnętrzna ciała
o temperaturze wyższej od temperatury zera bezwzględnego jest emitowana w postaci
fal promieniowania elektromagnetycznego, obejmujących cały zakres długości fal od
zera do nieskończoności lub tylko niektóre długości fal.

Energia radiacyjna promieniowania może być pochłonięta częściowo lub całko

wicie po napotkaniu innych ciał lub innej części ciała wysyłającego promieniowanie.

Promieniowanie, w odróżnieniu od przewodzenia lub konwekcji, może zachodzić

również w próżni.

W niektórych procesach przewodzenie ciepła oraz konwekcyjna i radiacyjna wy

miana ciepła występują jednocześnie, np. w procesach suszenia. W urządzeniach ta
kich jak aparaty służące do wymiany ciepła, zwane wymiennikami ciepła, zachodzi
natomiast połączone przekazywanie ciepła, tzw. przejmowanie lub przenikanie ciepła.

Przejmowanie ciepła, inaczej wnikanie ciepła, polega na łącznym przekazywaniu

ciepła od ściany do płynu przez konwekcję oraz promieniowanie [2]. Przenikanie
ciepła natomiast jest przekazywaniem ciepła między dwoma płynami rozgraniczonymi

stałą przegrodą - płytą lub ścianką rury. Następuje tutaj kolejno wnikanie ciepła od
gorącego płynu do pierwszej ściany, następnie przewodzenie przez przegrodę i wni

kanie ciepła od drugiej ściany tej przegrody do płynu ogrzewanego.

2. Przewodzenie ciepła

2.1. Wstęp

Mechanizm przewodzenia ciepła jest bardzo złożony i w wielu przypadkach nie

został całkowicie poznany. Zależy on przede wszystkim od stanu skupienia ciała,
w którym ciepło jest przewodzone. W przypadku gazów i cieczy ten rodzaj transportu
ciepła polega na przenoszeniu energii kinetycznej od cząsteczek o większej energii do
cząsteczek o mniejszej energii w wyniku kolejnych zderzeń. Zarówno w przypadku

gazów, jak i cieczy transport ciepła powoduje również przemieszczanie się elementów

płynu, co wywołuje sprzężony, konwekcyjny ruch ciepła. Mechanizm przewodzenia
ciepła w ciałach stałych zależy od rodzaju ciała. W przypadku ciał stałych nieprzeźro
czystych przewodzenie jest wyłącznym sposobem transportu ciepła, podczas gdy
w przeźroczystym ciele stałym, takim jak np. w szkło, pewna ilość energii może być
przenoszona również przez promieniowanie. Przyjmuje się, że przewodzenie ciepła
w ciałach stałych jest związane z ruchem fal wywołanych drganiami sieci krystalicz
nej (Ą) oraz ruchem swobodnych elektronów (Xe). Składowe te są addytywne, wobec
czego sumaryczny współczynnik przewodzenia ciepła jest równy ich sumie [3]:

X ^ X ,+ X e

(2.1)

W pierwszym przybliżeniu składowa Xe jest odwrotnie proporcjonalna do elek

trycznej oporności właściwej pe. Dla czystych metali, o małej oporności właściwej,

składowa przewodnictwa cieplnego wynikająca z ruchu elektronów jest podstawową

wielkością. Udział przewodnictwa sieciowego w stopach może być znaczny, a w cia
łach stałych będących złymi przewodnikami prądu elektrycznego (ciałach niemeta

licznych) przewodzenie ciepła jest związane głównie ze składową sieciową X/.

Model fizyczny przewodzenia ciepła w ciałach stałych jest określony na ogół

przez prawo Fouriera, wiążące gęstość strumienia ciepła z gradientem temperatury,

a tylko niekiedy konieczne jest uwzględnienie relaksacji gęstości strumienia ciepła
związanej z przyjęciem skończonej prędkości rozchodzenia się ciepła. Niezbędne jest

podanie równania bilansu energii i rodzaju warunków jednoznaczności jego rozwią

zania. W założeniach bilansu energii m usim y określić, czy rozpatruje się ustalone, czy

nieustalone przew odzenie ciepła oraz jeg o w ielow ym iarow ość. D alsze założenia do

ty czą stałości w łaściw ości term ofizycznych oraz braku lub obecności w ew nętrznych

źródeł ciepła.

2.2. Prawo Fouriera sformułowane dla przewodzenia ciepła

O pis m atem atyczny zjaw iska przew odzenia ciepła obejm uje sform ułow anie p ra

w a przew odzenia ciepła, rów n ania różniczkow ego bilansu energii oraz w arunków

jednoznaczności jeg o rozw iązania.

Przew odzenie ciepła p rzebiega n a ogól zgodnie z praw em Fouriera: gęstość prze

w odzonego strum ienia ciepła je s t w prost prop orcjo nalna do gradientu tem peratury

gdzie: V - w ektor zw any n ab la lub operatorem Plam iltona, dT/dn - po cho dn a tem p e

ratury w kierunku prostopadłym do pow ierzchni izoterm icznej, X - w spółczynnik

przew odzenia ciepła (przew odność cieplna) w yrażany w W /(m-K). Z nak m inus w yni

ka z tego, że ciepło je s t przew odzone od tem peratury wyższej do niższej (rys. 2.1).

q ~ -Z g ra d T - - X V T

(

)

lub w postaci skalarnej

d T

(2.3)

Rys. 2.1. Zależność znaku gęstości strumienia ciepła od gradientu tem peratury

G radient tem peratury je s t w ektorem [1], który m ożna wyrazić:

• w układzie w spółrzędnych prostokątnych (kartezjańskich) (rys. 2.1)

( 2 .4 )

» w układzie w spółrzędnych w alcow ych (cylindrycznych)

p . 5 )

0 r dr

' dz

• w układzie w spółrzędnych kulistych (sferycznych)

a r

i a r

h ~ T 7

^2'6^

r d&

r d ę

1 są składow ym i w ektora jednostkow ego.

D la jednokierunkow ego przew o dzenia ciepła, np. w kierunku osi.r, strum ień cie

p ła w yraża się w najczęściej spotykanej, szczególnej postaci praw a Fouriera:

Q =

(2-7)

a x

R ów nania (2.2)—(2.6) obow iązują zarów no dla ustalonego, ja k i nieustalonego prze

w odzenia ciepła. Jeżeli m am y do czynienia z ustalonym przew odzeniem , to rozkład

tem peratury (rys. 2.1) nie zm ienia się w czasie, a strum ień ciepła m a w artość stalą. W

przypadku nieustalonego przew odzenia ciepła są one fu n k cją czasu.

2.3. Przewodność cieplna i współczynnik przewodzenia ciepła

Przew odność cieplna różnych substancji je s t zd olnością do w yrów nyw ania ener

gii w ew nętrznej. Jej m iarą je s t w spółczynnik przew odzenia ciep ła A, którego w artość

Rys. 2.2A . Zakres wartości w spółczynnika przewodzenia ciepła dla różnych substancji

W/m K

Data s:nif

W.mH

C ecie

*M ł.

Łi

1»

Sine frtancli

'.•íwvc

LWI

a ¡u: kc we.:

Fibra

KJ .

tu -

Uft-

Ekćn

AWna

rtęć

Wodi

Amriniat

~Z rcfjnj

De.i^l

V -i

:■?]

dan

Powietrze

CO CO?

soT~

Rys. 2.2B. W spółczynniki X przewodzenia ciepła

zależy od rodzaju ciała, jeg o stanu i struktury, gęstości, tem peratury, niekiedy w ilgot

ności, a także innych czynników . W spółczynniki X m ieszczą się w bardzo szerokich

granicach, od najm niejszych w artości dla rozrzedzonych gazów, w ynoszących około

0,005 W /(m-K) do około 20 000 W /(m-K) dla niektórych m etali w tem peraturze zbli

żonej do 0 K (około 10 K). N a rysunku 2.2A pokazano zakres wartości w spółczynnika

przew odzenia ciepła w zależności od tem peratury dla różnych substancji, w artości

liczbow e zaś n a rys. 2.2B.

2.3.1. Współczynnik przewodzenia ciepła ciał stałych metalicznych

N ajw iększe w spółczynniki p rzew odzenia ciepła m ają m etale. Przew odzenie cie

p ła m etali, podobnie ja k przew odnictw o elektryczne, je s t zw iązane z ruchem sw obod

nych elektronów wewnątrz metalu. Zależność między elektronowym przewodnictwem

cieplnym Xe a przewodnictwem elektrycznym oe opisuje prawo

Wiedemanna-Franza-

Lorenzaz 1872 r. [2]

gdzie L - liczba Lorenza, <re - przewodność elektryczna.

Z rozważań ruchu elektronów według statystyki Fermiego-Diraca otrzymano

równanie opisujące liczbę Lorenza:

i = 3( —) =24,5-l(T9,

(V/K)2

(2.9)

gdzie B - liczba Boltzmanna, z - ładunek elektronu.

Z najnowszych badań wynika jednak, że wartości doświadczalne liczby Lorenza

różnią się nieco od wartości teoretycznych obliczonych z równania (2.9) (por. tabe

la 2.1).

Tabela 2.1. Wartości liczby Lorenza

dla metali w temperaturze 0 i 100 °C

Metal

Liczba Lorenza

0°C

100°C

Aluminium

21,2

22,3

Bizmut

33,1

28,9

Kadm

24,2

24,3

Miedź

22,3

23,3

Złoto

23,5

24,0

Iryd

24,9

Żelazo

24,9

25,6

Ołów

24,7

25,6

Molibden

26,1

27,9

Nikiel

17,7

22,8

Pallad

25,9

27,4

Platyna

25,1

26,0

Ren

25,7

Srebro

23,1

23,7

Cyna

25,2

24,9

Wolfram

30,4

32,0

Cynk

23,1

23,3

Przewodność cieplna ciał krystalicznych, w tym metali, na ogół maleje ze wzrostem

temperatury (rys. 2.3), ale np. współczynniki przewodzenia ciepła platyny, boru czy rtęci
zwiększają się ze wzrostem temperatury. Ciała krystaliczne wykazują też anizotropowość

przewodności cieplnej. Wartości współczynników przewodzenia ciepła zależą też od czy

stości chemicznej metalu; dla czystej miedzi np. X = 386 W/(m-K), a dla miedzi zanie

czyszczonej śladową ilością arsenu - około 120 W/(m-K). Także przewodnictwo cieplne
stopów metali jest gorsze niż ich czystych składników (rys. 2.2B).

Rys. 2.3. Zależność w spółczynnika przewodzenia ciepła metali od tem peratury

2.3.2. Współczynnik przewodzenia ciepła w ciałach niemetalicznych

D użą grupę cial niem etalicznych stanow ią dielektryki. C iała te odznaczają się m a

łą p rzew odnością elektryczną oraz cieplną. Przew odzenie ciepła odbyw a się w nich za

pośrednictw em drgań sieci (fononów ). O drębną grupę stano w ią m ateriały budow lane,

izolacyjne i ognioodporne ceram iczne, których w spółczynniki przew odzenia ciepła są

w przybliżeniu m niejsze od 0,15 W /(m -K) (rys. 2.4), nazyw ane m ateriałam i izolacyj

nym i [2]. N a ogól są to m ateriały porow ate, w łókniste lub ziarniste, w których pory są

w ypełnione pow ietrzem lub gazem o znacznie m niejszym w spółczynniku przew odze

n ia ciepła.

W spółczynnik przew odzenia ciepła takich m ateriałów je s t w ielkością um owną,

ujm ującą oprócz przew odzenia ciepła przez strukturę ciała stałego rów nież przew o

dzenie ciepła i konw ekcję w gazie zaw artym w ew nątrz porów , a niekiedy i udział

prom ieniow ania m iędzy ściankam i porów . Gazy o najm niejszych w spółczynnikach

przew odzenia ciepła zm niejszają przew odność cieplną m ateriału porow atego i dlatego

w spółczynniki przew odzenia ciepła izolacyjnych m ateriałów porow atych zm niejszają

się ze w zrostem porow atości, w m iarę ja k m aleje gęstość takiego m ateriału. Podsta
w owy w pływ n a w spółczynnik p rzew odzenia ciep ła m ateriałów porow atych m a za

w ilgocenie. D la suchej cegły np. X = 0,35 W /(m-K), a po jej zaw ilgoceniu n aw et oko

ło 1 W /(m-K), podczas gdy w spółczynnik p rzew odzenia ciepła wody w ynosi tylko

około 0,6 W /(m-K). W ynika to z konw ekcyjnej w ym iany ciepła związanej z kapilar

nym przepływ em wody.

Rys. 2.4. Zależność w spółczynnika przewodzenia ciepła od temperatury m ateriałów izolacyjnych

i ogniotrwałych: 1 - powietrze, 2 - wata mineralna, p = 160 kg/m3, 3 - wata żużlowa, p = 200 kg/m3,

4 - newel, p = 340 kg/m3, 5 - sowielit, p = 440 kg/m3, 6 - cegła diatomowa, p = 550 kg/m3, 7 - cegła

czerwona, p = 1672 kg/m3, 8 - c e g ł a żużlowa, p = 1373 kg/m3, 9 - c e g ł a szamotowa, p = 1840 kg/m3

W spółczynnik przew odzenia ciepła zależy rów nież od tem peratury; d la cial n ie

m etalicznych je s t to w szerokim zakresie zależność rosn ąca prostoliniow a. W przy

padku m ateriałów porow atych w ynika to ze w zrostu w spółczynnika p rzew odzenia

ciepła pow ietrza zaw artego w porach. D latego powyżej 800 °C istotny udział

w zw iększeniu w spółczynnika p rzew odzenia ciepła m a prom ieniow anie.

2.3.3. Współczynnik przewodzenia ciepła cieczy

W spółczynniki przew odzenia ciepła cieczy niem etalicznych przyjm ują w artości

pośrednie od 0,1 W /(m-K) do 0,6 W /(m-K) (rys. 2.5), w cieczach m etalicznych są one

znacznie większe, przykładow o dla rtęci X = 8,7 W /(m-K). Jak w idać z rys. 2.5,

w spółczynnik przew odzenia ciepła w cieczach z reguły ulega zm niejszeniu ze w zro
stem tem peratury, z wyjątkiem wody i gliceryny, dla których rośnie on z tem peraturą.

Rys. 2.5. Zależność w spółczynnika przewodzenia ciepła od tem peratury dla cieczy: 1 - gliceryna ,

2 - kwas mrówkowy, 3 - alkohol metylowy, 4 - alkohol etylowy, 5 - olej rycynowy, 6 - anilina,

7 - kwas octowy, 8 - aceton, 9 -alk o h o l butylowy, 10 - nitrobenzen, 11 - alkohol izopropylowy,

12 - benzen, 13 - toluen, 14 - ksylen, 15 - wazelina, 16 - woda ( na skali po prawej stronie)

W literaturze m ożna znaleźć kilka rów nań służących do obliczania w spółczynnika

przew odzenia ciepła. K alinow ski [2] podaje w zór W ebera:

w którym : c - ciepło w łaściw e, J/(kg-K), p — gęstość, kg/nr1, M - m asa m olow a.

H obler [4] zaleca obliczać przew odnictw o cieplne roztw orów z wzoru:

1»

(2 . 10)

(2 . 11)

i=\

w którym w, - udział m asow y składników w roztw orze, A, - w spółczynniki przew o

dzenia ciepła dla czystych składników roztw oru.

2.3.4. Współczynnik przewodzenia ciepła gazów

Gazy, w tym pow ietrze, w ykazują najm niejsze w artości w spółczynników przew o

dzenia ciepła, m ieszczące się w zakresie 0 ,00 5-0,5 5 W /(m -K) (rys. 2.6).

Rys. 2.6. Zależność w spółczynnika przewodzenia ciepła od tem peratury

dla gazów: 1 - para wodna, 2 - tlen, 3 -d itle n e k węgla, 4 - powietrze, 5 - azot, 6 - argon

Z teorii kinetycznej gazów otrzym ano zależność w spółczynnika przew odzenia

ciepła od ciepła w łaściw ego c v i dynam icznego w spółczynnika lepkości ?]

A ~ d c vtj

(2.12)

gdzie c/jest w spółczynnikiem zależnym od liczby atom ów w cząsteczce gazu.

W edług E uckena [2] do obliczania d m ożna zastosow ać w zór em piryczny

.c/= 0 ,2 5 ( 9 * - 5 )

(2.13)

w którym k je s t w ykładnikiem adiabaty, k = cp/cv.

M ożna stosow ać rów nież o góln ą zależność

* r = f { T r , P r )

( 2 - 14)

N a rysunku 2.7 pokazano zależność zredukow anego w spółczynnika przew odzenia Ar

od ciśnienia zredukow anego p r = p/ptr i tem peratury Tr = 777*,-. A by obliczyć rzeczy

w istą w artość A, należy pom nożyć w artość A,-przez Akr odczytane z tabeli 2.2.

flłl 1A flfl 1

l i ,

« 4 1»

3 0 4 ^

T łf r n p m r itL iiT i r r n r l i * r i w a n ; s T

Rys. 2.7. Zredukow any w spółczynnik przewodzenia ciepła gazów

w funkcji tem peratury zredukowanej i zredukow anego ciśnienia

Tabela 2.3. W artości krytycznych współczynników przewodzenia

ciepła Akr W/(m-K) (w edług |2 |)

Gaz

Akr

Gaz

Akr

Gaz

Akr

Aceton

0,0793

Dichlorodwufluorom etan

0,0379

Ksenon

0,0143

Acetylen

0,0550

D itlenek siarki

0,0359

Metan

0,0495

Am oniak

0,0922

D itlenek węgla

0,0450

Neon

0,0215

Argon

0,0256

Etan

0,0566

Octan etylu

0,0830

A zot

0,0329

Eter etylowy

0,0877

Podtlenek azotu

0,0458

Benzen

0,1057

Etylen

0,0495

Tlenek azotu

0,0424

C hlorek etylu

0,0621

Hel

0,0149

Tlenek węgla

0,0298

Chloroform

0,0424

Heptan

0,0531

Woda

0,1350

Tetrachlorek węgla

0,9359

Krypton

0,0162

W odór

0,0641

N ajdokładniejsze w artości w spółczynników p rzew odzenia ciepła m ożna jed n ak

otrzym ać z pom iarów dośw iadczalnych albo z tabel lub w ykresów opartych n a bezpo

średnich pom iarach.

2.4.

Ustalony ruch ciepła

przez przewodzenie w ścianie płaskiej

W najprostszym przypadku, tj. dla ściany płaskiej, jej pow ierzchnia przekroju p o

przecznego je s t stała A = const. Jeżeli m aterial, z którego je s t w ykonana ta ścianka,

je s t jednorodny, a całkow ita różnica tem peratury niew ielka, to w spółczynnik przew o

dzenia m a w artość stalą X = const. W tym przypadku rów nanie F ouriera (2.7)

Q = - * A

dT_

(2.15)

m ożna scalkow ać w granicach (rys. 2.8) od x = 0 do x = s i od T = T\ do T = T2. Po

rozdzieleniu zm iennych

' 2

Q ^ = -XA p r

(2.16)

i scałkow aniu otrzym ujem y

= - A Ą T 2 - T x)

Q -

(2 .17a)

Rys. 2.8. Rozkład tem peratury w ściance płaskiej

Po podzieleniu przez ,v oraz w prow adzeniu znaku m inus do w yrażenia w naw iasie

otrzym ujem y w zór n a strum ień ciepła przew odzonego p rzez jedn ow arstw o w ą ścianę

płaską:

Q = - Ą

, -

2) = -

a m

( 2 . 1 7b)

Współczynnik przewodzenia ciepła X określa energię cieplną w dżulach, która w ciągu

sekundy przepływa ze ściany o powierzchni 1 tir do ściany przeciwległej, gdy AT= 1 K.

2.4.1. Definicja oporu cieplnego

Ze względu na podobieństwo przepływu strumienia ciepła do przepływu prądu

elektrycznego, do analizy przekazywania ciepła wprowadzono pojęcie oporu cieplne
go [5]. Wykorzystujemy tutaj analogię między równaniami opisującymi ruch ciepła
a równaniem wyrażającym prawo Ohma podczas przepływu prądu elektrycznego

A U = IR

(2.18)

Przyjmujemy, że wartości spadku napięcia AU odpowiada w ruchu ciepła różnica

temperatury AT, natężenie prądu / jest wielkością analogiczną do strumienia cieplne

go (). a oporowi elektrycznemu R przypisujemy opory cieplne R,. wynikające z rów

nań ruchu ciepła. Na tej podstawie równanie Fouriera

dla ustalonego przewodzenia

ciepła (2.17) wyrazimy w następujący sposób:

•

Q = ~

(2-19)

i otrzymamy wzór na opór cieplny przewodzenia ciepła:

* , = - = -

(2.20)

'¡¿

Na tej podstawie otrzymujemy równania oporów cieplnych dla poszczególnych przy
padków ruchu ciepła. Opór cieplny przewodzenia ciepła w ściance płaskiej określa
równanie:

R, ——

(2. 21)

Q XA

’

strumień cieplny zaś możemy opisać równaniem:

T - T

(

)

2.4.2. Rozkład temperatury w ściance płaskiej

Różniczkowe równanie Fouriera (2.7) przekształcamy do postaci:

— = —

(2. 23)

Jeśli zatem ruch ciepła je s t ustalony, to Q = const, oraz jeśli A = const i A = const, to

dT/dx = const, czyli tem peratura zm ienia się w zdłuż drogi prostoliniow o.

L inio w ą zależność tem peratury od odległości otrzym ujem y rów nież przez całko

w anie różniczkow ego rów nania F ouriera (2.23) po rozdzieleniu zm iennych w grani

cach od T = T] do T = Tx oraz od x = 0 do x:

\dT = --Q -

A A ?

(2.24)

Po scalkow aniu otrzym ujem y

Tx - T y = -

A A

po dalszych przekształceniach zaś

T. =•

Q x

A A

+ T,

(2.25a)

(2.25)

Jak w idać z rów nań (2.23) i (2.25), im większe w artości w spółczynnika przew o

dzenia ciepła m a m ateria! ścianki, tym m niejsze w ystąpią gradienty tem peratury

(rys. 2.9). Gdy pole przekroju poprzecznego lub w spółczynnik przew odzenia zm ienia

się w zdłuż drogi ruchu ciepła, gradient tem peratury rów nież się zm ienia - dT/dx nie

je s t stały (rys. 2.10).

Rys. 2.9. Rozkład tem peratury w ściankach płaskich

dla małych i dużych współczynników przewodzenia ciepła

Rys. 2.10. Rozkład temperatury w ściance

płaskiej, gdy współczynnik przewodzenia

ciepła zależy od temperatury

Otrzymanie dużych strumieni ciepła wym aga zastosowania m ateriałów o znacznych

wartościach współczynnika przewodzenia ciepła i małych oporach cieplnych (małych

w artościach s/A). A by natom iast zm niejszyć strum ień cieplny, należy użyć m ateriałów

w ykazujących duże opory cieplne, czyli m ateriałów izolacyjnych.

2.5. Ustalone przewodzenie ciepła

w wielowarstwowej ścianie płaskiej

Przyjm ijmy, że ściana plaska składa się z n nałożonych n a siebie warstw, z których

każda charakteryzuje się grubością ,V; i współczynnikiem przew odzenia ciepła X-,. Ścianę

tak ą m ożem y rozw ażać jako n pow ierzchni jednow arstw ow ych (por. rys. 2.11, przykład

przegrody trójw arstw ow ej). Otrzymam y w ów czas/; rów nań strum ienia ciepła:

• dla w arstw y 1

Q = k A( T ,-T 2) - T' - T'-

v.l

1 dla w arstw y 2

1 dla //-tej w arstw y

-12

Q = ^ A ^ T a+J) = ^ - j ^ -

Rys. 2.11. Rozkład temperatury w trójwarstwowej ściance płaskiej

Po pom nożeniu rów nań ((2.26)—(2.28)) przez R , otrzym ujem y

Q Ą = t , - t 2

QR2 = i 2

Q K

=T„

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.31)

Po zsumowaniu tych równań stronami otrzymujemy

< 2 K , + ^ 2 +

+ R,„)=T1 -T„+l

(2.32)

Po wprowadzeniu oporu zastępczego jako sumy oporów łączonych szeregowo:

i=n

^ = Ż * * = Ż T 7

(2-33)

i=l

i=l AiA

otrzymujemy wzór do obliczania strumienia ciepła przewodzonego przez płaską prze
grodę «-warstwową

T - T

Równanie to jest identyczne z równaniem (2.22), ale opór Rx jest tutaj oporem

sumarycznym.

2.6.

Ustalone przewodzenie ciepła

w jednowarstwowej ścianie rurowej

Przyjmijmy, że ściana rurowa jest wykonana z materiału o współczynniku prze

wodzenia ciepła X niezależnym od temperatury i czasu. Rozmiary rury (rys. 2.12) są

określone przez jej średnicę wewnętrzną d\ i zewnętrzną d2 oraz długość L.

JkT

Rys. 2.12. Rozkład temperatury w ściance rurowej

Dla ustalonego przewodzenia ciepła przez ściankę rury zapiszemy równanie

Fouriera (2.7) w postaci różniczkowej

Q = - X A ^ ~

(2.35)

w którym zmiennymi są pole powierzchni A = A(r), temperatura T (temperatura we
wnętrznej ściany rury wynosi 7), zewnętrznej zaś T2) oraz droga, którą stanowi pro
mień r, zmieniający się w granicach od d\/2 do d2l2.

Pole powierzchni możemy zapisać jako funkcję zmiennej niezależnej r.

A = 2nrl.

(2.36)

Po podstawieniu do równania (2.35) otrzymujemy równanie

J J T

Ó — 2/.nl.r—

(2.37)

które ma dwie zmienne, zależną T i niezależną r.

Po rozdzieleniu zmiennych równanie to przyjmuje postać:

•

Q - = -2A.nLdT

(2.38)

Całkujemy je w granicach od r\ = d-^/2 do r2 = d/2 oraz od T\ do 7:

Q \ — = ^2M L JdT

(2.39)

ĄI2 r

i otrzymujemy równanie:

ln— I

(2.40)

2AnL

które po prostym przekształceniu przyjmuje postać:

T ^ T ,

——ln—-

(2.41)

1 2A.nL

Logarytmiczne równanie (2.41) określa rozkład temperatury w ściance rury pod

czas ustalonego przewodzenia ciepła od temperatury 7) do temperatury T2
(rys.

(2.12)).

Aby obliczyć strumień ciepła, równanie różniczkowe (2.38) całkujemy w grani

cach od r\ = d\/2 do r2 = d2

J2, gdy temperatura zmienia się od 7) do T2:

d , / 2

7’,

Q J — = - 2AnL JdT

(2.42)

dt/2 r

Po scałkowaniu otrzymujemy wyrażenie

Ś l n ^ - = -2 A tó (r2 -7 ;)

(2.43)

Po uporządkowaniu otrzymujemy wzór określający strumień ciepła:

Z - T ,

Q^2X%L 1 ±2

ln —

(2.44)

Po pomnożeniu licznika i mianownika przez wyrażenie 2s = di_- i/iotrzymujemy

d-y d^

ln —

f t - r 2) =

AZ.

l n ^

Z/,

i y

(2.45)

l n ^

4 y

(T^ T 2) ^ - A m( T ^ T 2)

gdzie:

U = n d -

obwód rury, m,

A = ndL

- powierzchnia rury, m \

Po uwzględnieniu oporu cieplnego przewodzenia ciepła przez ścianę rurową

R*r =

ln —

otrzymujemy równanie

T T] T7

Q - %L -

(2.46)

(2.47)

-Ar

Równania (2.43)-(2.47) pozwalają obliczać strumień cieplny, gdy dysponujemy

podstawowymi danymi dotyczącymi oporu cieplnego przewodzenia ciepła i wartości
temperatury na ściance rurowej.

2.7. Ustalone przewodzenie ciepła

w wielowarstwowej ścianie rurowej

Przyjmijmy, że trójwarstwowa ściana rurowa jest wykonana z materiałów

o współczynnikach przewodzenia ciepła A], A

, A

niezależnych od temperatury i cza

su. Rozmiary każdej ścianki rurowej (rys. 2.13) są określone przez jej średnicę we

wnętrzną dh zewnętrzną dn , oraz długość L. Dla ustalonego przewodzenia ciepła przez
ściankę rury o temperaturze wewnętrznej ściany Jj oraz zewnętrznej 73 równanie Fo
uriera zapiszemy w postaci (2.47).

Rys. 2.13. Rozkład temperatury w trój warstwowej ściance rurowej

Otrzymamy zatem układ n równań dla kolejnych warstw:

• dla warstwy wewnętrznej:

Ó =

(2.48)

dla warstwy następnej:

Q = % L ? ± - i

(2.49)

R-Arl

dla warstwy «-tej, zewnętrznej:

Q = n L Tf1 Tn+l

(2.50)

^Arn

Po podzieleniu równań przez (nL/RM) i prostych przekształceniach otrzymujemy

= T \- T 2

(2.51)

O^Arl

- 7\ - 7\

(2.52)

^ y - = Tn ~Tn+]

(2.53)

Po dodaniu stronami i wyciągnięciu wyrazu Q /(t

L) przed nawias otrzymujemy

+ ^Ar2 + R-Am

(2-54)

7iL

Przyjmijmy, że suma oporów RM jest oporem wypadkowym wielowarstwowej

ściany rurowej o warstwach łączonych szeregowo

^ = £ ^ = £ ¿ 1 " ^

(2-55)

/=]

w‘/

Z równania (2.54) otrzymamy wówczas wyrażenie na strumień ciepła przewodzonego
przez rurową ścianę wielowarstwową:

Ó - n l . '1' - '1'"-'

(2.56)

Rj,r

Równanie to jest identyczne w budowie z równaniem dla pojedynczej ściany ru

rowej (2.47), ale tutaj opór R* jest oporem sumarycznym.

3. Wnikanie ciepła

Podczas burzliwego przepływu płynu wzdłuż przegrody płaskiej lub o dowolnej

krzywiźnie rozkład prędkości w kierunku prostopadłym do przegrody jest liniowy,
a na jej powierzchni prędkość jest równa zeru. Zgodnie z hipotezą Prandtla (1904 r.)
w pobliżu przegrody istnieje tzw. warstewka graniczna; elementy płynu (gazu lub
cieczy) przepływają w niej ruchem uwarstwionym, w warstwach równoległych do
kierunku przepływu [ 1 ].

Rys. 3.1. Rozwinięcie warstwy granicznej: 1 - warstwa laminama,

2 - obszar przejściowy, 3 - warstwa turbulentna, 4 - podwarstwa laminarna

5 - podwarstwa buforowa

Na rysunku 3.1 pokazano laminamą warstewkę graniczną (1), obszar przejścio

wy (2), turbulentną warstwę (3) oraz tzw. podwarstwę laminamą (4). Grubość laminar-
nej warstewki granicznej jest bardzo mała, ok. KT6 m, i na ogół nie jest ona wyznaczana

doświadczalnie. Istotne jest jednak to, że w warstewce tej ruch ciepła od przegrody lub

w kierunku przeciwnym zachodzi przez przewodzenie. Wytwarza się przy tym tzw.
termiczna warstwa przyścienna, poza którą temperatura płynu nie zmienia się w kierun

ku prostopadłym do rozpatrywanej powierzchni. Grubość warstewki granicznej zależy

przede wszystkim od kształtu powierzchni opływanej (płyta lub ściana rury, powierzch
nia cząstki kulistej albo inna bryła), lecz także od takich właściwości płynu, jak lepkość

i gęstości oraz od prędkości liniowej przepływu strumienia.

W większej odległości od ściany elementy płynu przemieszczają się również

w kierunku poprzecznym i przejmowanie ciepła wiąże się z konwekcją, czyli ruchem
makroskopowych części płynu różniących się temperaturą. Przenoszenie energii

cieplnej od przegrody do rdzenia strumienia płynu lub w przeciwnym kierunku obej

muje zarówno przewodzenie w warstwie granicznej, zwanej warstwą przyścienną lub

warstwą Prandtla, jak i konwekcję w rdzeniu płynu. Ten łączny ruch ciepła jest nazy
wany wnikaniem ciepła (Hobler [4]), a niekiedy przejmowaniem ciepła (Wiśniewski,

Wiśniewski [1], Kalinowski [2]).

Podstawowe równanie ruchu ciepła między powierzchnią przegrody a płynem

znajdującym się z nią w kontakcie ma następującą postać:

Q = aA A T

(3.1)

gdzie: Q - strumień ciepła, J/s, a - współczynnik wnikania ciepła od rdzenia płynu

do powierzchni przegrody lub od przegrody do płynu, W/(m2-K), A - powierzchnia

przegrody w kontakcie z płynem, m2, AT - różnica temperatury w rdzeniu płynu i na
powierzchni przegrody, K. Równanie to nazwano równaniem Newtona.

Współczynnik wnikania ciepła a wyraża ilość ciepła w dżulach, która jest wymienia

na w jednostce czasu (r = 1 s) na jednostkowej powierzchni (A = 1 m2), gdy A T= 1 K.

Wnikanie ciepła w układzie powierzchnia przegrody-płyn może zachodzić na trzy

różne sposoby:

• w zakresie przepływu uwarstwionego - przez przewodzenie,
• w zakresie przepływu burzliwego - przez przewodzenie w warstwie przyściennej

i konwekcę do rdzenia płynu,

• gdy istotny jest również udział promieniowania, całkowity współczynnik wnika

nia ciepła ac obejmuje w zależności od charakteru przepływu płynu albo X!s i tzw.

zastępczy współczynnik wnikania ciepła przez promieniowanie ar albo konwekcyjny

współczynnik wnikania ciepła a i zastępczy współczynnik wnikania ciepła ar. Za

stępczy współczynnik wnikania ciepła ar określa ilość ciepła, jaka jest wymieniana

między powierzchnią przegrody i rdzeniem płynu przez promieniowanie dla r = 1 s,
A = lm2, AT= 1 K.

Współczynnik wnikania ciepła jest funkcją ciśnienia, a także wielu zmiennych za

leżnych od temperatury, takich jak współczynnik przewodzenia ciepła, gęstość, lep

kość oraz ciepło właściwe. Zależy on również od prędkości i charakteru przepływu

płynu oraz od kształtu rozpatrywanej powierzchni wymiany ciepła. Na wartości
współczynników wnikania ciepła wpływają również zmiany stanu skupienia - zjawi

ska towarzyszące wrzeniu cieczy lub skraplaniu pary oraz sposób przejmowania cie

pła, w zależności od tego, czy ruch ciepła jest ustalony, czy nieustalony. Wnikanie

ciepła jest zatem skomplikowanym zjawiskiem związanym bezpośrednio z mechaniką

płynów. Siłą napędową ruchu ciepła jest różnica temperatury AT odpowiadająca gra

dientowi temperatury na drodze przepływu ciepła.

Współczynnik wnikania ciepła może się zmieniać w czasie i wzdłuż opływanej

powierzchni, może się też zmieniać temperatura płynu i powierzchni. Sposoby uśred
niania współczynnika wnikania ciepła i temperatury płynu są umowne. Po uśrednieniu
temperatury płynu i temperatury ścianki wzdłuż powierzchni [1]

A t

do uśrednienia współczynnika wnikania ciepła wzdłuż powierzchni można wykorzy

stać strumienie ciepła obliczone na dwa sposoby i otrzymać równanie

J'a(Tf - T s)dA

______________________

a = - q - = ^----------------

(3.4)

Tf ~ Ts

Gdy zmiany temperatury płynu i powierzchni ścianki wzdłuż drogi przepływu nie

są znane, znana jest natomiast temperatura na wlocie (1) i na wylocie (2) z kanału

przepływowego, stosujemy inne podejście. Strumień ciepła przejmowany przez po
wierzchnię ścianki jest równy zmniejszeniu entalpii płynu o strumieniu masy m :

a(Tf - Ts)dA = - mcpd(Tf - Ts)

(3.5)

Po rozdzieleniu zmiennych całkuje się to równanie w granicach:

dla pola po

wierzchni wymiany ciepła

od 0 do A oraz dla różnicy temperatury (7) - T,)i w prze

kroju wlotowym oraz (7 ) - Ts)2 w przekroju wylotowym kanału. Po wprowadzeniu
średniego współczynnika wnikania ciepła i scałkowaniu otrzymujemy

J a d A - a A - m c n ln— --------

(3.6)

(Tf - T s)2

Po dalszych przekształceniach (podzielenie obu stron równania przez logarytm

stosunku różnic temperatury na końcach wymiennika i pomnożeniu przez te różnice)
otrzymujemy wzór do obliczania strumienia ciepła:

Q = ™ r [ ( T , - T\ - ( Tf - T’ \ ] = s ^ T/

= s a a t -

< 3 j)

W obliczeniach należy zastosować średnią logarytmiczną różnicę temperatury

płynu i powierzchni ścianki na wlocie i wylocie z kanału przepływowego

(3.8)

W zależności od kierunku strumienia ciepła temperatura płynu zmienia się w mia

rę oddalania się od powierzchni ciała stałego. Cząstki płynu stykające się z po
wierzchnią ciała stałego przyjmują jego temperaturę i na powierzchni ciała stałego
wytwarza się tzw. termiczna warstwa przyścienna, poza którą temperatura płynu nie

zmienia się w kierunku prostopadłym do rozpatrywanej powierzchni. Często do okre
ślania współczynnika wnikania ciepła stosuje się średnią arytmetyczną temperatury

płynu i temperatury powierzchni ciała stałego.

Podczas przepływu laminamego przez kanał lub rurę temperatura płynu zmienia

się w całym poprzecznym przekroju kanału i do obliczeń stosuje się wówczas średnią

temperaturę płynu określoną na podstawie obliczonej na dwa sposoby entalpii płynu:

Zaniedbując zmiany właściwości płynu, równanie to można zapisać w postaci:

gdzie V jest objętościowym strumieniem płynu.

Podejście analityczne, prowadzące do wyznaczenia współczynników wnikania

ciepła dla każdego przypadku [5-9], obejmuje poszukiwanie rozkładu temperatury

wpłynie opływającym ciało stałe w celu wyznaczenia gradientu temperatury przy
powierzchni^r/ds)». Współczynnik wnikania ciepła odpowiada stosunkowi gęstości

strumienia cieplnego do różnicy temperatury powierzchni i temperatury płynu (Kem-
błowski, Strumiłło i in.[5]):

Wyznaczanie współczynnika a metodą analityczną jest tak skomplikowane, że

wykonano je w nielicznych przypadkach (rozwiązanie Pohlhausena).

— A

(3.9)

(3.10)

a -

(3.11)

4. Przenikanie ciepła

Przenikanie ciepła jest przekazywaniem ciepła między dwoma płynami rozgrani

czonymi stałą przegrodą - płytą lub ścianką rury. Zachodzi tutaj kolejno wnikanie
ciepła od gorącego płynu do pierwszej ściany, następnie przewodzenie ciepła przez

przegrodę i wnikanie ciepła od drugiej ściany tej przegrody do płynu ogrzewanego.

Przyjmijmy, że ciepło wnika od czynnika A do ścianki płaskiej, następnie zacho

dzi przewodzenie przez ściankę, po czym następuje wnikanie od ścianki do czynni
ka B. Na rysunku 4.1 rozkład temperatury w mediach A i B zilustrowano zgodnie
z teorią termicznej warstwy granicznej. Dla ustalonego ruchu ciepła na wszystkich
etapach ruchu ciepła mamy ten sam strumień ciepła

Rys. 4.1. Rozkład temperatury podczas

przenikania ciepła przez ściankę płaską

(4.1)

skąd otrzymujemy po przekształceniach

a tA

Po zsumowaniu spadków temperatury otrzymujemy

7> 1 - 7> 2 = 7

r \

1 ^

+ — + —

yO,

a 2 j

(4.5)

a stąd strumień cieplny jest opisany równaniem

Q = - ---------- r A(Tn - T f l )=kAAT

(4.6)

— + — + —

A a

przy czym

k = -j---------- p

W/(m • K)

(4.7)

— + — + —

źl

a 2

Wielkość k nazywamy współczynnikiem przenikania ciepła. Równanie (4.6) opi

sujące strumień cieplny jest nazywane równaniem Pecleta dla ściany płaskiej,

a współczynnik przenikania ciepła k współczynnikiem Pecleta.

Ruch ciepła między ścianką a otoczeniem może się odbywać przez wnikanie bądź

promieniowanie (por. rozdz. 3). Aby uwzględnić promieniowanie ciepła, wprowadza

się zazwyczaj zastępczy współczynnik ruchu ciepła przez promieniowanie ar [5], któ

ry definiujemy równaniem

& -2 = < * A (T * -T f )

(4.8)

stąd otrzymujemy

“ - = 7 7 r b r \

(4-9)

Po podstawieniu równania na strumień ciepła przekazanego przez promieniowanie

Q,.2 =C

Ą 0 1.

otrzymujemy ostateczną postać wyrażenia

/ T.,

V10 0 y

Ts 2

\ 100 j

a r

(

T,->

c 0< zv

l i o o j

ą l O O j _

T,y-Tf

(4.10)

(4.11)

Sumarycznie ruch ciepła przez wnikanie i promieniowanie opisujemy równaniem

Q = {ak + ar) Ą A T

(4.12)

gdzie «i jest współczynnikiem wnikania ciepła, ar zaś - zastępczym współczynnikiem

ruchu ciepła przez promieniowanie.

