m a t e m a t y k a

Logika – osoba podejrzana, stale prześlado-

A zatem w przyk³adzie z obroñc¹ i prokuratorem

wana przez wyższych dygnitarzy, posłów, po- obroñca twierdzi ni mniej, ni wiêcej tylko tyle: Oskar¿ony zrobi³ to i nie mia³ wspólnika.

ważne instytucje i dziennikarzy.

Do tego mo¿e doprowadziæ nieznajomoœæ praw logiki!!

K. Bartosiewicz

* * *

Staro¿ytny sofizmat. Wielki sofista Protagoras umówi³

Podobno s¹ tacy kibice, którzy sport w telewizji ogl¹- siê z jednym ze swoich uczniów, ¿e ten zap³aci mu za daj¹ tylko po to, ¿eby poœmiaæ siê ze sprawozdaw-naukê retoryki dopiero wtedy, gdy wygra swój pierw-

ców. Muszê przyznaæ, ¿e - szczególnie po olimpia-

szy proces s¹dowy. M³odzieniec zakoñczy³ naukê, ale

dzie - rozumiem tych ludzi. Z³oty medal za rozœmiesza-

nie kwapi³ siê z rozpoczêciem kariery prawniczej. Po

nie widzów powinien zostaæ przyznany sprawozdawcy

kilku latach nauczyciel pozwa³ go do s¹du o zwrot pie-

kolarskiemu. Niewiele brakowa³o mu do klasyki tego

niêdzy. Rozumowa³ tak: jeœli uczeñ wygra proces, to

gatunku: I teraz, proszê pañstwa, wszystko w rêkach

zgodnie z umow¹ bêdzie musia³ zap³aciæ. Jeœli przegra,

konia... No i Deyna lew¹ nog¹ wpisa³ siê na listê strzel-

to bêdzie musia³ zap³aciæ zgodnie z wyrokiem s¹du.

ców... Kamery patrz¹ pod ró¿nymi k¹tami, ale nie udaje

Tak czy owak, dostanê swoje pieni¹dze.

im siê zajrzeæ do wnêtrza zawodniczek... Jedenastka

Ale uczeñ odrzek³: Jeœli proces wygram, to w

Anglików bêdzie musia³a graæ w dziesi¹tkê...

myœl orzeczenia s¹du nie bêdê ci musia³ nic zap³aciæ.

CZY NALEŻY BYĆ LOGICZNYM

A je¿eli przegram, to nie bêdê musia³ p³aciæ na mocy

naszej umowy. Tak czy owak nie dostaniesz ode mnie

I PO CO? Michał Szurek ani obola.

Nie oczekujmy zbyt wiele. Precyzja jêzyka jest

* * *

nieznoœna, a sprawozdawca reaguje emocjonalnie -

Precyzyjne myœlenie i wnioskowanie by³o za-

choæ powinien zachowaæ ch³odny dystans. Gorzej jest,

wsze atrybutem matematyki. „Nie ma królewskich dróg

gdy logika zawodzi przedstawicieli tych zawodów,

w geometrii” odpowiedzia³ Arystoteles Aleksandrowi

gdzie podejmuje siê decyzje dotycz¹ce ludzi. Oto

Wielkiemu, gdy ten chcia³, by królom by³o ³atwiej siê

pierwszy przyk³ad:

uczyæ. Ale dopiero w koñcu XIX wieku niemiecki mate-

Prokurator: Je¿eli oskar¿ony to zrobi³, to mia³

matyk Georg Cantor (1845-1918) przyjrza³ siê krytycz-

wspólnika!

nie matematyce „od kuchni”. By³ on te¿ motorem

Obroñca: to nieprawda!

wszelkich zmian w kierunku rosn¹cej roli abstrakcji

w matematyce. Dziœ widzimy, ¿e nie wolno poluŸniaæ

Otó¿ obroñca powiedzia³ najgorsz¹ rzecz, jak¹

wymogów œcis³oœci. Bardzo wielu nawet sk¹din¹d roz-

móg³. Dlaczego? Wynika to z logicznej zasady zwanej

s¹dnych ludzi daje siê zwieœæ nieodpowiedzialnym na-

prawem zaprzeczenia implikacji. Implikacja to zdanie

wo³ywaniom, ¿e gdyby nie zwracaæ a¿ takiej uwagi na

postaci

œcis³oœæ, to matematyka sta³aby siê ³atwiejsza. Sta³aby

Je¿eli ... to

siê, dok³adnie tak, jak zniesienie egzaminów na prawo

jazdy u³atwi³oby naukê prowadzenia samochodu.

