Równania różniczkowe zwyczajne o zmiennych rozdzielonych Zadania pochodzą z książki:
Materiały do ćwiczeń z matematyki
Na kierunku Zarządzanie i Marketing
Wydanie drugie poprawione
Toruń 2000
Ewa Dziawgo, Joanna Górka, Józef Stawicki, Maciej Witkowski
a)
2
'
y +1 = xyy
dy
x
2
y +1 = xy
:/
2
y +1
dx
dx
dx
ydy
=
/ ∫
2
x
y +1
dx
y
∫ = ∫
dy
2
x
y +1
Całkę po prawej stronie wyliczymy poniżej:
2
y 1 t
+ =
1
1
y
1
dt
1
−
1 1
2
2
2
∫
dy = 2 ydy = dt = ∫
= ∫ t dt = ⋅ t + C = y +1 + C
2
2
y +
t
2
2 1
1
1
ydy = dt
2
2
Zmieniając strony równania otrzymujemy:
Rozwiązanie:
2
y +1 = ln x + C
b)
3
4
y ' = 7 y
dy
3
4 y
3
4
= 7 y :/
dx
dx
dy = 7 dx / ∫
3
4 y
1
∫
dy = 7∫ dx
3
4 y
Całkę po lewej stronie obliczymy poniżej:
3
1
1
1
−
1
4
4
4
4
∫
dy = ∫ y dy =
y + C = 4 y + C = 4 y + C
3
4
1
y
4
Rozwiązanie: 4
4 y = 7 x + C
c)
y ' ctgx + 2 y = 4
dy
ctgx
ctgx = 4 − 2 y
:/
dx
dx
dx
dy = (4 − 2 y)
:/(4-2y)
ctgx
dy
dx
=
/ ∫
4 − 2 y
ctgx
dy
dx
∫
= ∫
4 − 2 y
ctgx
Obliczyć trzeba obie całki. Najpierw policzymy całkę po lewej stronie, potem po prawej stronie.
4 2 y t
−
=
dy
1 dt
1
1
∫
= 2 dy = dt = ∫ = ln t + C = ln 4− 2 y + C
(4 − 2 y)
2
t
2
2
1
dy = dt
2
1
sin x
cos x = t
dt
∫
dx = ∫ tgxdx = ∫
dx =
= −∫
= −ln t + C = − ln cos x + C
ctgx
cos x
−sin xdx = dt
t
Możemy teraz podstawić wyliczone całki:
1 ln 4− 2 y = −ln cos x + C
/*2
2
ln 4 − 2 y = −2 ln cos x + 2 C
/e
1
(4 − 2 y) =
⋅2 C
2
cos x
1
−2 y =
⋅2 C − 4
/:(-2)
2
cos x
−1
Rozwiązanie: y =
⋅ C + 2
2
cos x
d)
2
2
2 x yy '+ y = 2
dy
2
x
2
2
2 x y
= 2 − y
:/
dx
dx
2
(2 − y ) dx
2 ydy =
:/(2-y2)
2
x
2 ydy
dx
=
/ ∫
2
2
2 − y
x
2 y
dx
∫
dy = ∫
2
2
2 − y
x
Najpierw policzymy całkę po lewej stronie a potem po prawej stronie.