4.1. Opory cieplne wnikania i przenikania ciepła

Rozważmy dla przykładu przypadek wnikania ciepła przy gorącej płycie schła

dzanej powietrzem. Strumień ciepła można łatwo obliczyć z równania Newtona:

Q = a xĄ {Tx- T , x) = a 2Ą { T s2- T 2)

(4.13)

które inaczej możemy zapisać:

(4.14)

W równaniu tym Rt oznacza opór cieplny wnikania po wewnętrznej stronie ściany, R2

zaś opór cieplny wnikania po jej zewnętrznej stronie.

Wykorzystujemy tutaj podobieństwo między równaniami opisującymi ruch ciepła

a równaniem wyrażającym prawo Ohma dla przepływu prądu elektrycznego

/ = —

(4.15)

Spadkowi napięcia AU odpowiada w ruchu ciepła różnica temperatury AT, natężenie

prądu / jest wielkością analogiczną do strumienia cieplnego Q, a oporowi elektrycz

nemu R przypisujemy odpowiednie wielkości oporów cieplnych Rh wynikające z od
powiednich równań ruchu ciepła.

Opory cieplne dla wnikania ciepła zapiszemy zatem wzorami

oraz

* , = — r

(4-16)

a, A,

R>=— r

i4-17)

a 1A1

Po zastosowaniu równań (4.16) i (4.17) do poszczególnych przypadków ruchu

ciepła otrzymujemy równania definiujące opory cieplne:

• opór cieplny przewodzenia dla ścianki płaskiej

r x = - x - = t ~ a

(4 ' 18)

¿ 4

1 opór cieplny wnikania

1 opór cieplny promieniowania

R a - —

(4.19)

a A

^ = — 7

(4-20)

a rA

• opór złożonego ruchu ciepła z wnikania i promieniowania

* “ « = 7 —

' - T l

( 4 2 l )

(«, + a r )A

Po przekształceniu otrzymujemy

’

= ( ą + a r) A = - U - J -

(4-22)

Ra+r

Zależność ta, opisująca związek oporów cieplnych wnikania i promieniowania,

odpowiada zależności obowiązującej w obliczaniu oporów elektrycznych łączonych
równolegle.

• Opór cieplny przenikania opisuje równanie

‘ =T

(423)

Po podstawieniu wyrażenia na współczynnik przenikania ciepła otrzymujemy

R k - R a i + R , + R ai

( 4 -2 4 )

Gdy ruch ciepła między ścianką a otoczeniem odbywa się przez wnikanie i pro

mieniowanie, równanie to zapiszemy w postaci:

Rk ^ R u + R; + Ru

(4.25)

Opór cieplny przenikania jest zatem równy sumie oporów wnikania i przewodze

nia ciepła.

4.2. Przenikanie ciepła przez wielowarstwową ścianę płaską

Rozważmy przypadek przenikania ciepła przez ścianę domu do powietrza atmos

ferycznego na zewnątrz domu. Ruch ciepła od rdzenia strumienia ciepłego powietrza
w pomieszczeniu do wewnętrznej powierzchni ściany domu zachodzi przez wnikanie
przy konwekcji naturalnej, po czym następuje przewodzenie w warstwie przez ścianę
domu oraz przewodzenie ciepła w kolejnych warstwach izolacji, po czym wnikanie do
powietrza w powietrzu na zewnątrz domu przy konwekcji naturalnej. Temperatura
ciepłego powietrza wynosi Tu współczynnik wnikania ciepła a.\, temperatura powie
trza atmosferycznego T2, współczynnik wnikania zaś a2. Rozkład temperatury dla

ustalonego ruchu ciepła przez taką ścianę pokazano na rys. 4.2. Temperaturę na kolej

nych ścianach oznaczono symbolami Tsi.

Rys. 4.2. Rozkład temperatury podczas przenikania ciepła

przez trójwarstwową ściankę płaską

Zanalizujmy przenikanie ciepła jako proces złożony z następujących oddzielnych

etapów: wnikania ciepła wewnątrz pomieszczenia od powietrza o temperaturze T\ do

ściany o temperaturze Tsh przewodzenia ciepła przez kolejne trzy warstwy, a następ

nie wnikanie ciepła do powietrza atmosferycznego o temperaturze T2. Otrzymamy

układ trzech równań:

Q = a A(T - Tsl)

(4.26)

Q = T

- T

( ” + 1 )

(4 27)

W naszym przykładzie n = 3:

Q = «

a (T

s ( n + 1 )

- T

)

(4.28)

Jeżeli układ równań przekształcimy w ten sposób, że po lewej stronie będą tylko

różnice temperatury, a następnie dodamy stronami, to otrzymamy:

T - T

= Q ' 1

■

+ R

a 1 A

a 2 A

(4.29)

W nawiasie mamy sumę trzech wyrazów, z których Rx jest oporem cieplnym przewo

dzenia przez ścianę wielowarstwową. Podobnie pozostałe wyrazy nazywamy oporami
cieplnymi wnikania Rai i R^, a całe wyrażenie w nawiasie jest oporem sumarycznym,

Rk = Ra

+ Rj + Ra

(4.30)

Po wprowadzeniu tego wyrażenia do wzoru (4.29) i przekształceniu otrzymujemy

równanie na strumień cieplny, zwane równaniem Pecleta

(4.31)

Równanie to można też zapisać w podstawowej postaci:

Q = kA(T - T

)

(4.32)

gdzie k jest współczynnikiem przenikania ciepła dla wielowarstwowej ściany płaskiej,

zwanym również współczynnikiem Pecleta. Współczynnik ten oblicza się ze wzoru

kA = — =------------ 1------------

(4.33)

^ s,

—

“ ^ + —

a A “ 1 Aj A a 2 A

4.3. Przenikanie ciepła przez przegrodę rurową

Rozważmy przenikanie ciepła podczas przepływu gorącej wody wewnątrz rury.

Ruch ciepła od rdzenia strumienia gorącej wody do wewnętrznej powierzchni rury za-

enie w

rstwach izolacji,

wreszcie przez wnikanie do powietrza w hali fabrycznej przy konwekcji naturalnej.

Temperatura gorącej wody wynosi 7j, a współczynnik wnikania ciepła etą, temperatu

ra powietrza T2, współczynnik wnikania zaś a2.

Rys. 4.3. Rozkład temperatury podczas przenikania ciepła

przez trój warstwową ścian kę rurową

Rozkład temperatury dla ustalonego ruchu ciepła przez taką ścianę rurową poka

zano na rys. 4.3. Temperaturę na kolejnych ścianach rurowych oznaczono symbolami

T&. Zanalizujmy przenikanie ciepła jako proces złożony z oddzielnych etapów: wni

kania ciepła wewnątrz rury, przewodzenia ciepła przez kolejne warstwy, a następnie
wnikanie ciepła. Otrzymamy układ trzech równań:

(> = « ,4 ( 7 ;

) = a ]%dwL(T] - T s])

(4.34)

Q ^ n L Tsi ~ Ts(n+r>

(4.35)

R j . r

Q - a 2Az (4(«+i) - T 2) = a 2ndzL(Ts{n+1) - T 2)

(4.36)

Podobnie jak poprzednio po przekształceniu tego układu otrzymujemy:

— - — = 7 j - r ęl

(4.37)

a x ndw L

Ą -R xr =TsX- T s^

(4.38)

= Ts(B+1) - T2

(4.39)

2ndzL

Po dodaniu stronami i wyciągnięciu przed nawias wyrazu Q /(nL) otrzymujemy

Q ( ~ V +

+ —^ - ) = T - T

(4.40)

1 aw

2 d

W nawiasie poza oporem przewodzenia ciepła R& mamy opory wnikania opisane

wzorami

Rarr

= ~ ^ ~

(4.41)

a dw

Rar

a2 dz

(4.42)

Przyjąwszy, że suma tych trzech oporów jest oporem przenikania ciepła przez ścianę

Rkr = Rar1 ± RXr ± Rar2 .

(4.43)

zwany równa

niem Pecleta dla tej przegrody

Q = ^L TTR T^

(4.44)

Rkr

współczynnikiem Pecleta dla przegrody rurowej lub liniowym współczynnikiem prze
nikania ciepła [2]

k = - L = -------------- L

(4 4 5 )

Rkr

ln di±L

—

± X —

± —

a 1dw

i=1 2^i

a 2 dz

otrzymujemy następującą postać równania Pecleta

Q = k r L T - T2)

(4.46)

Wyprowadzone równanie stanowi wzór na strumień ciepła przenikający przez

zwany równaniem Pecleta dla tej przegrody.

4.4. Analiza oporu cieplnego pierścieniowej warstwy izolacji

R urociągi często pokryw a się w arstw ą izolacji, tzn. m ateriału o m ałym w spół

czynniku przew odzenia ciepła. D ziałanie to m a n a celu zw iększenie oporu przenikania

ciepła p rzez ściankę rurociągu (rys. 4.4).

Rys. 4.4. Opory cieplne w ściance cylindrycznej

Straty ciepła od rury izolow anej do otoczenia opiszem y rów naniem

^T 2 )

7t( I\r2 ^T2 )

— In

+ ------

2Á.

c/,-.-.-.

a^d^

Rt,

(4.47)

Rys. 4.5. Krytyczna średnica rury: a) d < dkr, b) d > dkl.

O pór cieplny jednow arstw ow ej w arstw y izolacyjnej rurow ej (rys. 4.4) opisuje

rów nanie

ln-

Rkr — '

dść 2

a^d^

( 4 .4 8 )

Zależy on od średnicy zewnętrznej warstwy izolacji d2. jeśli przyjmiemy stałe warto

ści różnicy temperatury, średnicy wewnętrznej rury d\, współczynników wnikania

ciepła

«1

i a2 oraz współczynnika przewodzenia ciepła X. Ze zwiększeniem zewnętrz

nej średnicy przegrody izolacyjnej d2 rośnie wyraz środkowy równania (4.48), maleje
zaś wartość ostatniego wyrazu. Dla określonej różnicy temperatury strumień ciepła
będzie maksymalny, gdy uzyskamy minimalny opór cieplny. W celu określenia warto

ści średnicy di, dla jakiej wystąpi minimalny opór cieplny, należy rozwiązać równanie
uzyskane po zróżniczkowaniu funkcji Rkr względem d2 i przyrównaniu pochodnej do

zera:

Jest to wzór określający tzw. średnicę krytyczną warstwy izolacyjnej.
Współczynnik wnikania ciepła a2 jest całkowitym współczynnikiem wnikania,

obejmującym zarówno konwekcyjny współczynnik wnikania ciepła a, jak i współ
czynnik wnikania ciepła równoważny promieniowaniu ar.

Aby stwierdzić, czy funkcja opisująca opór cieplny (równanie (4.48)) ma mini

mum czy maksimum, należy zbadać jej drugą pochodną

Druga pochodna funkcji opisującej opór cieplny jest zawsze dodatnia, bo współ

czynnik X jest dodatni. Wynika stąd, że dla średnicy krytycznej określonej równaniem
(4.51) straty ciepła są maksymalne. Ponieważ średnica krytyczna zależy jedynie od
wartości współczynników a2 i X, więc w przypadku małej wartości średnicy rury lub
drutu (rys. 4.5a) jest ona mniejsza od wartości krytycznej. Wówczas pokrywanie
przewodu izolacją powoduje zwiększenie strat ciepła aż do osiągnięcia przez ze

d { R k r )

d ( d 2)

Po wykonaniu tego działania:

d ( R,-,)

1 1

(4.49)

(4.50)

i rozwiązaniu równania ze względu na di otrzymujemy

(4.51)

d 2 ( Rkr)

(4.52)

d (d 2 f

2 Xd2'

Po podstawieniu wzoru (4.51) za d2 otrzymujemy

d 1 (Rkr)

a 2

l a l

(4.53)

d ( d 2 f

8A3

wnętrzną średnicę warstwy di średnicy krytycznej

, - .

Dalszy wzrost grubości izolacji

spowoduje zmniejszanie strat ciepła, ale aż do punktu C (rys.4.5a) są one wieksze niż
straty ciepła dla rury bez izolacji. Dopiero po nałożeniu na rurę izolacji o grubości

{ d - dni)/2 i osiągnięciu przez średnicę zewnętrzną izolacji wartości większych od d ,

straty ciepła będą mniejsze niż dla rury nieizolowanej.

W przypadku rur o dużej średnicy (rys 4.5b), dla których średnica zewnętrzna dm

jest większa od średnicy krytycznej dtr, zwiększenie grubości izolacji zawsze

powoduje zmniejszenie strat ciepła. Dzieje się tak z reguły w sieciach cieplnych.

Nakładanie warstwy izolacyjnej obniża straty ciepła, a więc i obniża koszty jed

nostkowe ciepła, jednakże powoduje to zwiększenie kosztów inwestycyjnych. Wy

znaczenie ekonomicznej grubości warstwy izolacji wymaga rozważenia rodzaju izola
cji w zależności od temperatury powierzchni ściany izolowanej jak i sumarycznych
kosztów związanych z zastosowaniem danej izolacji. Ekonomiczną grubość izolacji se

należy wyznaczyć w ten sposób, aby uzyskać minimum sumarycznych kosztów ciepła

i kosztów inwestycyjnych. Zagadnienia te są przedmiotem rozważań w następnych

rozdziałach (rozdz. 5).

5. Izolacja cieplna

5.1. Rodzaje izolacji cieplnej

Zmniejszenie strat ciepła od aparatury do otoczenia możemy uzyskać przez zastoso

wanie warstwy materiału o małym współczynniku przewodzenia ciepła. Są to materiały

stałe, których współczynniki przewodzenia ciepła są mniejsze od 0,15

W/(m-K)

(por.

rozdz. 2.3.2), na ogół porowate, włókniste lub ziarniste, których pory są wypełnione po
wietrzem lub gazem o współczynniku przewodzenia ciepła znacznie mniejszym niż dla

ciała stałego. Efektywne współczynniki przewodzenia ciepła takich materiałów są więc
dostatecznie małe, co zapewnia ich przydatność do wykonania warstwy izolacyjnej.

5.2. Charakterystyka materiałów izolacyjnych

Rodzaj materiału izolacyjnego jest uwarunkowany najczęściej temperaturą izolowanej

powierzchni aparatu. W zakresie niskiej temperatury, tj. równej lub mniejszej od tempera
tury powietrza atmosferycznego, stosuje się masę korkową, wytwarzaną przez zmieszanie

zmielonego korka z odpowiednim lepiszczem. Może ona być użyta w postaci odpowiednio

wyprofilowanych kształtek lub w postaci granulatu. Powszechnie stosowanym materiałem

izolacyjnym jest również wata szklana. W praktyce przemysłowej używa się również weł

ny, filcu itp. Górną granicą stosowania tych materiałów jest temperatura zwęglenia, z regu
ły około 100 °C [3]. W zakresie wyższej temperatury poza watą szklaną używa się wełny

żużlowej, okrzemek, masy magnezjowej, azbestu oraz ich mieszanek. Dopuszczalna tem

peratura dla tych materiałów wynosi 600 °C. Izolację odporną na wysoką temperaturę (od

600 do 800 °C) wykonuje się z wypalonej okrzemki, względnie może być tutaj wykorzy
stany żużel wielkopiecowy.

Do podstawowych warunków prawidłowego funkcjonowania izolacji należą: ści

słe dopasowanie warstwy izolacji do ściany aparatu oraz szczelność przed wpływem

atmosfery, zwłaszcza zawilgocenia. W przypadku izolacji pracującej w niskiej tempe

raturze temperatura zewnętrznej powierzchni warstwy powinna być wyższa od tempe
ratury punktu rosy powietrza atmosferycznego, aby uniknąć wykraplania się pary
wodnej.

5.3. Ekonomiczna grubość warstwy izolacji

Nałożenie warstwy izolacyjnej zmniejsza straty ciepła, a więc i obniża koszty

jednostkowe ciepła, jednak powoduje zwiększenie kosztów inwestycyjnych. Ekono

miczną grubość izolacji se należy tak wyznaczyć, aby uzyskać minimum sumarycz
nych kosztów ruchowych (tj. ciepła) i kosztów inwestycyjnych. Koszty inwestycyjne

zależą od ceny izolacji, kosztów robocizny na jej ułożenie oraz czasu ich eksploatacji.

Zarówno koszty ruchowe Kr, jak i koszty inwestycyjne K na ogół są liczone w odnie

sieniu do jednego metra bieżącego rurociągu. Roczne koszty inwestycyjne oblicza się

z równania

K, ^ — AV

(5.1)

w którym: ze - czas eksploatacji w latach, A - cena 1 m3 izolacji wraz z ułożeniem na
powierzchni, V - objętość izolacji odniesiona do jednego metra bieżącego rurociągu.

Objętość izolacji może być obliczona z zależności

V = —

(^i + 2s2) ^ d 2

= 7t(i22 + ^ li2)

(5-2)

Koszty ruchowe, tj. koszty ciepła, można obliczać wg zależności

Kr =CQ'r

(5.3)

gdzie C - cena jednostkowa energii cieplnej, zł/J, r - czas pracy rurociągu w ciągu

roku, s/rok, ()' - straty ciepła, W/m.

Straty ciepła Qr można obliczać na podstawie szczegółowych analiz lub z rów

nania

Q' = bck'(Tw - T z )

(5.4)

w którym

k ' — %kr

(5.5)

W równaniach tych b oznacza bezwymiarowy współczynnik uwzględniający wpływ

różnicy temperatury płynu i otoczenia, c - bezwymiarowy współczynnik uwzględnia

jący wpływ prędkości wiatru, k' - współczynnik przenikania ciepła odniesiony do

jed n eg o m etra bieżącego rurociągu. D ane te m ożna odczytać z tabeli 29 w m onografii

H oblera [4],

E konom iczną grubość izolacji sc należy w yznaczyć w taki sposób, aby uzyskać

m inim um sum arycznych kosztów ciepła i kosztów inw estycyjnych. M ożna to w yko

nać m eto d ą graficzną, przedstaw iając zależność kosztów od grubości w arstw y izola

cyjnej (rys. 5.1).

Rys. 5.1. Ekonomiczna grubość warstwy izolacji sy: a) niskie jednostkow e koszty ciepła, b) wysokie

jednostkow e koszty ciepła; A' - koszty sumaryczne, A, - koszty inwestycyjne, Kr - koszty ruchowe

M ożliw e są dw a w arianty; Gdy a) koszty jedn ostk ow e energii cieplnej są niskie i

ekonom iczna grubość izolacji je s t m ala oraz gdy b) koszty energii są w ysokie i gru

bość izolacji znacznie większa.

Tabela 5.1. Ekonomiczna grubość warstwy izolacji według Gerbela i Cammerera (w mm) |2 |

Obiekt

Temperatura pary (°C)

100

200

350

Gerbel

Camm erer

Gerbel

Cammerer

Gerbel

Cammerer

Rura <|) 25

Rura <|) 100

105

Rura <|) 400

106

157

Ściana plaska

153

100

242

120

W artości ekonom icznej grubości izolacji obliczone przez G erbela i C am m erera

[2] dla izolacji o X = 0,0945 W /(m-K), czasie eksploatacji 8000 h/rok, kosztach inw e

stycyjnych 20% i przeciętnej cenie w ytw arzania pary zestaw iono w tabeli 5.1.

Przewodzenie ciepła

w warunkach nieustalonych

Zagadnienie przewodzenia ciepła w warunkach nieustalonych ma duże znaczenie

praktyczne w wielu procesach przemysłowych, takich jak np. ogrzewanie lub chło
dzenie materiałów, obróbka cieplna metali, procesy dochodzenia do równowagi ter
micznej aparatów i instalacji. Inną grupę takich procesów stanowią procesy ogrzewa
nia i chłodzenia materiałów w różnego rodzaju aparatach, np. w rekuperatorach,

suszarkach, adsorberach lub reaktorach.

W tych trzech ostatnich urządzeniach, ruch ciepła jest sprzężony z transportem

masy wewnątrz materiału, a niekiedy i z reakcją chemiczną.

6.1. Różniczkowe równanie przewodzenia ciepła

W wielu procesach temperatura ciała zmienia się w czasie i w przestrzeni. Do

rozważań przyjmuje się ograniczone odcinki czasu oraz elementarną objętość ciała.
Otrzymana w ten sposób zależność jest ogólnym równaniem różniczkowym procesu.

W celu wyprowadzenia równania różniczkowego przewodzenia ciepła należy

przyjąć następujące założenia:

• ciało jest homogeniczne,
• parametry fizyczne ciała są stałe,
• odkształcenie rozpatrywanej objętości ciała spowodowane przez zmiany tempe

ratury jest bardzo znikome,

• makroskopowe cząstki ciała są nieruchome,
• wewnętrzne źródła ciepła są rozmieszczone w ciele równomiernie.

Przyjmijmy do analizy prostopadłościan, którego krawędzie są skierowane

równolegle do osi układu współrzędnych i mają długości dx, dy, dz (rys. 6.1).

Temperatura rozpatrywanego prostopadłościanu w danej chwili wynosi T i może

zmieniać się w czasie.

i (rJtd

±\

Rys. 6.1. Nieustalone przewodzenie ciepła w elemencie w kształcie prostopadłościanu

W celu otrzymania równania przewodzenia ciepła należy ułożyć bilans energe

tyczny prostopadłościanu [5]. Oznaczmy przez dQx, dQy, dQz ilość ciepła dostarczoną

do płaszczyzn prostopadłościanu odległych o x, y i z od osi współrzędnych w czasie

dr w kierunku osi 0x, Oy i Oz (rys.6.1). Ilość ciepła odprowadzoną z powierzchni pro

stopadłościanu odległych od osi układu o x + dx, y + dy oraz z + dz w tym samym
czasie i w tych samych kierunkach oznaczymy przez dQx dx, dQy dy, dQz dz- Ilość cie

pła, jakie dopływa do powierzchni dydz w kierunku osi 0x w czasie dr jest określona
równaniem

Przez powierzchnię odległą od osi y i długości x + dx odpływa w tym samym kie

runku w czasie d r ilość ciepła

Różnica między ilością ciepła dopływającego i odpływającego z prostopadłościa

nu w kierunku osi x w czasie d r jest określona równaniem

Podobnie można wyprowadzić równanie opisujące różnice między ilością ciepła

doprowadzanego i odprowadzanego z prostopadłościanu w pozostałych kierunkach
dOy\ i dQz[.

Sumaryczną ilość ciepła dostarczoną do prostopadłościanu przez przewodzenie

opisuje równanie

dQx - qx dydzd z

(6 .1)

(

)

dOx\ = d(Qx - dQx+dx = qx dydzd r

(6.3)

dQi “ (W.i +dQy] + d(J i -■

dqx

dqy dqz

dxdydzdr

(6.4)

Oznaczmy przez dQ2 ilość ciepła wytworzonego wewnątrz tego elementu w cza

sie dr przez wewnętrzne źródło ciepła. Przyjmując za wydajność wewnętrznych źró
deł ciepła qv (W/m3), otrzymamy równanie:

dQ2 ~ q vdVdr

(6.5)

Następnie przyjmiemy, że zmianę energii wewnętrznej ciała o objętości dV w czasie
i/ropisuje równanie

d Q ^ c pp — dVdr

(

)

Korzystając z prawa zachowania energii, według którego ilość energii dostarczona

do elementarnej objętości przez przewodzenie z zewnątrz i z wewnętrznych źródeł cie

pła w czasie dr jest równa zmianie energii wewnętrznej materiału - zgodnie z 1 zasadą
termodynamiki otrzymujemy:

dQt +dQ2 - d Q

(6.7)

Po podstawieniu odpowiednich równań i po przekształceniach otrzymujemy koń

cową postać równania różniczkowego przewodzenia ciepła

zapisywaną również w postaci

cPP

Sqx

dqy

dqz

cpp ^ - divq +q,

cPP

(

)

(6.9)

Wektor gęstości strumienia cieplnego q jest normalny do powierzchni izotermicznej

i jest dodatni w kierunku malejących temperatur. Tak więc wektory q i gradT mają ten

sam kierunek i przeciwny zwrot.

W prostokątnym układzie współrzędnych wektor q ma trzy składowe: qA. q,. qr,

które możemy zapisać za pomocą następujących równań:

. ST

.S T

q x = - x — ,

ą y = - x — ,

ą z = - x —

Po podstawieniu równania (6.10) do równania (6.8) otrzymujemy

c Pp-~

A K ®

dx v dx

Sy^ dy

. A K ®

d z \ dz

(6 . 10)

(6.11)

Jest to ogólne równanie przewodzenia ciepła w ciele izotropowym z uwzględnie

niem wewnętrznych źródeł ciepła. Równanie to jest nieliniowe, ponieważ współczyn
nik przewodzenia ciepła X jest funkcją temperatury i jego rozwiązanie jest kłopotliwe.

Po przyjęciu stałej wartości współczynnika przewodzenia ciepła równanie (6.11)

można zapisać w następującej postaci:

gdzie V2T - operator Laplace’a. Operator ten we współrzędnych kartezjańskich zapi
sujemy w postaci

Równania (6.12) w uproszczonej postaci są znane w literaturze jako równanie

Fouriera (bez wewnętrznych źródeł ciepła)

równanie Laplace’a (w warunkach ustalonych i bez wewnętrznych źródeł ciepła)

Wyrażenie X!{cpp) o wymiarze (m2/s) jest oznaczane symbolem a i nazywane dy-

fuzyjnością cieplną. Parametr ten, określany również jako współczynnik przewodze
nia temperatury, jest miarą bezwładności cieplnej ciała przewodzącego ciepło. Metale
mają np. duże wartości współczynnika a i temperatura wewnątrz nich szybko się wy
równuje.

Różniczkowe równanie przewodzenia ciepła (6.12) jest zapisywane we współ

rzędnych walcowych lub sferycznych w odniesieniu do ciał o kształcie walcowym lub
kulistym. Operator Laplace’a zapisujemy odpowiednio do przyjętego układu współ
rzędnych:

• dla współrzędnych walcowych (jc = rcosę, y = rsmę, z = z)

£ 1 = ^ _ V 2T + —

(6. 12)

c p p

V T =

(6.13)

(Y '

d z 2

(6.14)

równanie Poissona (w warunkach ustalonych)

V2T + — = 0

(6.15)

(6.16)

(6.17)

gdzie r jest promieniem, ę -kątem biegunowym,

• dla współrzędnych sferycznych:

V2T=-

2 ST

(1 —

cos2 0 )

5 2T

(6.18)

S(cos6>) r 2 (1 -c o s 2 0 ) dy/2

gdzie 0 je st odległością biegunową, y/zaś azymutem.

6.2. Warunki jednoznaczności przewodzenia ciepła

Ogólne równanie różniczkowe przewodzenia ciepła opisuje wszystkie możliwe

procesy. Aby podać pełny opis matematyczny określonego procesu, konieczne jest

określenie dodatkowych warunków, tzw. warunków jednoznaczność i. Należą do nich:

1. Warunki geometryczne, charakteryzujące kształt i wymiary ciała, w którym za

chodzi proces przewodzenia ciepła.

2. Warunki fizyczne, tzn. właściwości fizyczne ciała, takie jak przewodnictwo

cieplne, ciepło właściwe, gęstość. Warunki te mogą być wyrażone przez przyjęcie

rozkładu wewnętrznych źródeł ciepła i ich wydajności.

3. Warunki czasowe, które opisują rozkład temperatury w ciele w początkowym

momencie. W ogólnym przypadku dla r = 0

Gdy rozkład temperatury w początkowym momencie jest równomierny, dla r = 0

mamy:

Warunki brzegowe opisujące współdziałanie rozpatrywanego ciała z otocze

niem. Dzielą się one na cztery rodzaje:

• Warunki brzegowe pierwszego rodzaju (Dirichleta): rozkład temperatury na po

wierzchni ciała dla każdego momentu

gdzie: Ts - temperatura powierzchni, x , y , z - współrzędne; w szczególnym przypadku,
gdy temperatura powierzchni pozostaje stała podczas całego procesu ruchu ciepła,

równanie (6.21) upraszcza się do postaci

T = f ( x , y , z )

(6.19)

r = r 0 = const

(

)

Ts = f ( x , y , z , r )

(6.21)

Ts - const

(6.22)

• Warunki brzegowe drugiego rodzaju

(Neumanna);

gęstość strumienia cieplnego

w każdym punkcie powierzchni ciała i dla dowolnego czasu jest znana

w szczególnym przypadku gęstość strumienia cieplnego na powierzchni może być

stała w czasie i wówczas

• Warunki brzegowe trzeciego rodzaju (Fouriera); znana jest temperatura otaczają

cego ośrodka oraz zależność, która opisuje wymianę ciepła między ciałem przewo
dzącym ciepło a tym ośrodkiem; wymiana ciepła odbywa się najczęściej na zasadzie

wnikania, promieniowania lub na oba sposoby; proces taki opisuje równanie Newto
na, zgodnie z którym ilość ciepła usunięta z jednostkowej powierzchni ciała w jed
nostkowym czasie jest proporcjonalna do różnicy między temperaturą powierzchni

ciała Ts i temperaturą otoczenia 7)

Ponieważ ta sama ilość ciepła jest przekazywana przez przewodzenie na granicy

ciała, więc zachodzi równość

gdzie: n - normalna do powierzchni ciała, indeks s wskazuje, że temperatura i gra

dient temperatury odnoszą się do powierzchni.

Warunek brzegowy trzeciego rodzaju można zapisać w postaci

• Warunki brzegowe czwartego rodzaju; wymiana ciepła z otoczeniem zachodzi

przez przewodzenie w warunkach doskonałego kontaktu ciał; strumienie cieplne na
powierzchni odgraniczającej ciało i otoczenie są więc jednakowe

(6.23)

qs - q0 =const

(6.24)

q = a(Ts —Tf )

(6.25)

(6.26)

(6.27)

(6.28)

Ogólne równanie różniczkowe wraz z warunkami jednoznaczności daje pełny

opis matematyczny określonego przypadku przewodzenia ciepła. Rozwiązanie takiego

równania można uzyskać analitycznie lub numerycznie.

6.3. Analiza przewodzenia ciepła

w warunkach nieustalonych

6.3.1. Wprowadzenie

Przewodzenie ciepła w warunkach nieustalonych należy analizować w odniesie

niu do danego zagadnienia. Uwzględnia się kształt ciała i przyjmuje określone warun

ki brzegowe (por. rozdz. (6.2)).

Po przyjęciu stałej wartości współczynnika przewodzenia ciepła X w razie braku

wewnętrznych źródeł ciepła równanie różniczkowe przewodzenia ciepła we współ
rzędnych kartezjańskich przyjmuje postać

— - a

f d 2 T

ć)~T

yd x 2

d y 2

d z 2 j

(6.29)

Jest to równanie różniczkowe o pochodnych cząstkowych. Do jego rozwiązania

konieczne jest podanie warunków jednoznaczności, charakterystycznych dla rozpa

trywanego przypadku.

6.3.2. Chłodzenie lub ogrzewanie płyty płaskiej

Aby był spełniony warunek, że przewodzenie ciepła zależy tylko od jednej zmien

nej przestrzennej, należy dobrać odpowiednią konfigurację geometryczną. Roz
patrujemy więc przewodzenie w płycie płaskiej, mającej skończoną grubość w kie
runku jednej osi, np.

, rozciągającej się do nieskończoności w dwóch pozostałych

kierunkach. Efekty brzegowe mogą być wówczas pominięte.

Tó

Rys. 6.2. Warunki temperaturowe dla nieskończenie długiej płyty płaskiej

Przyjmujemy też, że grubość rozpatrywanej chłodzonej płyty wynosi 2 8 (rys. 6.2).

W początkowym momencie r = 0 rozkład temperatury w płycie równomierny, a więc
T = T0 = const. Temperatura otoczenia wynosi Tf. Ciepło jest usuwane z obu po

wierzchni płyty, a współczynniki wnikania ciepła po każdej stronie płyty są jednako
we i stałe w całym procesie.

Wprowadźmy pojęcie nadmiaru temperatury 3, zdefiniowanego jako różnica tem

peratury ciała i temperatury otoczenia

3= T - Tf

Dla jednokierunkowego ruchu ciepła w kierunku osi 0x równanie (6.29) można

sprowadzić do postaci

5 9

^ 9

— = a — —

(6.30)

d r

Warunki początkowe dla r= 0:

3 = T 0- T f = 3 0

(6.31)

Warunki brzegowe zaś dla przypadku przedstawionego na rys. 6.2 mogą być zapi

sane następująco:

• w osi płyty, gdy x = 0

— 1

= 0

(6.32a)

5 x ) x=o

1 na powierzchni płyty, gdy x = 8

^ f ]

=— 9 ^

(6.32b)

5 x ) x=g

Równanie różniczkowe (6.30) rozwiązuje się metodą Fouriera. Najpierw poszuku

jemy rozwiązań szczególnych danego równania w postaci iloczynu funkcji, z których

każda zależy od jednej zmiennej, a następnie na podstawie danych warunków brzego
wych określa się wartości stałych występujących w rozwiązaniach szczególnych. Uzy

skane rozwiązanie ma postać albo szeregu utworzonego ze znalezionych rozwiązań
szczególnych, albo całki niewłaściwej o nieustalonych granicach całkowania.

6.3.2.1. Rozwiązanie analityczne równania różniczkowego przewodzenia ciepła

Rozpatrywany problem jest sformułowany przez równanie różniczkowe (6.30),

warunki początkowe (6.31) i warunki brzegowe (6.32a i b). Poszukiwane rozwiązanie
ma postać iloczynu dwóch funkcji, z których jedna jest funkcją czasu r, druga zaś
odległości x

3 - 3(r,x) - ę{r)i//{x)

(6.33)

Po podstawieniu funkcji (6.33) do równania (6.30) otrzymujemy nową postać

równania różniczkowego

— — y/{x) - a----- — ę{r)

(6.34)

Po rozdzieleniu zmiennych otrzymujemy równanie

(635,

<p{r)

y/(x)

w którym lewa strona jest funkcją czasu, prawa zaś funkcją odległości

Ponieważ równanie (6.35) musi być spełnione dla dowolnych wartości

r ,

obie

jego strony musza być równe tej samej stałej, którą zapiszemy jako -k 2:

( 6 3 6 )

a <p(T)

( *)

Kolejne równania różniczkowe przyjmą wówczas postać:

ę \ v )

+ ak

~ 0

(6.37)

+ k

^ 0

(6.38)

ę>(r)

¥ " { x )

y/{x)

Stałą k wyznacza się z warunków brzegowych, znak minus natomiast musi być przyję

ty dla procesów ruchu ciepła zmierzających do równowagi cieplnej.

Rozwiązaniem równania (6.37) jest funkcja <p(r) - Qe~ak T, rozwiązaniem

równania (6.38) natomiast jest funkcja typu y/{x) = C

sm{kx) + C

cos(kx).

Po podstawieniu funkcji <p(r) i y/{x) do równania wyjściowego (6.33) otrzymu

jemy nowe równanie

& - [C2 sin(&r) + C3 cosifaiOjCie^ r

(6.39)

Równanie (6.39) spełnia równanie (6.30) dla każdej wartości stałych Ci, C2, C

i k. Stałe te należy wyznaczyć z warunków początkowych i brzegowych.

Rozważmy warunek brzegowy (6.32a): dla v = 0, (d3/dx)x = o= 0. Po zróżniczko

waniu równania (6.39) otrzymamy

—

-C }erak zk\CiCO${fa')-C

sin(fcc)l n =0

ÄA=o

lub

C2 cos(0) = C3sin(0),

C2 = 0

Oznacza to, że rozwiązanie yĄx) = C

sin(

) musi być odrzucone ze względu na

niespełnienie warunków brzegowych.

Mając na uwadze, że C

= 0 oraz oznaczając C

= A, równanie (6.39) możemy

przekształcić do postaci

3 ^ A e ~ ak

l cos(kx)

(6.40)

Rozpatrzmy następnie warunek brzegowy (6.32b):

Jx=s

V 4-

Jx=s

Po obliczeniu pochodnej {d&ldx) z równania (6.40) i podstawieniu do wyrażenia

na warunek brzegowy otrzymujemy

k. tc ,,k': sin{ k S ) ^ - A Q - ak2z cos(M )

(6.41)

a stąd

kfi

ctg ( k S ) = —

(6.4 la)

~ T

Po wprowadzeniu liczby Biota

B i = —

(6.42)

oraz wyrażenia kS= /¿równanie (6.4la) uprości się do postaci

ctgfi = —

(6.43)

Dla każdej wartości liczby Biota istnieje nieskończenie wiele rozwiązań. Po pod

stawieniu ctgfi = y] oraz fjJBi = y

otrzymamy wartości pierwiastków równania (6.43)

(rys. 6.3). Jak wynika z wykresu 6.3, istnieje nieskończona liczba rozwiązań dla /jn,
a każda kolejna wartość jest większa od poprzedniej

M \ < M 2 < M 3 < • • • • < Mn

Każdej wartości liczby Biota odpowiadają określone pierwiastki równania (6.43).

Dla Bi =

linia y

= fjJBi pokrywa się z osią/i, w związku z czym pierwiastki są miej

scami zerowymi funkcji ctgfi

= ~ ,

Bi = ~ x ,

••••

i«« = ( 2 « - l ) -

Dla Bi = O (prostay

= fjJBi pokrywa się z o siąj) pierwiastki równania (6.43) są

następujące: a = 0, a = n, a =

/jn = { n - 1 )n, gdzie n = 1, 2, 3,... . Dla innych

wartości liczby Biota wartości a są pośrednie. Dla każdego pierwiastka

j u j ,

> . . . ,

A ,

otrzymujemy odpowiednią postać funkcji (6.40)

&\ - Ą cos|

— |exp

(6.44)

Z zależności tej wynika, że funkcje Ą, A, .$*

, ..., i9„ są liniowo niezależne

i rozwiązanie ogólne równania pierwotnego należy przedstawić w postaci szeregu

nieskończonego

& = ^ 4 , cos( a - |je x p ^ A 7 p -

(6.45)

Stałe Aj, A2, ..., A„ wyznaczamy z warunku początkowego (6.31); dla r = 0, 3 = $j,

więc

= F (x ) = ^

j cos( Aj —

(6.46)

Stalą A„ wyznaczamy jako całkę:

4, =■

J ( A

+ s i n A

c o s

)

F (x )c o s| A

^ 1 ^

(6.47)

An jest zatem funkcją wyłącznie pierwiastków równania (6.43) i początkowego roz

kładu temperatury F(x).

Po podstawieniu wyrażenia na stałą A„ (6.47) do równania (6.45) otrzymamy osta

teczną postać funkcji określającej pole temperatury w chłodzonej płycie jednorodnej:

( j u n + s i n / ^ C O S JUn )

- J e x p ^ Ar -

J F ( x ) c o s ^ „ ^jdx

(6.48)

xcos| jun —

|exp|

-jun

Jeżeli w początkowym momencie procesu ( r = 0) profil temperatury w płycie jest
płaski (jak na rys. 6.2), tzn. T

- T f = 3 = const, to całka w równaniu (6.47) jest równa

(Ą18//jn)s'm/jn i równanie (6.47) przyjmuje postać

^ = ^

I s r n j ^

(6 49)

Mn + sm M„c°$M„

Po podstawieniu tego równania do równania (6.48) otrzymamy inną postać funk

cji opisującej pole temperatury w chłodzonej (lub ogrzewanej) płycie

& = J

3o2sm/j„

^ l e x p f -pin

(6.50)

^ /i„ + s m /i„ c o s /i„

S )

~ )

Równanie to wygodniej jest analizować w postaci bezwymiarowej. Po wprowa

dzeniu zmiennych bezwymiarowych: temperatury bezwymiarowej Y = 3/Ą, współ
rzędnej bezwymiarowej X = x

oraz bezwymiarowej liczby Fouriera Fo = az/S

otrzymamy ostateczną, bezwymiarową postać równania

r = V

2 Sm

cos(/i„X)exp(^/i„2Fo)

(6.51)

^ Mn + sm Mn

C O S

6.3.2.2. Omówienie rozwiązania równania różniczkowego

przewodzenia ciepła w nieskończonej płycie płaskiej

Ponieważ szereg opisany równaniem (6.51) jest szybko zbieżny dla liczby Fourie

ra Fo > 0,3, więc równanie to z dostateczną dokładnością możemy przybliżyć za po
mocą pierwszego wyrazu szeregu (« = 1), uzyskując uproszczoną postać równania
bezwym ¡arowego

Y - £>! cos(//lX )e x p (-//l2Fo)

(6.52)

gdzie

A =

M\ + sm M\ cosM\

2 ^ ,

( ^

Ponieważ wielkości ¡

zależą od liczby bezwymiarowej Biota, więc I)¡ jest rów

nież funkcją liczby Biota i jej wartości mogą być stabelaryzowane.