Przyjrzyjmy siê, jak zaprzeczamy takiemu zda-

Matematyka jest jedyn¹ nauk¹, w której prawda

niu. Rozwa¿my ³atwy (?) przyk³ad:

jest tylko jedna, a z tych samych przes³anek mo¿na wy-

Mama k³óci siê z synem.

prowadziæ zawsze i wszêdzie tylko te same wnioski.

– Je¿eli bêdziesz piæ piwo na lekcjach, to wyrzuc¹ ciê Na ogó³ podaje siê to jako zaletê naszej dyscypliny, ale

ze szko³y.

mo¿na zrozumieæ i inny punkt widzenia: matematyka

– Nieprawda, mamusiu, zawsze pijê i nie wyrzucaj¹.

jest jak tramwaj, który jedzie tylko po szynach, zaœ

– £adna szko³a!

w naukach humanistycznych myœl nie jest skrêpowana.

M

– Pewnie, ¿e ³adna. Przynajmniej nauczyli mnie regu³y

Rzecz mo¿na uj¹æ nastêpuj¹co: istniej¹ pew-

Ł

zaprzeczania implikacji. Implikacja nie jest prawdzi-

ne ci¹gi wydarzeñ (nastêpowanie jednej rzeczy po

ODY

wa, gdy prawdziwa jest koniunkcja poprzednika i za-

drugiej), które, w œcis³ym znaczeniu tego s³owa, s¹

przeczenia nastêpnika.

uzasadnione i konieczne. Takie s¹ w³aœnie ci¹gi ma-

TECHNIK

~ (α =>β)<==>α ∧~β

tematyczne i logiczne. My, mieszkañcy krainy cza-

O to tu chodzi? W³aœnie o to, ¿e zaprzeczenie

rów (najrozs¹dniejsze ze stworzeñ), uznajemy tê za-

zdania postaci

sadnoœæ i koniecznoœæ. Na przyk³ad, je¿eli brzydkie

Je¿eli p to q

siostry s¹ starsze od Kopciuszka, to jest (w nie-

jest

zmiennym i przera¿aj¹cym sensie tego s³owa) ko-

Prawd¹ jest p i nieprawd¹ jest q.

nieczne, by Kopciuszek by³ od nich m³odszy. Nie da

52

10/2004

n i e w i a d o m o , d l a c z e g o m a t e m a t y k a j a w i s i ę j a k o p r z e d m i o t t r u d n y, b o s ą t a m w z o r y siê tego obejœæ (...). Jeœli trzej bracia jad¹ konno, to

Wielu nauczycieli uzna to bez wahania za po-

mamy szeœæ zwierz¹t i osiemnaœcie nóg: oto praw-

rz¹dne sformu³owanie twierdzenia o pierwiastkach

dziwy racjonalizm. Kraina czarów jest go pe³na. Ale

równania kwadratowego. Porównajmy to ze sformu³o-

kiedy wychyli³em g³owê zza ¿ywop³otu otaczaj¹ce-

waniem „literackim”:

go krainê elfów i zacz¹³em siê przygl¹daæ zwyk³e-

Je¿eli wyró¿nik ∆ = b 2 – 4 ac równania kwadra-mu œwiatu, zauwa¿y³em rzecz niezwyk³¹. Odkry-

towego ax 2+ bx+ c = 0 jest dodatni, to równanie ma ³em, ¿e uczeni ludzie w okularach na nosie mówi¹

dwa pierwiastki, dane wzorami

o rzeczach, które rzeczywiœcie siê zdarzaj¹ - takich





√∆

√∆

jak wschód s³oñca (...), jakby by³y uzasadnione

x

 ∨

 .

