Zagadnienia statycznie niewyznaczalne

Energia sprężysta prętów

W zasadzie energii, która zakłada równość przyrostu energii kinetycznej ciała i pracy sił

działających na ciało odkształcalne, należy uwzględnić zarówno siły zewnętrzne, jak i też

wewnętrzne.

∆E = L + A

gdzie:

∆E – przyrost energii kinetycznej,

L – praca sił zewnętrznych,

A – praca sił wewnętrznych.

Praca sił wewnętrznych w materiale doskonale sprężystym jest odwracalna i określa się

ją jako energię potencjalną wewnętrznych sił sprężystości lub krócej energią sprężystą.

Podstawiając:

A = -U

uzyskujemy:

∆E + U = L.

Energia sprężysta w stanie nienaprężonym i nieodkształconym jest równa zero.

Ponieważ energię sprężystą obliczać będziemy dla stanu równowagi więc:

∆E = 0,

wówczas:

U = L.

Energia sprężysta równa jest pracy sił zewnętrznych i do obliczenia tej pracy musimy

sobie wyobrazić, że proces obciążenia siłami odbywa się w sposób statyczny, to znaczy, że w

każdej chwili była zachowana równowaga między siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi.

Czas takiego idealnego procesu jest nieskończenie wielki, natomiast szybkość narastania

odkształcenia – równa zero.

Wychodząc z tego założenia, obliczymy energię sprężystą pręta rozciąganego siłą P o

wydłużeniu λ (rys. 8.1). Pod P

*

i λ

*

będziemy rozumieli wielkości zmienne w czasie

statycznego obciążenia.

Praca elementarna wynosi:

dL = P

*

dλ

*

,

po podstawieniu:

P

*

= λ

*

EA

l

,

oraz:

L = U,

otrzymamy:

dU =

EA

l

λ

*

dλ

*

,

i po scałkowaniu wyrażenia;

U =

EA

l

0

λ

λ

*

dλ

*

,

otrzymamy:

U =

1
2

EA

l

λ

2

.

(8.1)

Rys. 8.1

Podstawiając zgodnie z prawem Hooke’a (wzór 5.4):

λ =

Pl

EA

,

otrzymujemy:

U =

1
2

·

P

2

l

EA

(8.2)

lub:

U =

1
2

P λ

(8.3)

Do identycznego wyniku dojdziemy wyliczając prace wprost z wykresu rozciągania

(powierzchnia zakreskowanego trójkąta - rys. 8.1).

Wzór ten jest również ważny dla ściskania. Pozostałe wzory na energię sprężystą

jednostki długości pręta napiszemy przez analogię.

W liczniku wyrażenia (8.2) występuje kwadrat siły (P) a w mianowniku sztywność.

Wartość energii sprężystej w przypadku zginania wynosi:

U

Mg

=

M

g

2

2 ·E ·J

(8.3)

natomiast dla skręcania:

U

Ms

=

M

s

2

2 ·G ·J

o

(8.4)

Twierdzenie A. Castigliano

Pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu liniowo - sprężystego względem

jednej z niezależnie działających sił obciążających jest równa odpowiadającemu tej sile

przemieszczeniu.

δU

δP = p

(8.5)

Powyższa formuła wyraża twierdzenie Castigliano. Uważając energię sprężystą za

jednorodną kwadratową funkcję przemieszczeń, traktowanych jako zmienne niezależne,

możemy twierdzenie Castigliano odwrocić:

δU

δp = P

(8.6)

Pochodna cząstkowa energii sprężystej względem przemieszczenia równa się

odpowiadającej mu sile. Jako energię sprężystą uwzględniamy energię pochodzącą od

zginania, gdyż część energii, wynikająca z istnienia siły poprzecznej T, jest nieznaczna w

porównaniu z energią pochodzącą od zginania; wobec tego ograniczamy się tylko do tej

pierwszej.

Jeżeli w zagadnieniu poszukiwane przemieszczenie odpowiada rzeczywiście działającej

sile, zastosowanie do jego wyznaczenia twierdzenia Castigliano nie nastręcza żadnych

trudności. Gdy natomiast poszukujemy przemieszczenia, dla którego brak rzeczywistej siły,

należy założyć w schemacie obciążeń fikcyjną siłę P

*

odpowiadającą poszukiwanemu

przemieszczeniu, aby w ostatecznym wyniku podstawić jej rzeczywistą wartość równą zeru.

Twierdzenie o minimum energii Menabrea – Castigliano

Wskutek obciążenia układu siłami czynnymi P

i

w podporach (więzach) powstają

reakcje R

i

. Jeżeli podparcie jest sztywne i bez tarcia, to przemieszczenie odpowiadające

reakcji wynosi zero.

Korzystając z twierdzenia Castigliano możemy to wyrazić w następujący sposób:

δU
δR = 0,

(8.7)

gdyż przemieszczenie w kierunku działania reakcji jest równe zero.

Wzór (8.7) wyraża nam twierdzenie Menabrea-Castigliano: w układzie liniowo -

sprężystym sztywnie podpartym pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu

względem wielkości podporowej – statycznie niewyznaczalnej - jest równa zero.

Twierdzenie Menabrea – Castigliano nazywane jest również twierdzeniem o minimum

energii układów liniowo - sprężystych lub krócej – zasadą najmniejszości energii.

Metodyka postępowania przy stosowaniu twierdzenia Menabrea – Castigliano jest

następująca:

- zaznaczamy reakcje oraz piszemy warunki równowagi,

- stwierdzamy krotność statycznej niewyznaczalności układu,

- obieramy wielkości statycznie niewyznaczalne,

- wyrażamy energię sprężystą jako funkcję sił czynnych i tych reakcji, które w punkcie

poprzednim uznaliśmy za statycznie niewyznaczalne,

- piszemy zgodnie z twierdzeniem Menabrea – Castigliano równania

δU

δR = 0 i z nich

wyznaczamy wielkości statycznie niewyznaczalne,

- pozostałe wielkości podporowe wyznaczamy z równań równowagi.

Główną zaletą tej metody jest to, że sam sposób rozwiązywania równań jest

schematyczny i nie wymaga wielkiego nakładu sił.