Rozpatrując graniczne przypadki w osi płyty, gdy X = x/d = 0 oraz cos(/ąO) = 1

i na powierzchni płyty, gdy X = x/d= 1 oraz cos(/ą 1) = cos/ą, oraz oznaczając iloczyn

Z)]cos(0) w osi płyty jako funkcję N(Bi), otrzymamy

Yx=(j - N(Bi)exp(-/u

Fó)

(6.54)

Jeżeli natomiast przyjmiemy, że na powierzchni płyty iloczyn A cos(/ą) jest funkcją

P( Bi), to otrzymamy

Yx=x=P(Bi)exp(-n?Fo)

(6.55)

Z równań tych wynika, że temperatura bezwymiarowa Y jest funkcją dwu liczb bez
wymiarowych: liczby Biota i liczby Fouriera. Po zlogarytmowaniu równań (6.54)

i (6.55) otrzymamy

\nY

x=0

= \ n N ( B i ) - f i \2Fo

(6.56)

ln Yx=l = ln P(Bi) - /a2Fo

(6.57)

Logarytm naturalny temperatury bezwymiarowej jest zatem liniową funkcją czasu.
Daje to możliwość rozwiązania równań (6.54) i (6.55) metodą graficzną.

6.3.2.3. Analiza nieustalonego przewodzenia ciepła podczas chłodzenia płyty

Na podstawie wyprowadzonych równań (6.56) i (6.57) można obliczyć tempera

turę na płaszczyźnie symetrii płyty i na jej powierzchni, co pokazano na rys. 6.4 i 6.5.

Wykresy te ilustrują zależność bezwymiarowej temperatury Y= ( T - T,)/(T„ - Tf) od
liczby Fouriera Fo = ar/d'' oraz liczby Biota Bi = ad/Z. Wszystkie te wielkości sta

nowią moduły podobieństwa.

Z rozwiązania równania różniczkowego przewodzenia ciepła wynika, że rozkład

temperatury w płycie chłodzonej opisuje krzywa symetryczna z maksimum w osi płyty,
tzn. dla X = 0 (rys. 6.6). Kolejnej wartości czasu odpowiada kolejna krzywa malejąca
w kierunku powierzchni płyty. Przedłużenia stycznych do krzywych rozkładu tempera
tury w płycie w punkcie X = ± 1 przechodzą przez dwa punkty biegunowe A i-A , znaj

dujące się w odległości ±X

od powierzchni płyty; można wykazać, że X

= ± 1 [5].

Graficzną postać ogólnego rozwiązania różniczkowego równania przewodzenia

ciepła w nieskończonej płycie płaskiej pokazano na rys. 6.7. Wykres ten ilustruje
zależność bezwymiarowej temperatury Y = (T - I))/(!], - Tf) od liczby Fouriera

Fo = ar/d2, odwrotności liczby Biota MBi = X/(ad) = m oraz liczby podobieństwa

geometrycznego n = x/d. Wszystkie te wielkości są modułami podobieństwa.

Rys. 6.4. Zależność graficzna Yv=0= f l(Bi, Fo) dla nieskończonej płyty

Rys.

6 .5.

Zależność graficzna

fy = i

=f>(Bi, Fo) dla nieskończonej płyty

Rozpatrzmy po kolei charakterystyczne przypadki. Po pierwsze, linie m = 0 doty

czą przypadków granicznych, w których współczynnik wnikania jest bardzo duży,

—> oo lub X15 « a. Temperatura na powierzchni ciała w takich przypadkach jest

równa temperaturze płynu otaczającego, np. powietrza.

Jeżeli natomiast współczynnik wnikania ciepła jest bardzo mały, tzn. a -» O, to

m —>

oo,

a bezwymiarowa temperatura dąży do jedności (7 —> 1). Oznacza to, że tem

peratura ciała jest stała i równa temperaturze początkowej 70.

Temperaturę powierzchni ciała znajdujemy dla punktów położonych na liniach

dla n = x/S= 1. Dla przypadku granicznego, gdy m = O oraz n = 1, linia pokrywa się
z osią rzędnych 7 układu, dla której Fo = O, a tym samym r= 0. Wartości temperatury
w punktach położonych wewnątrz ciała, tj. dla linii n < 1, zbliżają się wolniej do tern-

peratury medium otaczającego i stąd linie dla m = 0 i n < 1 są już nachylone pod pew
nym kątem, co odpowiada liczbom Fouriera większym od zera (a stąd dla r > 0 ).

Temperaturę na płaszczyźnie symetrii płyty (n = 0) w warunkach bardzo dobrej

konwekcji (m = 0) można opisać przybliżonym równaniem:

Ypl =i,273e-2-303 - ^ -

(6.58)

0,933

W zakresie niewielkich liczb Fouriera trudno jest odczytać z wykresu na rys. 6.7

dokładną wartość temperatury bezwymiarowej Y; należy się wówczas posłużyć od
powiednimi tabelami (por. np. tabele 33-35 w monografii łłoblera [4]), lub równanie
rozwiązać analitycznie.

6.3.3. Chłodzenie lub ogrzewanie cylindra nieskończonego

W odniesieniu do cylindra (walca) można przyjąć następujące założenia:

• cylinder o promieniu R oddaje ciepło do otoczenia,
• współczynnik wnikania ciepła jest stały dla całej powierzchni,
• temperatura otoczenia jest stała,
• temperatura we wszystkich punktach cylindra jest jednakowa w początkowym

momencie.

Dla stałych warunków brzegowych można wyeliminować zmienną z, sprowadza

jąc zagadnienie do dwuosiowego przewodzenia. Po przekształceniu równania (6.29)

do współrzędnych walcowych z zastosowaniem równań:

x = rcosę

(6.59)

oraz

y = rsm ę

(6.60)

otrzymujemy równanie o prostszej postaci

— - a

f 9r3

1 9 3 ^

r dr

(6.61)

Warunki brzegowe i początkowe są następujące:

• dla r= 0 oraz 0 < r < R

3 = 3, = ’/i, ’/'/ = const

(6.62)

• d la r = 0 i r> 0

'd&'

r=0

(6.63)

dla r = R i r > O

5/* / r=fi

■9,v=yi

(6.64)

W w yniku rozw iązania otrzym anego m eto d ą rozdzielania zm iennych z w ykorzy

staniem podanych w arunków brzegow ych otrzym uje się ró w n an ia n a tem peraturę

bezw ym iarow ą w osi cylindra {r = 0) i n a jeg o pow ierzchni (r = R ):

Yr=0 = f ( B i , F o )

(6.65)

Yr=R = f Ą B i , F o )

(

)

T em peraturę w osi cylindra i n a jeg o pow ierzchni m ożna w yznaczyć z w ykresów

przedstaw ionych n a rys. 6.8 i 6.9.

Rys. 6.8. Zależność graficzna }). = 0 = f\(B i, Fo) dla nieskończonego walca

G raficzną postać ogólnego rozw iązania różniczkow ego rów nan ia przew odzenia

ciepła w nieskończonym walcu przedstaw iono n a rys. 6.10. W ykres ten ilustruje za

leżność bezw ym iarow ej tem peratury Y = ( T - Tf)/(T0 - Tt) od liczby F ouriera

Fo = ar/ R2, odw rotności liczby B iota \!Bi = X!{aR) = m oraz liczby podobieństw a

geom etrycznego n = r/R. W szystkie te w ielkości stano w ią m oduły podobieństw a.

Rys. 6.9. Zależność graficzna Yr = R =fo(Bi, Fo) dla nieskończonego walca

Rys. 6.10. W ykres funkcji Y = f ( F o , m, n) dla nieskończonego walca

Temperaturę na osi symetrii walca (« = 0) w warunkach bardzo dobrej konwekcji

(.m = 0) można opisać przybliżonym równaniem

Yw ~ l,602e-2,303 —

(6. 67)

0,398

W zakresie niewielkich liczb Fouriera trudno jest odczytać z wykresu (rys. 6.10)

dokładną wartość temperatury bezwymiarowej Y; należy się posłużyć odpowiednimi

tabelami (np. tabele 33-35 w monografii łłoblera [4]).

6.3.4. Chłodzenie lub ogrzewanie kuli

Zanalizujmy chłodzenie kuli o promieniu i? umieszczonej w ośrodku o stałej tem

peraturze. Wartość współczynnika wnikania ciepła od powierzchni kuli do otoczenia

jest również stała. W początkowym momencie temperatura kuli w dowolnym punkcie

wynosi T0.

Załóżmy, że nadmiar temperatury 3 = T - Tf. Równanie różniczkowe przewodze

nia ciepła w kuli przekształcone do współrzędnych sferycznych przyjmie następującą
postać:

— - a

i d13 2 d 3 ^

d r

r dr j

(

)

Warunki początkowe dla r = 0 są następujące:

• dla 0 < r < R

3 = 3*= T * -T f

(6.69)

warunki brzegowe zaś

• dla r = R (powierzchnia kuli)

l a 3

(6.70)

1 dla r = 0 (środek kuli)

d r )r = R

J r=R

= 0

(6.71)

J r

= 0

Z rozwiązania równania (6.68) metodą rozdzielenia zmiennych z uwzględnieniem

warunków początkowych i brzegowych otrzymuje się zależności funkcyjne od liczb

bezwym ¡arowych:

• dla środka kuli (r/R = 0)

Yr=0 = Fo (Bi, Fo)

(6.72)

• dla powierzchni kuli (r/R = 1)

Yr=R = Fp (Bi, Fo)

(6.73)

oraz w dowolnym punkcie kuli

Yr = F (Bi, Fo, r / R )

(6.74)

Temperaturę w środku kuli i na jej powierzchni można wyznaczyć z wykresów przed

stawionych na rys. 6.11 i rys. 6.12.

Rys. 6.11. Zależność graficzna

= 0 =

f 1(Bi

Fo)

dla kuli

Rys. 6.12. Zależność graficzna

Yr=R

f 2(Bi, Fo)

dla kuli

Graficzną postać ogólnego rozwiązania różniczkowego równania przewodzenia

struje zależność bezwymiarowej temperatury Y = (T - Tf)/(T

- Tf) od liczby Fouriera

Fo = at/R2, odwrotności liczby Biota m = 1/Bi = X/(aR) oraz liczby podobieństwa

geometrycznego n = r/R. Wszystkie te wielkości stanowią moduły podobieństwa.

■cu

Y í J

V I

¿>

. ■

■

qoí

ÍQ?

r;n.-

r.'-ni/J

GSM

GÍVJ
víffT

ĘJJ]

ÍÜ

ho 47

Rvs. 6.13. Wykres funkcji

Y=j[Fo, m, n)

dla kuli

6.3.5. Chłodzenie lub ogrzewanie ciał o niedużych wymiarach

W ykresy funkcji liczb bezw ym iarow ych dla płyty i w alca odnoszą się w praw dzie

do cial nieskończonych o skończonej grubości, m o g ą być je d n a k rów nież stosow ane

dla przypadków , gdy grubość płyty lub średnica w alca są stosunkow o nieduże w p o

rów naniu do innych w ym iarów . Porów nanie funkcji

Y = j { F o )

dla

= O (znikom y

opór cieplny w nikania) dla płyty nieskończonej, belki nieskończonej o przekroju

kw adratow ym , cylindra nieskończonego, kuli czy kostki oraz krótkiego w alca przed

staw iono n a rys. 6.14. Jak w idać z tego rysunku, najw ięcej czasu w ym aga chłodzenie

płyty nieskończonej, najm niej zaś - chłodzenie kuli. C hłodzenie krótkich kształtek

je s t podobne do chłodzenia kuli.

W odniesieniu do cial o kształcie prostopadłościanu lub krótkich walców m ożna za

stosować metodę Newm ana [4]. Dla prostopadłościanu, np. cegły, wybieramy dwie do

wolne równolegle ściany i traktujemy je jako należące do płyty nieskończenie wielkiej o

grubości

2SX.

Dla określonej odległości

badanego punktu od płaszczyzny symetrii obli

czamy kolejne liczby bezwymiarowe:

F o x - ar!8 ;

m x - A /( a S x

nx - x / S x

, a następ

nie z wykresu lub tabeli wyznaczamy temperaturę bezwym iarową jako

Yx = j{F ox, mx, nx).

N astępnie w ybieram y dw ie inne rów nolegle do siebie ściany, przyjąw szy, że n a

leżą do płyty nieskończonej o grubości 2

Sv.

O dm ierzyw szy ponow nie odległość

punktu od now ej płaszczyzny sym etrii obliczam y kolejne liczby bezw ym iarow e:

F o v - a r ! d l

m v ~ A / ( a S v

n x - x / S Y

, a następnie z wykresu lub tabeli w yznacza

m y tem peraturę bezw ym iarow ą

jak o

j{ F o v, m v, n v).

Postępując w edług tej samej

zasady w odniesieniu do trzeciej pary ścian równoległych, określamy kolejne liczby

bezwymiarowe: Foz -a rfS y , mz - Xl(a

z ), n: - x / S z , a następnie z wykresu lub

tabeli wyznaczamy temperaturę bezwymiarową Yz jako j{Foz, mz, nz). Wartość wypad
kową bezwymiarowej temperatury Y = (T - T,)/(T„ - T,). gdzie T jest temperaturą
w badanym punkcie, uzyskamy z iloczynu: Y= YxYyYz. Ponieważ składowe Yx, Yy, Yz

są zawsze mniejsze od jedności, więc wartość wypadkowa bezwymiarowej temperatu

ry Y będzie mniejsza od każdej ze składowych. Wynika stąd, że temperatura ciała

o ograniczonych rozmiarach zmniejsza się szybciej niż temperatura ciała nieskończo

nego, co jest skutkiem chłodzenia ze wszystkich stron.

0 0

6 0

4 0

2 0

1 0

0 6

0 4

0 2

0,01

0,006

0,004

0,002

0,001

--- —— — — --- — — — — — --- — — —

\v P W —— — — --- --- — ------ — --- --- --- ---

k\
1

Y W

% ik V \

r \

--- ------ V l \ \ | V — --- — — —3sZ— --- ---------

r \

\ \

s V

— ------ — —V 5

N t— --- — — — —

--- ------ — — 5^ r~\

% -

--- --- --- --- —

r v

V \

k \

\ N

;

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

Rys. 6.14. Wykres funkcji

Y=f(Fo)

dla ciał w różnym kształcie:

1 - płyta, 2 - belka, 3 , 4 - walec, 5 - kula

Podobną metodę można zastosować do wyznaczenia temperatury w dowolnym

punkcie krótkiego cylindra. W tym przypadku obydwa dna: równoległe i prostopadłe
do osi traktujemy jako należące do płyty nieskończonej o grubości 28X, równej długo

ści cylindra L, a sam walec jako cylinder nieskończonej długości o średnicy d = 25y.
Dowolny punkt będzie przy tym określony współrzędną jc, liczoną od płaszczyzny
symetrii leżącej w połowie długości walca i równoległej do den, oraz współrzędną^,

równą promieniowi, któremu punkt ten odpowiada.

W przypadku izolacji pary przeciwległych ścian, należy pominąć ich wpływ. Je

żeli współczynniki wnikania nie są jednakowe, to można je wprowadzić do odpo
wiednich liczb Biota z zachowaniem symetrii, tj. każdej parze przeciwległych ścian
należy przypisać taką samą wartość współczynnika wnikania ciepła. Szereg innych

szczególnych przypadków stosowania metody Newmana opisał Hobler [4].

6.3.6.

Rozwiązanie równania Fouriera

dla ustalonego przewodzenia ciepła w ścianie płaskiej

Z agadnienie ustalonego przew odzenia ciepła w ścianie płaskiej stanow i p od sta

w owy przykład ruchu ciepła [3, 4, 6]. Z analizujm y przypadek, gdy ściankę o pływ ają

dw a płyny różniące się tem p eratu rą (rys. 6.15).

T ransport ciepła przebiega:

• przez konw ekcję od strum ienia płynu gorącego o tem peraturze Tf] do p ow ierzch

ni ścianki o tem peraturze Ts],

• przez przew odzenie w ew nątrz ścianki,

• przez konw ekcję od pow ierzchni ścianki o tem peraturze Ts2 do strum ienia płynu

zim nego o tem peraturze Tf2,

Rozkład tem peratury w ściance m ożem y określić, rozw iązując rów nanie różnicz

kow e F ouriera z zastosow aniem odpow iednich w arunków granicznych.

W przypadku ustalonego przew odzenia w kierunku osi x rów nanie to przyjm uje

postać rów nania L ap lace’a

I“ - *

Rys. 6.15. W arunki tem peraturow e dla ściany płaskiej

(6.75)

R ów nanie to całkujem y dw ukrotnie

(6.76)

\ ^ H

= \ Q

(6.77)

J dx

otrzymując rozwiązanie w końcowej postaci

T (

x ) = C {x + C 2

(6.78)

Stałe całkowania Ci i C

wyznaczamy z warunków granicznych (rys. 6.15). Po

podstawieniu dla a- = 0, T{0) = Ts] otrzymujemy

Ti, =C 2

(6.79)

Podobnie dla a- = s, T(s) = T

ptrzymamy

- Q s + C

- Q s + Ts]

(6.80)

Po przekształceniu wyznaczymy stałą Ci:

(6.81)

Po wprowadzeniu wyrażeń (6.79) na stałą C

oraz (6.81) na stałą Ci otrzymujemy

końcową postać równania

T ( x ) - —^ — —^-x + Ts]

(6.82)

Temperatura zmienia się zatem liniowo z odległością

. Z równania (6.82) otrzymu

jemy definicję gradientu temperatury w postaci pochodnej

Ł Z k z Z k

(6.83)

Na tej podstawie możemy określić gęstość strumienia ciepła:

q = - l ^ - = - { T s, - T s2)

(6.84)

oraz strumień przewodzonego ciepła

Q = - X A ^ =— {T

, - T s2)

(6.85)

Powierzchnia ściany płaskiej A jest stała i prostopadła do kierunku ruchu ciepła.

6.3.7. Rozwiązania równania Fouriera dla charakterystycznych

przypadków nieustalonego przewodzenia ciepła

W wielu przypadkach ścisłe całkowanie różniczkowego równania Fouriera daje

bardzo skomplikowane zależności funkcyjne, które jednak można wyrazić jako zależ

ności od liczb Biota i Fouriera. Poniżej podano kilka przykładów przybliżonych roz
wiązań [3].

Płyta o dużej powierzchni i temperaturze początkowej

znajduje się w ośrodku

o temperaturze

Tf.

Przyjęcie, że płyta ma dużą powierzchnię umożliwia pominięcie

wpływu zaburzeń w polu temperaturowym płyty, jakie występują w pobliżu krawędzi.

Przyjmuje się na ogół, że stosunek powierzchni bocznych Ab do powierzchni A jest
bardzo mały (około 1%).

Jeżeli współczynnik przewodzenia ciepła płyty jest duży (A,—*

q o ),

a temperatura

ośrodka jest wyższa od temperatury początkowej płyty (7)>

T0),

to różniczkową ilość

ciepła wnikającą do płyty opisuje równanie:

Przykład 1

dQ = aA(Tf - T )d r

(

)

gdzie

jest temperaturą płyty w danym momencie.

Temperatura płyty wzrośnie zgodnie z następującym równaniem

(10 = mcp dT

Z porównania równań (6.86) i (6.87) wynika:

(6.87)

a A^Tf - T ^ d r - m c pdT

(

)

Po podstawieniu

m - V p

(6.89)

otrzymujemy

aA(Tf - T ) d r - VpcpdT

(6.90)

W równaniu tym rozdzielamy zmienne

a A

d r ~ --------

pcP V

Tf - T

(6.91)

i całkujemy w granicach od ro do r oraz od

Tr.

Otrzymujemy

a A ,

Tf - T r

p c p V

( r - r 0 ) = - l n

( 6 .9 2 )

Jeżeli uw zględnim y, że VIA = s, gdzie s je s t grubością płyty ogrzew anej je d n o

stronnie, p o ło w ą zaś grubości płyty ogrzew anej dw ustronnie, a tem peraturę n a p o
czątku procesu oznaczym y p rzez T0, to po przekształceniach otrzym am y następ ującą

zależność

In Y - ln

Tf - T

Tf ^ T

pep '

(6.93)

Otrzymujemy zależność wykładniczą dla bezwymiarowej temperatury Y = (Tf— T)/(Tf - T0)

Y ~ e pCp S

(6.94)

Rys. 6.16. Rozkład tem peratury w płycie o nieskończenie

dużym współczynniku przew odzenia ciepła

Rozkład tem peratury w om aw ianym przypadku pokazano n a rys. 6.16. Jak w idać,

gdy X =

oo,

m ożna zaniedbać spadek tem peratury w płycie.

Przykład 2

Podobnie ja k uprzednio przyjm ujem y, że w spółczynnik przew odzenia je s t bardzo

duży, ale m a skończoną w artość i spadek tem peratury w płycie m ożna zaniedbać.

R ów nanie (6.94) m ożna zastosow ać jed y n ie z pew nym przybliżeniem

Y = e

p c ,,s

(6.95)

Licznik i mianownik wykładnika prawej strony mnożymy przez As

a s X

Y = e Xpc”ł

Po wprowadzeniu definicji liczb bezwymiarowych Bi i Fo otrzymujemy

Dla r = 0, Fo = 0 oraz 7 = 1 , tym samym T= T„. Dla r=

qo,

= oo, 1

samym T=Tf.

(6.96)

(6.97)

= 0, a tym

7. Ruch ciepła przez konwekcję

7.1. Wprowadzenie

W rozdziałach 3 i 4 omówiono konwekcyjny ruch ciepła. Wprowadzono podsta

wowe pojęcia dotyczące mechanizmu wnikania i przenikania ciepła oraz definicję
współczynnika wnikania ciepła opartą na prawie Newtona. Wnikanie ciepła jest uwa
runkowane występowaniem laminamej warstewki granicznej w pobliżu ściany omy
wanej przez płyn. Zjawisko to obejmuje zarówno przewodzenie ciepła w warstewce

granicznej płynu, jak i transport energii wewnątrz strumienia płynu w wyniku kontak

tu elementów płynu o większej energii (tzw. gorących elementów płynu) z obszarem

0 mniejszej energii, tj. obszarem zimnym. Wyróżniamy konwekcję wymuszoną, jeżeli

ruch płynu odbywa się pod działaniem sił zewnętrznych w postaci różnicy ciśnienia
wytworzonej np. za pomocą pompy czy wentylatora. Jeśli natomiast ruch płynu jest

spowodowany tylko różnicą gęstości, np. w wyniku różnicy temperatury, to transport
ciepła w tych warunkach jest określany jako konwekcja naturalna (swobodna). Poda

no też podstawowe definicje współczynnika wnikania ciepła i omówiono sposoby

jego wyznaczania. Wyróżniono metodę doświadczalną i metodę analityczną określa

nia tego współczynnika.

Analityczne wyznaczanie współczynnika wnikania ciepła a wymaga opisu trój

wymiarowego ruchu płynu, tzn. określenia trzech składowych prędkości, temperatury

1 ciśnienia płynu oraz jego gęstości jako funkcji położenia i czasu. Do wyznaczenia

tych sześciu niewiadomych konieczne jest sformułowanie sześciu równań. Dwa pod

stawowe równania różniczkowe stanowią prawa zachowania masy i energii. Kolejne

trzy równania można otrzymać z prawa ruchu Newtona w kierunku każdej współrzęd
nej. Są to równania Naviera-Stokesa. Równanie stanu płynu daje ostatnie równanie.

Rozwiązanie wymaga jednoczesnego rozwiązania wszystkich równań, co może oka

zać się niemożliwe. Dla uproszczenia ruch płynu będzie rozpatrywany jedynie w dwu
kierunkach, co umożliwia wyeliminowanie jednej zmiennej niezależnej i jednej nie
wiadomej. Można też założyć, że płyn jest nieściśliwy, tzn. jego gęstość jest stała, co
pozwala wyeliminować kolejną niewiadomą i do opisu przepływu niezbędne są tylko
cztery równania.

7.2. Podstawy teorii wnikania ciepła

7.2.1. Różniczkowe równanie ruchu ciepła - równanie energii

Rozpatrzymy proces wnikania ciepła od ścianki do płynu przepływającego

wzdłuż ściany (rys. 7.1). W wyniku wytworzenia się laminarnej warstewki granicznej

krzywe rozkładu prędkości płynu i temperatury w zależności od odległości od ściany

przyjmują kształt paraboli, spłaszczonej w większej od niej odległości (w strefie poza
warstwą graniczną).

Rys. 7.1. Rozkład prędkości i temperatury

w ogrzewanym płynie opływającym ścianę płaską

Ponieważ proces wnikania ciepła obejmuje również jego przewodzenie w cien

kiej, laminarnej warstwie granicznej, więc można dla niej zastosować równanie
Fouriera

q - - X

f d T \

(7.1)

gdzie y jest normalną do powierzchni ciała.

Gdy zmiany temperatury zachodzą tylko w kierunku współrzędnej prostopadłej

do powierzchni ciała, jak na rys.7.1, normalna jest współrzędnąy.

Zgodnie z prawem Newtona natomiast dla wnikania ciepła obowiązuje równanie

(7.2)

Po przyrównaniu równań Fouriera i Newtona otrzymujemy definicję współczynnika

wnikania ciepła:

f d T \

a ■

T s - T f

(7.3)

Zastosowanie tego wyrażenia wymaga znalezienia pochodnej temperatury wzglę

dem odległości od ściany w pobliżu powierzchni ciała. Tym samym należy wyznaczyć

temperaturę płynu T w każdym punkcie pola przepływu. Należy więc sformułować

dla przepływu dwukierunkowego płynu nieściśliwego czwarte równanie podstawowe

poza równaniem ciągłości i równaniem Naviera-Stokesa. Jest to tzw. równanie ener

gii, niekiedy nazywane równaniem Fouriera-Kirchhoffa. Aby je wyprowadzić, przyj

mujemy następujące założenia:

Płyn jest nieściśliwy i jednorodny, nie występują wewnętrzne źródła ciepła, cie

pło wydzielane w płynie w wyniku tarcia może być zaniedbane, a całe ciepło dostar

czone do rozpatrywanego elementu płynu jest zużytkowane na zmianę entalpii.

Rozpatrzymy elementarny prostopadłościan o wymiarach dx, dy, dz. Założymy, że

płyn w tym elemencie ma stałe parametry X, cp i p (rys. 7.2). W celu określenia bilan

su różniczkowej ilości ciepła oddawanej przez ten element należy zdefiniować po
szczególne jego składowe dla trzech kierunków jc, y, z. Ilość ciepła dostarczona do

elementarnego prostopadłościanu wzdłuż osi

w jednostkowym czasie dt wynosi

Różnica między ilością ciepła dopływającego i odpływającego w kierunku

wynosi

Rys. 7.2. Nieustalony ruch ciepła

w elemencie w kształcie prostopadłościanu

dQx - qxdydzdt [J]

ilość ciepła zaś opuszczającego ten element w tym samym kierunku

(7.4)

[J]

(7.5)

Podobnie dla pozostałych kierunkowy i z otrzymujemy

dQx i =dQx - dQx+dx = - ^ - d x d y d z d t = - ^ - d V d t

(7.6)

dQy1 = dQy - dQy+dy = - % - dVdt

(7.7)

dQz\ ~dQz - dQz+dz = - % dVdt

(7.8)

Po zsumowaniu równań (7.6)-(7.8) otrzymujemy wyrażenie na całkowitą ilość

ciepła dostarczoną do elementu płynu:

dQ = dQx, +dO,t + </£>., = - i ^ L + ^ L + ^

Zgodnie z założeniem ciepło to jest zużywane na zmianę entalpii

dVdt

(7.9)

dQ = p — dVdt = pcp — dVdt

Po przyrównaniu ostatnich dwóch równań otrzymujemy następujące równanie

i 'i

'i '\

pcP

d_T_

dq, | di/, ^ cg

lub

pcp — = -d i\i/

(7.10)

(7.11)

(7.12)

Należy teraz rozważyć składowe gęstości strumienia ciepła qx, q.. qz. Jeżeli założymy,

że ciepło jest przenoszone w płynie zarówno przez przewodzenie, jak i konwekcję
otrzymujemy następujące wyrażenie dla kierunku jc

q.x

</•,;• 4" qx„

(2-13)

Zgodnie z prawem Fouriera gęstość przewodzonego strumienia ciepła opisuje równanie

q xx

W • m

(7.14)

Przyjmiemy, że gęstość strumienia masy na jednostkę powierzchni normalnej do kie

runku przepływu dla kierunku

wynosi pwx. Otrzymamy wyrażenie na składową gę

stości konwekcyjnego strumienia ciepła:

qxa = pcpwxT,

W • nT2

(7.15)

Po zsumowaniu otrzymujemy składową gęstości strumienia ciepła w kierunku w

,dT

qx =pcpwxT - A —

Postępując podobnie dla kierunkowy i z otrzymujemy

qy =pc pwyT - X-

(7.16)

(7.17)

oraz

qz - pcpwzT - X

dT_

(7.18)

Po zróżniczkowaniu ostatnich trzech równań otrzymujemy pochodne gęstości

strumienia ciepła:

dla kierunku jc

1 dla kierunkuj

1 dla kierunku z

%■

T ^ dwx

: P c p \ W x ~ r + T ~ a

d x

d2T

d x2

-pcP

dT m dwv

- + T-

-A

d2T

dwz

d2T

(7.19)

(7.20)

(7.21)

Po podstawieniu pochodnych (7.19)-(7.21) do równania (7.11) otrzymujemy

f d2T drT d

T '

s dx

(";)•

( rh

PCPT

~pcP Wr

dT_

■

+ ir,

dT_

■

+ w.

dT_

r cmx

dwy

dw>, ^

+ — — + — -

(7.22)

Jest to ogólna postać równania energii. Przyjmując, że dla cieczy nieściśliwych

dwx

dwy

r r

■

(7.23)

otrzymujemy po przekształceniach następującą postać równania

dT_

-+WX

dT_

■ + Wy

dT_

■ + w.

cpp

d T d T d T

— r H— r H— ~

(7.24)

Jest to równanie energii, zwane równaniem Fouriera-Kirchhoffa, opisujące rozkład
temperatury w przepływającym płynie nieściśliwym.

Wielomian po lewej strony równania (7.24) jest różniczką zupełną temperatury po

czasie. Jeżeli T = f(x ,y, z, t), to

dT d T d x dT dy

T dz

dt dx dt

dy dt

dz dt

(7.25)

gdzie pochodne chddt, dy/dt, i dz/dt stanowią składowe prędkości wx, wy i wz.

Taka pochodna odniesiona do poruszającego się płynu jest nazywana pochodną

wędrowną (pochodną substancjalną). Po uwzględnieniu definicji pochodnej wędrow

nej równanie energii można zapisać w postaci

= aV2T

(7.26)

W przypadku gdy wx = wy = w- = 0, równanie energii sprowadza się do różnicz

kowego równania przewodzenia ciepła (równania Fouriera). Wówczas bowiem za
chodzi warunek DT/Dt = dT/dt.

7.2.2. Równanie energii laminarnej warstwy granicznej

Równania energii w konkretnych zagadnieniach można rozwiązać dwiema metodami.

Jedna z nich opiera się na zastosowaniu uproszczonych równań różniczkowych ruchu

i energii, druga zaś na równaniach całkowych momentu i energii (por. rozdz. (7.2.3).

Rys. 7.3. H ydrodynamiczna i term iczna warstwa graniczna na ogrzewanej powierzchni płaskiej

Gdy temperatura powierzchni różni się od temperatury w masie strumienia, two

rzy się termiczna warstwa graniczna grubości

t (rys. 7.3). Jej grubość jest porówny

walna z grubością warstwy hydrodynamicznej, a rozkład temperatury w obu war

stwach - podobny. W kierunku osi x - równoległym do powierzchni - gradient ten

będzie stosunkowo niewielki (rys. 7.3).

Otrzymujemy wówczas następującą uproszczoną postać równania energii

dT_

X d2T

+ •

'd W r '2

cpp dy

cpp

(7. 27)

Równanie to powinno być uzupełnione równaniami Naviera-Stokesa oraz równa

niem ciągłości, zapisanymi dla warstwy granicznej

<V,

■ + Wy ■

<v.

■

+ v-

Qy~

dwx , Qwy

■

(7.28)

(7.29)

7.2.3. Równanie całkowe energii laminarnej warstwy granicznej

Dla laminarnej warstwy granicznej bilans energii możemy również przedstawić

w postaci całkowej. Analizy zagadnienia dokonujemy na przykładzie bilansu energii

dla elementarnej długości dx termicznej warstwy granicznej.

Na rysunku 7.3 pokazano przepływ płynu wzdłuż ogrzewanej powierzchni o stałej

temperaturze Tw. Rozważamy objętość kontrolną ograniczoną punktami ABCD o jed
nakowym wymiarze b w kierunku prostopadłym do płaszczyzny rysunku. Przyjmuje
my, że energia doprowadzana przez konwekcję oraz ciepło przenoszone przez po
wierzchnię o temperaturze Tw są równe energii odprowadzonej przez konwekcję.

Energia doprowadzona przez przekrój AD wynosi

, p b j wxTdy

(7.30)

Energię odprowadzoną przez przekrój CD opisuje wyrażenie

cppb

V 0

j r

j w xTdy + — cpp b j w xTdy

(7.31)

Gęstość strumienia płynu w przekroju CD wynosi

cnTx

(7.32)

Energię dostarczoną do objętości kontrolnej z tym strumieniem wyrazimy za po

mocą równania:

(7.33)

zmianę gęstości strumienia ciepła na drodze dx powierzchni AB zaś

(

d q w - - / J

f d T '

( 7 .3 4 )

Po podstawieniu równań (7.30)- (7.34) do równania bilansu energetycznego

otrzymamy

d x - Abdx

cppb \w xTdy+ CpT^pb— f wxdy

" H o

d f

= cpp b f w xTdy + — cpp b j wxTdy

(7.35)

Biorąc pod uwagę, że dlay >

, temperatura jest wyrównana i równa Tx, za górną

granicę całkowania można przyjąć grubość termicznej warstwy granicznej:

Ą-

(Tx -T )w xdy--

d x J

A r d T '

r d T '

C p p ^ d y )

Równanie to można również zapisać w postaci

(7.36)

(Tx - T)wxdy -■

cPP

(7.37)

Otrzymane całkowe równanie energii można również zastosować dla burzliwej

warstwy granicznej po wprowadzeniu odpowiedniej gęstości strumienia cieplnego [5].

7.2.4.

Rozwiązanie równania energii

laminarnej warstwy granicznej na płycie płaskiej

Zagadnienia ruchu ciepła z zastosowaniem teorii warstwy granicznej Prandtla

można rozwiązywać dwiema metodami [5]. Pierwsza opiera się na wykorzystaniu

uproszczonych równań różniczkowych ruchu ciepła i energii, druga zaś, mniej do

kładna, ale również często przydatna, na równaniach całkowych momentu i energii.

Równanie energii w warstwie granicznej rozwiązał Pohlhausen w 1921 r. Wyzna

czył on profile prędkości i rozkład temperatury w warstwie granicznej oraz współ
czynniki wnikania ciepła na płycie. Korzystając z rozwiązania równań ruchu płynu
otrzymanego wcześniej przez Blasiusa, Pohlhausen opisał profil prędkości w war

stwie granicznej następującym wielomianem

'■Cło "ł" &}

Cł-y

fzY

Cł

(7.38)

w którym stałe określił w ten sposób, aby były spełnione warunki brzegowe

wt (y = 0) = 0

(7.39)

przy ścianie oraz na granicy warstwy

w.t {y = 3) = ws

a także

t y )y-s

(7.40)

(7.41)

oraz warunek przyścienny z równania pędu (Naviera-Stokesa)

= 0

O W,

(7.42)

y= S

Z analizy warunków brzegowych wynika, że stałe wynoszą: a

= a

= 0, u\ = 3/2,

a3 = -1/2 i równanie (7.38) przyjmuje postać

3 y 1

2 5 2

(7.43)

Grubość warstwy granicznej opisano zależnością

V/2

\ W s )

- 4,64-

1/2

(7.44)

Podobnym wielomianem Pohlhausen opisał profil bezwymiarowej temperatury

V _ T - T S

—--------------—

b g

b ]

--------H

b 2

T„ - T s

f y

^ 2

ySr j

+ bg

f y ^

ySr j

z zastosowaniem warunków brzegowych przy ścianie

Y y = g

= 0

(7.45)

(7.46)

r d

Y '

' <>" Jy=0

= 0

oraz następujących warunków brzegowych na granicy warstwy

Y ( y = Sr ) = \

r d Y _ "

ty jy .

= 0

(7.47)

(7.48)

(7.49)

y=ST

i na podstawie analizy warunków brzegowych otrzymał dla bezwymiarowej tempera

tury takie same wartości stałych oraz równanie

2 S r

ySr J

(7.50)

Zgodnie z rozwiązaniem Pohlhausena stosunek grubości termicznej warstwy gra

nicznej do grubości warstwy hydrodynamicznej jest funkcją liczby Prandtla:

Sr_

1/ 3

14 p r

0,976

(7.51)

Gdy temperatura w strumieniu niezakłóconym jest równa T„, a temperatura po

wierzchni jest stała i równa Ts, równanie energii można zapisać w postaci uproszczo
nej (z pominięciem wyrazu na dyssypację energii)

dT_

■ + Wy

A d~T

cp p dy

(7.52)

z warunkami brzegowymi podanymi dla rozkładu profilu temperatury. Jak widać,

równanie energii (7.52) i równanie ruchu warstwy granicznej są identyczne. Rozwią

zanie równania energii jest więc takie samo jak rozwiązanie równania ruchu, jeżeli
założy się, że v= a oraz że warunki brzegowe są jednakowe. Wówczas liczba Prand

tla Pr = v!a= 1, a równania rozkładu prędkości i rozkładu temperatury w warstwie

granicznej mają tę samą postać. Przyjmuje się, że w płynach o liczbie Prandtla Pr = 1
zjawiska transportu pędu i ciepła opisują podobne równania. Rozkład temperatury
bezwymiarowej w warstwie granicznej nad płytą płaską pokazano na rys. 7.4.

Rys. 7.4. Rozkład tem peratury bezwymiarowej w laminarnej warstwie granicznej

nad płytą płaską w zależności od liczby Prandtla

Rys. 7.5. W ykres funkcji (7.53) rozkładu tem peratury w laminarnej w arstwie granicznej

Po wprowadzeniu nowej bezwymiarowej zmiennej zależnej, y/x(Re]l

Pr]l3) roz

kład temperatury w warstwie granicznej dla płynów w zakresie Pr > 0,6 można przed

stawić jedną krzywą (rys. 7.5), ilustrującą funkcję

T ^ T S

T - T

1 c o

1 S

= f

12 n

1/ 3

R e ' Pr

(7.53)

Znając rozkład temperatury w warstwie granicznej, wyznacza się gęstość stru

mienia cieplnego na powierzchni płyty:

q - - A

r d T '

\ d y ) y =0

Bezwymiarowy gradient temperatury na powierzchni płyty wynosi

(7.54)

51 —Rei

113

-0,332

(7.55)

r=o

Dla określonej wartości współrzędnej

otrzymujemy zależności:

• dla ujemnego gradientu temperatury przy ścianie płyty

f d T \

1 dla gęstości strumienia ciepła

= 0,332— i---------{T * -T s )

(7.56)

O Re1/2 P r y 3

g =0,332AK—

e Pr

-T,»)

(7.57)

• dla współczynnika wnikania ciepła

a x = — - — = 0,332- R e x 2PrV3

(7.58)

Ts - T

Po wprowadzeniu liczby Nusselta (Nux = axx!X) otrzymuje się równanie bezwy

miarowe

Nux =0,332Rex

113

(7.59)

Średni współczynnik wnikania ciepła dla płyty długości L otrzymamy przez scał-

kowanie równania (7.58):

1 f

XRH

x 2

a = — I a xax = 0,332 I------------------

(7.60)

T J

L o

a następnie

gdzie

a = 0,664^R e!/2/ V /3

(7.61)

Re,, = —

(7.62)

Po przekształceniu uzyskujemy korelację dla średniej liczby Nusselta

fy J

Nu -----= 0,664R e p Pr

(7.63)

Z porównania równań (7.59) i (7.63) wynika, że średnia wartość współczynnika wni

kania ciepła jest dwukrotnie większa od wartości lokalnej przy końcu płyty, aśr = 2ax (li
czonej dla a- = L).

7.2.5.

Rozwiązanie równania energii

turbulentnej warstwy granicznej na płycie płaskiej

Przejście od przepływu laminamego do turbulentnego w warstwie granicznej na

płycie płaskiej zachodzi na pewnym odcinku (rys. 7.6). Wyniki badań doświadczal
nych wskazują, że występuje ono dla wartości liczby Reynoldsa od 104 do 4-106

(Rex = wKx/v). Wartość krytycznej odległości

dla której występują zakłócenia

ruchu laminamego (xtń), po czym stabilizuje się ruch burzliwy (a*.2), zależy od liczby

Reynoldsa oraz od stopnia turbulencji. Zazwyczaj jako typową wartość krytycznej
liczby Reynoldsa przyjmuje się dla tego przypadku Re = 400 000.