1 = – b

–

x2 = – b

+

i nieuniknione. Perorowali tak, jakby fakt, ¿e drze-

2 a

2 a

wa rodz¹ owoce, by³ tak samo konieczny, jak to,

Które jest bardziej zrozumia³e i kszta³c¹ce, to

¿e dwa drzewa i jedno drzewo daj¹ razem trzy

chyba widaæ.

drzewa. A przecie¿ wcale tak nie jest. Miêdzy tymi

Wielu nauczycieli wymaga, by pisaæ za³o¿enia,

dwoma twierdzeniami istnieje ogromna ró¿nica, je-

a wiêc je¿eli ax 2+ bx+ c, to zawsze z za³o¿eniem a ≠ 0.

œli zastosujemy w ich przypadku test krainy czarów,

Uwa¿am, ¿e lepsze rezultaty daje zwrot „równanie

to znaczy sprawdzian wyobraŸni. Nie mo¿na sobie

kwadratowe postaci ax 2+ bx+ c = 0”. Je¿eli bowiem wyobraziæ, ¿e dwa i jeden nie równa siê trzy. Mo¿na

równanie jest kwadratowe, to a ≠ 0. Takie podejœcie

jednak ³atwo wyobraziæ sobie drzewa nierodz¹ce

uczy analitycznego czytania tekstu i szacunku dla s³o-

owoców; mo¿na wyobraziæ sobie drzewa rodz¹ce

wa pisanego.

z³ote œwieczniki albo tygrysy zawieszone na ogo-

Oczywiœcie na logikê nale¿y zwracaæ uwagê

nach. (...)

przez ca³y czas nauki w szkole. Powiedzenie, ¿e „uczy-

W krainie czarów unikamy s³owa „prawo”,

my nie matematyki, a przez matematykê”, odnosi siê

ale w œwiecie nauki jest ono wyj¹tkowo lubiane.

bardzo dobrze do logiki. Matematyka ma miêdzy inny-

Prawo zak³ada bowiem, ¿e znamy zasady, na jakich

mi s³u¿yæ do treningu umys³owego uczniów. Jednak

dokonujemy uogólnienia i ustanowienia prawa,

nauczyciel, który przywi¹zuje za du¿¹ wagê do formal-

a nie tylko ¿e zaobserwowaliœmy pewne skutki jego

nej strony, przypomina mi zawsze znanego mi trenera

dzia³ania.

tenisowego, który na pierwszej lekcji omawia strój te-

nisisty, na drugiej zachowanie siê na korcie, na trzeciej

Gilbert Keith Chesterton, Ortodoksja, przek³. Magdalena So-w³aœciw¹ postawê, na czwartej trzymanie rakiety...

bolewska, Biblioteka Frondy, Gdañsk - Warszawa 1996.

a pi³kê daje uczniom do rêki na krótko w drugim seme-

strze.

Jak wszyscy wiemy, w spo³eczeñstwie istnieje

pewnego rodzaju lêk przed matematyk¹. Przybiera on

* * *

niekiedy formê snobizmu. Snobowanie siê na nieznajo-

Przypomnijmy sobie rzeczy znane:

moœæ matematyki jest powszechne. Najgorsz¹ opini¹

Istota najwa¿niejszych typów rozumowania:

ciesz¹ siê „wzory”. Nie wiadomo, dlaczego matematy-

Dedukcja: pada deszcz. Prawa fizyki mówi¹, ¿e bêdzie

ka jawi siê jako przedmiot trudny, bo s¹ tam wzory. Nie

mokro.

jest to tylko polski problem. Wybitny fizyk angielski

Redukcja: Ulice s¹ mokre. Zatem pada³ deszcz, bo co

Steven Hawking pisze w swojej ksi¹¿ce o czasie: „jak

innego tak porz¹dnie zmoczy³oby jezdniê?

wiadomo, ka¿dy zamieszczony w ksi¹¿ce wzór

Indukcja: Do tej pory zawsze tak by³o, ¿e po deszczu

zmniejsza jej sprzedawalnoœæ o po³owê”. Byæ mo¿e,

ulice by³y mokre. Wiêc i teraz te¿ tak bêdzie.

tylko czy matematyka ma byæ dziewk¹ sprzedajn¹?