2
2 − y = t
2 y
dt
2
∫
dy = −2 ydy = dt = −∫
= −ln t + C = − ln 2 − y + C
2
2 − y
t
2 ydy
dt
= −
1
−
1
−
−1
2
1
∫ dx = ∫ x dx = x + C = + C
2
x
−1
x
1
2
−ln 2 − y = − + C
*/(-1)
x
1
2
ln 2 − y =
+ C
/e
x
1
2
2
x
− y = e ⋅ C
1
2
− = −2
x
y
+ e ⋅ C
*/(-1)
Rozwiązanie: 2 = 2
x
y
− e ⋅ C
e)
f) 2 2
x y y '+1 = 0
dy
2
x
2
2
x y
= −1
:/
dx
dx
1
2
y dy = −
dx
/ ∫
2
x
1
2
∫ y dy = −∫ dx
2
x
1
1
3
−1
y = −
x + C
/*3
3
−1
3
3
y =
+ C
x
Rozwiązanie:
3
3
y = x + C
g)
dy
2
x
2
2 x
= y
:/
y
dx
dx
dy
dx
2
=
/ ∫
2
y
x
dy
1
2∫
= ∫ dx
2
y
x
1
2 ln y = − + C
:/2
x
1
ln y = −
+ C
/e
2 x
1
−
+ C
2 x
y = e
C=eC
1
−
Rozwiązanie:
2 x
y = C ⋅ e
h)
dy
2
x
+ y − a = 0
dx
dy
2
x
2
x
= a − y
:/
dx
dx
dx
dy = ( a − y) ⋅
:/ (a-y)
2
x
dy
dx
=
/ ∫
2
a − y
x
dy
dx
∫
= ∫
2
a − y
x
Obliczenie całki po lewej stronie poniżej:
dy
dt
∫
= − dy = dt = −∫ = −ln t + C = −ln a − y + C
a − y
t
dy = − dt
−1
−ln a − y = − x + C
1
−ln a − y = − + C
/e
x
1
− + C
−( − )
x
a
y = e
C = eC
1
− x
y − a = Ce
1
−
Rozwiązanie:
x
y = C ⋅ e
+ a
i)
dy
2
2
x 1+ y + y 1+ x
= 0
dx
dy
2
1+ x
2
2
y 1+ x
= − x 1+ y
:/
dx
dx
2
x 1+ y
ydy = −
:/
2
1+ y
2
1+ x
ydy
xdx
= −
/ ∫
2
2
1+ y
1+ x
ydy
xdx
∫
= ∫
2
2
1+ y
1+ x
Obie całki są podobne, dlatego zostanie poniżej wyliczona całka dla y. Całka dla x będzie identyczna.
2
1
y
t
+
=
1
1
ydy
1 dt
1
−
1 1
2
2
2
∫
= 2 ydy = dt = ∫ = ∫ t dt = ⋅ ⋅ t = 1+ y 1
2
2
2
2 1
1+ y
2
1
t
ydy = dt
2
2
Rozwiązanie:
2
2
1+ y = − 1+ x + C
j)
dy
dy
2
− x =1− x
dx
dx
dy
dy
2
x
+
= x +1
dx
dx
dy
2
x +1
2
( x +1) = x +1
:/
dx
dx
x +1
dy =
dx
/ ∫
2
x +1
x +1
∫ dy = ∫
dx
2
x +1
Obliczyć należy całkę po prawej stronie, co uczynimy poniżej:
2
1
1
x +1 = t
dt +1
dt
x +1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
∫
= 2 xdx = dt = ∫
= ∫(
+ ) = ln t + ∫ = ln x +1 + ∫
= ln 1+ x + arctgx + C
2
2
x +1
t
t
t
2
t
2
1+ x
2
1
xdx = dt
2
1
Rozwiązanie:
2
y =
ln 1+ x + arctgx + C
2
k)
dy
dy
3
3
x y + y + xy
− x
= 0
dx
dx
dy
dy
3
3
xy
− x
= − x y − y
dx
dx
dy
3
3
x( y −1) = − y( x +1)
:/ -yx
dx
3
3
dy y −1
x +1
⋅
=
*/dx
dx
− y
x
3
3
y −1
x +1
dy =
dx
− y
x
dy
dx
2
2
− y dy +
= x dx +
/ ∫
y
x
1
1
Rozwiązanie:
3
3
− y + ln y = x + ln x + C