Rys. 7.6. W arstwa przyścienna w opływie ściany płaskiej: 1 - warstwa laminarna,

2 - obszar przejściowy, 3 - warstwa turbulentna, 4 - podwarstwa laminarna

R ozkład prędkości i tem peratury w turbulentnej w arstw ie granicznej opisują za

leżności potęgow e

21k

(

y ] / 7

(7.64)

oraz

Tw - T

TW ~Ty,

(7.65)

Do w yznaczenia zależności opisującej liczby N usselta w ruchu turbulentnym , gdy

płyn opływ a rów nolegle płytę płaską, korzysta się z rów nania całkow ego energii [5].

P rzyjm uje się, że dla płynów o liczbie P randtla bliskiej jedn ości stosunek grubości

w arstw y term icznej i hydrodynam icznej S , / S = 1. R ozw iązanie je s t oparte n a po dsta

w ieniu ró w nania rozkładu prędkości (7.64) i rozkładu tem peratury (7.65) do rów nania

całkow ego energii (7.36). K orzystając z zależności n a lokalny w spółczynnik w nikania

ciepła ą x dla płyty płaskiej

f d T \

a r

T - T

7 v= o

(7.66 )

otrzym ujem y w yrażenie n a gradient tem peratury

f d T \

= ^ ( T W- Ta>)

(7. 67)

Po podstaw ieniu tego w yrażenia do całkow ego rów n ania energii (7.36) otrzym ujem y

4 ~ \w.x ( T - T x )dy--

a x J

d T \

_ a x

Jv=0

cpp

{Tv - T „ )

( 7 .6 8 )

Po podzieleniu przez wx i przekształceniu otrzymujemy wyrażenie na liczbę Stantona

St = -

d r Wr T - T x

a r ir;

■dy

(7.69)

cp w* p

dx l w* Tw - Tx

do którego wprowadza się zależności na profile prędkości (7.64) i temperatury (7.65):

a x

S, f

cpwKp

d x JQ\ S

Po scałkowaniu otrzymuje się równanie

1/7

(7.70)

7 dd

cpwx p

72 dx

do którego podstawiamy wyrażenie na grubość turbulentnej warstwy granicznej

(7.71 )

= 0,376 Re

1/5

(7.72)

i otrzymujemy następujące wyrażenie

_ J ^ = i „ , 3 7 6 i -

cpwKp

z którego po zróżniczkowaniu otrzymujemy ostateczną postać funkcji

-1 /5 ‘

yw„xp

(7.73)

ffr

cpwx p

■

= 0,0292

(

V/5

p i y x p x

= 0,0292 Re;

(7.74)

Zależność tę dla przypadku, gdy liczba Prandtla jest równa jedności możemy zapisać
w postaci równania

a.x

Nllr

Nltr

cp wx p

Re, Pr

Re,

= 0,0292 Re]

1/5

(7.75)

z którego po pomnożeniu przez liczbę Re, otrzymujemy korelację

Wyrażenie na średnią wartość liczby Nusselta na płycie o długości Z. jest całką

N u = - \ N u xdx

= — h,W192Rexlsfo = 0,0366R e f 5

(7.77)

Wyprowadzone równania obowiązują w następujących warunkach:

• warstwa graniczna jest turbulentna na całej płycie,
• liczba Prandtla Pr = 1,
• ruch ciepła występuje na całej płycie,
• właściwości płynu należy określać w temperaturze, którą oblicza się z zależności:

(” s)

W przypadkach liczb Prandtla większych od 0,6 należy stosować zależności kry-

terialne

Nux =Q,Q292ReĄ

x'5Prm

(7.79)

lub zależności do obliczania średnich wartości współczynników wnikania ciepła

W innych przypadkach należy zastosować wzory zmodyfikowane [5].

7.3. Teoria podobieństwa i analiza wymiarowa

Metody doświadczalne wyznaczania współczynników wnikania ciepła są oparte

na zastosowaniu teorii podobieństwa do powiększania skali aparatu. Badania do

świadczalne są bowiem z reguły wykonywane z użyciem aparatów o małych rozmia

rach, a ich wyniki wykorzystuje się do obliczeń dużych jednostek.

mały aparat

duży aparat

Rys. 7.7. Podobieństw o trójkątów dla aparatów a i b

Pojęcie podobieństwa geometrycznego jest znane w geometrii. Jak wiadomo,

w figurach geometrycznie podobnych odpowiadające sobie kąty są równe, a długość

odpowiadających odcinków - proporcjonalna. Zgodnie z rys 7.7 zależność tę zapi
szemy następująco:

c0nSt

(7.81)

gdzie /], h i h odpowiadają długości boków trójkąta a (dla małego aparatu) oraz //, /2'
oraz U - długości odpowiadających im boków trójkąta podobnego b (dla dużego apa

ratu).

Pojęcie podobieństwa można także stosować w odniesieniu do zjawisk fizycz

nych. Dwa zjawiska fizyczne są podobne, gdy zachodzą w aparatach podobnych geo
metrycznie, a liczbowe wartości odpowiednich modułów bezwymiarowych charakte
ryzujących je są sobie równe. Wyprowadzenie oraz uzasadnienie sensu fizycznego
tych modułów opiera się na zastosowaniu analizy wymiarowej. Umożliwia ona spro
wadzanie złożonych funkcji wielu zmiennych opisujących dane zjawisko do prostych
równań korelacyjnych, zbudowanych z modułów bezwymiarowych. Przekształcenie
takie jest możliwe jedynie w odniesieniu do funkcji kompletnych i homogenicznych.

Funkcja kompletna obowiązuje w każdym układzie wymiarów. Jako przykład takiej

funkcji łłobler [4] przytoczył równanie opisujące swobodne spadanie ciał z wysoko

ści h na ziemię: h = 0,5gr2. Przykładem funkcji niekompletnej w tym przypadku jest

wzór h = 0,5x9,81 r 2, który obowiązuje w układzie m, s. Funkcja homogeniczna ma
ten sam wymiar po każdej stronie równania. W tym przykładzie wzór: h = 0,5gr,

spełnia oczywiście to wymaganie.

Analiza wymiarowa znalazła powszechne zastosowanie w nauce o ruchu ciepła.

Różniczkowe równania ruchu płynu i równania energii dla konwekcyjnego ruchu

ciepła są bowiem trudne do rozwiązania, a zależności empiryczne dla współczynni
ków wnikania ciepła okazały się stosunkowo prostymi zależnościami potęgowymi.
Zależność współczynnika wnikania ciepła od podstawowych parametrów dla prze
pływu wewnątrz rury w obszarze przepływu burzliwego

« = f { n A , P , c P,w ,d)

(7.82)

można na przykład przedstawić w postaci funkcji potęg podstawowych parametrów

a = const T]ai A

p a:' cpat was d°b

(7.83)

Liczba i postać modułów bezwymiarowych wynika z twierdzenia Buckinghama .

według którego każde kompletne równanie homogeniczne wyrażające związek mię

dzy n parametrami wymiarowanymi można przedstawić za pomocą funkcji n - r mo
dułów bezwymiarowych, gdzie r jest liczbą zasadniczych wymiarów. W naszym

przykładzie dotyczącym przepływu płynu wewnątrz rury liczba parametrów n = 7,
r = 4 (kg, s, K, m). Liczba bezwymiarowych modułów n - r wynosi więc 3. Pierw

szym z nich jest zawsze liczba Nusselta, w której w liczniku mamy współczynnik

wnikania ciepła a.

Po wprowadzeniu wymiarów poszczególnych parametrów do równania (7.83)

otrzymujemy:

E. Buckingham, M odel experiments a nd the fo rm s o f em pirical equations, Trans. AS ME, 37 (1915)

263-296.

-3

-i

-i i a‘ r

-3

- i i a2

kg • s • K = const kg • ni • s

x kg • ni • s • K

x | \ g • n T 3 J ' x j^ n i2 • s-2 • K T 1J 4 x j^ n i • s ~ 1 ] ' x [ m ] 3*

i po przekształceniu

kgi ,

, j^-1 _ ęoflSt kg^1

+a2 +a:' $ ~ ai ~ ^ a i - 2 aą -a $

j^-«2

- ^ 4

+¡72 -

«:,

+ 2 aą

+¡75

+a^ ę - j

g<j^

Z założenia o homogeniczności funkcji wynika, że wartości wykładników po

szczególnych zasadniczych wymiarów (kg, s, K, m) po obu stronach równania mus/ą

być sobie równe. Na tej podstawie otrzymujemy szereg równań algebraicznych:

• dla kilogramów (kg)

1 = a-i +

• dla sekund (s)

-3 = -O] - 3a2 - 2

oą

- as

• dla kelwinów (K)

- 1

= -

• dla metrów (m)

= -

0 ] + 0 2 - 3 (1 }

2cIą

+ 0 5

+ 0 6

W naszym przykładzie po wyrażeniu wszystkich wykładników przez

oą

i a$

otrzymujemy:

• z równania dla kelwinów

= 1 - Oą

• z równania dla sekund:

a i = 3 - 3<o - 2o\ - 05 = 3 - 3 + 3a\ - 2o\

-0 5

04-05

• z równania dla kilogramów

0 2 =

O] ~ 0 2 = \ ~ O ą +

0 5

- \ + O ą =

• z równania dla metrów

0 6 = O] - 0 2 +

(

} ~

o ą - 0 5 = 0 4 - 0 5 -

+ 0 4 +

c O ~

o \ - 0 5 = -

0 5

Po wprowadzeniu tych wyrażeń do funkcji potęgowej (7.83) otrzymujemy

a' = const x

-°s A1^ p as cap>

d~]+as

(7.86)

Po przegrupowaniu parametrów wymiarowanych o tych samych wykładnikach

potęgowych otrzymujemy równanie korelacyjne liczb bezwymiarowych

( 7 .8 4 )

a d

■

= const

ycP

\ a A

wdp

( 7 .8 7 )

Ostatecznie przyjmujemy następującą zależność liczby Nusselta od liczby Rey

noldsa i liczby Prandtla z odpowiadającymi im wykładnikami a$ i ay.

Nu - const x Rea$ Praą

( 7 .8 8 )

Liczbowe wartości stałej const oraz wykładników potęgowych przy liczbie Reynoldsa

as i liczbie Prandtla

oą

wyznaczamy zawsze na podstawie danych doświadczalnych.

7.3.1. W yprowadzenie modułów podobieństwa z równania energii

Równanie energii, tj. różniczkowe równanie Fouriera-Kirchhoffa opisuje nieusta

lony, konwekcyjny ruch ciepła z przewodzeniem ciepła w płynach znajdujących się

w ruchu. Ma ono następującą postać

7"7

rri

U l

X-72rri

O A \

Hwy

hwv

hw, — ~aV T

(7.89)

d t

} dy

' dz

Rozważmy dwa różne procesy nieustalonego wnikania ciepła w płynącej strudze.

Przyjmijmy, że wartości poszczególnych zmiennych wynoszą:

• w procesie 1: /. r, wx, wy, w., ,v. y, z, a,
• w procesie 11: T', r', wx', w /, w2', x', y', z', a'

Załóżmy, że zmienne w procesie 11 są równe odpowiednim zmiennym w proce

sie 1 pomnożonym przez stałe współczynniki:

T r

CjT,

c zt

w x'

cww x,

cwWy,

w J

cww z,

x '

cjx,

c y ,

z '

= c/z,

a '

caa

Po podstawieniu tych wielkości do równania (7.89) otrzymujemy dla procesu 11:

w , ---- = — — a \ 1

(7.90)

cT d t

“ dz

Jeśli obowiązuje równość grup współczynników

to równanie dla procesu 11 (7.90) sprowadza się do równania dla procesu 1 (7.89).

Równość grup odpowiednich współczynników (7.91) można przekształcić do po

staci sprowadzających się do jedności.

Z równości dwóch pierwszych grup

cwcr

otrzymujemy

Z równości pierwszej i trzeciej grupy

C i

Ca C f

otrzymujemy

Ca Cr

a z równości drugiej i trzeciej grupy

C‘w C f

Ca C r

(7.92)

(7.93)

(7.94)

(7.95)

(7.96)

wynika, że

CwCi

(7.97)

Warunkiem utrzymania stałości poszczególnych członów równań (7.89) i (7.90)

jest zatem zachowanie stałości odpowiednich modułów.

Z zależności (7.93) otrzymujemy zatem

trr

w V

z zależności (7.95)

a z zależności (7.97)

a V

= S

(7.98)

j ^ j r ^ Fo

i7- " )

wł

w'V

— - — — - Pe

(7.100)

Warunkiem zachowania podobieństwa nieustalonego wnikania ciepła podczas

przepływu płynu jest równość następujących modułów:

100

• liczby Strouhala S, charakteryzującej przepływ nieustalony (np. pulsacyjny),
• liczby Fouriera Fo, charakteryzującej nieustalony ruch ciepła w płynie,
• liczby Pecleta Pe, którą można 'wyrazić iloczynem liczby Reynoldsa i liczby

Prandtla:

Pe = ^!Sp£_a= w l p S £ l = Rep r

(7.101)

W ogólnym przypadku mamy jednocześnie zachowaną równość modułu Nusselta

Nu = ad! A.

7.4.

Wnikanie ciepła podczas

wymuszonego przepływu burzliwego

Z wnikaniem ciepła w strumieniu wymuszonego przepływu burzliwego mamy do

czynienia, gdy prędkość masowa płynu jest dostatecznie duża, tak że liczba Reynoldsa

jest większa od 10 000. Prędkość ta przy określonym przekroju poprzecznym rury

zależy tylko od urządzenia tłoczącego, tj. pompy lub wentylatora, natomiast nie zależy
od procesu wymiany ciepła. Drugą istotną cechą tego przepływu jest burzliwość. Już
Hobler [4] na podstawie pracy Pannella wskazywał na fakt, że rozkład prędkości
i rozkład temperatury powietrza przepływającego przez ogrzewaną rurę (rys. 7.8) są
ze sobą związane.

A T max

►

--------- A T — ►

// / / / / / / / / / / / /

' / / / / / / / / / / / / / / z

w y

Wmax

M i

T max

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / ,

Rys. 7.8. Profile prędkości i tem peratury w edług Pannella

Jak widać z rys. 7.8, transport ciepła przez konwekcję w rdzeniu płynu napotyka

niewielki opór, o czym świadczy płaski profil temperatury. Główny spadek temperatu
ry występuje natomiast przy ścianie wskutek oporu cieplnego w laminamej warstewce
przyściennej.

101

D o k ła d n y o b r a z ro z k ła d u p r ę d k o ś c i i te m p e r a tu ry m o ż n a u z y s k a ć z o b lic z e ń z a p o

m o c ą p r o g ra m u k o m p u te ro w e g o F L U E N T 6.0. R o z w ią z a n ie u k ła d u r ó w n a ń p rz e p ły w u ,

tj. r ó w n a n ia N a v ie r a - S to k e s a o ra z r ó w n a n ia e n e rg ii w p r o g ra m a c h te g o ty p u w y m a g a

z a a w a n s o w a n y c h m e to d n u m e ry c z n y c h , n a jc z ę ś c ie j m e to d y o b ję to ś c i k o n tro ln e j P a ta n -

k a r a [9]. P rz y k ła d o w e o b lic z e n ia w y k o n a n o d la p rz e p ły w u w o d y w ru rz e p o z io m e j o

ś re d n ic y 0 ,0 5 m n a o d c in k u d łu g o ś c i 4 m z u ż y c ie m s ia tk i n ie s tru k tu ra ln e j (ry s. 7 .9 ).

W p r z y p a d k u d u ż e j śre d n ie j p r ę d k o ś c i w o d y (v = 0 ,2 5 6 m /s , ry s. 7 .1 0 ) lic z b a R e y n o ld

s a w y n o s i o k o ło 11 0 0 0 i p r o f ile p r ę d k o ś c i s ą w y r a ź n ie p ła s k ie z a r ó w n o u w lo tu (ry s.

7 .1 0 b ), j a k i n a w y lo c ie z r u r y (ry s. 7 .1 0 a ). P o d o b n ie r o z k ła d te m p e r a t u r y w o d y j e s t

d o ś ć w y r ó w n a n y (ry s. 7 .1 1 ), j e d n a k j e s t o n a z n a c z n ie n iż s z a o d te m p e r a t u r y ś c ia n k i

(tść = 55 °C ).

Rura 1 + 2

Siatka niestrukturalna

Rys. 7.9. Siatka niestrukturalna dla rury 1+2 (L = 1 m +3 m; d = 0,05 m)

102

a) wylot rury 2: v - 0,256 m/s,

płynu wlot. - 2 0 ° C tścia nki - 5 5 ° C

b) wlot rury 1,

- 0,256 m/s,

■płynu wlot.

- 20 °c ,

- 0 W

Rys. 7.10. Wektory prędkości kolorowane według skali wielkości (m/s) dla średniej

prędkości wody v = 0,256 m/s: a) wylot rury 2, b) wlot rury 1

103

a) wlot rury 2,

= 0,256 m/s, tp,ynu wbt

= 2 0 ° C t ścia nki = 5 5 ° C

b) wylot rury 2, v = 0,256 m/s,

płynu wlot. = 2 0 ° C , tścia nki = 5 5 ° C

Rys. 7.11. Kontury temperatury kolorowane według skali wielkości (K) dla średniej

104

\ Ściana

Rys. 7.12. Schemat w nikania ciepła w edług Iłoblera

Najczęściej stosowaną metodą jest tradycyjna analiza wymiarowa. Wymaga ona

przede wszystkim ustalenia, od jakich zmiennych zależy przebieg procesu wnikania
ciepła. Dla przykładu rozważmy schemat wnikania ciepła w wymuszonym przepływie
burzliwym wewnątrz odcinka rury o powierzchni 1 m2, zaproponowany przez Hobłera

[4] (rys. 7.12). Założywszy, że liczba Reynoldsa jest w przybliżeniu stała wzdłuż dro

gi przepływu płynu, można przyjąć, że grubość warstewki przyściennej nie zmienia
się i tym samym współczynnik wnikania ciepła nie zależy od długości rury. Ciepło

jest przekazywane przez elementy płynu w strudze wirów poruszających się od rdze

nia do warstwy granicznej. Całkowita ilość ciepła przekazywana przez wszystkie
strugi na jednostkowej powierzchni wynosi

q = m ffcp (Ty-T2)

(7.102)

gdzie T[ i T

to temperatura płynu na wlocie i na wylocie analizowanego odcinka rury,

m'' natomiast jest prędkością masową płynu.

Dzięki założeniom, że ruch ciepła jest ustalony oraz że główny opór cieplny wy

stępuje w warstwie przyściennej, możemy napisać dla tej warstwy równanie Fouriera

q = - A T '

(7.103)

w którym x jest grubością warstwy granicznej, X - współczynnikiem przewodzenia
ciepła w płynie.

Sumaryczny proces wnikania ciepła opisuje równanie Newtona:

q = aAT

(7.104)

Z porównania równań (7.102) oraz (7.104) otrzymujemy

105

ATj-2

(7.105)

z porównania zaś równań (7.103) i (7.104)

/"7 in ^

a -

(7.106)

x AT

Ponieważ stosunki różnic temperatury są bezwymiarowe, możemy je pominąć.

Z zależności grubości warstwy jc od liczby Reynoldsajc =f(rh", d,

f) otrzymujemy:

a = f { v A , c p ,m " ,d ) = f ( q , X , c p ,p , w , d )

(7.107)

Jak pokazano w poprzednim rozdziale, zależność tę za pomocą analizy wymiaro

wej można sprowadzić do korelacji liczb bezwymiarowych Nusselta, Reynoldsa

i Prandtla:

Nu - CRea Prh

(7.108)

Wartości stałej C i wykładników potęgowych a i b wyznaczono na podstawie wy

ników badań eksperymentalnych.

W pierwszych podręcznikach (por. np. McAdams [10]) rekomendowano następu

jące równanie korelacyjne

Nu = 0,023Re°'&

Prn

(7.109)

w którym:

• przyjmuje się, że n = 0,4 podczas ogrzewania płynu oraz n = 0,3 podczas jego

chłodzenia,

• wszystkie stałe fizyczne płynu określa się dla stałej temperatury płynu, wyzna

czonej jako jej średnia arytmetyczna,

• wartość liczby Reynoldsa powinna być większa od 104,
• liczba Prandtla Pr powinna mieścić się w zakresie od 0,7 do 100,
• stosunek długości rury do średnicy powinien być większy od 60. łncropera i de

Witt [11] przyjęli, że równanie to można stosować już dla LID > 10.

Równanie to początkowo przypisywano McAdamsowi [10], ale obecnie najczę

ściej jest nazywane równaniem Dittusa-Boeltera [3, 11, 12].

Równanie (7.108) można wykreślić w układzie podwójnie logarytmicznym jako

prostą lub zbiór prostych równoległych, zgodnie z funkcją

\g N u ^ \g C + a\gRe + b\gPr

(7.110)

Jeśli przyjmiemy stałą wartość liczby Prandtla, to zależność (7.110) da się spro

wadzić do równania linii prostej

106

\gNu = \gC" + a\gRe

(7.111)

w którym stała C" jest równa ( 'Pr'.

Jeżeli założymy stałą wartość liczby Reynoldsa, to równanie to również daje pro

stoliniową zależność

W szczególnych przypadkach stała C i wykładniki a i b równania korelacyjnego

(7.108) muszą być jednak wyznaczone doświadczalnie. Przykładowe zestawienie
danych dla różnych geometrii układu i różnego kształtu opływanych elementów ze

stawiono za podręcznikiem Hoblera [4] w tabeli 7.1.

Niekiedy, dla bardzo dużego zakresu wartości liczby Reynoldsa, np. gdy sięga

ona obszaru przepływu laminamego, wyniki doświadczeń są korelowane za pomocą
nieliniowej zależności:

Stałe C' i C oraz wykładniki a i b równania korelacyjnego (7.113) są wyznaczane

eksperymentalnie dla danego układu geometrycznego i kształtu opływanych elemen
tów. Przykładowe wartości zestawiono w tabeli 7.2. We wszystkich przypadkach
w odniesieniu do tych korelacji należy stosować parametry warstwy przyściennej.

Wnikanie ciepła podczas przepływu płynu wewnątrz rury w pewnym stopniu za

leży od kierunku. Wyniki pomiarów wskazują na większe wartości współczynników

wnikania ciepła podczas ogrzewania cieczy niż podczas jej chłodzenia. Podczas
ogrzewania cieczy temperatura w warstwie granicznej jest bowiem wyższa niż pod
czas chłodzenia, dzięki czemu współczynniki lepkości cieczy są mniejsze. Aby

uwzględnić ten efekt, Sieder i Tate wprowadzili poprawkę, która jest funkcją stosun

ku współczynnika lepkości w rdzeniu strumienia i] do współczynnika lepkości cieczy
przy samej ścianie //^(równanie 2 w tabeli 7.1).

W rozważaniach przepływu płynu przez rury wypełnione należy rozróżnić dwa

przypadki ruchu ciepła: wnikanie ciepła od płynu do ziarna lub odwrotnie oraz wni

kanie ciepła między ścianą rury i płynem. Można znaleźć wiele korelacji dla poszcze
gólnych przypadków, zwłaszcza w monografiach na temat fluidyzacji. W tabeli 7.1

przedstawiono dla przykładu korelacje Hougena i Watsona dla małych i dużych liczb

Reynoldsa. W tym przypadku zarówno liczba Reynoldsa, jak i liczba Nusselta są od

niesione do wymiaru liniowego będącego średnicą kulki o powierzchni ziarna.

\gNu = \gC"' + b\gPr

(7.112)

w której stała C'" jest równa CRea.

7.4.1. Przypadki szczególne

(7.113)

107

Tabela 7.1. Stała C i wykładniki a i

b rów nania korelacyjnego (7.108) według H oblera [4], s.142

Lp.

Przypadek

Stała C

Uwagi

przepływ w rurze

mała lepkość płynu

0,023

0,8

0,4

R e > 10

przepływ w rurze

duża lepkość płynu

(77

> 2

wody)

0 2 7

(

77,)014

0,8

0,33

Sieder i Tate, Re > 10

(

, lepkość w tem peraturze ściany)

przepływ prostopadły

do rury pojedynczej

0,26

0,6

0,3

R e > 10

przepływ prostopadły
do

rzędów rur

ustawionych

w szachownicę

0,33

0,6

0,33

Colburn, Re > 2-10

obliczone dla prędkości

między rurkami

przepływ prostopadły
do

rzędów rur

ustawionych szeregowo

0,26

0,6

0,33

obliczone dla prędkości
między rurkami

w nikanie ciepła do ziaren

1,064

1,95

0,59

0,49

0,33

N u = ad/A, d - ś/'ednica kulki

powierzchni ziarna,

Re = w dp/t]> 350

Re < 350, Hougen i Watson

Tabela. 7.2. Stałe C" i C oraz w ykładniki a i b rów nania korelacyjnego (7.113)

w edług H oblera

[

s.143. Parametry w yznaczane dla warstwy przyściennej

Lp.

Przypadek

Uwagi

przepływ prostopadły

do rury pojedynczej

0,35

0,47

0,52

0,3

Re = 0,1-1000

przepływ prostopadły do pęku rur

(10

rzędów) ułożonych w szachownicę

0,437

0,587

0,52

0,3

Re = 0,1-2000, obliczone dla
prędkości między rurkami

przepływ prostopadły

do rur w szeregu

(10

rzędów)

0,35

0,47

0,52

0,3

Re = 0,1-2000, obliczone dla
prędkości między rurkami

Równania korelacyjne Dittusa-Boeltera albo Siedera i Tate’a mogą również być

stosowane do przepływu płynu przez kanały o przekroju innym niż kołowy. Wówczas
stosuje się tzw. zastępczą liczbę Reynoldsa, a średnicę należy zastąpić średnicą za
stępczą (ekwiwalentną) zdefiniowaną wzorem

4 A

d , = —

(7.114)

w którym A stanowi przekrój poprzeczny kanału, a O jest jego obwodem zwilżanym
przez płyn. Hobler [4] przytacza jednak wiele przykładów wskazujących, że wnikanie
ciepła podczas przepływu płynu na zewnątrz i wzdłuż pęku rur w przestrzeni między-
rurowej zachodzi znacznie intensywniej. Wartości współczynników wnikania są nie
kiedy nawet o 40-50% większe.

108

Przytoczone korelacje obowiązują dla przepływów wewnątrz rur dostatecznie

długich (L/D > 60), gdyż wówczas profil prędkości jest ustalony. Dla niezbyt długich
przewodów lub gdy chcemy uwzględnić kształt odcinka wlotowego, należy wprowa
dzić współczynnik poprawkowy

S / ,.

W tabeli 7.3 zestawiono ich wartości dla dwóch

liczb Reynoldsa.

Tabela 7.3. W spółczynniki poprawkowe zL = f(L /d ) dla przepływu burzliwego

U d

Re = T 104

1,63

1,50

1,34

1,23

1,17

1,13

1,07

1,03

1,0

Re = 2-104

1,51

1,40

1,27

1,18

1,13

1,10

1,05

1,02

1,0

Dla przepływu wewnątrz wężownicy, gdy pewne znaczenie ma krętość rury, Jesz-

ke [2] podał wzór

a R = a pr^ 1+3,54-^j

(7.115)

w którym apr jest współczynnikiem wnikania dla przepływu w rurze prostej, r - pro
mieniem rury, R zaś promieniem wężownicy.

Szczególnym przypadkiem jest przepływ przez rury o zmiennym przekroju (rury

zgniatane). Według Hoblera [4] współczynniki wnikania ciepła mogą tu być zwięk
szone nawet do 40%.

W celu intensyfikacji wnikania ciepła stosuje się wiele metod, takich jak [3, 4]:

• zwiększanie prędkości masowej przepływu,
• stosowanie różnorodnych wypełnień,
• wprowadzanie przegród powodujących wielokrotną zmianę przepływu,
• stosowanie przepływów prostopadłych i skośnych do wiązki rur,
• wprowadzanie różnego rodzaju deformacji przekroju rury,
• mieszanie cieczy w aparacie.

Niektóre z nich są przedmiotem analizy w następnym rozdziale.

7.4.2. Wnikanie ciepła podczas przepływu

wokół różnorodnych elementów

Zagadnienie wnikania ciepła podczas przepływu prostopadłego do rury jest bardzo

złożone z wielu powodów. Po pierwsze, należy rozróżnić szereg przypadków takich jak

przepływ płynu wokół pojedynczej rury lub układu rurek ułożonych szeregowo lub na-
przemianlegle (w. układzie w szachownicę, tabele 7.1, 7.2). Wyniki badań opublikowane
w klasycznych pracach [2, 4] pokazują, że z jednej strony mamy tu do czynienia z prze
pływem o zmiennej prędkości, z drugiej zaś - z występowaniem charakterystycznych wi
rów z tyłu rury. Dokładny obraz struktury strugi ze wszystkich stron rury można uzyskać

jedynie w wyniku symulacj i komputerowej wykonanej za pomocą zaawansowanych pakie

tów oprogramowania.

109

Przekrój poprzeczny przez wym iennik płaszczowo-rurowy, rurki $ 10,

woda, przepływ laminarny,

= 0,05 kg/s,

= 300 K, T2 = 400 K

Rys. 7.13. Kontury prędkości wody podczas przepływu poprzecznego do rurek wymiennika $ 10 m

Przekrój poprzeczny przez wym iennik płaszczowo-rurowy, rurki $ 10,

woda, przepływ laminarny,

= 0,05 kg/s,

= 300 K, T2 = 400 K

Rys. 7.14. Wektory prędkości wody podczas przepływu poprzecznego

do rurek wymiennika ($ 10 mm) kolorowane według skali wielkości (m/s)

110

Przekrój poprzeczny przez wym iennik płaszczowo-rurowy, rurki $ 10,

woda, przepływ laminarny,

= 0,05 kg/s,

= 300 K, T2 = 400 K

Rys. 7.15. Kontury temperatury podczas przepływu poprzecznego do rurek wymiennika

$ 10 mm kolorowane według skali wielkości (K) dla masowego przepływu wody m = 0,05 kg/s

Przekrój poprzeczny przez wym iennik płaszczowo- rurowy, rurki $ 10,

woda, przepływ laminarny,

= 0,05 kg/s,

= 300 K, T2 = 400 K

Rys. 7.16. Kontury ciśnienia całkowitego podczas przepływu poprzecznego do rurek wymiennika

$ 10 mm kolorowane według skali wielkości (Pa) dla masowego przepływu wody m = 0,05 kg/s

111

Na rysunkach 7.13-7.16 pokazano rozkład prędkości, wektorów prędkości, tem

peratury i ciśnienia całkowitego podczas przepływu poprzecznego wody przez prze

stawny układ rurek (układ szachownicowy) o średnicy 10 mm. Dane te otrzymano

w wyniku rozwiązania układu równań przepływu Naviera-Stokesa oraz równania

energii metodą objętości kontrolnej Patankara [9] za pomocą oprogramowania Fluent
6.0. Od strony czołowej następuje uderzenie czynnika o ścianę rury (co wiąże się ze
zmniejszeniem prędkości i temperatury, ale ze zwiększeniem ciśnienia), po czym

prędkość się zwiększa, ciśnienie po bokach rury zmniejsza, a wreszcie występują wy
raźne wiry z tyłu rury.

Podczas przepływu płynu prostopadle do układu większej liczby rurek strugi są

ułożone rozmaicie w zależności od typu układu. Przyjmuje się, że układ rurek

w szachownicę (naprzemianległy) zapewnia większe wartości współczynników wni

kania ciepła od układu szeregowego. W obydwu zaś przypadkach współczynniki wni
kania są większe niż dla przepływu prostopadłego do rury pojedynczej. W literaturze

można również znaleźć wiele korelacji opisujących wnikanie ciepła podczas przepły
wu wokół rur o innym kształcie niż kołowy [2, 4].

Jeżeli czynnik nie dopływa do rurki pod kątem prostym do jej osi, to należy

wprowadzić poprawkę sę zależną od kąta napływu. Dla wszystkich omawianych przy
padkach układów rur stosuje się wzór

a v = aeę

(7.116)

Wartość poprawki sę odczytujemy z wykresów lub tabel (tabela 7.4).

Tabela 7.4. W spółczynniki poprawkowe eę = f{ ę ) dla przepływu pod kątem różnym od 90°

£(p

1,0

0,98

0,94

0,88

0,78

0,67

0,52

0,42

7.5.

Wnikanie ciepła podczas

wymuszonego przepływu laminarnego

W procesach przemysłowych przepływ laminamy występuje znacznie rzadziej od

przepływu burzliwego. Niemniej jednak przepływ ten ma znaczenie w niektórych
rodzajach technologii, chociażby produkcji tworzyw sztucznych, przerobu węgla,
ropy naftowej, a obecnie biomasy.

Możemy założyć, że w przepływie czysto uwarstwionym wnikanie ciepła spro

wadza się jedynie do przewodzenia ciepła od rdzenia płynu do ściany lub odwrotnie.

Dla takiego przypadku otrzymano rozwiązania analityczne równania energii, oddziel

nie dla tzw. obszaru wlotowego (rozwiązania Graetza i Prandtla [4]) lub dla przepły

112

wu w pełni rozwiniętego. W tym ostatnim przypadku zakłada się, że gęstość strumie
nia ciepła lub temperatura ściany jest stała [11]. Rozwiązania teoretyczne stanowią

jednak tylko pewne przybliżenie, bo rzeczywisty proces wnikania ciepła podczas tego

przepływu jest o wiele bardziej skomplikowany. W warunkach wymiany ciepła, tzn.

istnienia pola temperatury, nie jest on izotermiczny. Paraboliczny rozkład prędkości
(rys. 7.17), który występowałby w przypadku idealnego laminamego przepływu (linia

I na rys. 7.17), deformuje się w wyniku zmian lepkości płynu w zależności od tempe

ratury w poszczególnych warstwach. Jeżeli temperatura ściany jest niższa od tempera
tury cieczy (chłodzenie), to warstwy płynące przy ścianie mają większą lepkość i po

ruszają się z mniejszą prędkością liniową (linia II na rys. 7.17). Z kolei podczas
ogrzewania jest odwrotnie i rozkład temperatury odpowiada linii III. Zmiany tempera

tury na drodze przepływu płynu powodują również zmiany jego gęstości i następuje
ruch ciepła w wyniku konwekcji naturalnej. Można oczekiwać, że większe deformacje

profilu prędkości wystąpią w przypadkach niezgodności kierunków ruchu wymuszo
nego i swobodnego.

Rys. 7.17. Profile prędkości płynu dla przepływu lam inam ego: I - przepływ izotermiczny

(stała lepkość), II -chłodzenie, III - ogrzewanie

Rys. 7.18. Rozwinięcie parabolicznego profilu prędkości u w lotu rury

113

Podstawową przyczyną trudności jest jednak występowanie tzw. odcinka rozbie

gowego (rys. 7.18), na którym zachodzi formowanie się profilu parabolicznego roz

kładu prędkości u wlotu do rury. Przy samym wlocie do rury tworzy się laminama
warstwa przyścienna, podczas gdy w rdzeniu płyn ma stałą prędkość. Warstwa lami
nama narasta stopniowo, aż w pewnej odległości dochodzi do osi rury, zapewniając
paraboliczny profil prędkości w kierunku promieniowym. Podobnie zmienia się rów
nież rozkład temperatury, zapewniając formowanie się tzw. termicznej warstwy gra
nicznej.

Dokładny obraz kształtowania się profili prędkości płynu (wody) oraz rozkładu tempe

ratury uzyskano za pomocą programu komputerowego FLUENT 6.0 (rys. 7.19-7.20).

Przykładowe obliczenia wykonano dla przepływu wody w rurze poziomej o średnicy
0,05 m na odcinku 4 m z użyciem siatki niestrukturalnej (rys. 7.9). Dla niewielkiej

prędkości v = 0,01025 m/s liczba Reynoldsa wynosi około 500, profile prędkości
(rys.7.19) i temperatury (rys.7.20) dość znacznie się zmieniają w przypadku wyższej
temperatury ścianki (/«. = 55 °C). Widać również kształtowanie się wzdłuż kolejnych
warstw różniących się temperaturą: gorących przy ścianie rury grzejnej, chłodnych
dalej od niej.

Długość odcinka rozbiegowego do ustabilizowania się prędkości (rys. 7.18) wy

nosi L = 0,02SSRedwedług Hoblera [4] orazZ, = 0,065ited według Boussinesąa [10],

Długość odcinka rozbiegowego d, na którym stabilizuje się rozkład temperatury

(długość termicznego odcinka wlotowego) można natomiast obliczyć ze wzoru

W literaturze można znaleźć wiele zależności korelacyjnych do określania współ

czynnika wnikania ciepła podczas wymuszonego przepływu laminamego w rurach.
Różnią się jednak bardzo pod względem budowy modułów liczb bezwymiarowych
oraz wartości stałych i wykładników potęgowych. Wynika to z przyczyn omówionych

na wstępie tego rozdziału.

Graetz [ 10] jako pierwszy w 1885 r. opublikował rozwiązanie równania ustalone

go przewodzenia ciepła w płynie podczas przepływu uwarstwionego. Po scałkowaniu

równania Fouriera-Poissona dla przewodzenia ciepła w kierunku promieniowym

otrzymał on zależność bezwymiarowej temperatury w postaci szeregu

) lam

0,05 Re o Pr

(7.118)

(7.119)

gdzie

114

a) wlot rury 1, v = 0.01025 m/s,

płynu wlot.

= 20 °C,

= 0 W

b) wylot rury 2, v = 0.01025 m/s; t

p ły n u wlot. = 2 0 ° C t ścianki = 5 5 ° C

Rys. 7.19. Wektory prędkości kolorowane według skali wielkości (m/s) dla średniej

prędkości wody v = 0,01025 m/s: a) wlot rury 1, b) wylot rury 2

115

a) wlot rury 2,

= 0,01025 m/s, tp

płynu wlot. = 2 0 ° C tścia nki = 5 5 ° C

b) w ylot rury 2,

= 0,01025 m/s,

płynu w lot

= 20 °C, t

ś cia n ki

= 55 °C

Rys. 7.20. Kontury temperatury kolorowane według skali wielkości (K) dla średniej

prędkości wody v = 0,01025 m/s: a) wlot rury 2, b) wylot rur

116

F unkcja $ » j ) je s t szeregiem zbieżnym

^ ( « i ) = 0,10238e~ l4-6272ni + 0 , 01220 e-89,22"1 + 0,00237e~ 2l2"‘ + ...

(7.120)

Po przekształceniach i w prow adzeniu liczby N usselta [10] otrzym ano następujące

rów nanie

N u —

a d _ 2

m c r

■H{rh )

%(/>(»])

(7.121)

Rys. 7.21. Zależność Nu = f{G z) dla w ym uszonego przepływu lam inam ego

M cA dam s i w spółpracow nicy [10] po przeanalizow aniu w yników wielu prac p o

kazanych n a rys. 7.21 stw ierdzili, że dla zakresu Re P r dlL = 4 m c p /{nAL) < 4,5 w ar

tość liczby N usselta gw ałtow nie się zm niejsza, dążąc asym ptotycznie do w artości,

ja k ą m ożna obliczyć z rów nania teoretycznego

d '

N u ~ 0 , 5

nAL

- 0,5 Re P r

(7.122)

R ów naniu tem u odpow iada krzyw a A n a rys. 7.21.

D la zakresu liczb G raetza Gz = mcp /(AL)> 10 i dla dla Re P r dlL > 13 podali oni

em piryczne rów nanie:

N u = 1,62

/ 4

V'3

-Gz

{71

= 1,62 ReP r

x l/3

(7.123)

Równaniu temu odpowiada linia B na rys. 7.21. Średnia wartość współczynnika przewo

dzenia ciepła jest odwrotnie proporcjonalna do długości rury L w potędze 1/3. W równaniu

tym nie uwzględniono jednak zmian liczby Nusselta w zależności od tego, czy rozpatry

wany proces odpowiada ogrzewaniu czy chłodzeniu płynu (por. rys. 7.21).

Sieder i Tate (w edług M cA dam sa [10]) uw zględnili kierunek w nikania ciepła,

w prow adzając popraw kę n a lepkość i otrzym ali pow szechnie akceptow aną korelację:

117

0 ,1 4

JVw = l,86

T]_

Vvs)

-Gz

1 ,8 6

^ • 14

j L

)

RePr-

(7.124)

Korelacja ta obowiązuje dla zakresu RePrd/L > 13. Poprawkę oblicza się ze sto

sunku współczynników lepkości płynu w jego średniej temperaturze i w średniej tem

peraturze ścianki. Inne parametry fizyczne cieczy należy określić dla średniej tempe
ratury strumienia, obliczonej jako średnia arytmetyczna temperatury na wlocie i na
wylocie z aparatu.

Jeżeli założymy, że ogólną zależność dla wymuszonego przepływu wewnątrz rury

w zakresie przepływu laminamego można przedstawić w postaci

(7.125)

liczba podstawowych parametrów wymiarowanych wynosi 8, liczba zasadniczych

wymiarów zaś 4, to liczba modułów bezwymiarowych jest równa 4. W wyniku anali

zy wymiarowej otrzymuje się zależność między modułami bezwymiarowymi:

Nu = CRe Pr

rd_ Y

, L y

(7.126)

Na podstawie badań doświadczalnych ustalono, że wykładniki liczb bezwymiarowych

są sobie równe: a = b = c = 1/3.