Tak rozumianej indukcji nie nale¿y myliæ z zasa-

Jednym z celów nauczania matematyki jest w³a-

d¹ indukcji matematycznej, której uczymy póŸniej.

œnie rozumienie wzorów: odczytywanie w³asnoœci funk-

Poprzednik implikacji to za³o¿enia twierdzenia,

cji z opisuj¹cego j¹ wzoru: pocz¹wszy od takich spraw,

nastêpnik to teza. W praktyce np. adwokackiej nazywa

jak „wiêkszy mianownik to mniejszy u³amek”, a skoñ-

siê to czêœciej przes³ankami i wnioskiem. Z formalnych

czywszy na badaniu przebiegu zmiennoœci funkcji me-

w³asnoœci spójników zdaniowych wynikaj¹ regu³y

todami analizy matematycznej. Ale kto uczy tylko „na

wnioskowania: zawsze prawdziwe schematy rozumo-

wzorach”, ten pope³nia ten sam b³¹d co nauczyciel mu-

wañ. A zatem z w³asnoœci koniunkcji wynika, ¿e ka¿da

zyki, który delektuje siê zapisem nutowym, a na wyko-

umowa, któr¹ zawarliœmy, zostaje naruszona, je¿eli na-

nanie nie zwraca wiêkszej uwagi.

ruszymy choæ jeden warunek. Z w³asnoœci alternatywy

Symboliki logicznej i teorii mnogoœci nie nale¿y

zaœ, ¿e je¿eli mamy prawo do czegoœ po spe³nieniu jed-

nadu¿ywaæ, a na dobr¹ sprawê mo¿na jej prawie nie

nego z kilku warunków, to nabywamy owe prawa po

u¿ywaæ. Formu³owanie twierdzeñ w zwyk³ym, literac-

spe³nieniu dowolnie przez nas wybranego. To jest

M

kim jêzyku uczy te¿ precyzji wypowiedzi. Warunek

oczywiste. Mniej oczywiste s¹ niektóre regu³y rz¹dz¹ce

ŁODY

2 < x < 3 wygl¹da lepiej ni¿ x ∈ (2; 3). Zamiast „funk-implikacj¹. Przypomnijmy sobie, ¿e implikacja o fa³-

cja jest okreœlona dla wszystkich x ∈ R”, lepiej jest mó-

szywym poprzedniku jest prawdziwa. Na przyk³ad ka¿-

TECHNIK

wiæ „jest okreœlona dla wszystkich liczb rzeczywistych”.

de z takich zdañ jest prawdziwe:

Spójrzmy na przyk³ad na stwierdzenie

Je¿eli 2 + 2 = 5, to Ksiê¿yc jest z sera.

( ax 2+ bx+ c = 0 ∧ a ≠ 0 ∧ ∆ = b 2 – 4 ac ≥ 0)=> Je¿eli 1/ x = 0, to x = 34.





√∆

√∆

Je¿eli 1/ x = 0, to x = 35.

=> x = – b

–

 ∨ x = – b

+

 .

Je¿eli x jest liczb¹ rzeczywist¹ tak¹,

2 a

2 a

¿e x 2 + x + 1 = 0, to x = 17.

53

10/2004

m a t e m a t y k a

Chocia¿ napisane wy¿ej cztery zdania s¹ praw-

Pojedyncze i podwójne przeczenie. Po polsku

dziwe, to Ksiê¿yc nie jest z sera, 34 nie równa siê 35,

(i w ogóle w jêzykach s³owiañskich) podwójne przecze-

ani 172+17+1 nie jest równe 0!

nie mo¿e mieæ w ogóle inne znaczenie ni¿ w angiel-

Z fa³szywych przes³anek mo¿na wyprowadziæ

skim, niemieckim itp. B³êdem by³oby przet³umaczenie

ka¿d¹ tezê: prawdziw¹ lub fa³szyw¹!

