Zestaw_01_MP

Zadanie 1

Dane są trzy wektory:

ˆ

ˆ

ˆ

3

3 - 2

a

i

j

k





,

ˆ

ˆ

ˆ

4

2

b

i

j

k

  



oraz

ˆ

ˆ

ˆ

2

2

c

i

j

k







. Proszę obliczyć:





a

b

c





,





a

b c





oraz





a

b

c





.

Zadanie 2

Proszę udowodnić, że jeśli suma dwóch wektorów jest prostopadła do ich różnicy, to te wektory muszą
mieć jednakową długość.

Zadanie 3

Proszę wykazać, że pole trójkąta, którego dwoma bokami są wektory a i

b

, jest równe

1

2

a b



.

Zadanie 4

Proszę wykazać, że iloczyn





a

b c





jest równy objętości równoległościanu zbudowanego na

wektorach a ,

b

i c .

Zadanie 5

Dwa wektory, których długości wynoszą a i b, tworzą kąt



, gdy ich początki znajdują się w jednym

punkcie. Proszę wyznaczyć ich składowe w prostokątnym układzie współrzędnych, a następnie

udowodnić, że suma r tych wektorów ma długość

2

2

2

cos

r

a

b

ab









.

Zadanie 6

Położenie ciała poruszającego się wzdłuż osi x jest dane wzorem: x(t) = 3t - 4t

2

+ t

3

, przy czym x

wyrażone jest w metrach, a t w sekundach.

a) Proszę znaleźć położenie ciała w chwili t = 3 s.
b) Jakie jest przemieszczenie ciała od chwili t = 0 do chwili t = 4 s?
c) Ile wynosi prędkość ciała w chwili t = 2 s?
d) Czy ciało porusza się ze stałą prędkością, czy też jego prędkość zmienia się wraz z upływem

czasu?

e) Ile wynosi średnia prędkość ciała w przedziale czasu od t = 2 s do t = 4 s?

Zadanie 7

Pociąg A ma długość s

A

, a pociąg B ma długość s

B

. Gdy pociągi mijają się, jadąc w tę samą stronę, to

czas, który upływa od chwili, gdy lokomotywa A dogoni ostatni wagon pociągu B do chwili, gdy ostatni
wagon pociągu A minie lokomotywę B, wynosi t

1

. Gdy pociągi jadą w przeciwne strony, czas mijania

wynosi t

2

. Proszę obliczyć prędkości v

A

i v

B

obu pociągów.