Badacze rosyjscy (por. np. [3]) przyjęli, że podstawowym czynnikiem kształtują

cym rozkład prędkości i temperatury są siły wyporu, czyli konwekcja swobodna;
ogólna zależność ma zatem następującą postać:

« = f { w ,d ,V ,A ,P ,c P,g,& T,P)

(7.127)

Liczba podstawowych parametrów wymiarowanych wynosi 10, liczba zasadniczych

wymiarów 5, więc liczba modułów bezwymiarowych jest równa 5.

W wyniku analizy wymiarowej uzyskano następującą zależność modułów bez

wymiarowych

Nu - CRea Prh Gac Vd

gdzie V= NT/L Ga = gd\ p

h f .

Na podstawie danych doświadczalnych Michiejew [3] otrzymał korelację

(7.128)

Su - 0.15.7/ R ł -33Pr

-43Gr":

r />,. ^ - 25

Pi\

(7.129)

w której: Gr = GaV= g d \ p

ATj3hj

- liczba Grashofa, liczona dla średniej temperatu

ry płynu, Pr - liczba Prandtla liczona dla średniej temperatury płynu, Pi\ - liczba Prand-
tla liczona dla średniej temperatury ściany, AT - średnia różnica temperatury ściany i

118

płynu (liczona jak o średnia arytm etyczna n a wlocie i wylocie),

średnica hydraulicz

n a przewodu. Liczby N usselta JVw i R eynoldsa ife są rów nież liczone dla średniej tem pe

ratury płynu. W artość popraw ki

należy odczytać z tabeli 7.5.

Tabela 7.5. Współczynniki poprawkowe

eL =f(L!d)

dla przepły wu laminarnego

U d

1,90

1,70

1,44

1,28

1,18

1,13

1,05

1,02

1,0

Rys.

7.22.

Wnikanie ciepła podczas przepływu przez kanał poziomy według Michiejewa

W korelacji (7.129) istotną rolę odgryw a liczba G rashofa, w której uw zględnia się

w pływ konw ekcji naturalnej n a w nikanie ciepła. K orelację tę pokazano n a rys. 7.22.

Jak w idać z rys 7.22, liczby G rashofa, zm ienne w szerokim zakresie (od 1 do 106),

po p raw iają w spółczynnik w nikania ciepła blisko czterokrotnie.

Po w prow adzeniu w zorów n a liczby bezw ym iarow e i uporządkow aniu korelację

(7.129) m ożna zapisać następująco

a ~ A

0-33AT0-

j0,37

P)\

Sl.

(7.130)

gdzie stała

je s t fu n k cją w łaściw ości płynu zależną od tem peratury

¿ = 0,15

/70-53c / - 43A°-57/ J g 0J

(7.131)

W artości liczbow e stałej

dla wody i pow ietrza m ożna znaleźć w tabelach.

R ozw iązania dla szeregu przypadków scharakteryzow anych kształtem przekroju

kanału oraz w arunkam i w ym iany ciepła przy ścianie przedstaw i! M adejski [6].

119

7.6. Wnikanie ciepła w obszarze przejściowym

Z godnie z zasadam i hydrodynam iki przejście od przepływ u lam inam ego do prze

pływ u burzliw ego następuje w zakresie liczb R eynoldsa około 2 1 0 0 -2 3 0 0 [4]. W y

stępuje je d n a k strefa przejściow a, w której przepływ lam inam y stopniow o zanika,

a przepływ staje się w pełni burzliw y dopiero dla

R e

= 104. Z ależność m odułu Nussel-

ta od liczby R eynoldsa w różnych obszarach przepływ u w ym uszonego w rurach dla

płynu o liczbie

P r

= 1 oraz

ij/i]s

= 1 przedstaw iono n a rys. 7.23. Poniew aż w obszarze

przejściow ym proces w nikania ciepła nie je s t ustabilizow any i w yniki pom iarów nie

są jednakow e, więc m ożna przyjąć dla tego zakresu liniow ą interpolację liczby Nus-
selta w układzie logarytm icznym . Interpolacji dokonujem y m iędzy w artościam i

N u

obliczonym i kolejno dla

R e

= 2100 z korelacji dla przepływ u lam inam ego oraz dla

R e

= 104 dla burzliw ego przepływ u. Podany sposób interpolacji je s t tylko przybliże

niem , poniew aż funkcja

\gN u = f{ \g R e )

nie je s t dokładnie pro stolinio w ą zależnością.

M cA dam s [10] p oleca korzystać z wykresu C o lb u m a (rys. 7.24), zw łaszcza dla

cieczy lepkich:

Fi Ina I* f lr e p iir in n w

-liu rz iw ^ _

IP1?™

10®

Rys. 7.23. Zależność

Nu =fiRe)

dla

Pr =

1 oraz

/]//], =

\0J4

= f { R e )

(7.132)

gdzie

j H

S t P r213

N u /(R e P r m ).

Hausen [4] dla przepływ u w szerokim zakresie liczb R eynoldsa (2300 < Re < 106)

opracow ał zależność korelacyjną

120

JVM = 0 , 1 1 6 ( t e 2/3 - 1 2 5

) P r 113

i l \

2 /3

^ A d

—

)

(7.133)

D uże znaczenie praktyczne m a w ym iana ciep ła i m asy, gdy ciecz opływ a kulę.

Z reguły przebiega ona w obszarze przepływ u przejściow ego, tj. w zakresie

1 <

R e

w dpp h j ) <

10'\ W wielu procesach, takich ja k fluidyzacja, suszenie, chło

dzenie wody, naw ilżanie p ow ietrza itp. w ystępuje w nikanie ciepła z fazy gazowej

(pow ietrza) do cząstek w przybliżeniu sferycznych.

Rys. 7.24. Zależność

j H( = f i R e )

według Colburna

W zakresie przepływ u lam inam ego uzyskano rozw iązania analityczne dla różnych

funkcji p rą d u

J h

[5].

N a podstaw ie badań dośw iadczalnych najpierw Froessling, a później R anz

i M arshall [5] ustalili zależność k orelacyjną

N u = 2 ,0 + 0 , 6 R e 112 P r 113

(7.134)

K orelacja ta obow iązuje w zakresie liczb R eynoldsa

1 <

R e

(= wdpphj) < 7-104

oraz

liczb P randtla 0,6 <

P r

r/CpIA) <

400.

7.7.

Wnikanie ciepła podczas przepływu

swobodnego w warunkach konwekcji naturalnej

W w arunkach konw ekcji naturalnej proces w nikania ciepła podczas przepływ u

sw obodnego je s t uw arunkow any graw itacyjnym ruchem płynu w pobliżu ściany prze

kazującej lub przejm ującej ciepło. Poniew aż gęstość płynu, najczęściej pow ietrza,

w pobliżu ściany grzejnej je s t m niejsza niż w rdzeniu płynu, więc różn ica sil graw ita

cyjnych pow oduje w pobliżu ściany ruch płynu do góry. Po zim nej ścianie ruch płynu

je s t skierow any ku dołow i. Jest to tzw . efekt kom inow y.

121

Mechanizm wnikania ciepła, w tym tworzenie się laminamej warstwy granicznej,

zależy przede wszystkim od właściwości fizykochemicznych płynu, ale również od
kształtu ściany, tzn. czy to jest ściana rury poziomej, czy ściana pionowa. Już bardzo
dawno opracowano metody doświadczalne pozwalające obserwować zachowanie

laminarnej warstwy przyściennej oraz pola temperatury w pobliżu ściany. Należą do

nich metoda cieni, stosowana już przez Schmidta, oraz metoda interferencyjna, pole
gająca na fotografowaniu wiązek światła przesyłanych prostopadle do ściany. Na
rysunku 7.25 dla przykładu pokazano rozkład temperatury i prędkości dla płyty pio
nowej uzyskane przez Schmidta. Temperatura powietrza obniża się w miarę zwięk

szania odległości od ściany, prędkość zaś wzrasta, osiągając maksimum w pewnej
odległości od ściany.

100

0,3 80

0,2

0,1

V \

\ \

T e m p e r atura

P rę d k i )ŚĆ

E. ¿Lo

O d s tę p od płyty

[m m ]

Rys. 7.25. Rozkład temperatury’ i prędkości

pow ietrza w pobliżu gorącej ściany pionowej

Rys. 7.26. Sprzężenie rozkładu pól temperatury’,

prędkości i sił na gorącej ścianie pionowej

Sprzężony rozkład pól temperatury i prędkości powietrza na ścianie pionowej, jak

pokazano dla przykładu na rys. 7.26, kształtują siły działające na płyn. Są to [13]:

• Siła wyporu FB

~ -(p o -A c)geosę>

(7.135)

dla ściany pionowej cos<^= cos 0° = 1.

• Siła bezwładności (inercji) Fj

(7.136)

gdzie wr jest prędkością charakterystyczną (maksymalną).

122

Siła tarcia wewnętrznego Ff

kti

J 2

(7.137)

W pobliżu ściany (w warstwie granicznej) siły inercji są takie same jak siły tarcia,

co można zapisać:

'■

v —

(7 J3 8 >

Po przekształceniu otrzymujemy równanie określające grubość laminamej warstwy
granicznej:

V/2

w, II

Również siły wyporu są porównywalne z siłami inercji, a zatem

-(po - p x )gcos<p&px

Po przekształceniu otrzymujemy

~(po - p x )H gcosę

Po podstawieniu tej zależności do równania (7.139) otrzymujemy

V/4

gH~ cosę

Ao)

Jeżeli wprowadzimy do wyrażenia różnicę gęstości

PO Po0

Po'j jlcO (^0 ^OO )

otrzymamy zależność określającą grubość warstwy granicznej

«,

(

V /4 /

\ l /4

V "

H ~ p n f a - T ^ g H * )

U os^y

a tym samym

(7.139)

(7.140)

(7.141)

(7.142)

(7.143)

(7.144)

(7.145)

123

Liczba Grashofa jest odwrotnością wyrażenia w poprzednim równaniu

Cr gH

-T „ ) &

Grubość laminamej warstwy granicznej jest więc odwrotnie proporcjonalna do liczby
Grashofa w potędze 1/4, a wprost proporcjonalna do wysokości ściany.

Już w 1881 r. Lorenz [10] ustalił, od jakich wielkości zależy wnikanie ciepła

w warunkach konwekcji naturalnej. Po scałkowaniu różniczkowego równania prze
wodzenia ciepła w ruchomym płynie otrzymał on równanie bezwymiarowe

a H

- 0,548

i ncp \

( g f f 3p 2/ ? A T Y

y X )

1/4

(7.146)

Dla gazów idealnych /? = \/T. Wielu badaczy, między innymi Nusselt, skorzystali

z tej zależności do korelowania wyników badań w odniesieniu do rur. Zamiast wyso
kości ściany //podstawiali średnicę zewnętrzną dz.

Współczynnik wnikania ciepła podczas konwekcji naturalnej

a ^ f ( A , V , c p , A T , h , p , / 3 , g )

(7.147)

zależy od współczynnika przewodzenia ciepła X, lepkości p, ciepła właściwego cp,

różnicy temperatury AT, wymiaru liniowego h przedmiotu (dla rury poziomej h = d),

gęstości p, współczynnika rozszerzalności objętościowej płynu /3 i przyspieszenia
ziemskiego g.

W wyniku analizy wymiarowej (« = 9, r = 5 i m = 4) otrzymujemy równanie kry -

terialne:

Nu - C

ycp

gfr p ‘

\ h

{pAT)C

(7.148)

w którym liczba NusseltaM/jest funkcją liczby Prandtla Pr. Galileusza Ga i liczby V.

Ponieważ doświadczalnie ustalono, że wykładniki potęgowe dla poszczególnych

liczb bezwymiarowych sąjednakowe, najczęściej spotyka się zapis w postaci

Nu = CGr'Pr‘ =CRd

(7.149)

gdzie: liczba Grashofa Gr = GaV, liczba Rayleigha (Strutta) Ra = GrPr.

Graficzną postać tej korelacji przedstawiono na rys. 7.27. W układzie podwójnie

logarytmicznym nie jest to linia prosta, więc dla lepszego przybliżenia krzywą podzie
lono na trzy odcinki; dla małych wartości X = GrPr przepływ swobodny jest laminar

ny, dla średnich - przejściowy, dla dużych - burzliwy.

Wartości wykładnika potęgowego i oraz stałej C dla różnych zakresów konwekcji

zestawiono w tabeli 7.6. Wszystkie parametry fizykochemiczne płynu wyznacza się

124

dla średniej tem peratury w arstw y przyściennej, liczonej jak o średnia arytm etyczna

tem peratury ściany i średniej tem peratury płynu.

Rys. 7.27. Zależność Nu = f(G rP r) dla konwekcji naturalnej

Tabela 7.6. W artości stałej C oraz w ykładników potęgowych i w korelacji (7.149)

Charakter ruchu

X = GrPr

O dcinek

Stała C

W ykładnik i

Laminarnv

M O -5 -1 0

1,18

1/8

Przejściowy

5-10

—2-10

0,54

1/4

Burzliwy

10 7

0,135

1/3

H obler [4] w prow adzi! w ym iar poprzeczny 3:

3- =

(

i \l/3

(7.150)

charakterystyczny dla spływającej grawitacyjnie strugi. Otrzyma! następujące wyrażenia:

• liczba G rashofa

3 3

(7.151)

125

• liczba V

Równanie (7.149) można więc przekształcić do następującej postaci:

V - (3AT

(7.152)

( a 3 z ^ h

— = CV

\ ż

U J

dzięki czemu otrzymujemy zależność nowych modułów bezwymiarowych

f O V - 3('

JVm = — - = CV'Pr'

h j

(7.153)

Wartości stałej C dla różnych zakresów konwekcji i rozmaitych geometrii układu

zestawiono w tabeli 7.7.

Przez ograniczenie zakresu zastosowania równań uogólnionych można otrzymać

równania o prostej budowie, przydatne w praktyce. Dla ściany pionowej najczęściej
mamy do czynienia z obszarem przejściowym (5-102 < GrPr (= VPr(3z/h))~3 < 2-107),

gdzie i = 1/4, C = 0,54 oraz

a - A

A T \ y4

v h ,

[ W/(m -K)]

(7.154)

Równania (7.149) ¡(7.153) można wówczas sprowadzić do prostej postaci. Współ

czynnik A jest funkcją temperatury danego płynu. Wartości tego współczynnika dla
powietrza i wody zestawiono w tabelach 7.8 i 7.9.

Tabela 7.7. W artości stałej C d laW = G rP r= VPr(9Jh) (równ. (7.153))

Lp.

Układ

Od W,

Do W

Powyżej X 2

Źródło

Ściana pionowa,
cylinder pionowy

104

5-10

109

10 7

0,59
0,54

109

10 7

0,13

Weise, Saunders,

McAdams,

Michiejew

Rura pozioma,

drut

103

109

0,53

0,47

109

0,11

Eberle, Wamsler,

Koch, McAdams,

Rice,
Brown i Marco

Płyta pozioma,

oddająca ciepło
do góry

105

10 7

0,54

10 7

0,14

Fishenden i Saunders

Płyta oddająca

ciepło w dół

103

109

0,35

109

0,08

Brown i Marco

‘Dla płyty poziomej h odpowiada krótszemu bokowi. Dla płyt, w których h > 0,6 m, należy przyjąć hmax = 0,6 m.

126

Tabela 7.8. W artości w spółczynnika A (równ. (7.154)) dla pow ietrza

100

200

300

500

1000

1,42

1,32

1,27

1,22

1,10

0,99

0,81

Tabela 7.9. W artości w spółczynnika A (równ. (7.154)) dla wody

100

150

111

149

178

205

226

273

W obszarze burzliwym (GrPr = VPr(&Jh)3 > 2-10 ). gdzie i = 1/3, C = 0,135;

równania (7.149) i (7.153) można wówczas sprowadzić do prostej postaci

a - A ( A T ) 3,

W/(m2 -K)

(7.155)

Wartości współczynnika A dla powietrza i wody w tym równaniu zestawiono w tabe
lach 7.10 i 7.11.

Tabela 7.10. W artości w spółczynnika A (równ. (7.155)) dla pow ietrza

100

200

300

500

1000

1,68

1,47

1,33

1,13

0,99

0,81

0,56

Tabela 7.11. W artości w spółczynnika A (równ. (7.155)) dla wody

100

150

102

198

291

362

425

480

610

Obliczenia wykonuje się dla średniej temperatury warstwy przyściennej, oblicza

nej jako średnia arytmetyczna temperatury ściany i średniej temperatury płynu.

7.8.

Wnikanie ciepła podczas

grawitacyjnego spływu cieczy po ścianie

Grawitacyjny spływ cieczy występuje najczęściej w skraplaczach, np. amoniaku

w przemyśle azotowym. W zraszanych aparatach pionowych występuje częściej

spływ burzliwy, w poziomych zaś przepływ laminamy.

127

N ajpierw rozw aża się opory cieplne podczas konw ekcji zachodzącej m iędzy p o

w ierzchnią ściany a gazem (pow ietrzem ), oddzielonym od ściany spływ ającą w arstw ą

cieczy (rys. 7.28). Jeżeli w arstw a ta je s t cienka, to przekazyw anie ciepła w zasadzie

zależy od w łaściw ości opływ ającego gazu, gdy natom iast je s t ona gruba, spływ cieczy

je s t z reguły burzliw y.

Rys. 7.28. Schem at w nikania ciepła

podczas grawitacyjnego spływu cieczy

Przyjm ijm y schem at rozkładu tem peratury ja k n a rys 7.28, gdzie ,v je s t średnią

grubością w arstw y cieczy. Strum ień ciepła m ożem y w yrazić za p o m ocą rów nania

N ew tona opisującego opór w nikania ciepła od gazu do cieczy

Q ^ a KA cA T '

(7.156)

Przew odzenie ciepła przez w arstw ę cieczy w przypadku ustalonego ruchu ciepła

opisuje rów nanie F ouriera

Q ^ - A A T "

(7.157)

W w arstw ie cieczy niew ielkiej grubości niezależnie od kształtu pow ierzchni chłodzą

cej pow ierzchnia przekroju poprzecznego je s t stała A c = A.

Po przekształceniu rów n. (7.156) i (7.157) otrzym ujem y

A T ' = - 0 —

(7.158)

a KA

oraz

A A

(7.159)

128

Po dodaniu obu równań stronami otrzymujemy wzór na całkowitą różnicę tempe

ratury:

A T ^ A T ' + A T " ^ —

A Ka g

A j

(7.160)

Wprowadźmy zastępczy współczynnik wnikania ciepła, opisujący cały proces ru

chu ciepła

wówczas otrzymamy

a g

O = a A AT

(7.161)

(7.162)

Składową oporu cieplnego w procesie przewodzenia ciepła w warstwie cieczy

można opisać za pomocą zastępczego współczynnika wnikania:

Otrzymujemy równanie

a ■

■

a g + a z

(7.163)

(7.164)

Wyznaczenie zastępczego współczynnika wnikania ciepła a

w warstwie cieczy

spływającej grawitacyjnie wymaga określenia grubości tej warstwy.

Można ją obliczyć analitycznie, jeśli spływ cieczy jest uwarstwiony. Dostępne

w literaturze liczne wzory do obliczania zastępczej grubości warstwy cieczy można

zapisać w następującej postaci

sfr - — 3, Re J

C ‘

‘

(7.165)

gdzie:

V / 3

77"

y f g

A r

stała C = 1,47 dla skroplin na rurze pionowej oraz C = 1,2 dla skroplin na rurze po
ziomej .

129

P oniew aż a : = AAv<r, więc po podstaw ieniu rów nania (7.165) otrzym ujem y wzór

a z = C — Re~m

(7.166)

lub

N u z = C R e / l/3

(7.167)

gdzie N u: = a : 3-JX je s t zastępczą liczbą N usselta.

D ośw iadczalnie ustalono, że należy przyjąć

• dla rury pionow ej C = 1,5, F = m l{nd),

• dla rury poziom ej C = 1,2, F = m /(2L)

Param etr 3Z odpow iada grubości strugi cieczy, jeżeli R e: = 1 i dlatego nazw ano go

zastęp czą grubością strugi.

3 4 S e i t f i

Rys. 7.29. Zależność N u. = fiR e :) dla spływu grawitacyjnego

W nikanie ciepła od gazu do w arstew ki spływ ających skroplin w zakresie burzli

wego przepływ u {Rez > 2000) przebiega inaczej niż dla spływu lam inam ego. Z ależ

ność N u: od Re: w przypadku spływu po ścianie rury pionow ej pokazano n a rys. 7.29.

W obszarze lam inam ego spływu w zrost grubości w arstw y ze w zrostem liczby Rey

n oldsa pow oduje zm niejszenie liczby N usselta. O dw rotną zależność w ystępuje w ob

szarze przepływ u burzliw ego {Rez > 2000), gdzie liczba N usselta w yraźnie się

zw iększa ze w zrostem liczby R eynoldsa. W edług K irk b rid e’a i B adgera dla burzliw e

go spływu graw itacyjnego obow iązuje rów nanie

N u z

=0,0076/te?''4

(7.168)

W ykres tej zależności stanow i linia p ro sta po praw ej stronie rys. 7.29.

130

7.9. Wnikanie ciepła podczas skraplania pary nasyconej

Proces skraplania pary w ystępuje zaw sze, gdy p ara nasyco na styka się ze ścianą

o tem peraturze niższej od tem peratury n asycenia pary pod danym ciśnieniem . Pierw

sze kropelki cieczy tw o rzą się w m ikroskopijnych w głębieniach n a pow ierzchni ścia

ny. K olejne krople zlew ają się w cienką w arstw ę, tw orząc film (blonkę) kondensatu,

spływ ający graw itacyjnie w dół ściany. W ytw arza się jed nokierunkow y ruch cząste
czek pary w kierunku do ściany, a skraplanie pary zachodzi ju ż n a pow ierzchni film u

cieczy. T ow arzyszy tem u gw ałtow ne zm niejszenie objętości oraz przekazanie ciepła

skraplania do ściany. Proces ten, nazyw any w nikaniem ciepła podczas skraplania pary

nasyconej, je s t tym intensyw niejszy, im w iększa je s t ró żn ica m iędzy tem peratu rą pary

nasyconej a tem peraturą n a pow ierzchni ściany. G łów ny opór w nikania ciepła je s t

skoncentrow any w film ie kondensatu, w którym zachodzi przew odzenie ciepła. Waż

n ą rolę odgryw a zatem grubość film u kondensatu, która się zw iększa ku dołow i ścia

ny, co pow oduje zm niejszenie w artości lokalnych w spółczynników w nikania ciepła.

Jest to tzw . kondensacja film ow a, którą schem atycznie pokazano n a rys. 7.30. K on

densacja film ow a zachodzi wtedy, gdy ciecz kondensatu dobrze zw ilża pow ierzchnię
ściany, czyli siły adhezji p rzew ażają nad siłam i kohezji.

Gdy siły napięcia pow ierzchniow ego kropli (siły kohezji) są w iększe od sił adhe

zji (przylegania), kropelki kondensatu szybko odryw ają się od ściany i opadają, nie

tw orząc film u cieczy. T aką kondensację nazw ano kropelkow ą (perlistą). W ystępuje

ona zaw sze n a dolnej pow ierzchni płyty poziom ej oraz n a pow ierzchniach słabo zw il

Rys. 7.30. Schem at w nikania ciepła podczas

skraplania pary nasyconej na ścianie pionowej

131

żanych przez ciecz. Brak zwilżalności powierzchni można także uzyskać przez powle
kanie ściany takimi substancjami, jak np. kwasy tłuszczowe lub przez dodanie odpo

wiedniego składnika do pary. Podczas skraplania kropelkowego warstewka kondensa
tu praktycznie nie istnieje, co powoduje zmniejszenie oporu cieplnego i wzrost
współczynników wnikania ciepła. Są one wielokrotnie większe niż w kondensacji
filmowej, osiągając wartości 10' W/(m2-K). Zjawisko kondensacji kropelkowej jest
także charakterystyczne dla świeżych powierzchni. Jednak po pewnym czasie eksplo
atacji w wyniku powstawania wżerów, osadów czy zmycia powlekanej substancji na
powierzchni zachodzi kondensacja filmowa. Ma ona podstawowe znaczenie dla pracy

skraplaczy, nazywanych też kondensatorami.

Proces wnikania ciepła podczas kondensacji filmowej badano zarówno metodami

eksperymentalnymi, jak i analitycznymi (prace Nusselta). Najpierw rozpatruje się
równania empiryczne [4], w tym opisy modelowe procesu, aby ustalić zmienne zależ

ne. Na powierzchni ciekłego filmu spływającego po ścianie skrapla się strumień pary

ńip, z którego powstaje strumień kondensatu mk (rys. 7.30). Strumień ciepła odda

wany powierzchni filmu cieczy przez kondensującą się parę jest równy

Q = mpr

(7.169)

Jest on przewodzony przez warstwę kondensatu zgodnie z równaniem Fouriera

Q ^ — AAT

(7.170)

gdzie Ac jest współczynnikiem przewodzenia ciepła cieczy, W/(m-K), a s - średnią
grubością filmu cieczy.

Wnikanie ciepła w tym procesie opisujemy równaniem Newtona

Q = aA A T

(7.171)

gdzie AT= Ts - T ić.

Jeżeli para jest nasycona i nie zachodzi schładzanie kondensatu, to z porównania

równań (7.169) ¡(7.171) otrzymujemy

™Pr

mkr

a -

= ------

(7.172)

A M

AAT

a ponieważ w równaniu tym mk!A - m”, więc otrzymujemy

• " aA T

i ni \

mk -------------------------

(7.173)

Z porównania równań (7.170) i (7.171) otrzymujemy natomiast

a = —

(7.174)

132

Ogólnie jest to zależność funkcyjna

a = f { \ , s )

(7.175)

Ponieważ średnia grubość warstwy kondensatu zależy od intensywności spływu,

właściwości fizykochemicznych cieczy oraz od parametrów geometrycznych ściany

s = f{m'k',h,Tic ,p c,g )

(7.176)

więc po podstawieniu tego równania do wzoru (7.175) otrzymujemy ogólną zależność
funkcyjną

a = f(m 'k',^ ,V c ,P c ,h ,g )

Uwzględniając równanie (7.173), po podstawieniu otrzymujemy

a = f ( ^ c ,Xc ,p c ,r,H.T,h,g)

(7.177)

(7.178)

Zgodnie z twierdzeniem Buckinghama mamy 8 zmiennych wymiarowanych i 4 zasad

nicze wymiary, a zatem zależność ogólną można przedstawić jako związek 4 modułów
bezwymiarowych.

Na podstawie analizy wymiarowej otrzymuje się równanie

~ T ~

lcCp

Y i

\ Ac j \CpAT j

czyli

Nu = CPra K hGac

(7.179)

(7.180)

Pr jest liczbą Prandtla, Ga liczbą Galileusza dla skroplin, K zaś liczbą kondensacji.

Doświadczalnie wykazano, że zgodnie z wynikami analitycznymi Nusselta, wy

kładniki potęgowe są sobie równe: a = b = c.

Stąd równania (7.179) i (7.180) dają związek

= c

( ii

gn pć r

Acr/cAT

- CC,

(7.181)

lub

a = C i

r p l Alg

r/c h AT

(7.182)

W korelacji (7.181) dla rur poziomych liczba Nusselta Nu = ad!Ac, Cv natomiast

jest liczbą skraplania Nusselta.

133

Wartości stałej C, zależnej od kształtu i położenia powierzchni, na której zacho

dzi skraplanie, zestawiono w tabeli 7.12.

Tabela 7.12. W spółczynnik C w równaniu (7.181)

Powierzchnia

Uwagi

Ściana pionowa, rura pionow a

Rura pozioma, skraplanie zewnętrzne

N rur poziomych jed n a pod drugą

Rura żebrow ana pozioma, skraplanie zewnętrzne

1,13

0,725

0,725Ah/4

0,689

h - wysokość

h = d - średnica

h = D zastępcze

Hobler [4] przekształcił równanie (7.181) przez wprowadzenie zastępczego wy

miaru poprzecznego spływającej warstwy kondensatu

= (vc2/g)1/3. Otrzymał on

wyrażenie na liczbę skraplania

Pc2 r g

r ?i ccc

' h

' 3

7]cAT C

c AT

■c

czyli

Cv =

Prc

/ a v 3

y h j

Po podstawieniu tego równania do równania (7.181) przyjmie ono postać

—

^CKyĄPrL

f ^ -

{ h

-3/4

(7.183)

(7.184)

(7.185)

a po obustronnym pomnożeniu przez 9Jh otrzymamy

i n V 3/4

I I

Ą_

y h j

(7.186)

W równaniu tym występuje zastępcza liczba Nusselta, którą zapiszemy w postaci

Nu, —

CK]I4 PrJ14

r & y !Ą

(7.187)

v n /

7.9.1. Teoria Nusselta

Nusselt już w 1916 r. wyprowadził równanie określające współczynnik wnikania

ciepła podczas kondensacji filmowej. Analizował spływającą błonkę skroplin według

134

schematu przedstawionego na rys. 7.31. Grubość filmu s =f(x) jest zmienna; dla jc = 0

(u góry) jest równa zero i zwiększa się ku dołowi.

Rys. 7.31. Spływ warstwy skroplin

Na podstawie równania Fouriera gęstość strumienia ciepła przewodzonego przez

warstwę skroplin w odległości

wynosi:

qx = - { T s - T i£) = ^ T

(7.188)

Ten sam strumień ciepła wnikający do ścianki opisuje równanie Newtona

qx = a x (r, - Tśi) = a x AT

(7.189)

Z porównania tych równań wynika definicja lokalnego współczynnika wnikania ciepła:

a x =—

(7.190)

Najtrudniejsze było określenie lokalnej grubości filmu. Przyjęto, że temperatura

ścianki oraz różnica temperatury są stałe na całej wysokości ściany. Aby wyznaczyć

rozkład prędkości, analizowano wycinek różniczkowej objętości

o wysokości dx

i szerokości dy oraz skończonej długości b (rys. 7.32). Podlega on działaniu sił cięż

kości Fc oraz sił tarcia wewnętrznego F,. Dla ruchu jednostajnego można przyjąć, że

drFc + d

F, =0

(7.191)

135

Poszczególne człony równania (7.191) są następujące:

• różniczkowa siła ciężkości

d 2 Fc =ycbdxdy

1 ciężar właściwy skroplin

d 2 F = bdxdT

= gP

(7.192)

(7.193)

(7.194)

W równaniu (7.193) naprężenie styczne Tjest siłą tarcia działającą na jednostkę

powierzchni.

Rys. 7.32. Rozkład prędkości

i naprężeń w warstwie skroplin

Następnie analizuje się jest zależność naprężenia stycznego od właściwości fizy

kochemicznych i prędkości płynu. Z równania (7.193) otrzymujemy

dT =

d 2 Ft

bdx

z równania (7.191) mamy natomiast

d 2 Ft = - d 2 Fc

(7.195)

(7.196)

Po podstawieniu do równania (7.195) i przekształceniach otrzymuje się następujące
równanie

136

(7.197)

Pochodna naprężenia stycznego rwzględem y wynosi

(7.198)

Po uwzględnieniu prawa Newtona

T - T /

-------

(7.199)

otrzymuje się przez zróżniczkowanie

Z porównania równań (7.198) i (7.200) otrzymujemy wyrażenie

które całkujemy dwukrotnie względem y i otrzymujemy wzór na rozkład prędkości

w filmie cieczy

() . C

są stałymi całkowania. Wyznaczamy je z warunków brzegowych:

• Przy ścianie, gdy y = 0, w = 0, zatem Ci = 0.
• Na powierzchni błonki kondensatu y = s oraz dw/dy = 0. Po zróżniczkowaniu

równania rozkładu prędkości (7.202) względem y i przyrównaniu do zera otrzymuje

się wyrażenie

= - ^ - y + Q =0

(7.203)

z którego wyznaczamy stałą Ci

Po podstawieniu wyrażenia na stałą C] oraz C

= 0 do równania (7.202) otrzymujemy

równanie określające profil prędkości:

t/c

(7.202)

(7.204)

137

, n - S

n n r \

w = - - — >• +

(7.205)

2?7c

V c

Równanie średniej prędkości strugi kondensatu wyprowadza się z całki:

Wir = “

| wdy ■

(

yc s~ t

YcS

t jc

T]c

Yc s

(7.206)

3/7,

Następnie ustalamy związek przyrostu masowego strumienia kondensatu z grubo

ścią filmu.

Z definicji masowego natężenia przepływu mamy

iii - bswir p c

(7.207)

po podstawieniu wzoru na średnią prędkość otrzymujemy

•

YcPcb 3

g p c b 3

ono\

m = --------5 = ---------5

(7.208)

3?7c

3 7]c

Po zróżniczkowaniu tego równania otrzymuje się wyrażenie na przyrost strumienia

masowego na drodze dx

d m ^ ^ — s2ds

(7.209)

Przyrost ten następuje w wyniku skroplenia pary przez odebranie strumienia ciepła
o gęstości qx, co można zapisać następująco:

dm - bdxm" - — bdx

(7.210)

Po wprowadzeniu równania Fouriera (7.188) otrzymujemy

dm - —— ATdx

(7.211)

s r

Z porównania równań (7.209) i (7.211) wynika związek

dx ~ ^ Y>c— s3ds

(7.212)

¿cTicA T

Po scałkowaniu obu stron równania otrzymuje się

AXci]ctsT

Ponieważ dla jc = 0 grubość błonki s = 0, więc stała C = 0.

g p c r s4 + c

(7.213)

138

Po przekształceniu równania (7.213) otrzymuje się wzór na grubość filmu

\ 1/4

14 Xcr,c A

— x

v gpc~r

(7.214)

a po podstawieniu tego wyrażenia do równania (7.190) wzór na lokalny współczynnik

wnikania ciepła

a x

i 4 \ 1/4

gPc rAc

4rjcATx

(7.215)

Średni współczynnik wnikania ciepła dla ściany o wysokości h obliczamy jako

średnią całkową

a ■

■ - 1 a xdx

i J

(7.216)

Przyjmując wyrażenie na stałą

A =

(

* 4 V/4

4łjcAT

w wyniku całkowania otrzymujemy równanie

(7.217)

a - A —{x VĄdx -

h i

h3/4 =

3/4 h

4 A

3 h

g p i r f c

4r/cATh

\ 1/4

(7.218)

którego postać końcowa nazywa się wzorem Nusselta

a ~ 0,943

4 , 4 V/4

g P P rlg

rjcATh

(7.219)

Na podstawie badań doświadczalnych stałą C w tym równaniu należy skorygować

do wartości 1,13. Według Walta i Kroegera [13] spływ skroplin odbywa się ruchem
falowym, co wymaga wprowadzenia przelicznika 1,15.

W przypadku skraplania na ścianie nachylonej pod kątem ^do poziomu równanie

(7.192) skorygujemy następująco

d 7 Fc = yc sin ęSdxdy

(7.220)

Uwzględnienie tego równania prowadzi do określenia współczynnika korekcyjnego

dla kąta (j) :

139

a,$ =a$J sin^

(7.221)

« jest współczynnikiem wnikania ciepła dla ściany pionowej.

Podczas skraplania pary na rurze poziomej zewnętrzną powierzchnię rury można

traktować jak płaszczyzny wielkości różniczkowej, nachylone pod kątem (/). Po scał-
kowaniu w zakresie 0 < (j) < 180° otrzymamy wzór

a ~ 0,725

7 .

V/4

gPc~rAc-

v tjcATd

(7.222)

w którym d jest średnicą zewnętrzną rury. Wzór ten został potwierdzony doświad
czalnie.

7.9.2. Wpływ intensywności skraplania na wnikanie ciepła

Aby określić zależność współczynnika wnikania ciepła od intensywności spływu

skroplin, należy sformułować bilans energii dla kondensatu. Bilans ilości ciepła dla

rury poziomej ma postać

wir - aATudL

(7.223)

Ze wzoru (7.222) zaś otrzymujemy

A T =

v 0,725 j

dcd

(7.224)

Po podstawieniu tego równania do równania bilansowego (7.223) i przekształceniach

otrzymujemy

(

7 y/3

>id

K p c g )

- 0,959

f ■

v 1/3

\V cL j

(7.225)

lub inaczej zapisaną zależność modułów bezwymiarowych

a&.

■ =

1,51

r 4 r , v 1/3

(7.226)

gdzie f = m //..

Z bilansu energii dla kondensacj i na ścianie pionowej o wysokości h wynika:

wir - aATbh

(7.227)

140

Ponieważ ze wzoru (7.222) otrzymujemy wyrażenie

v-4

0,943

gpc2r l l

ilch

( 7 .2 2 8 )

więc po podstawieniu do równania bilansowego (7.223) i po przekształceniach otrzy
mujemy równanie

y /3

\ p c g

lub w postaci zależności kryterialnej

aP-

0,925

i • V 1/3

\Jlcb)

(7.229)

0,925

n-i/3

f r \

Khcj

1,47

n-i/3

h c

(7.230)

w którym T= m!b.

Porównanie otrzymanych zależności dla ściany poziomej (7.222) i dla ściany pio

nowej (7.119) daje możliwość oceny intensywności wnikania ciepła w zależności od

ustawienia ściany. Z podzielenia tych wzorów stronami otrzymujemy

poziom

pion

0,7721

1/4

(7.231)

Długość rury L jest dla rury pionowej wysokością h.

7.9.3.

Wpływ prędkości i kierunku ruchu pary

na wnikanie ciepła podczas kondensacji filmowej

Zależność współczynników wnikania ciepła od prędkości i kierunku ruchu pary

podczas kondensacji filmowej występuje dopiero dla większych wartości prędkości

Rys. 7.33. Zależność a ja ® = ftw )'■

a w - współczynnik w nikania dla

danej prędkości pary, a 0 - w spółczynnik w nikania dla prędkości zero

141

Wynika to z tarcia wewnętrznego, które hamuje warstwę skroplin podczas ruchu prze

ciw praylow ego pary lub ją przyspiesza podczas przepływu współ prądow ego (w dół

ściany). Zależność współczynnika wnikania ciepła od kierunku przepływu pary i jej

prędkości dla trzech różnych wartości ciśnienia pokazano na rys. 7.33. Jak widać,

dopiero pod ciśnieniem 0,980665-10' Pa i dla prędkości pary większej od 13 m/s.

a ja o przekracza 1. Pod ciśnieniem p = 4,903325-10' Pa stosunek ten jest dwukrotnie

większy niż pod ciśnieniem normalnym.

7.9.4. Wpływ obecności gazów obojętnych w parze

na współczynnik wnikania ciepła

Obecność gazów inertnych powoduje zmniejszenie współczynników wnikania

ciepła. Ruch pary ku warstwie skroplin jest utrudniony, ponieważ musi ona dyfundo-

wać przez warstwę gazów obojętnych. Na rysunku 7.34 pokazano zależność stosunku

Op dla pary zawierającej powietrze do wartości tego współczynnika dla czystej pary

w zależności od zawartości powietrza w parze.

100

= a

a o

* \ x

X \

^ <

i
--— i i

ts r

7 o/0

Rys. 7.34. Zależność

e= ajao =AW): <*w

dotyczy pary zawierającej

% wag. masowych pow ietrzą

dotyczy czystej pary

7.9.5. Wnikanie ciepła podczas kondensacji

wewnątrz poziomych rur i wężownic

Obliczanie współczynników wnikania ciepła podczas kondensacji wewnątrz po

ziomych rur i wężownic wymaga uwzględnienia faktu, że warunki są znacznie trud

niejsze. Skropliny zbierają się na dnie rury. Hobler [4] proponuje zastosowanie kore

lacji Kutateładze:

a 9

z - = 0 ,0 5 R e , 0’4 P r 13

\ L j

( 7 .2 3 2 )

gdzie Rez = m/(ndr/c).

142

7.9.6. Obliczenia uproszczone dla kondensacji filmowej

Biorąc pod uwagę, że parametry p c, ijc, Xc we wzorach obliczeniowych należy

przyjmować w odniesieniu do średniej temperatury skroplin, ciepło parowania r zaś
do temperatury pary nasyconej dla danego ciśnienia pary, opracowano wzory uprosz
czone określające współczynniki wnikania ciepła.

Współczynnik ten dla ściany pionowej obliczamy ze wzoru

a = C ęrVA{hW )~VA

(7.233)

Dla rur poziomych należy przyjąć h = d. Wartość współczynnika C dobieramy na

podstawie podanych wcześniej wzorów. Wartości ę i r 1/4 odczytujemy z tabeli 7.13.

Tabela. 7.13. W artości ^ i / - 1/4dla pary wodnej

t,°C

100

120

140

160

180

200

174,9

214,0

247,2

276,1

299,3

318,1

332,5

342,7

347,0

349,9

351,3

r m

39,66

39,50

39,42

39,25

39,01

38,77

38,61

38,29

38,05

37,65

37,32

7.10. Warunki parowania i wrzenia cieczy

Proces parowania cieczy przebiega na granicy faz. Zachodzi on w całym zakresie

temperatury; w temperaturze niższej od temperatury krzepnięcia cieczy przebiega
proces sublimacji, od temperatury krzepnięcia do temperatury wrzenia mówimy o
parowaniu cieczy, w temperaturze wrzenia - o wrzeniu cieczy.