Nic nie robiê jako I am not doing nothing. Niekiedy nie Implikacja o fa³szywym poprzedniku jest zawsze

dostrzegamy tej osobliwoœci jêzyka polskiego, ale na-

prawdziwa!

wet dla dobrze znaj¹cego jêzyk polski Niemca czy An-

Z fa³szu wynika wszystko.

glika próba zrozumienia znaczenia zdania

Nikt tu nigdy niczego niepotrzebnego nie robi

Regu³y wnioskowania. S³owo „dowód” jest w jêzyku

potocznym u¿ywane w sposób wieloznaczny. Mówimy

mo¿e byæ koszmarem.

na przyk³ad, ¿e ktoœ swoim zachowaniem da³ dowód

Zadanie. Jak brzmi zaprzeczenie tego zwrotu?

przezornoœci. Mówimy tak¿e, ¿e adwokat przeprowa-

Proszê sobie wyobraziæ, ¿e jest Pan/Pani szefem zespo-

dzi³ dowód niewinnoœci swego klienta, opieraj¹c siê na

³u kontroluj¹cego dzia³anie podleg³ej jednostki. Dyrek-

niebudz¹cych w¹tpliwoœci przes³ankach i wi¹¿¹c je lo-

tor jednostki chce pochwaliæ siebie i pracowników, ¿e

gicznie ze sob¹ za pomoc¹ niezbitej argumentacji. W

tak dobrze i efektywnie pracuj¹ i wypowiada w³aœnie

matematyce s³owo „dowód” ma sens zbli¿ony do dru-

to zdanie. Pan/Pani siê z tym nie zgadza...

giego z wy¿ej wymienionych.

Œredniowieczni filozofowie wyodrêbnili wiele re-

Autentyczne zadania egzaminacyjne

gu³ wnioskowania. Oto krótki przegl¹d.

W obecnych egzaminach do szkó³ wy¿szych za-

dañ z logiki raczej nie ma. To dobrze. Przytaczamy „na

Nazwa

Opis s³owny

Przyk³ad

Wzór matematyczny

Modus ponens, regu- Jeœli poprzednik praw-

- Je¿eli kochaæ, to tylko we dwóch1)

[ p ∧ ( p=> q)]=> q

³a odrywania

dziwej implikacji jest

- Kochasz mnie?

zdaniem prawdziwym,

- Kocham!

to i nastêpnik musi byæ - Wiêc przyjdŸ z koleg¹!

prawd¹.

Modus tollendo po-

Je¿eli zdanie alterna-

Koszula, która by³a dobra, jest teraz za

[( p ∨ q ) ∧~ p] => q

nens (sposób przez

tywne jest prawdziwe

ciasna. Hm, albo koszula siê zbieg³a w

zaprzeczenie stwier- i jeden z jego cz³onów

praniu, albo ja uty³em. Ale nie uty³em.

dzaj¹cy)

jest fa³szywy, to drugi

Zatem koszula siê zbieg³a w praniu.

musi byæ prawdziwy.

Modus ponendo tol-

Je¿eli zdanie dysjunk-

- Kochaj albo rzuæ!

[( p | q) ∧ p] =>~ q

lens (sposób przez

tywne jest prawdziwe

- Kocham!

potwierdzenie za-

i jeden z jego cz³onów

- To nie rzucaj!

przeczaj¹cy)

jest prawdziwy, to dru-

gi musi byæ fa³szywy.

Dylemat konstrukcyj-

Mê¿czyzna musi oddychaæ. Kobieta mu-

[( p => r) ∧ ( q => r)] => ny prosty

si oddychaæ. Ale ka¿dy doros³y cz³owiek =>[( p ∨ q) => r ]

jest mê¿czyzn¹ lub kobiet¹. Zatem ka¿-

dy doros³y cz³owiek musi oddychaæ.

Dylemat konstrukcyj-

- Jeœli na œwiêtego Prota jest pogoda, al-

[( p => r) ∧ ( q => s)] => ny z³o¿ony

bo s³ota, na œwiêtego Hieronima jest

=>[( p ∨ q) => r ∨ s ]

deszcz, albo go nie ma.

- Jaki dziœ dzieñ?

- Nie wiem, ale albo œwiêtego Hieronima,

M

albo Prota.

ŁODY

- To znaczy, ¿e pada lub nie pada!

