Autor: Martin Slota

Zdroj: http://www.zones.sk

Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú

č

ely a akéko

ľ

vek verejné

publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.

1/3

MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY

M

ATURITNÝ OKRUH

2:

A

LGEBRA PRAVDIVOSTNÝCH HODNÔT VÝROKOV

1. príklad (24/Pr. 3)

Zadanie: Dokážte, že

a) výrok

(

)

(

)

′

∧

′

⇒

′

′

⇒

A

B

B

A

je tautológia.

b) výrok

(

) (

)

′









′

∧

⇒

′

∨

B

A

B

A

je kontradikcia.

Dôkaz (priamy):

a)

(

)

(

)

(

) (

)

[

]

(

) (

)

(

) (

)

[

]

⇔

∨

′

∨

′

∨

′

⇔









∨

′

∨

′

∧

⇔

′

∨

⇒

∧

⇔









′

∧

′

⇒

′

′

⇒

B

A

B

A

B

A

B

A

A

B

B

A

A

B

B

A

B

B

A

′

∨

∨

′

⇔

Posledný výrok je zrejme tautológiou, pretože jeden z výrokov

B

B

′

,

je vždy pravdivý (bez

oh

ľ

adu na pravdivostnú hodnotu výroku

B

)

b)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

[

]

(

)

B

B

A

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

′

∧

∧

′

∧

⇔

∧

∧

′

∧

′

⇔









∧

∧

′

∨

⇔

′









′

∧

⇒

′

∨

Posledný výrok je zrejme kontradikciou, pretože výroky

A

A

′

,

(ani

B

B

′

,

) nemôžu by

ť

sú

č

asne

pravdivé.

2. príklad (24/3)

Zadanie: Predpokladajme, že výrok

P

je pravdivý, výrok

Q

je nepravdivý a o pravdivostnej hodnote

výroku

R

nemáme informácie. Rozhodnite, pre ktoré z nasledujúcich zložených výrokov možno

ur

č

i

ť

pravdivostnú hodnotu a ur

č

te ju.

a)

(

)

R

Q

P

∧

∨

b)

(

)

R

Q

P

⇒

∧

c)

(

)

R

Q

P

∨

⇒

d)

(

)

R

Q

P

∨

⇔

e)

(

)

′













′

∧

⇒

′

R

Q

P

Riešenie:

Urobíme si tabu

ľ

ku, v ktorej vyzna

č

íme, akú pravdivostnú hodnotu budú ma

ť

dané výroky pri

rôznych pravdivostných hodnotách výroku

R

:

P

Q

R

(

)

R

Q

P

∧

∨

(

)

R

Q

P

⇒

∧

(

)

R

Q

P

∨

⇒

(

)

R

Q

P

∨

⇔

(

)

′













′

∧

⇒

′

R

Q

P

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

Autor: Martin Slota

Zdroj: http://www.zones.sk

Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú

č

ely a akéko

ľ

vek verejné

publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.

2/3

MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY

M

ATURITNÝ OKRUH

2:

A

LGEBRA PRAVDIVOSTNÝCH HODNÔT VÝROKOV

Zložené výroky a) a b) sú vždy pravdivé (nezávisle od pravdivostnej hodnoty výroku R). Zložený
výrok e) je vždy nepravdivý. Pravdivostné hodnoty zložených výrokov c) a d) sa nedajú ur

č

i

ť

bez

znalosti pravdivostnej hodnoty výroku R.

3. príklad (26/13)

Zadanie: Vyjadrite všetky logické spojky iba pomocou konjunkcie a negácie.

Riešenie:

(

) (

)

′

′

∧

′

⇔

∨

B

A

B

A

(

)

(

)

(

)

′

′

∧

⇔

′













′

⇒

⇔

⇒

B

A

B

A

B

A

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)













′

′

∧

∧

′

′

∧

⇔

⇒

∧

⇒

⇔

⇔

A

B

B

A

A

B

B

A

B

A

4. príklad (26/15)

Zadanie: Vyjadrite všetky logické spojky iba pomocou implikácie a negácie.

Riešenie:

(

) (

)

′

′

⇒

⇔

∧

B

A

B

A

(

) (

)

(

)

(

)

B

A

B

A

B

A

B

A

⇒

′

⇔

′









′

⇒

′

⇔

′

′

∧

′

⇔

∨

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

′













′

⇒

⇒

⇒

⇔

⇒

∧

⇒

⇔

⇔

A

B

B

A

A

B

B

A

B

A

5. príklad (26/16)

Zadanie: Nájdite zložený výrok

Z

obsahujúci iba konjunkcie a negácie, ktorý je ekvivalentné

s výrokom

(

) (

)

C

B

B

A

∨

⇔

⇒

.

Riešenie:

Najprv si zapíšeme pravdivostné hodnoty výroku

(

) (

)

C

B

B

A

∨

⇔

⇒

v závislosti od pravdivostných

hodnôt výrokov

C

B

A

,

,

:

A

B

C

B

A ⇒

C

B

∨

(

) (

)

C

B

B

A

∨

⇔

⇒

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

Autor: Martin Slota

Zdroj: http://www.zones.sk

Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú

č

ely a akéko

ľ

vek verejné

publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.

3/3

MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY

M

ATURITNÝ OKRUH

2:

A

LGEBRA PRAVDIVOSTNÝCH HODNÔT VÝROKOV

K výsledku sa dopracujeme postupne – najprv vytvoríme výrok pravdivý iba v prípade

( ) ( ) ( )

0

=

=

=

C

P

B

P

A

P

. Takýmto výrokom je

(

)

C

B

A

′

∧

′

∧

′

. Zárove

ň

musíme vytvori

ť

výrok, ktorý je

pravdivý iba v prípade

( )

( ) ( )

1

;

0

=

=

=

C

P

A

P

B

P

, a teda

(

)

C

B

A

∧

′

∧

. Konjunkcia negácií týchto

výrokov bude teda pravdivá vo všetkých prípadoch okrem spomínaných dvoch, a teda bude ma

ť

rovnaké pravdivostné hodnoty ako výrok

(

) (

)

C

B

B

A

∨

⇔

⇒

. Výsledným výrokom je teda:

(

) (

)

′

∧

′

∧

∧

′

′

∧

′

∧

′

C

B

A

C

B

A

.