W fizyce cieczy przyjmuje się, że proces wrzenia przebiega przy temperaturze

wrzenia cieczy równej temperaturze pary nasyconej (Twrz =

co jest związane

z warunkiem, że prężność pary nasyconej tej cieczy jest równa ciśnieniu zewnętrzne
mu. W rzeczywistych warunkach warstwa cieczy pewnej grubości wywiera ciśnienie
hydrostatyczne (P/, = ghp) i aby nastąpiło jej wrzenie, musi być spełniony warunek, że

prężność pary nasyconej cieczy p", jest większa od sumy ciśnienia zewnętrznego P

i ciśnienia hydrostatycznego Pp

p \ > / ’ = / ’ • A

(7.234)

Spełnienie tego warunku jest związane z przegrzaniem cieczy.

Proces parowania przebiega z kolei w takiej temperaturze, że prężność pary nasy

conej danej cieczy A jest mniejsza lub równa ciśnieniu zewnętrznemu

P U K

(7.235)

143

Ciecz wieloskładnikowa wrze w temperaturze, w której suma prężności parcjal

nych jej składników przewyższa ciśnienie zewnętrzne wokół pęcherzyków pary

i=n

> P — P, + Ą

(7.236)

<=i

Dla procesu parowania mieszaniny cieczy musi być natomiast spełniony warunek

^ P i < R

(7.237)

<=i

Proces parowania cieczy ma podstawowe znaczenie w takich operacji jednostko

wych, jak destylacja molekularna lub suszenie.

7.10.1. Szybkość parowania cieczy

W procesie parowania cząsteczki cieczy znajdujące się tuż przy granicy faz prze

chodzą do fazy gazowej, część z nich natomiast kondensuje i przechodzi do fazy cie
kłej. W stanie równowagi, gdy ciśnienie cząstkowe składnika w fazie parowej jest
równe jego prężności pary nasyconej, efektywna szybkość parowania jest równa zero.

Szybkość parowania można określić na podstawie teorii kinetycznej gazów w od

niesieniu zarówno do fazy ciekłej, jak i parowej.

Ułamek ogólnej liczby cząsteczek gazu doskonałego o danej prędkości określa

funkcja rozkładu energii kinetycznej cząsteczek Maxwella-Boltzmanna:

f kT

e- ““2/2W’

(7.238)

\ 2 mu

gdzie: N - liczba cząsteczek przechodząca w ciągu 1 s z fazy ciekłej do fazy parowej

na powierzchni 1 cm2, Nc - liczba cząsteczek w 1 cm3 cieczy, m - masa cząsteczki
w kg, u — minimalna (graniczna) wartość składowej prędkości w kierunku prostopa

dłym do powierzchni cieczy, dla której zachodzi przejście cząsteczki do fazy parowej,

w m/s, k - stała Boltzmanna (k = R/N

= 1,38-10 23 J/K), R - stała gazowa (8,31432

J-rnol '-K ' ). No - stała Avogadra (6,022-1023 mol ' ).

Ułamek liczby cząsteczek podlegających kondensacji na 1 cm2 powierzchni cie

czy wciągu 1 sjest równy

N '

( kT N°’5

(7.239)

gdzie Ng jest liczbą cząsteczek w 1 cm3 fazy parowej.

144

Jeżeli założymy, że faza parowa jest gazem doskonałym, to

Ng - ng N

^ — No = —

gdzie: //.. - liczba moli w 1 cm3 fazy parowej, V= 1 cm3, k = R/No.

Po podstawieniu do równania (7.239) otrzymujemy wyrażenie

N ’ =

\ 0 , 5

( 7 .2 4 0 )

(7.241)

Efektywna liczba cząsteczek cieczy opuszczających powierzchnię 1 cm7 w ciągu 1 s,
stanowiąca szybkość parowania, jest równa różnicy

- ± * L = N - N ' J * L 1

A d r

l lian

0,5 /

JWe~

(7.242)

gdzie: A - powierzchnia cieczy w cm", d N /d r- szybkość parowania.

W stanie równowagi dynamicznej efektywna szybkość parowania jest równa zero,

więc

P _ a

- m u 2 / 2 k T

kT ~ c

(7.243)

Po podstawieniu tej zależności do równania (7.242) otrzymujemy wyrażenie na szyb

kość parowania

1 dN

A dr

-■(2rnnkT')°':‘ ^p° - /? )

(7.244)

W przypadku odparowywania w próżni, gdy p = 0, szybkości parowania jest mak

symalna, równa iloczynowi:p (2nmkT)

7.11. Wnikanie ciepła podczas wrzenia cieczy

Wrzenie cieczy ma podstawowe znaczenie w rozmaitych urządzeniach, takich jak

wyparki, kotły parowe oraz parowniki urządzeń chłodniczych. Warunkiem osiągnięcia

stanu wrzenia cieczy jest doprowadzenie dostatecznej ilości ciepła, aby temperatura
ścianki była wyższa od temperatury nasycenia pary pod danym ciśnieniem. Podczas

wrzenia para tworzy się w całej objętości cieczy, zwłaszcza na powierzchni ściany

grzejnej w postaci pęcherzyków (rys. 7.35). Ich liczba, kształt i szybkość narastania

zależą od intensywności ogrzewania i właściwości fizykochemicznych cieczy i pary,
ale również od szorstkości powierzchni i zdolności zwilżania jej przez ciecz. Pęche
rzyki powstające przy ścianie grzejnej mają kształt kulisty, po oderwaniu się unoszą

145

się do góry pod działaniem siły wyporu, ich objętość rośnie i ulegają spłaszczeniu;

każdy z nich kształtem przypomina grzyb. Para zamknięta w pęcherzyku ma wyższe

ciśnienie od ciśnienia otaczającej cieczy. Nadwyżka ciśnienia Ap = p r - p zależy od

promienia pęcherzyka r i od napięcia powierzchniowego cieczy er. Jeżeli założymy, że
pęcherzyk ma kształt kulisty, to w warunkach równowagi sił rozrywających pęcherzyk

i sił napięcia powierzchniowego mamy

nr {Pr - p) = 2TirS

i nadciśnienie wewnątrz pęcherzyka wynosi

(7.245)

(7.246)

Rys. 7.35. Schemat wnikania ciepła podczas w rzenia cieczy

Pęcherzyki powstają na rozmaitych krzywiznach na ścianie grzejnej lub na drob

nych ciałach stałych, stanowiących miejsca zarodkowe. Powstanie i wzrost pęcherzy
ka wymaga spełnienia warunku, że dp > 2 cr/r. Uwzględniwszy poprawkę Thomsona
na zwiększenie ciśnienia nasycenia nad zakrzywionym meniskiem oraz że dp =

(dp/dt)nA I' równanie określające promień r zapiszemy następująco:

± \

a t p

(7.247)

gdzie: / / , p " - gęstość cieczy i pary nasyconej pod danym ciśnieniem cieczy, AT

- nadwyżka temperatury cieczy nad temperaturą nasycenia. Wielkość (dp/dt)n można

obliczać z równania Clausiusa-Clapeyrona

r dp^

\ dt j

r y ’p "

T ,,{ p '- P " )

(7.248)

gdzie ciężar właściwy w stanie nasycenia y' = SP-

146

Transport ciepła odbywa się w ten sposób, że strumień ciepła wnika od ściany

grzejnej do cieczy, a następnie na wewnętrznej powierzchni pęcherzyków w postaci
ciepła parowania; ciecz musi być zatem przegrzana. Ze wzrostem obciążenia cieplne
go powierzchni grzejnej zwiększa się przegrzanie cieczy, ale rośnie liczba i częstość
odrywania się pęcherzyków. Przykładowy rozkład temperatury wody w zależności od
odległości od ściany grzejnej pokazano na rys. 7.36. Przeciętnie temperatura wody

jest większa od temperatury nasycenia par o ok. 0,4-0,8 K. Jednak warstwa cieczy

stykającej się bezpośrednio ze ścianą może mieć temperaturę wyższą nawet o 10 K.
W tej warstewce, która jest pewnego rodzaju warstewką graniczną, powstają pęche

rzyki pary.

z w ie rc ia d ło w o d y

100

102

104

106

108 t [ ° C

Rys. 7.36. Rozkład temperatury wody podczas wrzenia

pod ciśnieniem P = 1,013><105 Pa (1 atm)

Kształt pęcherzyka powstającego przy ścianie grzejnej zależy od kąta zwilżania

cieczy. Przyjmuje się, że ciecz dobrze zwilża powierzchnię, gdy 0 < 90°. Dla wody

= 45°. Średnicę pęcherzyka pary w chwili jego odrywania się od ścianki można ob

liczyć ze wzoru

4>=0,851g

2 5

(7.249)

\ g ( P - P )

Pierwiastek tego wyrażenia jest nazywany stałą Laplace’a h. Dla wody w tempe

raturze 100 °C

= 0,7854 rad, b = 3,54 mm, średnicę pęcherzyka d

= 2,37 mm.

Systematyczne badania Jakoba i Fritza, a później Michiejewa pokazały, że współ

czynnik wnikania ciepła znacznie wzrasta ze zwiększeniem szorstkości powierzchni
grzejnej. Jest to czynnik komplikujący analityczne opracowanie tego zagadnienia.

Analiza wyników badań eksperymentalnych wykazała, że współczynnik wnikania cie

pła zależy od obciążenia cieplnego powierzchni grzejnej. Obydwie wielkości wygodnie

jest interpretować w zależności od założonej różnicy temperatury ścianki i temperatury

nasycenia pary (rys. 7.37). Można wyróżnić trzy charakterystyczne obszary wrzenia zazna

147

czone n a rysunku: 1 - wrzenie w warunkach swobodnego ruchu cieczy, 2 - wrzenie pęche

rzykowe, 3 - nietrwale wrzenie filmowe, 4 - tr w a le wrzenie filmowe.

Rys. 7.37. Zależność w spółczynnika w nikania ciepła a i gęstości strumienia ciepła ą

od różnicy tem peratury A T dla wrzącej wody pod ciśnieniem P = 1,013-10' Pa (1 atm)

W w arunkach bardzo m ałego obciążenia cieplnego q (2 3 3 0 -4 6 5 0 W /m2 n a ścia

nach pionow ych, 582 0 -1 1 6 3 0 W/m2 n a ścianach poziom ych) w spółczynnik w nikania

ciepła w niew ielkim stopniu zależy od obecności i ruchu pęcherzyków . R óżnica tem

peratury w ynosi do 5 K i ruch ciepła p rzebiega w wyniku konw ekcji sw obodnej.

D la te g o obszaru K ing [4] opracow ał następujące zależności korelacyjne:

• dla pow ierzchni pionow ej

- 0 ,5 6 F 1/4/ V /4 f —

{ h

1/4

(7.250)

• dla pow ierzchni poziom ej

a 9

— - = 0 ,1 3 F 1/3/V 1/3

(7.251)

A-

gdzie: V= J3AT, P r = i]cp/ l , 3: = ( r f l g / f ) v\

Jak w idać, postać m odułów bezw ym iarow ych je s t tak a sam a ja k dla konw ekcji

naturalnej, ale poszczególne w ielkości o dnoszą się do cieczy.

Powyżej pewnej gęstości strumienia cieplnego q zwiększa się liczba i częstotliwość

odrywania się pęcherzyków. Powoduje to zwiększoną burzliwość warstewki granicznej

cieczy oraz intensyfikację wnikanie ciepła. Następuje znaczny wzrost zarówno współ-

148

czynników wnikania ciepła a, jak i gęstości strumienia cieplnego q (rys. 7.37). Ten obszar

wrzenia nazwano wrzeniem pęcherzykowym. Zakres wrzenia pęcherzykowego odpowiada
różnicy temperatury (dla wody) 5 < AT < 25 K. Gdy różnica temperatury przybiera bardzo

duże wartości (od 25 K dla wody), liczba tworzących się pęcherzyków jest tak duża, że

łączą się one tuż przy ścianie grzejnej, tworząc film (błonkę parową). Powoduje to wpro
wadzenie dodatkowego oporu przewodzenia ciepła przez błonkę pary, co zmniejsza za
równo wartość współczynnika wnikania ciepła, jak gęstość strumienia ciepła, nawet gdy
nadal zwiększa się różnica temperatury. Przejście od wrzenia pęcherzykowego do wrzenia

filmowego następuje dla pewnej charakterystycznej dla danej cieczy różnicy temperatury,
zwanej temperaturą krytyczną.

Dla tego obszaru wrzenia opracowano wiele zależności empirycznych. Ogólnie

sprowadzają się one do zależności

Do obliczeń tych współczynników Michiejew [4] zaleca równania Krużylina, wy

prowadzone teoretycznie i uściślone doświadczalnie w odniesieniu do wrzenia cieczy

dobrze zwilżających powierzchnię w dużej objętości. Mają one postać zależności

modułów bezwymiarowych. Dla wnikania ciepła jest to równanie

gdzie S - wymiar charakterystyczny, proporcjonalny do wielkości pęcherzyka w chwi
li odrywania się od ścianki, określony wzorem

a = f ( q )

(7.252)

lub

a = f ( A T )

(7.253)

Nu^Q, Q15Kq0J K u]nPr-°'5

(7.254)

dla krytycznej gęstości strumienia ciepła zaś

Kq =995 Ku-°'

Arl/ĄPr

0'5

(7.255)

W równaniach tych mamy następujące moduły:

• liczba Nusselta

(7.256)

(7.257)

• liczba Archimedesa

(7.258)

149

liczba Prandtla dla cieczy

P r

ycP

(7.259)

• Kq - liczba znamienna, związana z liczbą czynnych miejsc powstawania pęche

rzyków

Kq =

P ' 8 2 p ' ^ p "

Acr

p '

gdzie p' jest pochodną na linii nasycenia według równania Clausiusa-Clapeyrona

(7.260)

\ d t j

ry p

rg p 'p "

T { p ' ~ p " )

T { p ' - p " )

1 Ku - liczba znamienna związana z częstością odrywania się pęcherzyków

p '

c p <j

p '

(7.261)

K„ =-

p " r S p ' p ' - p "

(7.262)

W równaniach tych występują następujące parametry fizykochemiczne cieczy: ciepło

właściwe cp, lepkość //. współczynnik przewodzenia ciepła X, napięcie powierzch
niowe <7. ciężar właściwy f , gęstość p ' .

Wygodniejsze do stosowania są szczegółowe równania Krużylina, które otrzyma

no po rozpisaniu i przekształceniu względem a:

a - 0,0686

p r

\ p ' - p " )

0 ,0 3 3

1 / 3

i 0 , 8

0, 7

\< y)

0 , 5

1 / 6

0, 3 7

L p

(7.263)

oraz

X * * { p ' - p " T IU {p "rT)m J I1A

n ' 1 0 / 2 4

1/6

qkr = 2940

(7.264)

W odniesieniu do wody równanie Krużylina upraszcza się do prostego związku

a = 2. 656/ / ’

’

(7.265)

lub

a = 2 5 ,8 8 /- 58A r2-33

(7.266)

150

W literaturze można znaleźć wiele korelacji dla wyparek oraz innych aparatów.

Praktyczne znaczenie może mieć również wzór podany przez Kutateładze, sprawdzo

ny w zakresie wartości ciśnienia od 0,2 do 10 barów dla różnego rodzaju cieczy:

a = 2,1 5 ęp 0’4 q

0,1

(7.267)

gdzie q wyrażamy w W/m2, p zaś w barach.

Wartości współczynnika ę zestawiono w tabeli 7.14.

Tabela 7.14. W spółczynnik ^ d o w zoru (7.267)

Płyn

W oda

A lkohol etvlowv

0,45

Nafta

0,31-0,56

A lkohol metvlowv

0,36

Benzen

0,31

24% roztw ór wodnv NaCl

0,62

25% roztw ór cukru

0,57

9% roztw ór wodny NaCl

0 ,8 6

Szczegółowe wzory dla innych substanej i można znaleźć w literaturze [3,4].

8. Zatężanie roztworów nielotnych

substancji. Wyparki

Proces odparowywania, czyli zmiany stanu ciekłego na stan gazowy, przebiega

pod ciśnieniem cząstkowym pary niższym od ciśnienia pary nasyconej w danej tempe
raturze cieczy. Podwyższając temperaturę cieczy lub obniżając ciśnienie całkowite,

doprowadzimy roztwór do wrzenia. Wytworzoną parę po oddzieleniu od cieczy moż

na odprowadzać do atmosfery, wykorzystać jako czynnik grzejny w kolejnym stopniu

lub poddać skropleniu. Odparowanie pod ciśnieniem wyższym od ciśnienia atmosfe

rycznego jest stosowane w celu wykorzystania par do ogrzewania. Odparowanie pod

ciśnieniem niższym od atmosferycznego jest natomiast uzasadnione wówczas gdy pro
cesowi temu poddajemy roztwory wrażliwe na działanie podwyższonej temperatury.

Odparowanie polega na doprowadzeniu do cieczy określonej ilości energii ciepl

nej w celu ogrzania cieczy, a następnie zmiany jej stanu skupienia, aby osiągnąć żą

dane zatężenie roztworu. Aby zapewnić prawidłową i efektywną pracę instalacji, mu
simy określić warunki operacyjne, tj. ciśnienie i temperaturę, ale również parametry

ruchowe.

8.1. Bilans masowy procesu odparowania

Podstawowym elementem projektowania instalacji wypamej jest bilans masowy

substancji. Bilans masowy sporządza się dla ustalonego przepływu substancji, a więc
stałych parametrów procesu odparowania: temperatury, ciśnienia, stężenia roztworu,

intensywności wymiany ciepła itp.

Schematy konstrukcji typowych aparatów wypamych, tj. odpowiednio zaprojek

towanych wymienników ciepła, można znaleźć w literaturze [14]. Na rys 8.1 przed

stawiono podstawowy typ płaszczowo-rurkowej wyparki jednostopniowej. Jest ona

zbudowana z walczaka o dość dużej średnicy, zamkniętego od dołu i od góry dnami
z króćcami do dopływu surowca i odpływu pary rozpuszczalnika, wsadu rurkowego
oraz króćców - umocowanych z boku - do dopływu pary grzejnej i odprowadzania

152

zatężonego roztworu. Kondensat pary grzejnej wypływa z przestrzeni kondensacyjnej
przez zamknięcie w postaci garnka kondensacyjnego.

i r ™ '

Rys. 8.2. Schemat wyparki jednostopniow ej

Proces zatężania roztworu (por. rys. 8.2) zachodzi z użyciem pary grzejnej o

strumieniu masowym m i entalpii i" na dopływie oraz i' na odpływie. Do wyparki

153

dopływa S kg roztworu o stężeniu składnika nielotnego A równym X

(kg A/kg S).

Z wyparki wypływa R kg zatężonego roztworu o stężeniu składnika A równym

xar

(kg A/kg R) oraz F kg oparów czystego rozpuszczalnika (yAv= 0). Zaniedbuje się stra

ty roztworu związane z unoszeniem roztworu w postaci kropel. Równanie bilansu
masowego można zapisać więc w prostej postaci

S ~ R + V

(8.1)

Równanie bilansowe nielotnego składnika A jest następujące

x a s

^ R

xar

(8.2)

Po podstawieniu R = S - V do drugiego równania i przekształceniu otrzymuje się rów

nanie określające ilość oparów

V ^ S

a r

(8.3)

Bilans masowy wielodziałowej instalacji wypamej wykonuje się oddzielnie dla

poszczególnych działów.

8.2. Wielostopniowe instalacje wyparne

Zatężanie roztworów prowadzi się na ogół w tzw. wielodziałowych instalacjach

wypamych. Umożliwia to z jednej strony odparowanie dużych ilości rozpuszczalnika,

z drugiej zaś wielokrotne wykorzystanie powstających oparów do ogrzewania kolej

nych działów wyparki. W instalacjach tego typu jest więc realizowana zasada wielo

krotnego odparowania, którą można nazwać również zasadą wielokrotnego wykorzy
stania energii cieplnej.

Zasadę wielokrotnego wykorzystania energii wygodnie jest interpretować za po

mocą schematu instalacji jak na rys. 8.3. Przedstawia on układ połączeń baterii trzy

stopniowej. Para wytworzona na pierwszym stopniu jest parą grzejną dla drugiego
stopnia, a para wytworzona na drugim stopniu - parą grzejną dla trzeciego stopnia.
Temperatura i ciśnienie na każdym stopniu są inne. Ciśnienie na drugim stopniu musi
być np. dostatecznie niskie, aby w temperaturze cieczy T

zachodziła wymiana ciepła

od kondensującej się pary rozpuszczalnika (T

> T2) oraz wrzenie roztworu.

Efektywne zużycie pary wodnej na 1 kg odparowywanej wody wynosi:

• 1,10 kg/kg w wyparce jednostopniowej,
• 0,57 kg/kg w baterii dwustopniowej,
• 0,40 kg/kg w baterii trójstopniowej,
• 0,30 kg/kg w baterii czterostopniowej,
• 0,27 kg/kg w baterii pięciostopniowej.

154

Najbardziej rozpowszechnione są baterie trój- i czterostopniowe. Wielostopniowe

baterie wyparne mogą mieć układ połączeń zapewniający współprądowy, przeć iw prą
dowy. równoległy i mieszany przepływ roztworu względem pary (rys. 8.3). Aparaty są
numerowane kolejno, zgodnie z przepływem roztworu.

Rys. 8.3. Schematy połączeń w ielodziałowych instalacji wyparnych: a) w spółprądowy,

b) przeciwprądowy, c) z zasilaniem równoległym roztworów, d) mieszany, e) z podwójnym działem

pierwszym, f) z dw om a czynnikami grzejnymi, g) z zasilaniem równoległym p arą

Podstawowym rozwiązaniem jest układ współprądowy (rys. 8.3a). Główną zaletą

układu współprądowego jest to, że tylko rozcieńczony roztwór musi być tłoczony do

pierwszego działu. Kolejne stopnie są samoczynnie zasilane roztworem dzięki różnicy
ciśnienia. Niekorzystne natomiast jest obniżanie temperatury roztworu w miarę jego
zatężania; wskutek zwiększenia jego lepkości zmniejszają się współczynniki wnikania
ciepła. Straty ciepła sąjednak bardzo małe. Z tych względów współprądowe instalacje
wyparne są najczęściej stosowane w przemyśle. Stosuje się je przede wszystkim do
krystalizacji roztworów nasyconych, w których nieznaczne odparowanie rozpuszczal
nika powoduje wytrącanie się kryształów.

Na rysunku 8.3b pokazano układ przeciwprądowy. Temperatura wrzenia w miarę

zatężania roztworu w kolejnych stopniach jest w nim coraz wyższa, co powoduje, że

lepkość roztworu się zmniejsza. Przepływ zagęszczonego roztworu do trzeciego stop

nia, który jest ogrzewany świeżą parą grzejną, zapewnia odpowiednio wysoką tempe-

155

raturę roztworu już zagęszczonego. Układ ten jest zalecany do zatężania bardzo lep

kich roztworów. Jego wadą jest konieczność instalowania pomp między kolejnymi
stopniami do przetłaczania roztworu do aparatów o coraz wyższym ciśnieniu pracy.
Powoduje to znaczne zwiększenie kosztów inwestycyjnych i ruchowych. W wyniku
strat ciepła układ ten wykazuje również duże zużycie pary grzejnej, około 5-10%.

Instalacje z równoległym zasilaniem roztworu (rys. 8.3c) są stosowane do krysta

lizacji roztworów nasyconych.

Układy mieszane (rys. 8.3d) stosuje się bardzo rzadko, wówczas gdy niezbędne

jest wyeliminowanie wad układów omówionych poprzednio [14]. Układ z dwoma

czynnikami grzejnymi (rys. 8.3f) jest np. stosowany, gdy należy zwiększyć temperatu

rę w ostatnim stopniu. Równoległe łączenie aparatów wypamych w odniesieniu do
pary grzejnej (rys. 8.3e) jest stosowane wówczas, gdy stosuje się parę grzejną nisko

ciśnieniową, a wymagana jest duża wydajność instalacji.

W wyjątkowych przypadkach konieczne jest równoległe zasilanie parą grzejną do

uzyskania wysokiej temperatury wrzenia roztworu (rys. 8.3g).

Liczbę działów przyjmuje się tym większą, im wyższe jest ciśnienie pary grzejnej

i mniejsze obniżenie temperatury roztworu. Pewną rolę odgrywa również wartość

całkowitej różnicy temperatury. Liczbę działów instalacji wypamej najlepiej jest do
bierać na podstawie analizy techniczno-ekonomicznej.

Całkowity spadek temperatury AT

w wyparce lub baterii wyparek jest równy

różnicy między temperaturą pary grzejnej w pierwszym stopniu, TPir] a temperaturą

skraplającej się pary z ostatniej wyparki (dla układu próżniowego na wlocie do skra

placza) Tskl

W warunkach rzeczywistych różnica ta jest pomniejszona o straty temperatury

wynikające z fizykochemicznej, hydrostatycznej i hydraulicznej depresji temperatu
rowej. Użyteczna różnica temperatury jest zatem równa całkowitej różnicy temperatu
ry pomniejszonej o całkowitą stratę temperatury

Dla «-stopniowej baterii wypamej użyteczna różnica temperatury jest sumą uży

tecznych różnic temperatury poszczególnych działów

8.3. Obliczanie całkowitej różnicy

temperatury instalacji wyparnej

Ar0 —Tp gl —Tsix

(8.4)

A’/,", —

A?o —

A TstI

(8.5)

(8.6)

156

Całkowita strata temperatury jest zatem sumą

AT^tr ~

5" AZ? + AZ)

(8.7)

gdzie: AZ) - fizykochemiczna depresja temperatury, AZ) - hydrostatyczna depresja

temperatury, AZ) - hydrauliczna depresja temperatury.

Fizykochemiczna depresja temperatury jest wynikiem podwyższenia temperatury

wrzenia roztworu względem temperatury wrzenia rozpuszczalnika (wody)

AZ] —Tr — Tw

(8.8)

Temperatura wrzenia roztworu zależy od ciśnienia, ale również od składu chemiczne
go i stężenia roztworu.

Fizykochemiczną depresję temperatury oblicza się z wzoru Gelperina

AZ) =

RT2

(8.9)

- a x

gdzie: R - uniwersalna stała gazowa, kJ/(kmol-K), 7 - temperatura wrzenia, K, r - cie

pło parowania, kJ/kg, jc - stężenie roztworu, kg/kg, a - stała wyznaczona doświadczalnie

dla danego roztworu.

W praktyce przemysłowej proces zagęszczania prowadzi się pod obniżonym ci

śnieniem. W takich przypadkach depresję temperatury należy określić na podstawie

przybliżonego wzoru Tiszczenki

AZj =0,01362— AT]'

(

)

gdzie: A Z) - szukana depresja temperatury pod danym ciśnieniem, A Z]'- depresja

temperatury pod ciśnieniem atmosferycznym, T - temperatura wrzenia czystego roz
tworu, K , r - ciepło parowania wody pod danym ciśnieniem odparowania, kJ/kg.

Prężność par cieczy można obliczać z równania

lg(p + l) = 0,3016>0-935

(8.1 1)

w którym wyznaczamy

P :

•g

J L

l, Pkr J

Pb_

Pkr )

(

)

W równaniu tym

•g

— -

•g

yTfa- j

f rp \

J-h

(8.13)

\Tkr )

157

T jest temperaturą wrzenia pod ciśnieniem p, k . 1), - temperaturą wrzenia pod ciśnie

niem atmosferycznym pi„ k. T/,r - temperaturą krytyczną, k ,p tr~ ciśnieniem krytycz
nym, bar.

Znając wartości temperatury wrzenia roztworu o określonym stężeniu pod dwoma

różnymi ciśnieniami, temperaturę wrzenia pod jakimś innym ciśnieniem można wy

znaczyć z wzoru Duehringa

rp f

rp f f

1 ~ 1 = const

(8.14)

rpff

2 —

±2

gdzie: T\ - T ”- różnica temperatury wrzenia danej cieczy pod dwoma określonymi

ciśnieniami, T{ - T " - różnica temperatury wrzenia dowolnej cieczy (wody) pod tymi
ciśnieniami.

Depresja hydrostatyczna temperatury AT

występuje w wyparkach z wysokim

słupem cieczy (powyżej lm). Temperaturę wrzenia roztworu w wyparce należy obli
czać jako temperaturę nasycenia dla ciśnienia na średniej wysokości słupa cieczy

P ~ Pm ~ ~ ~

(8.15)

gdzie: p m - ciśnienie w przestrzeni opar, Pa,

wysokość słupa cieczy, m, p - gę

stość cieczy, kg/m3, g - przyspieszenie ziemskie (9.81 m/s2).

Dla obliczonego tym wzorem ciśnienia znajdujemy temperaturę nasycenia pary

wodnej na podstawie tablic, przy czym temperatura wrzenia roztworu będzie wynosić

tr /n.ss* A'/'|.

Opisana metoda daje przybliżone wyniki, ponieważ we wzorze (8.15) wprowa

dzamy gęstość roztworu, a należałoby stosować gęstość mieszaniny ciecz-para, której

wartość zależy nie tylko od intensywności grzania, ale i od intensywności cyrkulacji
w wyparce.

Wartości depresji hydrostatycznej temperatury dla wyparek z intensywną cyrku

lacją można określić z równania

A r, = HkAT"

(8.16)

0,5 wpdc

gdzie: H - wysokość rur w komorze grzejnej, m,

współczynnik przenikania ciepła,

W/(m2-k), ATm - średnia logarytmiczna różnica temperatury między parą grzejną
a wrzącym roztworem, k , w - prędkość przepływu roztworu, m/s, d - średnica rury, m
c - ciepło właściwe roztworu, J/(kg-k), p — gęstość roztworu, kg/m3.

Jeżeli wrzenie roztworu występuje jedynie nad komorą grzejną, depresja hydro

statyczna nie jest istotna.

Depresja hydrauliczna temperatury Ar3 stanowi obniżenie temperatury związane

ze stratą ciśnienia na tarcie i opory miejscowe w przewodach łączących działy wy par
ne. W praktyce należy przyjmować A / j = 1 °C dla każdego działu.

158

8.4. Obliczanie użytecznej różnicy

temperatury instalacji wyparnej

Zgodnie z równaniem (8.5), użyteczna różnica temperatury jest równa całkowitej

różnicy temperatury pomniejszonej o całkowitą stratę temperatury. Zmniejsza się ona
wraz ze wzrostem liczby działów instalacji wyparnej [14]. Suma użytecznych spad
ków temperatury nie może być mniejsza od pewnej minimalnej wartości ,\T„ = 5 °C.

Przyjęcie dużej użytecznej różnicy temperatury w jednym dziale wpływa na wzrost

intensywności wymiany ciepła, ale również może być powodem porywania kropel

roztworu przez opary.

Powierzchnia grzejna «-stopniowej baterii wyparnej jest równa sumie powierzch

ni wszystkich stopni:

- 4 j -

(8.17)

/—

/=] KiZUi

gdzie: At - powierzchnia grzejna na i-tym stopniu, m2, (), - strumień ciepła na i-tym

stopniu ((), = mf), W, ki - współczynnik przenikania ciepła na i-tym stopniu,

W/(m2-K), A Ti - użyteczna różnica temperatury na i-tym stopniu, K.

Projektowanie wielodziałowych instalacji wypamych może być oparte na założeniu:

• minimalnej sumarycznej powierzchni grzejna całej instalacji (baterii),
• jednakowych powierzchni grzejnych wszystkich działów (stopni baterii),
• minimalnej całkowitej powierzchni wymiany ciepła i jednakowych powierzchni

grzejnych w każdym dziale.

8.4.1. Założenie minimalnej powierzchni wymiany ciepła

Założenie minimalnej powierzchni wymiany ciepła wiąże się z wysokimi kosztami

inwestycyjnymi wynikającymi z cen drogich metali, a zwłaszcza metali szlachetnych.

Zanalizujmy dwudziałową instalację wypamą. Całkowita powierzchnia wymiany

ciepła jest równa

4. = 4 +A,

(8.18)

kATj

W celu wyeliminowania użytecznej różnicy działu drugiego, podstawiamy

= ATu- A T ]

i otrzymujemy

4 . * = - ^ + — 7— -------

(8.19)

k]AT]

(ATu -A T ,)

159

Minimalną powierzchnię wymiany ciepła wielodziałowej instalacji wypamej wy

znaczamy, szukając minimum funkcji Ac = /(A7j). Po zróżniczkowaniu równania
(8.19) i przyrównaniu do zera otrzymujemy wyrażenie

dA;

lub inaczej

4 A70

h ( m )

(±Tu - w )

d A

d ( ^ )

k ( m )

k2 ( m

Z ostatniego wyrażenia otrzymuje się zależność

h {A7i )

(&t

z której po dalszym przekształceniu

■

= 0

(

)

(

2 1

)

(

)

otrzymujemy

A T,

A T

(8.23)

(8.24)

Dla «-stopniowej baterii wypamej stosunek użytecznych spadków temperatury

opisuje równanie

ATj

Q_ K_

a rn

] j a h

Analogicznie zaś do równania (8.24) otrzymuje się związek

(8.25)

A T„

,=1

/=1 '

(8.26)

160

W wyniku takiego podziału powierzchnie wymiany ciepła w poszczególnych

działach instalacji są niejednakowe.

8.4.2. Założenie równych powierzchni wymiany ciepła

Założenie równych powierzchni wymiany ciepła zapewnia ekonomiczne rozwią

zanie konstrukcyjne ze względu na identyczną budowę wyparek, co daje niższe koszty
zarówno inwestycyjne, jak i eksploatacyjne.

Użyteczne różnice temperatury w poszczególnych działach wynoszą:

• dla pierwszego stopnia

Założywszy równość powierzchni A x = A

= ... = A„ = A, po zsumowaniu użytecznych

różnic temperatury otrzymuje się

(8.27)

• dla n-tego stopnia

k n An

(8.28)

(8.29)

lub

(8.30)

z czego wynika, że

(8.31)

A Tx =

(8.32)

161

oraz dla

M-tego

działu związek

(8.33)

Po podzieleniu stronami dwóch ostatnich równań otrzymuje się warunek rozdzia

łu różnic temperatury dla równych powierzchni grzejnych:

8.4.3. Założenie minimalnej całkowitej powierzchni wymiany ciepła

i jednakowych powierzchni w każdym dziale

Uzyskanie jednakowych powierzchni wymiany ciepła wymaga spełnienia

zależ

ności

(8.33), osiągnięcie minimalnej całkowitej powierzchni wymiany ciepła nato

miast zależności (8.25). Z porównania obydwu warunków otrzymujemy:

Spełnienie tego warunku jest możliwe jedynie wtedy, gdy użyteczne różnice tempera

tury w poszczególnych działach są jednakowe: A'/j = A T

= A T„, a wówczas

Obciążenia cieplne są zatem wprost proporcjonalne do współczynników przenikania
ciepła. Spełnienie wszystkich tych założeń wymaga odpowiedniej regulacj i przepływu
oparów.

(8.35)

Qn = kn

(8.36)

9. Analogia między ruchem ciepła

a ruchem pędu

9.1. Analogia Reynoldsa

Olbrzymie trudności w teoretycznym opracowaniu zagadnień ruchu ciepła,

a zwłaszcza w rozwiązywaniu równania energii dla przepływów burzliwych, skłaniają
do korzystania z wyników badań doświadczalnych. Jedną z takich metod doświad
czalnych jest metoda oparta na analogii zjawisk cieplnych i hydrodynamicznych.

Umożliwia ona badanie procesu wnikania ciepła na podstawie analizy hydrodynamiki

przepływu. Równanie ruchu w laminamej warstwie granicznej na płaskiej płycie jest
analogiczne do odpowiedniego równania energii dla tej warstwy pod warunkiem, że

lepkość kinematyczna jest równa przewodnictwu temperaturowemu (współczynniko

wi dyfuzyjności cieplnej); wówczas Pr = v/a = 1. Jak wiadomo z poprzednich
rozdziałów, również warunki brzegowe dla obu procesów są wówczas analogiczne.

Reynolds w 1874 r. jako pierwszy stwierdził podobieństwo mechanizmów trans

portu energii i pędu. W pracy opublikowanej w 1883 r. przedstawił wyniki analizy
oporu hydrodynamicznego podczas przepływu płynu w rurze, dając możliwość ilo

ściowego opisu analogii między obydwoma zjawiskami. Analogia Reynoldsa opiera
się na założeniu, że profile rozkładu prędkości i temperatury są podobne. Rozpatrując
laminamą warstwę graniczną na płycie płaskiej (rys. 9.1), przyjmujemy, że wx i Tm
oznaczają prędkość i temperaturę w rdzeniu płynu, natomiast Tw - temperaturę po

wierzchni płyty. Gdy liczba Prandtla Pr = 1, gradienty bezwymiarowej prędkości

i bezwymiarowej temperatury względem y są jednakowe:

d ( wy - wy _ d ( T - T r A

dy \ wy - wy J dy\T„ - T r ,

(9.1)

wartości wy i Tr odpowiadają przekrojowi w odległości jy od ściany.

Po przekształceniu równanie (9.1) możemy zapisać w postaci

dwx

wy - wy dy

T> - T r dy

(9.2)

164

Laminarne naprężenia styczne w płaszczyźnie odniesieniay r opisuje równanie:

(9.3)

dwx

dw,

Tr = p — - = pv-

Gęstość strumienia cieplnego w tej płaszczyźnie określa równanie Fouriera:

, dT

qr = - X — = - a p c p —

(9.4)

Po podstawieniu pochodnej prędkości z równania (9.3) i pochodnej temperatury

z równania (9.4) do równania (9.2) otrzymuje się

w«, - wr v

acp

- T,

Ponieważ Pr = v!a= 1, więc równanie to przyjmuje postać

T y C p

C[r

Wr„

W/-

Tr/y

(9.5)

(9.6)

Jest to matematyczne ujęcie analogii Reynoldsa dla laminarnego przepływu, gdy

założymy, że liczba Prandtla jest równa jedności. Określa ono równoważność naprę
żenia lepkiego i gęstości strumienia cieplnego w płaszczyźnie oddalonej o y r od po
wierzchni ciała.

Rys. 9.1. Rozkłady prędkości i tem peratury w laminarnej warstwie granicznej

Można przyjąć, że na powierzchni płyty y r = 0, Tr = Ts oraz wr = 0 i równanie

(9.6) przyjmuje postać

T - T

-L

-Ł QO

(9.7)

165

Ponieważ po prawej stronie tego równania mamy współczynnik wnikania, więc

« =

(9.8)

Wco

Współczynnik wnikania ciepła można wyznaczyć po podstawieniu zależności na na

prężenie styczne, które jest stosunkowo łatwe do określenia. W literaturze anglosa

skiej można znaleźć następującą funkcję:

(9.9)

Po podstawieniu jej do równania (9.8) i przekształceniu otrzymuje się

" - = S t = ^ ~

(9.10)

wx cpp

Jest to analogia Reynoldsa w ujęciu liczb bezwymiarowych (St = Nu/(RePr)) oraz

współczynnika oporu hydrodynamicznego C/. Należy pamiętać o ograniczeniu, że
Pr = 1 oraz nie ma oporu wynikającego z kształtu. W literaturze polskiej podaje się
wartość C/ = Zo/4.

Z warunku równowagi pracy tarcia i pracy ciśnienia wynika bowiem

TwAw = FAp

(9.11)

gdzie: A jest powierzchnią omywaną rury, m2, 9 - objętościowym natężeniem prze

pływu, m3/s, Ap - spadkiem ciśnienia, Pa. Z równania tego mamy:

VAp

rw =— +-

(9.12)

Dla przepływu wewnątrz rury można wprowadzić następujące wzory:

• powierzchnia opływana

A ^itd L

(9.13)

• objętościowe natężenie przepływu

V = —

(9.14)

• spadek ciśnienia

L w

m K ,

A p ^ l o - — —

(9.15)

a 2

Po przekształceniach uzyskuje się związek:

166

rw —

w~ p

(9.16)

Z porównania równań (9.16) i (9.9) wynika, że C/ = hJA.

Po podstawieniu równania (9.16) do równania (9.8) i przekształceniu analogię

Reynoldsa dla przepływu w rurze można zapisać w postaci

a . = S t = —

(9.17)

WCpP

Uwzględniwszy, że St = uf (Re Pr) oraz Pr = 1, otrzymuje się

Nu - — Re

(9.18)

lub

Su,: - —^ - — Re

(9.19)

dla przepływu wzdłuż płyty.

Interesujące jest sprawdzenie możliwości wykorzystania równania analogii Rey

noldsa w praktyce. Może to dotyczyć dwu przypadków: przepływu wzdłuż płyty pła

skiej lub przepływu wewnątrz rur. Po podstawieniu zależności na lokalny współczyn

nik oporu podczas przepływu wzdłuż płyty

(9.20)

N i p

do równania (9.19) otrzymuje się

Nux =0,332 Rei

(9.21)

Jak widzimy, jest to zależność taka sama jak równanie Pohlhausena (dla Pr = 1),

wynikające z rozwiązania matematycznego tego zagadnienia.