Sylogizm warunko-

Jeœli z jednego zdania

Jeœli skoñczy³eœ 35 lat, to mo¿esz kandy- [( p => q) ∧ ( q => r)] => TECHNIK

wy, prawo przechod- wynika drugie, a z dru- dowaæ na prezydenta. Jeœli mo¿esz kan- =>( p => r) nioœci implikacji

giego trzecie, to z

dydowaæ, to mo¿esz zostaæ wybrany.

pierwszego wynika

A zatem jeœli skoñczy³eœ 35 lat, to mo-

trzecie.

¿esz byæ prezydentem.

54

10/2004

t o n i e p r a w d a , ż e n i k t t u n i g d y n i c z e g o n i e p o t r z e b n e g o n i e r o b i

wszelki wypadek” trzy z dawnych lat. Maj¹ one cha-

W zadaniu 2a) odpowiedŸ jest „nie”. Gdy bo-

rakter testu:

wiem p = 0, q = 1, to p ( q jest zdaniem prawdziwym, a zdanie p ∨ ~ q nie). W zadaniu 2b) mamy wzór wyra-1. Zdanie p brzmi: Bitwa pod Grunwaldem odby³a siê

¿aj¹cy twierdzenie przeciwstawne do danego, a wiêc

przed rokiem 1500 lub bitwa pod Grunwaldem odby-

prawdziwe. W zadaniu 2c) odpowiedzi¹ jest równie¿

³a siê po roku 1450. Zdanie q brzmi: Je¿eli 1 = 2,

„nie”. Wystarczy wzi¹æ p = 1, q = 1.

to 2 = 10. Wtedy (zaznacz prawid³ow¹ odpowiedŸ):

Trudnoœci¹ w zadaniu 3 mo¿e byæ samo zrozu-

a) obydwa zdania p i q s¹ prawdziwe,

mienie treœci, a dok³adniej o interpretacjê s³owa „gdy”.

b) p jest prawdziwe, q fa³szywe,

Nale¿y rozumieæ je w ten sposób:

c) p jest fa³szywe, q prawdziwe.

a) Czy prawd¹ jest, ¿e je¿eli obydwa zdania p i q s¹

prawdziwe, to p =>( p => q) jest prawdziwe?

2. Dla dowolnych zdañ p, q, jeœli zdanie p => q jest b) Czy prawd¹ jest, ¿e je¿eli p jest prawdziwe, zaœ q

prawdziwe, to prawdziwe jest równie¿ zdanie:

fa³szywe, to p =>( p => q) jest prawdziwe?

a) p ∨ ~ q, b) ~ q =>~ p, c) ~ p ∧ q.

c) Czy prawd¹ jest, ¿e je¿eli p jest fa³szywe, zaœ q prawdziwe, to p =>( p => q) jest prawdziwe?

3. Zdanie p =>( p => q) jest fa³szywe, gdy d) Czy prawd¹ jest, ¿e je¿eli obydwa zdania s¹ fa³szy-a) obydwa zdania p i q s¹ prawdziwe,

we, to p =>( p => q) jest prawdziwe?

b) p jest prawdziwe, q fa³szywe,

c) p jest fa³szywe, q prawdziwe,

Poprawnej odpowiedzi na zadanie 3 mo¿na naj-

d) obydwa zdania s¹ fa³szywe.

lepiej udzieliæ po prostu podstawiaj¹c za p, q wartoœci logiczne 0, 1. W 3a) mamy 1 =>(1 =>1); jest to zdanie Rozwi¹zania. W zadaniu 1 mamy alternatywê

prawdziwe. W 3b) mamy 1 =>(1 =>0), jest to fa³szywe.

zdañ: Bitwa pod Grunwaldem odby³a siê przed rokiem

W 3c) mamy 0 =>(0 =>1); jest to zdanie prawdziwe.

1500 lub bitwa pod Grunwaldem odby³a siê po roku

W 3d) mamy 0 =>(0 =>0); jest to zdanie prawdziwe. !

1450. Poniewa¿ alternatywa jest prawdziwa, gdy praw-

dziwy jest przynajmniej jeden z jej cz³onów, wiêc alter-

1) Fragment piosenki z Kabaretu Starszych Panów, wykonywanej

natywa podana jest prawdziwa. Zdanie q jest tak¿e

przez Wies³awa Michnikowskiego.

prawdziwe, z fa³szu wynika wszystko.

MŁODY

TECHNIK

55

10/2004