9.2. Analogia Prandtla

W praktyce wartość liczby Prandtla znacznie różni się od jedności, więc należy

uwzględnić laminamą i turbulentną strefę strumienia. Prandtl zaproponował uwzględ

nienie rozkładu prędkości i temperatury w turbulentnej warstwie granicznej przez
wprowadzenie turbulentnej lepkości kinematycznej (lepkości wirowej) s.

167

Pozorne naprężenia styczne i natężenie strumienia cieplnego w turbulentnej war

stwie granicznej opisują równania

*poz

p ( v + e)

dwx

(9.22)

oraz

^poz

PCp

"t" &h )

dT_

(9.23)

Przyjmuje się, że w obszarze warstwy granicznej o rozwiniętej turbulencji s » voraz

Sh» a, dzięki czemu równania (9.22) i (9.23) można zapisać w postaci

' poz

ps-

dw x

(9.24)

oraz

Q p o i ~

P C p

dT_

(9.25)

Jeżeli założymy, że w strefie turbulentnej s = Sh, co potwierdzają wyniki badań do

świadczalnych, to równania te można przekształcić do wyrażenia identycznego z

otrzymanym na podstawie analogii Reynoldsa dla przepływu laminarnego

Woo

—

(9.26)

Rys. 9.2. Rozkład prędkości i tem peratury w turbulentnej warstwie granicznej

Rozkład prędkości i temperatury w warstwie granicznej Prandtla pokazano na rys. 9.2.

Założono, że warstwa graniczna składa się jedynie z podwarstwy laminamej i warstwy

burzliwej. Nie uwzględniono występowania strefy buforowej (przejściowej), gdzie s
i voraz sh i a są tego samego rzędu. Profil prędkości w obszarze turbulentnym opisuje

168

funkcja potęgowa, można natomiast przyjąć, że w laminamej podwarstwie jest on

liniowy. Nachylenie krzywej rozkładu prędkości w pobliżu ściany zależy od lokalne
go współczynnika oporu C/, który dla płyty płaskiej w zakresie przepływu burzliwego

(5-10' < Rex < 107) oblicza się z równania Blasiusa

Cf = ---- — = 0,0456

i n d .

V/2

\ 11', d'

(9.27)

Rozkład temperatury w podwarstwie laminamej jest również liniowy. Gęstość

strumienia ciepła można więc opisać za pomocą równania:

qw ~ ( T w - T s )

(9.28)

O.s

Jeżeli założymy, że płaszczyzna odniesienia r (równ. (9.26)) znajduje się na gra

nicy laminamej podwarstwy, to analogię Reynoldsa dla obszaru warstwy granicznej

zawartego między y =

S i obszarem przepływu potencjalnego opisuje równanie

r, c„

(9.29)

w« - w TS

Ts - Tx

w którym rs i qs oznaczają naprężenia styczne i gęstość strumienia cieplnego dlay = Ss.

Ponieważ zmiany prędkości i temperatury w podwarstwie są liniowe, więc warto

ści r i q dla y =

S są równe ich wartościom dla r = 0. Równanie (9.29) można zatem

zapisać następująco:

T r

(9.30)

Wcrj - w xs

Po podstawieniu współczynnika wnikania ciepła

a = — - —

(9.31)

Tw ^

do równania na gęstość strumienia ciepła (9.28) otrzymujemy

^ Tw - Ts

a - -------------

(9.32)

O rr-t

rr-t

‘

o, l\v ~

Z równania (9.30) wynika natomiast zależność

qw ——

— (Ts —Tk )

(9.33)

w® ~wxs

która podstawiona do równania (9.31) daje równanie

169

a -

Tw cp

Ts - T x

wx. — wxs Tw - T m

w«) -Wxę V

Przekształcenie równania (9.32) daje natomiast zależność

Tw - T s _ aSs

Tw —T

którą podstawiamy do równania (9.34) i otrzymujemy

T - T

1 W

1 S

J - w

a -

Tw^p

f t O- Ó\

( 9 .3 4 )

(9.35)

(9.36)

wx - tv rt V

Dla liniowego rozkładu prędkości w podwarstwie laminamej można przyjąć, że

= 77

r dw x N

Jy=0

S s

z czego wynika, że

----

Po podstawieniu tego równania do równania (9.36) otrzymamy

(9.37)

(9.38)

a -

wx +wr.

ncP

Licznik i mianownik tego równania dzielimy przez w*

c„

a ~ —

l + - ( P r - l )

(9.39)

(9.40)

Równanie to jest matematycznym zapisem analogii Prandtla. Po dalszych prze

kształceniach otrzymujemy równania korelacyjne dla wymiany ciepła.

Równanie (9.40) mnożymy obustronnie przez x!X {x jest lokalną współrzędną

wzdłuż płyty):

a x

Nux - — =

Tw CPX

W«, A

V c p ~Wx X p

pvŁ k

— CfPrRex

2 ;

1 + — ( P r - l )

1+ — ( ^ - l )

1 + — ( P r - 1 )

Woo

( 9 .4 1 )

170

Po wprowadzeniu wzoru na liczbę Stantona równanie to można zapisać w postaci

- c t

St = ------- ----------

(9.42)

1+— (P r-1)

Należy teraz określić stosunek prędkości wxs/wx. Wiemy [12], że na granicy pod-

warstwy laminamej zachodzi równość bezwymiarowych prędkości i współrzędnej y

w+=y +=

(9.43)

Na podstawie definicji bezwymiarowej prędkości

w + -

(

4 4

)

i z defmicj i współczynnika tarcia

PWZ:

Cf =

(9.45)

otrzymuje się wyrażenie

I ^ f

J - = w” \ h r

(9A 6)

\ p

które podstawiamy do równania (9.44) i przekształcamy:

— = 5 , & -

(9.47)

Po podstawieniu do równania (9.42) otrzymujemy wzór na lokalną liczbę Stantona:

- C f

Stx =------- 3 = ---------

(9-48)

l +

J ^ - ( F r ^ 1)

Zależność ta, nazywana analogią Prandtla [12], określająca lokalną liczbę Stantona
podczas przepływu wzdłuż płyty, daje wyniki zgodne z wynikami badań doświadczal
nych wnikania ciepła w obszarze burzliwym.

W literaturze można znaleźć kilka innych rozwiązań do opisu stosunku prędkości

wxs/wx, uwzględniających warstwę pośrednią (buforową), na przykład analogie Ka-

171

miana i Martinelliego [4, 6]. Zależność uzyskana przez Karmana, zwana analogią

Karmana, ma następującą postać

St = -

- C f

2 1

1 +

j/V - 1 + ln

1 + — (Pr - 1)

(9.49)

W literaturze niemieckojęzycznej [15] polecane jest natomiast rozwiązanie Frien-

da i Metznera

St =

U ,

(9.50)

1,20 + 11,8 Pr~l/

( P r - l ) J —

Takie samo równanie zostało wyprowadzone do opisu analogii transportu pędu

i masy. Brauer [15] zastosował tę zależność do analizy wielu zagadnień dotyczących

zarówno wymiany ciepła, jak i wymiany masy.

9.3. Analogia Colburna

Założenie, że liczba

Pr = 1

powoduje znaczne ograniczenie zastosowania analogii

Reynoldsa. Colbum zaproponował wprowadzenie empirycznej funkcji liczby Prandtla

i otrzymał następujące wyrażenie

— = StPr2/3

(9.51)

w którym: Z0 - współczynnik oporu hydrodynamicznego,

- liczba Prandtla, S ł - licz

ba Stantona.

Obliczenia Colburna na podstawie wielu danych dla różnorodnych przepływów

i geometrii układów

wykazały dobrą ich zgodność dla zakresu liczb

Prandtla

0,5 < Pr < 50 pod warunkiem braku oporu kształtu. Wyrażenie to często zapisuje się

w postaci

^ = ./»

(9.52)

W.L. Friend, A.B. Metzner, Turbulent heat transfer inside tubes a nd the analogy between heat,

mass, a nd momentum transfer, A ICHE J. 4 (1958) 393-402.

172

gdzie

ja = StPr

213

(9.53)

nazywamy czynnikiem Colbuma dla wymiany ciepła.

Jak widać z równania (9.53), dla Pr = 1 analogia Colbuma przechodzi w analogię

Reynoldsa. Tym samym analogia Colbuma stanowi rozszerzenie analogii Reynoldsa

w zakresie liczb Prandtla od 0,5 do 50. Graniczne liczby Prandtla odpowiadają warto

ściom charakterystycznym dla ciekłych metali (małe wartości) oraz ciężkich frakcji

olejowych (duże wartości).

10. Promieniowanie cieplne

10.1. Wprowadzenie

P rom ieniow anie cieplne je s t przekazyw ane od w szystkich cial stałych o tem pera

turze wyższej od zera kelw inów . Intensyw ność prom ienio w ania zależy od tem peratury

ciała, ale rów nież od w łaściw ości m ateriału. Stosow ane są dw ie teo rie do opisu em i

sji, przenoszenia i absorpcji energii prom ieniow ania: klasyczna teo ria przenoszenia

fal elektrom agnetycznych i kw antow a teo ria fotonów . Teorie te nie w ykluczają się,

a raczej uzupełniają.

Fale elektrom agnetyczne są falam i poprzecznym i, które oscylują prostopadle do

kierunku ich rozchodzenia. W próżni przyjm ują prędkość św iatła Co = 299 792 458 m/s.

W ośrodku m aterialnym ich prędkość c je s t m niejsza, częstotliw ość natom iast je s t

taka sam a. S tosunek prędkości n = co/c > 1 je s t w spółczynnikiem załam ania św iatła

danego m ateriału.

: u i ± i (!■>' p r /y . ,- . i1 u

Rys. 10.1. Zakres promieniowania elektrom agnetycznego

Iloczyn długość fali i częstotliw ości je s t rów ny jej prędkości

A v ^ c

(10.1)

N a rysunku 10.1 pokazano zakres prom ienio w an ia elektrom agnetycznego. Zakres

m ałych długości fali (A < 0,01 pm ) odpow iada prom ieniow aniu kosm icznem u, p ro

174

m ieniow aniu y oraz X. Nie je s t ono w zbudzane cieplnie, więc nie należy do prom ie

niow ania cieplnego. Fale radiow e (A > 1(F pm ) rów nież nie n ależ ą do prom ieniow a

n ia cieplnego. O bszar prom ieniow ania cieplnego rozciąga się w zakresie od 0,1 pm do

1000 pm . P rom ieniow anie to je s t przekazyw ane przez ciała o tem peraturze od kilku

stopni K elvina do 2-104 K. W tym zakresie m ieści się rów nież św iatło w idzialne, ro z

pościerające się od fioletow ego (0,38 pm ) do podczerw onego (0,78 pm ). Zakres dłu

gości fali 0 ,0 1 -0 ,3 8 pm odpow iada światłu ultrafioletow em u, nato m iast od 0,78 pm

do 1000 pm prom ieniow aniu podczerw onem u, które je s t podstaw ow ym obszarem

prom ieniow ania cieplnego.

10.2. Właściwości promieniowania cieplnego

W łaściw ości optyczne prom ieniow ania cieplnego są takie sam e ja k w łaściw ości

prom ieniow ania w idzialnego. P rom ieniow anie cieplne padające n a pow ierzchnię (rys.

10.2) m oże zostać zaabsorbow ane, odbite bądź przepuszczone przez ciało stale. Jeżeli

ułam ki energii prom ieniow ania Q padającego n a pow ierzchnię ciała określim y jak o

Qu, Qb, Qc, to otrzym amy:

(? = & + & + &

(10-1)

lub inaczej

1 ^ a + b + c

(10.2)

gdzie: a = Q J Q je s t zd olnością absorpcji prom ieniow ania, b = QiJQ - zd oln ością

odbijania prom ieniow ania, c = Q J Q - zd oln ością p rzepuszczania prom ieniow ania

przez dane ciało.

o d a *

p a d a ją »

Rys. 10.2. O braz prom ieniowania padającego na pow ierzchnię

P rom ieniow ania m oże być odbite od pow ierzchni pod określonym kątem (odbicie

spekulam e) bądź rozproszone (W elty i in. [12]). N a rysunku 10.2 pokazano odbicie

spekulam e. W iększość cial rozprasza prom ieniow anie we w szystkich kierunkach.

A bsorpcja prom ieniow ania w ciałach stałych zachodzi n a niew ielkiej głębokości,

ok. 1 pm w elektrycznych przew odnikach oraz ok. 1 m m w półprzew odnikach.

175

Przepuszczalność większości ciał stałych jest równa zero (c = 0) i równanie (10.2)

sprowadza się do postaci

a + b = 1

W przypadku idealnie absorbującego ciała mamy a = 1. Takie ciało nazywamy

doskonale czarnym. Ponieważ nie przepuszcza ono ani nie odbija promieniowania,
widzimy je jako czarne. Oko ludzkie odbiera tylko odbite promieniowanie. Taką rolę
„czarnej dziury” odgrywa otwór małych rozmiarów w powierzchni ograniczającej
objętość większych rozmiarów. Promieniowanie wpadające nie ma możliwości wyj

ścia z powrotem.

Całkowitą energię w\ promien¡owywaną we wszystkich kierunkach przez po

wierzchnię jednostkową ciała nazywamy jego zdolnością promieniowania i oznacza

się literą £ (ang. total emissive power).

Zdolność emisyjna <?jest ściśle związana ze zdolnością promieniowania ciała. Jest

ona definiowana jako stosunek zdolności promieniowania ciała szarego do zdolności
promieniowania ciała doskonale czarnego:

Energia promieniowania Ex o długości fali w przedziale X, X + dX jest mono

chromatyczną zdolnością promieniowania. Całkowita oraz monochromatyczna zdol
ność promieniowania są zdefiniowane w następujący sposób:

• w postaci różniczkowej

d l i - E ;.dX

(10.4)

• w postaci całkowej

i»

E = ^E xdX

(10.5)

Monochromatyczną zdolność emisyjną sx wyrażamy wzorem:

d = - | r -

(10.6)

-¿a o

gdzie Exo jest monochromatyczną zdolnością promieniowania ciała doskonale czarne
go o długości fali Z w danej temperaturze.

Monochromatyczną zdolność absorpcji promieniowania, ax definiuje się jako sto

sunek zdolności absorpcji promieniowania o długości fali X do zdolności absorpcji

ciała doskonale czarnego dla tej samej długości fali i w tej samej temperaturze.

176

10.3. Podstawowe prawa promieniowania

10.3.1. Prawo Kirchhoffa

Z w iązek m iędzy zd olnością p rom ieniow ania ciała

i jeg o zd olno ścią absorpcji

określa praw o K irchhoffa, zgodnie z którym w zględna zdolność em isyjna i absorpcyj

n a układu w stanie rów now agi term odynam icznej są sobie rów ne:

s = a

lub

£; = ax.

Rys. 10.3. Schemat bilansu emisji promieniowania

między ciałem szarym i doskonale czarnym

R ozpatrzm y bilans em isji prom ien iow an ia m iędzy ciałem doskonale czarnym

a dow olnym ciałem szarym (rys. 10.3). Jeżeli E] je s t em isją ciała szarego (1), a E 0

em isją ciała doskonale czarnego, to ciepło w ym ienione przez prom ieniow anie w ynosi

q0_{ = E 0 - E { - E 0

( l - a t )

(10.7)

Po pew nym czasie tem peratura obu cial w yrów nuje się, a zatem

0.i = 0, z czego

w ynika

Ei = E 0 ( \ - \ + al ) = a lE 0

(10.8)

D la w szystkich cial o tej samej tem peraturze zapisujem y ogólnie:

— = —

= - = Eo = f ( T )

(10.9)

Stosunek energii em itow anej przez jednostkę pow ierzchni ciała do jeg o zdolności

absorpcji prom ieniow ania m a taką sam ą w artość dla w szystkich cial i je s t rów ny

zdolności prom ieniow ania ciała doskonale czarnego w danej tem peraturze.

10.3.2. Prawo Lamberta

E m isja prom ieniow ania ciała m oże być nierów nom iernie rozłożona w przestrzeni,

ale skierow ana pod pew nym kątem

m ierzonym od norm alnej do danej pow ierzchni

177

prom ieniującej (rys. 10.4). L am bert stw ierdził, że energia w yprom ieniow yw ana przez

płaszczyznę w kierunku odchylonym od norm alnej zm niejsza się w raz z kosinusem

kąta odchylenia

Q o = Q ± c o s O

(10.10)

Jeśli elem ent pow ierzchni

em ituje energię

d Q

, to intensyw ność prom ienio

w ania je s t dana w zorem

£ Q _

d Q

gdzie

d Q

je s t kątem bryłow ym wiązki prom ieniow ania.

(

)

d A d O c o s O

Rys. 10.4. Intensywność promieniowania

Po przekształceniu otrzym uje się zw iązek pom iędzy en erg ią prom ieniow ania

E = d Q ! d A

a inten sy w n o ścią/:

—

= E = [ l c o s 0 d Q

(10.12)

K ąt bryłow y je s t rów ny

£2 = Air

stąd

d fl = dAIr

Pole różniczkow ej po w ierzch

ni <7/2 (rys. 10.5) je s t więc zw iązane z różniczkow ym kątem bryłowym :

( r sin

9dd> )(rd9)

d Q = ±

U l

7 = sin

6d6d(/)

(10.13)

r '

C ałkow itą energię em itow aną n a jednostk ę pow ierzchni określa całka:

178

Rys. 10.5. Całkowanie intensywności promieniowania według kąta bryłowego

E ^ I ^ c o s d d D - I

| |

cosdsmdddd<f>

(10.14)

o o

Po scałkow aniu otrzym ujem y

E = i d

(10.15)

Jest to w ażna zależność energii em isji prom ien iow an ia od jeg o intensywności.

W 1900 r. P lanck opublikow ał teorię, w edług której energia prom ien io w an ia je s t

em itow ana w postaci kw antów . Przyjął on, że intensyw ność prom ieniow ania m ono

chrom atycznego ciała doskonale czarnego

określa p ochodna

w której

d E 0±

stanow i część p ro m ien io w a n ia o długości fali w zakresie

dA.

Z n ak

oznacza, że w ielkość ta dotyczy p ro m ien io w a n ia p ro sto p ad łeg o do je d n o stk i p o

w ierzchni pro m ien iu jącej,

oznacza sta lą P lancka,

p rędk ość św iatła,

s ta lą B ol

tzm ann a.

C ałkow ita intensyw ność prom ieniow ania m onochrom atycznego ciała doskonale

czarnego objętego pó łk u lą zakreśloną nad p ow ierzch nią i skierow anego pod w szyst

kim i kątam i zgodnie z praw em L am berta wynosi:

10.3.3. Prawo Plancka

_ d E 01 _

2 hc2r 5

E/.± —— ~ ~ —------------------

(10.16)

h x — nh/.L

( 1 0 .1 7 )

179

Prawo Plancka możemy zatem zapisać w postaci

1 0

a —

■

c , r

exp

(10.18)

-1

gdzie: C

= 2nhc

= 0,374-10-15 W m 2, C

= hc/k = 0,01439 m-K. Na rysunku 10.6

przedstawiono wykres tej zależności dla różnych wartości temperatury ciała doskona

le czarnego. Obszar pod krzywą, stanowiący całkowitą energię emitowaną, wzrasta

bardzo znacznie ze wzrostem temperatury.

Rys. 10.6. Intensywność promieniowania I0A(A,

ciała doskonale czarnego

Rys. 10.7. Intensywność promieniowania I0A(A,

ciała

doskonale czarnego; zakreskowano zakres światła widzialnego

180

Energia wypromieniowywana przez ciało doskonale czarne, E0, W/m2 w zakresie

długości fal od A] do Ai_ jest proporcjonalna do pola powierzchni pod krzywą Plancka
(rys. 10.6) i określona całką:

^ j l 01dA

(10.19)

Na rysunku 10.7 pokazano zależność intensywności promieniowania ciała dosko

nale czarnego z zaznaczonym zakresem światła widzialnego dla kilku wartości tempe
ratury. Gdy temperatura ciała doskonale czarnego jest równa temperaturze po
wierzchni słońca (5800 K), większość energii jest emitowana w zakresie długości fal

odpowiadającej światłu widzialnemu (0,4-0,7 pm).

10.3.4. Prawo Wiena

Maksimum intensywności promieniowania ciała doskonale czarnego oraz maksi

mum energii przesuwa się ku falom krótszym ze wzrostem temperatury ciała (por. rys.

10.6 i 10.7). Maksimum energii występuje dla Am^T = 2897,6 pm-K, co można po

twierdzić przez określenie maksimum funkcj¡(10.18).

Już w 1883 r. Wien ustalił doświadczalnie związek

/,„,s7' = 2.897-10 \

m -K

(10.20)

Jest to tzw. prawo przesunięć Wiena i służy do obliczania długości fali odpowia

dającej maksimum promieniowania w określonej temperaturze. Gdy na przykład

T= 1000 K, Amm = 2,9-1 (T6 m = 2,9 pm.

10.3.5. Prawo Stefana-Boltzmanna

Energię w\ promien¡owywaną przez jednostkową powierzchnię ciała doskonale

czarnego można otrzymać jako całkę funkcji Plancka w zakresie długości fali od zera
do nieskończoności

E o = ] l o x d A =

]

- C

i~~1

(10-

21)

¿ 0exp^ _

Wielkość C0 nazywamy stałą promieniowania ciała doskonale czarnego. Jej war

tość liczbowa wynosi 5,676 W/(m2-K4). Jest ona kombinacją innych stałych występu

jących w funkcj i Plancka (C0 = lic k

/(15c

h3)-108).

Prawo to, nazywane prawem Stefana-Boltzmanna, stwierdza, że energia wypro-

mieniowana przez ciało doskonale czarne jest proporcjonalna do czwartej potęgi tern-

181

peratury absolutnej. Zostało ono ustalone eksperymentalnie przez Stefana w 1879 r.

i potwierdzone na gruncie termodynamiki przez Boltzmanna w 1884 r. Dokładna war

tość stałej Co i jej związek z innymi stałymi zostały jednak ustalone na podstawie
prawa Plancka.

Ciała rzeczywiste emitują mniejszą energię w danej temperaturze (por. równ.

(10.3)). Z przekształcenia równania (10.3) otrzymujemy

100

(

)

Jest to prawo Stefana-Boltzmanna dla ciał szarych. Możemy je również zapisać

w postaci:

E ^ C

i rp \ 4

100

(10.23)

gdzie C = <sC0.

Rys. 10.8. Proporcjonalność intensywności prom ieniowania

Ciało, dla którego dla każdej długości fali stosunek intensywności promieniowa

nia do intensywności promieniowania ciała doskonale czarnego jest stały i wynosi s,
nazywamy ciałem idealnie szarym (rys. 10.8). Stałe promieniowania C ciał szarych

lub ich emisyjności s są podawane w tabelach.

10.4. Promieniowanie cieplne między ciałami stałymi

Na podstawie dotychczas wyprowadzonych praw można przyjąć, że wymiana

ciepła między dwoma ciałami stałymi zależy przede wszystkim od ich temperatury

i emisyjności powierzchni. Okazuje się jednak, że podstawowe znaczenie ma geome

tria ciał i ułożenie względem siebie. W kolejnych rozdziałach omówiono podstawowe

charakterystyczne przypadki.

182

10.4.1. Wymiana ciepła między dwoma równoległymi płytami

Zanalizujmy wyidealizowany układ nieskończenie dużych płyt szarych (rys.

10.9), tak że całe ich promieniowanie ulega wymianie. Płyta 1 ma temperaturę wyższą

od temperatury płyty 2. Można przyjąć, że z jednostkowej powierzchni płyty 1 jest
emitowana energia E

. Powierzchnia chłodniejsza (płyta 2) absorbuje energię

Rys. 10.9. Schemat bilansu emisji promieniowania między dwoma ciałami szarymi

równą a

Eh odbija zaś energię (1 - a2)E1. Z tej energii z kolei powierzchnia 1 absor

buje a 1(1 - a2)E1, odbija natomiast (1 - a 1)(1 - a2)Ei. Powierzchnia 2 pochłania ener

gię a2(1 - ai)(1 - a

)Eu a odbija (1 - ai)(1 - a

)2E

. Sumując otrzymane w ten sposób

kolejne ilości zaabsorbowanej energii przez płytę, otrzymujemy szereg:

= a

Ej + a

E (1 - ax )(1 - a

) + a

E (1 - ax )2 (1 - a

(10.24)

+— = a

E\ (1 + p + p 2 +— )

gdzie p = (1 - a:)(1 - a

- p

a2E1

/i n

qa 2 = -----

(10.25)

1 - P

tę 2, otrzymamy podobne równanie określające energię zaabsorbowaną przez płyę 1:

= 0 - ^

(10.26)

1 - P

Końcowy bilans energii stanowi ciepło uzyskane przez płytę 2:

183

0 - 2 — 0> 2 — 0 j]

¿2?

0 £7

1 ~ p

Wyrażenie (1 - p ) można zapisać w postaci

p )

= 1 - (1 -

) ( \ - a 2 ) = a2

+ 0

- a {a2

Po jego podstawieniu do równania (10.26) otrzymujemy

E] - a\E

0 - 2

+ 0

- ą a

(10.27)

(10.28)

(10.29)

Wartości £) i E

zastępujemy odpowiednimi wyrażeniami z prawa Stefana

-Boltzmanna i otrzymujemy:

0 -2

a ,0 C o | —

- 0 a ,C o | —

100

‘

l 100

ąa2

- 0 o 2

(10.30)

+ 0

i po dalszych przekształceniach mamy:

A J - ( A .

100J

i 100

0 -2

7j V

( T

1007

u 00

Ti V

( T>

1007

U 00

(10.31)

<61

Strumień ciepła przekazanego od płyty 1 do płyty 2 o powierzchni A wynosi za-

tem

81-2

- £ -.A C o

A .

100

(10.32)

Zastępczą zdolność emisj i układu dwóch płyt równoległych opisuje równanie

(10.33)

£\

£2

184

10.4.2. Wymiana ciepła od powierzchni

A \

zamkniętej przez powierzchnię A2

W wyniku podobnej jak poprzednio analizy (rozdz. 10.4.1) wymiany ciepła przez

promieniowanie od powierzchni A\ otoczonej przez powierzchnię zamkniętą ,-L (rys.

10.10) otrzymuje się wzór Christiansena

W przypadku gdy powierzchnia/L jest bardzo duża w porównaniu z powierzchnią Ah

zastępcza zdolność emisj i jest równa zdolności emisj i powierzchni A h tj. s'z ~S\.

10.4.3. Wymiana ciepła między dwoma powierzchniami

dowolnie ustawionymi

W przypadku dwu płaszczyzn ustawionych dowolnie względem siebie (rys. 10.11)

można na podstawie prawa Lamberta wyprowadzić następujące równanie

(10.34)

gdzie zastępcza zdolność emisji jest dana wzorem

(10.35)

Rys. 10.10. Schem at układu z pow ierzchnią.4,

w ewnątrz pow ierzchni A 2

(10.36)

185

gdzie tzw. współczynnik konfiguracji określa równanie

cosfy cos/?;

f f

dĄ dA

(10.37)

Tir

Rys. 10.11. Schemat układu dwóch prostopadłych płaszczyzn

Według McAdamsa i Hottela dla ścian odbijających promieniowanie w prze

strzeni zamkniętej równanie to można zapisać w postaci

0 i - 2

^(/h-iC^Ai

w którym współczynnik konfiguracji opisuje równanie

J L

100

(10.38)

<Pi-2

(10.39)

\ £2

Współczynnik $_2 uwzględnia w tym ujęciu konfigurację powierzchni szarych A\

i A

odróżnieniu od współczynnika ę, który odnosi się do powierzchni A\ i A

skonale czarnych. Jeżeli pola powierzchni są sobie równe, to A] = A

i otrzymujemy

wzór (10.32), jeżeli zaś A\ < A

dla (p

\-2

= 1, to dochodzi się do wzoru Christiansena

(10.34).

10.5. Promieniowanie gazów

Emisja i pochłanianie promieniowania przez gazy ma charakter selektywny.

Wszystkie gazy jednoatomowe i dwuatomowe oprócz CO i HC1 są prawie doskonale

przeźroczyste. Ich zdolność emisji i absorpcji promieniowania jest znikoma. Gazy i pary

o niesymetrycznej budowie cząsteczki, takie jak CTK 11 (). C(K \1 E. węglowodory i
alkohole są natomiast zdolne do emitowania i absorbowania promieniowania. Ponieważ
energia gazów jest związana z oscylacjami bądź rotacją cząsteczek, wiec mogą być emi-

186

towane lub absorbowane kwanty promieniowania odpowiadające różnicy energii mię

dzy dozwolonymi stanami. Dla przykładu pasma promieniowania CO? odpowiadają

następującym wartościom długości fali X (w pm): 2,64-2,84, 4,13—4,47 oraz 13,0-17,0,
pomijając fale krótsze, świetlne, dające niewielkie ilości energii cieplnej.

Podobnie promieniowanie pary wodnej składa się z pasm o długościach fali X

(wpm): 2,24-3,27, 4,80-8,50 oraz 12,0-25,0. Gazy te są produktami spalania węglo
wodorów oraz innych ciał stałych (m.in. węgla).

Istotna różnica pomiędzy promieniowaniem gazów i ciał stałych polega również

na tym, że w gazach emisja i pochłanianie promieniowania zachodzą w całej objęto

ści. W przypadku wiązki promieniowania monochromatycznego o intensywności Ix

przechodzącego przez płaską warstwę gazu grubości s, pochłanianie energii następuje
zgodnie z zależnością

w którym: Ix - intensywność promieniowania w odległości jc od początku warstwy,
kx - współczynnik pochłaniania, zależny od ciśnienia i temperatury gazu.

Po scałkowaniu równania (10.39) w granicach od 0 do s otrzymujmy

stanowiącą energię zaabsorbowaną przez warstwę gazu.

Wielkość w nawiasie kwadratowym oznacza współczynnik absorpcji promienio

wania gazu /•.. dla długości fali X, który zgodnie z prawem Kirchhoffa jest równy emi-

syjności sgX. Całkowite wartości tych współczynników otrzymuje się przez ich zsumo

wanie w zakresie długości fali pasma promieniowania. Wielkości sgX i ZAg zależą od
kształtu i wymiarów warstwy gazu. Dla całego zakresu promieniowania s = j{T, p, s)
odczytuje się z odpowiednich wykresów (rys. 10.12 i 10.13).

Według wielu autorów prac doświadczalnych energia promieniowania gazów nie

podlega prawu Stefana-Boltzmanna. Otrzymane zależności mają zatem postać:

dIXs = - kxhxdx

(10.40)

IXs = h e x p (-ł} s)

(10.41)

oraz rozmcę

(10.42)

• dla CO

3,5

(10.43)

• dla pary H20

( 1 0 .4 4 )

187

Rys. 10.12. Zależność całkowitej emisyjności f Co, ° d tem peratury T i iloczynu p s pod ciśnieniem 1 bara

« 0

i «

1TOO

l « K

1 « U

riCD

Rys. 10.13. Zależność całkowitej emisyjności f H,o od tem peratury T i iloczynu p s pod ciśnieniem 1 bara

188

Stosuje się również równanie Stefana-Boltzmanna

= % C0

f rp

v100y

( 1 0 .4 5 )

po wprowadzeniu odpowiednich wartości emisyjności sg dla danego gazu, np. odczy
tanych z wykresów (rys. 10.12 i 10.13).

Przedstawiony wykres dla pary wodnej zawiera poprawne wartości dla małych

stężeń pary. W przypadku wyższych stężeń pary wodnej odczytane wartości emisyj

ności sg należy skorygować przez pomnożenie ich przez poprawkę /?h2o> zależną od
prężności pary oraz iloczynu prężności pary i grubości warstwy, odczytaną z innego
wykresu (rys. 10.14).

Rys. 10.14. Zależność poprawki /?H

od ciśnienia

Rys. 10.15. Zależność poprawki (3COl od ciśnienia

189

Podobnie dla CO2 należy uwzględnić poprawkę ¡3

CO2

(rys- 10.15) w zależności od

ciśnienia całkowitego i iloczynu ciśnienia cząstkowego C 02 i grubości warstwy.

Uwzględnienie obecności ściany biorącej udział w wymianie ciepła znacznie

utrudnia zadanie. Dla obliczeń technicznych zaleca się zależność:

=£.:cn

i T

100

- ag

/ T \4

T s

100

W/m2

(10.46)

gdzie: qg-s - ciepło wymieniane między gazem a ścianą na 1 m2 powierzchni, Tg - tem
peratura gazu, Ts - temperatura ściany biorącej udział w wymianie cie^a, e's =

(es + 1)/2 jest efektywną zdolnością emisyjną ściany, es - teoretyczną zdolnością emi
syjną ściany, eg - zastępczą zdolnością emisyjną gazu (z wykresów) w temperaturze

gazu, ag -

W obliczeniach technicznych można przyjąć, że ag = eg w temperaturze ściany

i odczytać je z wykresów.

Rys. 10.16. Zależność poprawki

Aeg od stosunku ciśnienia

cych

zależności:

• dla temperatury gazu

Eg =Pco

Eg(CO

) + A^oCg(H

O) - A e g

(10.47)

a g

P c O 2 E g

(CO

)

^T \°,65

+ ^H

OEg (H

A0’45

-A E

(10.48)

Wartości poprawek AEg należy odczytać z odpowiednich wykresów (rys. 10.16)

w zależności od temperatury gazu.

11. Obliczanie wymienników ciepła

11.1. Klasyfikacja wymienników ciepła

Wymienniki ciepła są to urządzenia, w których zachodzi przekazywanie energii

między dwoma płynami. Ze względu na sposób działania dzielimy je na trzy rodzaje.

Podstawową grupę (według Hoblera) stanowią wymienniki powierzchniowe, ina

czej przeponowe lub rekuperatory. Go racy czynnik, oddający ciepło, oraz zimny płyn

przejmujący ciepło, przepływają rozdzielone wzdłuż ściany rury albo ściany płaskiej,

lub zakrzywionej. Wymiana energii zachodzi kolejno od gorącego płynu do ściany

przez konwekcję, następnie przez przewodzenie w ścianie i w końcu ponownie przez
kon

ustalonej wymiany ciepła z utrzymaniem czystości płynów bez ich mieszania się.

eniem.

W aparatach tych znajduje się wypełnienie z ciała stałego w postaci kształtek, kul lub

blach, nieruchomych albo będących w ruchu. Czynnik gorący i zimny płyn
przepływają przez wolną objętość wypełnienia naprzemian. Czynnik gorący oddaje
energię cieplną do wypełnienia, po czym zimny płyn przejmuje ją. Ruch ciepła jest z
zasady nieustalony, tj. temperatura zmienia się w czasie. Do tej grupy należą
regeneratory pieców Siemensa-Martina oraz niektóre generatory gazu.

torem.

Trzecią grupę stanowią wymienniki ciepła bezprzeponowe mokre (mieszankowe).

nym czynnikiem jest gaz, drugi znajduje się w fazie ciekłej. Ciecz spływa po wypel-

nienia.

chodzi w sposób ciągły, ustalony. Zaletą takich wymienników jest duża intensywność

- mie

192

11.2. Typy konstrukcji wymienników ciepła

Wymienniki ciepła są również klasyfikowane ze względu na konfigurację i liczbę

przejść przez płyn. Kształt przegrody rozgraniczającej może być różny: ściana płaska,
rurowa zwykła lub rurowa żebrowana.

Rys. 11.1. Rozwiązania konstrukcyjne wymienników ciepła:

a) wymiennik ciepła typu

rura w rurze,

b) wymienniki

z krzyżowym przepływem płynów,

c) wymiennik ciepła wielorurkowy - dwudrożny

Ze względu na kierunek przepływu płynów wyróżnia się:

• wymienniki współprądowe, w których kierunek i zwrot przepływu obu czynni

ków jest zgodny,

zgod

193

• wymienniki krzyżowe, w których kierunek i prędkość przepływu czynników są

prostopadłe.

razowy. Typowym przykładem takiej konfiguracji jest wymiennik typu rura w mrze,
przedstawiony schematycznie na rys. 11.1a. Schemat wymienników z przepływem krzy

żowym pokazano na rys. 11.1 b.

W rozwiązaniach przedstawionych na rys. 11.1 a i b płyny przepływają oddzielnie

gim -

mieniami płynu o różnej temperaturze.

guracyjnego z dwu- lub wielokrotnym przepływem czynnika. Typowym przykładem

rurek, drugi natomiast -

o
n-

ników ciepła, będą omówione w następnym rozdziale.

11.3. Warunki pracy wymienników ciepła

pływu płynów względem siebie. Rozróżnia się:

czynników są zgodne,

•

czynników jest zgodny, a zwrot przeciwny,

•

stopadłe lub inne.

Schematy wymienników ciepła i rozkładu temperatury płynów dla przepływu

współprądowego i przećiwprądowego przedstawiono na rys. 11.2 i rys. 11.3. Jeżeli
przyjmiemy jednakowe wartości współczynników wnikania ciepła po obu stronach

odsta

dzić czynnik a do temperatury niższej od temperatury końcowej czynnika b (rys.

11.3), czynnik b natomiast możemy podgrzać do temperatury wyższej od temperatury

ko cowej czynnika a

(przeciwp.) ^^^

(wspólp.)

194

Rys. 11.2. Schemat współprądowego wymiennika

ciepła i rozkładu temperatury płynów

Rys. 11.3. Schemat przeciwprądowego wymiennika

ciepła i rozkładu temperatuty płynów

Pod względem najlepszego wykorzystania ciepła do wymiany zaleca się z reguły

stosowanie przeciwprądowego przepływu płynów. Maksymalna temperatura ścianki

jest wówczas dużo wyższa niż w przepływie współprądowym. Według Hoblera [4]

nie jest wskazane przekraczanie temperatury ścianki 700 °

C ze względu

na temperatu

rę pełzania materiału. Temperatura ta jest w przypadku stali ognioodpornych kilkaset

stopni niższa od ich temperatury topnienia.

Łatwo uzasadnić, że rozkład temperatury zależy od stosunku pojemności cieplnej

wego

W = mcp

(111)

Jeżeli założymy adiabatyczną wymianę ciepła, to równanie bilansu cieplnego dla

obu płynów przyjmie następującą postać

Qa-b = Wa (Ta

- Ta

)=±Wb (Tbl - Tb

)

Znak plus przyjmujemy dla przeciwprądu, znak minus - dla współprądu.

Po uwzględnieniu równania (11.1)

Qa-b = macpa (Ta 1 - Ta 2 ) = ± mbCpb (T>1 - Tb 2 )

i po przekształceniu otrzymujemy:

WL = ± Ta 1 - Ta

Tm - Tb 2

(11.2)

(11.3)

(11.4)

Dalszą analizę rozkładu temperatury płynów i temperatury ścianki przedstawiono

w kolejnych rozdziałach.

195

11.4. Średnia różnica temperatury

11.4.1. Przeciwprądowy i współprądowy przepływ płynów

Obliczanie wymiennika ciepła sprowadza się do określenia warunków hydrody

namicznych przepływu poszczególnych strumieni płynów, wyznaczenia współczynni

ka przenikania ciepła k oraz określenia średniej różnicy temperatury. Na tej podstawie

możemy wyznaczyć powierzchnię wymiany ciepła potrzebną do przekazania określo
nego strumienia ciepła.

Podstawowym równaniem do tych obliczeń jest równanie Pecleta dla przenikania

ciepła

Q = k A M

(11.5)

w którym różnica temperatury AT jest siłą napędową wymiany strumienia ciepła Q .

Rys. 11.4. Rozkład różnic temperatury

we wspólprądowym wymienniku ciepła

Rys. 11.5. Rozkład różnic temperatury

196

wierzchni i drogi wymiany ciepła. Jedynie w szczególnym przypadku, jakim jest wy
parka, w której po jednej stronie ścianki ciecz wrze, a po drugiej skrapla się nasycona
para grzejna, ta różnica temperatury jest stała. Najczęściej jednak różnica temperatury
płynów AT = Ta - Tb zmienia się wzdłuż drogi przepływu, jak pokazano na rys. 11.4
i 11.5 dla współprądowego i przećiwprądowego wymiennika ciepła. W każdym prze
kroju różnica temperatury płynów jest inna. Jedynym możliwym rozwiązaniem jest

ATm

nie Pecleta

Q = kAATm

(11.6)

W celu wyprowadzenia wzorów na średnią różnicę temperatury rozpatruje się

wiele równań. Na różniczkowej powierzchni wymiennika ciepła dA gorący płyn odda

je w jednostce czasu różniczkową ilość ciepła dQa:

dQa = -m aCpadTa

(11.7)

Całkowity strumień ciepła przekazany na całej powierzchni A, tzn. na drodze od prze
kroju 1 do przekroju 2 (rys. 11.5), wynosi

Ta 2

Qa =-ma

CpadTa

(11.8)

a 1

W równaniach tych mamy znak - dla przeć iwprądu oraz znak + dla współprądu.

Strumienie ciepła można opisać ze względu na wymianę ciepła między czynnikami:

• w odniesieniu do elementu powierzchni dA

dQa -b = kdAAT

(11.9)

•

Qa-b = A (kAT )m

(11.10)

Równanie (11.9) przekształcamy do postaci

dA = d ^

(11.11)

kAT

Można przyjąć, że w adiabatycznym wymienniku ciepła dQa = dQa-b oraz Qa = Qa-b .

Po podstawieniu wzoru (11.7) do (11.11), otrzymujemy

ma cpa dTa

dA =-------------

kAT

(11.12)

197

oraz po scałkowaniu

A = -m

f —

—

(11.13)

kAT

a 1

Po podstawieniu ostatniego wyrażenia do wzoru (11.10)

r2 c dT

Qa-b = ma

( t ó T )m

( 1114)

kAT

Ta 1

i porównaniu równania (11.14) z równaniem (11.8) otrzymujemy

- ma f c

adTa = —ma f -

^ ( k A T )

(11.15)

JT kM

a 1

po przekształceniu zaś

f cpadTa

(kAT )m = £ ----- —

( 1116)

c dT

kAT

Ta1

oraz założeniu, że cp = const mamy:

M ) = T

Ta2 dTa

(kAT )m = § 2 - ^

(11.17)

j kAT

Ta 1

dla k = const zaś

Ta 2 —

Ta 1

Tr2 dTa

ATm =~

~----- 21

(11.18)

a 2

a 1

Jeżeli założymy, że k = const, to z równania (11.10) otrzymujemy równanie Pec-

leta w ogólnej postaci:

Q = kAAT

(1119)

mość zależności AT = f (Ta). Zależność ta jest najczęściej liniowa. Wyjątek stanowi

chłodzenie przeponowe mieszaniny gazu i pary, kiedy część pary się wykrapla. Jeżeli

198

założymy prostoliniową zależność: AT = aTa + b (tj. równanie y = ax + b), to po prze
kształceniu otrzymujemy:

rri

ATm = Ta2 - Ta 1 = Ta2 - Ta 1 = Ta2 - Ta 1 = aTa2 -

aTa1

(11.20)

dTa

T dTa

l i n ^^a2 +b

^ AT2

+ b

\ +b

A?j

a 1

a po dodaniu w liczniku stałych b i -b mamy

ATm = ^ TL-T T -

(11.21)

i n ^ _

Jest to tzw. średnia logarytmiczna różnica temperatury płynów. Wyrażenie to obowią
zuje również, gdy jedna z wartości temperatury jest stała (linia Tb), jak np. podczas
kondensacji czy odparowania. Taką samą postać równania otrzymujemy dla współ-

naniem (11.6) iub (11.7). W szczególnym przypadku, gdy wyrażenie {kAT) zmienia

się liniowo w zależności od Ta iub Tb, rozwiązanie otrzymuje się jako średnią loga

rytmiczną:

, j k ą

- y p

(

1 1

)

(kAT)

in ------ —

(kAT ,1

Częściej współczynnik k i różnica temperatury AT są o d rę b n y i liniowy mi funk

cjami temperatury czynnika a. Obowiązuje wówczas wzór Colbuma:

(kAT) =

kAT2

- k lA T

(11.23)

ki AT2

k2A T

Całkowanie możemy wykonać metodą graficzną lub innymi przybliżonymi metodami.

11.4.2. Prądy skrzyżowane i mieszane

żowy. Zasadę działania wymiennika z przepływem krzyżowym pokazano na rys. 11.6.

wadzamy poprawkę e. Poprawka £ jest wskaźnikiem zmiany intensywności wymiany

ciepła. Wykres zmian temperatury dla zastępczego układu przepływu krzyżowego

pokazano na rys. 11.7.

199

Rys. 11.6. Wymiennik ciepła z przepływem krzyżowym

Rys. 11.7. Rozkład różnic temperatury

dla zastępczego układu z przepływem krzyżowym

—

A T

ATm' =eA Tm =e-

AT;

(11.24)

a powierzchnia wymiany ciepła wymiennika wynosi

A = ■

k£A Tm

(11.25)

to poprawka £ określa stosunek obniżenia średniej różnicy temperatury w przepływie

krzyżowym do średniej różnicy temperatury dla przepływu przećiwprądowego ATm.
Poprawka ta zależy od parametrów X i Z.

200

Rys. 11.8. Zależności

(X,

dla różnych

przypadków przepływu krzyżowego (wewnątrz

rurek i prostopadle do nich według schematu)

Rys. 11.9. Zależności

(X, Z)

Parametr X

wej czynnika b (ogrzanie czynnika b, ATb

eratury

w układzie ATmax, parametr Z zaś jako stosunek różnicy temperatury początkowej

i końcowej czynnika a (ochłodzenie czynnika a, ATb) do maksymalnej różnicy tempe
ratury ATmax:

201

v _ T bk —Tbp

ATb

X —---------- —

-------

(11.26

T — T

ap 1bp

L^1

nmax

(11.27)

Wykresy zależności poprawki £ = f (X, Z) dla przepływu mieszanego różnego ro

dzaju pokazano na rys. 11.8 i rys. 11.9. Wykresy te zostały opracowane przez Michie-

jewa (według [4]). Odrębnym zagadnieniem jest wymiana ciepła w tzw. rurkach Fiel-

da (jedna rurka wewnątrz innej rurki), szczegółowo omówionym w podręczniku

Hoblera [4].

W niektórych podręcznikach [2] oraz w literaturze amerykańskiej [12] poleca się

metodę obliczania wymienników ciepła opartą na liczbie jednostek wymiany (ang.

Number o f Transfer Units - NTU). Już w 1930 r. Nusselt zaproponował metodę anali

zy opartą na efektywności wymiennika ciepła n Efektywność (sprawność) wymien-

czynnik o mniejszym równoważniku wodnym przepływu wykorzystał całkowicie

maksymalną różnicę temperatury ATmax = Ta

- Tb

w tym wymienniku

Takie całkowite wykorzystanie ATmax jest możliwe w wymienniku przeciwprądo-

wym o nieograniczonej powierzchni. W wymienniku współprądowym jest to możliwe

ważniku wodnym (Wmm) doświadcza większej zmiany temperatury. Jeżeli przyjmie

11.5. Obliczenia wielkości wymiennika

oparte na jego sprawności

max

(11.28)

Rys. 11.10. Rozkład temperatury dla przeciwprądowych wymienników ciepła:

a >

, W

= W

; b)

b >

, Wa

Wmn

202

my, że Wb = Wmin ^ak na rys. 11.10a dla przeciwprądu), to w przypadku nieskończenie
dużej powierzchni wymiany temperatura płynu b na f l o c i e będzie równa temperatu

rze wlotowej płynu a. Zgodnie z definicją mamy

m a x

= W

m in

(Tap — Tbp ) = W

m in

m a x

(11.29)

a następnie

Q = Wnax (ap — Tak ) = Wnax ATmm

(1 1.30)

oraz

Wa (Tap — Tak ) Wmax

(ap ~ Tak )

n =— r - p—

= -------TJp------- k

(1131)

Wb (bk — Tbp )max

Wmin (Tap — Tbp )

enie

przyjmie postać

Wb (bk — Tbp )

Wmax (bk — Tbp )

n = ---- ^

= ------ t---------H

(11.32)

Wa (Tap — Tak )max

Wmin (Tap — Tbp )

Ponieważ w licznikach tych wzorów mamy strumień ciepła Q,więc możemy na

pisać, że

Q =nW

m in

(Tap — Tbp )

(11.33)

Jeżeli płyn zimny jest płynem minimum, to dla przećiwprądowego wymiennika

mamy:

Q W (

T ) kA (Ta1 —

Tb1 ) — (Ta2 —

Tb2 )

(1134)

Q = Wb ( b

—

Tb 1 ) = kA--------

(11.34)

ln la 1 —

T 1

v Ta 2 —

Tb 2

Z równania (11.33) otrzymujemy wyrażenie określające sprawność wymiennika:

(

Wmin ( 2 —

Tb 1 )

Wb = Wmin

Ta 2 = Tb 1 +--- (Tb 2 —

)

(11.36)

a następnie odejmiemy stronami Tb2, to

203

Ta 2 —

Tb 2 —

— Tb 2 +---- (Tb 2 —

) —

X —

(Tb

2 —

Tb 1

)

Ponieważ

Ta 2 —

Tb 2 —

Tb 1

więc po przekształceniu otrzymamy

' ' m

rr7

’ ’ min / m

rri \

a 1 —

Ta 2

--- ( b 2 —

Tb 1 )

max

(11.37)

(11.38)

(11.39)

oraz

'T'

min / m

m \

a 1 —

Tb 1 —

Ta 2 —

Tb 1 —

~ --- \Tb 2 —

Tb \)

’ • may

Z równania (11.36) otrzymujemy zależność

Ta 2 —

—~(Tb 2 —

Tb 1 )

którą podstawiamy do równania (11.40):

T \

min / m T' \ _

a 1 —

Tb 1 ——{-tb 2 —

Tb1 ) —

------- ( Tb 2 —

Tb 1 ) —

Wmax

^ 1

W ■

min

(11.40)

(11.41)

a następnie zależności (11.37) i (11.42) podstawiamy do równania (11.34)

(Tb

—

) (11.42)

Wma

1 —

ceniu otrzymamy ostatecznie

(11.43)

1 —

exp

Wmin

exp

Wmax

1 —

(11.44)

Wyrażenie kA/Wmin

nazywamy

liczbą

jednostek

wymiany NT U. Stosunek Wmin/Wma

oznaczymy jako R i dla przeciwprądowego im ie n n ik a ciepła otrzymamy równanie:

204

- NTU(1-R)

Vp =

------ r ^ r

(1145)

- Re- NTU(1-R)

Dla współprądowego wymiennika ciepła w wyniku podobnego wyprowadzenia

[2, 12] uzyskuje się wyrażenie

- NTU(1+ R)

n . = 1 - e,

(11.46)

1 + R

itych konstrukcji wymienników ciepła.

11.6. Rozkład temperatury płynów i ściany

11.6.1. Temperatura płynów

ienniku

wierzchni wymiany ciepła. Jak pokazano w rozdziale 11.3, charakter krzywych

T = f (A) lub T = f (L), gdzie A jest powierzchnią, L zaś długością wymiennika zależy

od stosu

ności cieplnej drugiego płynu (równ. (11.4)). W dalszych rozważaniach zostanie
przedstawiony rozkład zmian temperatury dla adiabatycznego wymiennika ciepła

otoczenia, dQa = dQb = dQ) w przeciwpr dowym

i współprądowym przepływie płynów.

dla

przećiwprądowego możemy zapisać różniczkowy bilans ciepła (dotyczący powierzch-

dA):

dQ = -m acpadTa

(11.47)

dQ = -mbcpbdTb

(11.48)

szej postaci:

dQ = -W adTa

(11.49)

d Q = - W bdTb

(11.50)

i otrzymam

205

dTa

— —

dTh —

■

AT = Ta - Tb

d (A T ) —

dTa —

dTb

którą podstawiamy do równań (11.51) i (11.52)

d (A T ) ——

Po wprowadzeniu różniczkowej postaci równania Pecleta

dQ —

kdAAT

otrzymujemy

d (A T ) —

—

kdAAT ' X —_ L A

(11.52)

(11.53)

(11.54)

(11.55)

(11.56)

(11.51)

i po przekształceniu mamy

d (A T )

—

—k

' _ L —J _ A

= 0 do A

oraz od AT

do AT

(zakładamy, że k = const)

ln------—

—kA2

(11.57)

i po przekształceniu otrzymujemy

—

A 71 e

1 —

Wa Wb

(11.58)

Jest to wzór określający różnicę temperatury płynów na wylocie wymiennika jako

go równoważnika wodnego (wzór Hudlera [2])

206

AT2 =A Tje- kA2/Wz

(11.59)

ynów w dowolnym prze

kroju wymiennika (w odległości x od wlotu), to możemy ją obliczyć na podstawie AT1
z równania otrzymanego w wyniku całkowania

ATx = A Tje- kAx/Wz

(11.60)

nia. Dla przeciwprądu, gdy W1 < W2, mamy zatem:

= J ___

W ~ W ~ W

jeżeli zaś W1 > W2, to

= J ___ 1_

Wz ~ W2

(11.61)

(11.62)

Dla współprądowego przepływu płynów różniczki temperatury płynów mają

przeciwne znaki (równania (11.47)-(11.52)); dTb jest dodatnie, więc zastępczy rów-

— = — + —

(11.63)

podczas skrapla

nia pary w skraplaczu lub odparowywania w wyparce, to przyjmujemy, że jego po

jemność cieplna jest nieskończenie duża (W =

i zastępczy równoważnik wodny

prze

Wz = W

(11.64)

w skraplac

Wz = W2

(11.65)

We wzorach Hudlera (11.59)—

(11.60) AT1 należy przyjmować po stronie wlotu

kszej

mperatury.

Z równań tych możemy obliczać również temperaturę poszczególnych płynów.

Zasada postępowania polega na tym, że jeżeli znamy warunki w przekroju wlotowym
płynu gorącego (stan 1), to szukamy np. temperatury Tb1 dla przeciwprądu. Obliczamy
najpierw AT2:

207

AT2 —

Ta 2 —Tb 2

(11.66)

Tb 2 —

Ta 2 —

(11.67)

Po wyeliminowaniu temperatury na podstawie równania bilansu cieplnego (11.2) mamy:

Ta 1 —Ta

—

W-(Tb 1 —Tb2)

(11.68)

a następnie

Ta2 —

— - ^ (Tb 1 —Tb2)

(11.69)

Po podstawieniu tego wy

Tb 2 —

Ta 1 —

-bT b 1 + - f T b 2 —

(11.70)

i uporządkowaniu otrzymujemy

Ta 1 —-^T b 1 —

^ 2 —

W \

0 1 7 1 )

1 Wa

a /

AT2

AT1

otrzy

Tb 2 —

f (

,Ta 1 Tb 1)

(11.72)

Tb lub Ta w dowolnym przekroju wy

miennika: Tb = f(AT1,

Ta1, Tb1). W tym celu należy wyznaczyć odpowiednie AT

czątkową

Wa (Ta 1 Ta ) —±Wb (Tb

—% )

(11.73)

Znak plus mamy dla przeciwprądu, a znak minus zaś dla współprądu.

ków wodnych płynów na rozkład temperatury w wymienniku ciepła.

208

11.6.2. Temperatura ścianki

rze materiału konstrukcyjnego.

Q = aaA (Ta - Ta )

(11.74)

czynnik b zaś pobiera strumień ciepła

Q = abA (Tb - Tb)

(11.75)

określony równaniem Pecleta

Q = kAAT

(11.76)

i po przekształceniach wyznaczamy temperaturę ścianki

k AT

Ta = Ta

(11.77)

a a

oraz

kAT

Tb = Tb +-----

(11.78)

Jeżeli przyjmiemy, że Tsa = Tsb =TS, to po przekształceniu otrzymujemy

Ta -Ts =—

(11.79)

Ts - "Tb

—a

a następnie

Ts = —aTa +—bTb

(11.80)

aa +ab

Temperaturę ścianki Ts możemy znacznie obniżyć, zwiększając współczynnik

wnikania ciepła po stronie płynu (gazu) zimniejszego.

11.7. Wskazówki do projektowania wymienników ciepła

any

gicznego. Obliczenia projektowe składają się z następujących etapów:

1. Podstawą obliczeń jest sporządzenie bilansu cieplnego z ewentualnym

ariantów.

209

skupienia (w przeci

> Ta

, Tb

> Tb

)

opisuje znane nam równanie

Q —

p a

—T

) —

p b

—T

)

(11.81)

w którym indeksy a i b

na jako średnia w danym przedziale temperatury.

1.2. Gdy po jednej stronie wymiennika zachodzi zmiana stanu skupienia czynni

ka, np. w skraplaczu pary chłodzonym wodą (Tb2 > Tb1) lub w wyparce ogrzewanej
spa

Q —

—

p b

( 2 —T

1 )

(11.82)

1.3. Jeżeli zmiana

stanu skupienia zachodzi po obu stronach, np. w wyparce

ogrzewanej parą, to mamy

Q —m

—

(11.83)

Ta1 > Ta2, Tb2 > Tb1, ia1 > ia2)

przyjmuje po

Q —

p i

—T

) + mt (X

1 i

1 —

2 ) —

—

p b

(

—

T.1 ) (11.84)

gdzie xa

suchego, K, kg/s, masowy stru

Określamy średnią różnicę temperatury dla procesu wymiany ciepła. Najczę

ściej posługujemy się średnią logarytmiczną skrajnych różnic temperatury. Niekiedy,

gdy AT1/AT2 < 2, stosujemy średnią arytmetyczną.

wartości pary wodnej, stosujemy metodę obliczeń polecaną przez Kerna i Hoblera [4]:

a) obliczyć ciepło oddawane przez gaz i ciepło kondensacji pary; ich sumę należy

b) zastosować współczynnik wnikania ciepła, obliczony jak dla gazu,
c) użyć średniej logarytmicznej jako średniej różnicy temperatury, biorąc pod

uwagę skrajne temperatury gazu i wody chłodzącej,

W przypadku wyparki należy z kolei sprawdzić, czy obciążenie cieplne q, W/m2,

jest dostatecznie małe w porównaniu z qkr.

biega równocześnie kilka różnych procesów, to dla każdego wykonujemy osobne
oblic

niem mieści się w granicach od 8 do 30 m/s, cieczy natomiast nie przekracza 1,5 m/s.

Im droższy jest materiał konstrukcyjny, tym zaleca się większe wartości prędkości

1.1.

210

maga też założenia typu konstrukcyjnego wymiennika.

e
e-

ymiennik

11.8. Obliczanie wymienników dla wybranych

przypadków nieustalonej wymiany ciepła

W praktyc

pła, zwłaszcza w urządzeniach pracujących w reżimie okresowym. W związku z tym
po

zbiornika napełnionego cieczą.

11.8.1. Ogrzewanie (chłodzenie) cieczy przez ścianę zbiornika

w stałej temperaturze czynnika grzejnego (chłodz ącego)

Bilans ciepła w procesie ogrzewania (chłodzenia) cieczy przez ścianę zbiornika

dwóch pod

Równanie (11.85) określa ilość ciepła przekazywaną przez przenikanie w czasie

dT od czynnika a w stałej temperaturze Ta do cieczy b w zmiennej temperaturze T.
Gdy Ta < T, następuje chłodzenie cieczy b. Równanie (11.86) opisuje zmianę entalpii
cieczy b o masie mb w tym samym czasie dT. Po przyrównaniu prawych stron obu
równań

dQ = kA(Ta - T)dT

(11.85)

oraz

dQ = mb cpb dT

(11.86)

kA(Ta - T)dT = mbcpbdT

(11.87)

------- dT =— -------- -

mbCpb

k(Ta - T )

(11.88)

211

Równanie to całkujemy granicach od 0 do T po lewej stronie oraz od temperatury

początkowej Tp do końcowej Tk po prawej stronie

Nie uwzględnia się masy ściany metalowego zbiornika, ponieważ czas jej nagrzewa
nia jest bardzo krótki. Rozwiązanie równania (11.89) umożliwia obliczenie czasu
trwania procesu ogrzewania lub chłodzenia albo powierzchni wymiany ciepła dla

nia ciepła k.

Gdy współczynniki wnikania ciepła po obu stronach ściany są bardzo duże

(ogrzewanie parą cieczy mieszanej w zbiorniku) przyjmuje się: Ta = const; k = const
i

dużym zmianom i współczynnik przenikania ciepła k jest zmienny, jak np. podczas

anie

ciepła po obu stronach następuje w wyniku konwekcji naturalnej. W celu wykonania

i na podstawie zasady rozdzielania całki sumy na sumę całek po podstawieniu równa

nia (11.91) do równania (11.89) i przekształceniu otrzymuje się

Rozwiązanie całek po lewej stronie równania wymaga określenia związków opisują-

Spadek temperatury po obu stronach ścianki można wyznaczyć ze wzoru (por.

rozdz. 11.6):

(11.89)

(11.90)

1 1

- = — + —+ —

(11.91)

a a

X ab

(11.92)

a aTa +abT

(11.93)

a a + ab

212

z którego otrzymuje się

*T _ T

T a aTa +abT

T _ T - Ta

¿iT a —

T s Ta

—

Ta —

Oa + ab

a a

—

oraz

ATh _ T - Ts _ T-

aaTa + abT

T - Ta

a a + a b

+ a

(11.94)

(11.95)

Przyjmujemy, że stosunek współczynników wnikania wynosi x = Ob,/aa i otrzymujemy:

T - Ta

ATa _ x-

oraz

Tb _

x +1

T - Ta

x +1

(11.96)

(11.97)

stronach w warunkach konwekcji naturalnej. Dla obu przypadków współczynnik wni

kania ciepła zależy od założonej różnicy temperatury

a a _ LA T'

oraz

_ NAT

oraz

a a _ Lx”

ab _ N

x + 1

T - Ta

x +1

(11.98)

(11.99)

(11.100)

(11.101)

Zmienna x (x = a b/a a) jest w niektórych przypadkach stała. Przyjąwszy jej wartość

w zależności (11.92):

213

_ l

l a a (T - T ) _ j

X + 1

d T

L (T - Ta )m (Ta - T )

Tjc

) L

X +1 Y 1 r _________

L f (T - Ta )m+1

f X +11

m 1

l X i Lm _(Tk - Ta )m

(Tp - Ta )m _

(11.102)

sdT

_ - S ln Ja - Tk

_ f

l a b (Ta - T ) I

(T - Ta )n (Ta - T )

J l(Ta - T )

X Ta - Tp

(

+ 1)n

(

+ 1)n

(11.103)

i (T - Ta )n+1

(X + 1)n

(Tk - Ta )n

(Tp - Ta )n

(11.104)

Jeżeli przyjmiemy, że (Tp - Ta) = 0 p oraz (Tk - Ta) = 0 k, to wzór (11.92), określający
czas chłodzenia, zapiszemy w postaci:

+ x ^

mb cpb

k m

S . 0k +(1 + X )n

—ln----- 1----------

„

p n

F /

(11.105)

Podobne równanie otrzymuje się dla ogrzewania cieczy w zbiorniku; przyjmuje

my wówczas oznaczenia: (Ta - Tp) = 0 p oraz (Ta - Tk) = 0 k.

11.8.1.1. Chłodzenie cieczy w zbiorniku na wolnym powietrzu

Rozważmy chłodzenie cieczy w zbiorniku umieszczonym na wolnym powietrzu

(rys. 11.11). Temperatura powietrza jest stała, Ta = const, a temperatura cieczy

w
obu stronach ścianki w wyniku konwekcji naturalnej i współczynniki wnikania można
opis

m przy

różnicy temperatury wynosi najczęściej 1/3, rzadziej 1/4. Jeżeli założymy, że wykład-

m = n

ostaci

214

mb cpb

(x +!)

Ponieważ z definicji wynika, że

x = -

NATbm

ATa

a a

LATam

AT,

- - l n 0

(11.106)

0„

(11.107)

więc

z A Ta m1

ATbb

= x

(11.108)

Rys. 11.11. Szkic zbiornika z gorącym płynem

oddającym ciepło do pow ietrza

Uwzględniając ten związek, wyrażenie w nawiasie kwadratowym równania

(11.106) można przekształcić do postaci

x +1

(x +1)

(x +1)

(x + 1 )

k xm+1

cowy

(x +1)

Lxm

(x + 1) =

(x +1)

m+1

(11.109)

( x + 1)

mbcpb

- - ln 0

(11.110)

Często opór ściany jest mały i końcowy człon w tym równaniu może być zaniedbany.

11.8.1.2. Ogrzewanie zbiornika z cieczą za pomocą pary nasyconej

Podczas ogrzewania zbiornika z cieczą za pomocą pary nasyconej para grzejna

Ta = const, temperatura cieczy w zbiorniku wzrasta natomiast

w czasie procesu. Współczynniki wnikania ciepła aa od skraplającej się pary grzejnej

215

do ścianki oraz ab od ścianki zbiornika do

ogrzewanej

cieczy zależą od spadków tem

peratury: aa = f (ATa) oraz ab = f (ATb).

Jednak wartości wykładników m i n

są różne. Dla

kondensacji pary m = -1/4, dla

konwekcj i

naturalnej

zaś n = 1/3.

Należy

skorzystać z równania (11.105), przyjmując

mniej jednak możliwe jest pewne przybliżenie, ponieważ aa >> ab i

stąd

x = ab/a a =

0. Dla skraplania wielkość L

jest rzędu

104, co dla m = -1/4 daje:

v X

^ 25

X + 1

^ 0

Dlatego w równaniu ogólnym (11.105) można pominąć pierwszy człon i otrzymać

przy

m b C p b

n N

—ln —^

(11.111)

Chociaż błąd obliczenia nie przekracza kilku procent, obliczoną wartość czasu

ogrzewania należy zwiększyć o 10-20% [4].

11.8.2. Ogrzewanie (oziębianie) cieczy medium grzejnym

(chłodzącym) w zmiennej temperaturze

= const,

zmienną natomiast na wylocie (Ta2). Bilans cieplny takiego procesu opiszemy za po-

• dla płynu ogrzewanego w zbiorniku

dQ _ mbcpbdTb

(11.112)

• dla p

dQ _ maCpa (Ta 1 - Ta )

(11.113)

dQ _ kAkTdT

(11.114)

Tbp, pod

Tbk

ym momencie jest

różnica temperatury:

• na wlocie cieczy grzejnej AT

= Ta

- Tb,

• na wylocie z płaszcza grzejnego AT2 = Ta - Tb.

216

a średnia różnica tem peratury wynosi

ATI -AT2

(Tai - Tb ) (Ta - Tb )

- Ta

AT = -

^ĄTL

ln (Ta

- T )

A?2

(Ta - Tb )

Ta - Tb

Rys. 11.12. Mieszalnik z chłodzonym płynem

o stałej temperaturze na wlocie

Po podstawieniu do równania (11.114) i przyrównaniu go do równania
otrzymujemy:

maCpa (Ta 1 - Ta )dT = k

ln Zał^bL

Ta - Tb

z czego po przekształceniu w ynika

Ta 1 —

ln-

mac pa

oraz

Ta 1 Tb kaimacpa

Ta - Tb ~

co daje

Ta 1 - Tb

Ta _ Tb + ka/macpa

(11.115)

(11.113)

(11.116)

(11.117)

(11.118)

(11.119)

217

Przyjmijmy oznaczenie K = QkalmaCpa [ równanie określające temperaturę cieczy

grzejnej na wylocie zapiszmy w postaci

Ta = Tb +

Ta1 - Tb

(11.120)

Po podstawieniu tej zależności do bilansu (11.113) i przyrównaniu do równania
(11.112) otrzymuje się

mb c pb dTb

ma c p

{Ta 1 - Tb )

Ta 1 -

rri Ta 1

Tb +

dT =

K -1

(11.121)

ma cpa

{Ta 1 Tb ) ) T

Rozdzielenie zmiennych i całkowanie daje

K - 1T

mbCpb Tbc

dTb

=mbciL r

Po rozwiązaniu całki mamy ostatecznie

maCpa T Ta 1 - Tb

mbCpb in Ta

- Tbk

mac pa

Ta 1 Tbp

(11.122)

(11.123)

gdzie: T

- Tbp = ATJp jest spadkiem tem peratur na wlocie cieczy grzejnej na począt

ku procesu, T

- Tbk = ATJk - spadkiem temperatury na wlocie cieczy grzejnej na

końcu procesu.

Temperaturę cieczy grzejnej na wylocie z płaszcza grzejnego na początku procesu

( t = 0) i końcu procesu ogrzewania możemy obliczyć z równania (11.120) po podsta

wieniu Tbp lub Tbk za Tb:

oraz

Tap = Tbp +

Tak = Tbk +

Ta 1 - Tbp

Ta 1 - Tb

(11.124)

(11.125)

zczem zastosujemy

tyczny z równaniem (11.123), jedynie zmieniają się definicje spadków temperatury

Tbp - Ta

= = AT

p oraz na

esu Tbk - Ta

= = AT

218

11.8.3. Ogrzewanie (oziębianie) cieczy za pomocą zewnętrznego

wymiennika ciepła o stałej temperaturze medium

Gdy zbiornik ma dużą pojemność lub gdy wymiana ciepła przez ściankę jest

utrudniona, a wężownica niewskazana, zaleca się stosowanie dodatkowego wymien

nika ciepła. Do rozważań przyjmijmy rozwiązanie przedstawione na rys. 11.13, w

którym ciecz należy ogrzać do temperatury Tbk w zewnętrznym wymienniku ciepła za

pomocą nasyconej pary wodnej o temperaturze Ta1. Masowe natężenie przepływu

cieczy w wymienniku jest równe mb = const. Przyjmuje się, że temperatura w prze
strzeni zbiornika jest zmienna, ale wyrównana, równa temperaturze cieczy obiegowej

na wlocie do wymiennika Tb. Temperatura cieczy na wylocie z wymiennika Tb jest
także zmienna, ale wyższa od temperatury Tb.

Rys. 11.13. Schemat instalacji do ogrzewania mieszalnika

za pomocą osobnego wymiennika ciepła

cyc

• dla cieczy w zbiorniku

dQ = mbcpbdTb

(11.126)

dQ = mbCpb (Tb-Tb )dT

(11.127)

dQ = kAATdt

(11.128)

rocesu jest równa Tbp, pod

Tbk

różnica temperatury:

219

• na wlocie cieczy do wymiennika

AT1 = Ta1 - Tb

• na wylocie z wymiennika

AT2 = Ta1 - Tb

Średnia różnica temperatury wynosi zatem

\ T = ATl -AT2 = {Ta 1 - Tb ) - { a 1 - Tb ) = Tb - Tb

( ,, 129)

= l n ^ =

l n

i ^

= l n

AT2

{Ta

- Tb' )

Ta 1 - Tb

Po podstawieniu do równania na przenikanie ciepła (11.128) i przyrównaniu go

do równania (11.127)

mbCpb {Tb - Tb )dT = kA Tb ~ T\ , dT

(11.130)

Ta 1 - Tb

i po przekształceniu otrzymuje się

ln Ta 1 - T\ = ——

(11.131)

a następnie

Ta 1

mbc pb

Ta 1 - Tb

co daje

---- = embCpb

(11.132)

Ta 1 - Tb

Tb = T* -

( 11133)

Jeżeli przyjmiemy, że K =eka

mbCpb , to równanie na temperaturę cieczy grzejnej na

wylocie zapiszemy w postaci

Tb = Ta

- Ta 1 ~ Th

(11.134)

Po podstawieniu tego wyrażenia do bilansu (11.127) i przyrównaniu do równania

(11.126) otrzymuje się

220

—

mb cpb (Ta 1

Tb ) 1

(11.135)

Rozdzielenie zmiennych

K -1

(11.136)

i całkowanie daje

K —

1 —

mb in Ta

—

Tbk

(11.137)

K J

- Tbp

gdzie: Ta\ - Tbp = ATJp jest spadkiem temperatury na wlocie cieczy do wymiennika na
początku procesu, Ta

- Tbk = AT

k jest spadkiem temperatury na wlocie cieczy przy

końcu procesu.

Temperaturę cieczy na wylocie z wymiennika T/ na początku procesu ( t = 0)

i końcu proces u ogrzewania (

) możemy obliczyć z równania (11.134) po podstawie

niu za Tb Tbp lub Tbk

W przypadku chłofenia płynem o stałej temperaturze TaX wzór jest identyczny

ymiennika:

na poc^tku procesu Tbp - T

= = ATJp o ^ na końcu procesu Tbk - T

= AT1k.

(11.138)

oraz

(11.139)

Tbk — T a 1 —

11.9. Obliczanie regeneratorów ciepła

dowego, tzn. energii cieplnej gazów odlotowych (np. spalin). Regeneracyjne podgrze

wacze powietrza, zwane podgrzewaczami Ljungstroema, są na przykład stosowane w

221

kotłach parowych. Wsad stanowiący wypełnienie, zwykle w postaci cegieł ceramicz

nych, jest ogrzewany przez gorące spaliny, a następnie jest chłodzony powietrzem. W
niektórych regeneratorach wsad może być zestawem blach metalowych.

Metodę obliczeń idealnego regeneratora opracował Hausen [2]. Analizował on

regenerator, w którym współczynnik przewodzenia ciepła w wypełnieniu jest anizo
tropowy. W kierunku przepływu gazów (wzdłuż osi x) ma o t skończoną wartość X,
a w kierunku do niego prostopadłym - nieskończenie dużą. Można wówczas przyjąć,
że temperatura wypełnienia w przekroju poprzecznym do przepływu ma wartość stałą.

Hausen [2] wyprowadził następujące równania różniczkowe:

• dla gazów

gdzie: Ts, Tg - temperatura wypełnienia regeneratora i gazów, Aj - zewnętrzna, opły
wana przez gazy powierzchnia wypełnienia regeneratora długości 1 m, mg - strumień

masowy gazów, cpg - ciepło właściwe pod stałym ciśnieniem, C - pojemność cieplna

1 m wypełnienia.

Gdy regenerator jest długi, a współczynniki wnikania ciepła dla obydwu gazów

czas z analizy wynika, że w połowie długości regeneratora pochodne temperatury
gazów względem x oraz pochodne tem peratur wypełnienia względem czasu są stałe.

Ciepło przekazane do wypełnienia przez czynnik grzejący B jest przejęte przez

czynnik ogrze

• dla okresu chłodzenia wypełnienia

gdzie Q wyrażamy w J/cykl.

Po przekształceniu równań (11.142) i (11.143), tak aby po prawej stronie były

ró

(11.140)

• ora; dla wypełnienia

(11.141)

Q = a AA (Ts - TgA )m

(11.142)

• dla okresu grzania wypełnienia

Q - a BA (TgB - Ts )m TB

(11.143)

Q -

‘

A TgB - TA )m

(11.144)

1--------

a ATA

a BTB

222

ciepła dla regeneratora idealnego:

1 — - ^

+ —^

(11.145)

a AT A a BTB

i równanie (11.144) przyjmie wówczas postać

Q — kA (TgB — TgA )m — kAATm

(11.146)

gdzie ATm = (ATi+AT2)/2 jest średnią wartością różnic temperatury na wlocie i na
wylocie z regeneratora.

11.10.

Wybór typu konstrukcji

przeponowego wymiennika ciepła

Projektowanie aparatury jest procesem złożonym, wymagającym od projektanta

zarówno wiedzy merytorycznej po

wać aparat, konieczne jest określenie zarówno parametrów konstrukcyjnych, jak

omii

kości.

Przez określenie typ konstrukcji należy rozumieć grupę rozwiązań o podobnej

koncepcji do zrealizowania założonych ustaleń i wyników obliczeń. Podstawowym
rodzajem konstrukcyjnym jest tzw. wymiennik wielorurkowy. Do tej grupy wymien-

aniem rur od

Odrębną grupę stanowią tzw. konstrukcje specjalne. Są to wymienniki spiralne,

np. według patentów Rosenblada. Do rozwiązań specjalnych są również zaliczane
wymienniki z grafitu impregnowanego żywicami syntetycznymi, stosowane do cieczy

silnie korozyjnych oraz wymienniki płytowe, zbudowane z pakietów blach metalo-

e-
a-

dzona w kolektorach: wlotowym i wylotowym. Na rynku jest oferowanych wiele

nicowanych cenach.

Istotnym czynnikiem jest także koszt wykonania wymiennika ciepła danego typu.

ty inwestycyjne.

ania

223

Przystępując do obliczenia wymiennika ciepła, projektujący musi obrać pewien

typ rozwiązania konstrukcyjnego. Innych wzorów należy użyć do obliczenia współ

umieni oraz

miennika, tj. stosunku jego długości do średnicy wewnętrznej rur, S = L/d [4]. Kolejne
za
elementów aparatury.

Oznaczenia

- pole przekroju, powierzchnia, m

- dyfuzyjność cieplna, m

-s^‘

- szerokość, m

- stała prom ieniowania dla ciała szarego, W-nT^KC

- stała prom ieniowania dla ciała doskonale czarnego, W-nT

-IC

,_2

- zastępcza stała prom ieniowania dla układu pow ierzchni 1 i 2, W-nT2-IC

- w spółczynnik tarcia

- ciepło właściwe pod stałym ciśnieniem, J-kg_l-K_l

- średnica, m

- zdolność prom ieniowania ciała, W-nT

- przyspieszenie ziemskie, n r s

- wysokość, m

- intensywność prom ieniowania monochromatycznego, W-nT

- w spółczynnik przenikania ciepła, W-m_

-K_l

- długość, m

- masa, kg

- strumień masy, kg-s

m "

- gęstość strumienia masy, kg-m_

-s_l

- liczba cząsteczek przechodząca w ciągu

s z pow ierzchni

- stała Avogadra, N 0= 6,022-10

m o k

- ciśnienie, Pa

- energia cieplna, J

- strumień energii cieplnej, W

- gęstość strum ienia ciepła, W-nT

- prężność parcjalna, Pa

prężność pary nasyconej, Pa

- opór cieplny, K-W

- masa roztworu, kg

- uniw ersalna stała gazowa, R = 8,31432 J-mol^-KT

- ciepło parowania, J-kg

- promień rury, m

- masa surowca, kg

- grubość warstwy, m

- tem peratura, K

- obwód, m

- masa fazy parowej, kg

226

- objętościowy strumień płynu, m

-s^‘

- rów noważnik wodny płynu, W-K2

- liniow a prędkość przepływu, m-s

x, y, z - w spółrzędne prostokątne, m

- w spółczynnik wnikania ciepła, W -nT ^IC

- w spółczynnik rozszerzalności objętościowej, K2

- w zględna zdolność emisyjna

- w spółczynnik poprawkowy na przepływ mieszany

- zastępcza w zględna zdolność emisyjna

- dynamiczny współczynnik lepkości, Pa-s

- dzielność izolacji

- kąt zwilżania, rad

- zastępczy w ymiar poprzeczny, m

- w spółczynnik przew odzenia ciepła, W-m_l-K_l

- długość fali elektromagnetycznej, pm

- w spółczynnik oporu przepływu

- kinematyczny w spółczynnik lepkości, m

-s^‘

- gęstość, kg-nT

- napięcie powierzchniowe, N -nT

- czas, s

- naprężenie styczne, N-nT

- w spółczynnik konfiguracji

- strumień masy odniesiony do jednostki długości, kg-nT

-s

Moduły podobieństwa

- liczba Biota, asIX

- liczba Fouriera, az/s2

- liczba Galileusza, g c ł / T h f

- liczba Grashofa, g d 3/X /iA T /tf

- liczba Graetza, mcp/AL

- liczba Nusselta, ad/A

- liczba Pecleta, RePr

- liczba Prandtla, i]cp/A

- liczba Rayleigha, GrPr

- liczba Reynoldsa, wdplr]

Re._

- liczba Reynoldsa dla grawitacyjnego spływu po ścianie,

477/7

- liczba Strouhala, w z/L

- liczba Stantona, N u/(RePr)

j l i

- czynnik C olbum a dla wymiany ciepła, S tP F 13

Piśmiennictwo cytowane

[1]

i ś n i e w s k i

S., T.S.

i ś n i e w s k i

Wymiana ciepła, w ydanie czwarte, WNT, Warszawa, 1997.

[2] K

alinowski

E., Przekazywanie ciepła i wymienniki, Ofic. Wyd. PWr., Wrocław, 1995.

[3]

k o c z y l a s

A., Przenoszenie ciepła, Ofic. Wyd. PWr., Wrocław, 1999.

[4]

o b l e r

T., Ruch ciepła i wymienniki, w ydanie czwarte, WNT, Warszawa, 1971.

[5]

e m b ł o w s k i

Z ., M

i c h a ł o w s k i

S.,

t r u m i ł ł o

C ., Z

a r z y c k i

R .,

P odstaw y teoretyczne inżynierii

chem icznej i procesowej, WNT, Warszawa, 1985.

[6]

a d e j s k i

J .,

Teoria w ym iany ciepła, PWN, Warszawa, 1963.

[7]

t a n i s z e w s k i

B., Wymiana ciepła, PWN, Warszawa, 1979.

[8]

e j a n

A., H eat Transfer, Wiley, N ew York, 1993.

[9]

P a t a n k a r

S.V., N umerical H eat Transfer a nd F luid Flow, M c-Graw-Hill, N ew York,

1980.

[10] M

dams

W.H., H eat Transmission, Second Edition, McGraw-Hill, New York, 1942, s. 168.

[11]

n c r o p e r a

F.P.,

i t t

D.P., Introduction to H eat Transfer, Second Edition, Wiley, N ew York,

1990, s. 456.

[12]

W e l t y J .R ., W i c k s C .E ., W i l s o n R .E ., R o r r e r G .L .,

Fundam entals o f Momentum, H eat an d Mass

Transfer, Fourth Edition, Wiley, N ew York, 2001,

s. 323.

[13]

B a e h r

H.D.,

S t e p h a n

K., H eat a nd Mass Transfer, Springer-Verlag, Berlin, 1998,

s. 373.

[14]

K u b a s i e w i c z a . ,

Wyparki: konstrukcja i obliczanie, WNT, Warszawa,

1977.

[15]

B r a u e r

H., Stoffaustausch, Sauerlaender AG, Aarau, Schweiz,

1971.