3
3
l)
dy
2
2
(1+ x )
− 1− y = 0
dx
dy
2
2
(1+ x ) ⋅ 1− y
2
2
(1+ x )
= 1− y
:/
dx
dx
dy
dx
=
/ ∫
2
2
1
1−
+ x
y
dy
dx
∫
= ∫
2
2
1
1−
+ x
y
Rozwiązanie: arcsin y = arctgx + C
m)
dy
sin x ⋅sin y
= cos x ⋅cos y
:/ sin x ⋅ cos y
dx
sin y dy
cos x
=
*/ dx
cos y dx
sin x
tgydy = ctgxdx
/ ∫
∫ tgydy = ∫ ctgxdx
Obliczenie obu całek poniżej zaczynając od lewej strony:
sin x
dt
∫ tgydy = ∫
dx = − sin xdx = dt = −∫
= −ln t + C = −ln cos y + C
cos x
t
sin xdx = − dt
cos x
sin x = t
dt
∫ ctgxdx = ∫
dx =
= ∫
= ln t + C = ln sin x + C
sin x
cos xdx = dt
t
−ln cos y = ln sin x + C
*/(-1)
ln cos y = − ln sin x + C
1
ln cos y = ln
+ ln C
/e
sin x
C
Rozwiązanie: cos y =
sin x
n)
' 10 x z
z
+
=
dz =10 x+ z
*/dx
dx
=10 x ⋅10 z
dz
dx
:/10z
dz =10 xdx
/ ∫
10 z
dz
∫
= ∫10 xdx
10 z
∫10− z = ∫10 x
dz
dx
10− z
10 x
−
=
+ C
*/ (-ln10)
ln10
ln10
Rozwi
−
ązanie: 10 z = −10 x + C
o)
y
2
(1+
) '− 2 (1
y
e
x y
x + e ) = 0
y
2
(1+
) ' = 2 (1
y
e
x y
x + e )
:/
2
(1+
) ⋅ (1
y
x
+ e )
y
e
dy
2 x
=
*/ dx
y
2
1+ e dx
1+ x
y
e
2 x
dy =
dx
/ ∫
y
2
1+ e
1+ x
Rozwiązanie obu całek poniżej. Najpierw ta po lewej stronie, potem ta po prawej stronie.
e
1
y
y
+ e = t
dt
∫
dy =
= ∫
= ln t + C = ln 1
y
+ e + C
1
y
y
+ e
e dy = dt
t
2
2 x
1
+ x = t
dt
2
∫
dx =
= ∫
= ln t + C = ln 1+ x + C
2
1+ x
2 xdx = dt
t
y
2
ln 1+ e = ln 1+ x + C
/e
y
2
(1+ e ) = (1+ x ) ⋅ C
y
2
e = (1
+ x ) ⋅ C −1
/ln
Rozwiązanie:
2
y = ln (1+ x ) ⋅ C −1
2
2
xy(1+ x ) y ' = 1+ y
:/
2
2
x(1+ x )(1+ y )
y
dy
1
=
*/ dx
2
2
1+ y dx
x(1+ x )
ydy
dx
=
/ ∫
2
2
1+ y
x(1+ x )
ydy
dx
∫
= ∫
2
2
1+ y
x(1+ x )
Rozwiązanie obu całek poniżej. Najpierw ta po lewej stronie, potem ta po prawej stronie.
2
1
y
t
+
=
ydy
1 dt
1
1
2
∫
= 2 ydy = dt = ∫ = ln t + C = ln 1+ y + C
2
1+ y
2
t
2
2
1
dy = dt
2
1
A
Bx + C
= +
.*/ x(1+x2)
2
2
x(1+ x )
x
1+ x
2
2
2
1 = (
A 1+ x ) + ( Bx + C) x = A + Ax + Bx + Cx A = 1 ; A + B = 0 ; C = 0
A=1; B=-1; C=0
dx
dx
− xdx
∫
= ∫ + ∫
Druga całka po prawej stronie jest podobna do całki z y powyżej.
2
2
x(1+ x )
x
1+ x
Podstawiając wyliczone całki otrzymujemy:
1
1
2
2
ln 1+ y = ln x − ln 1+ x + C */2
2
2
2
2
ln 1+ y = 2 ln x − ln 1+ x + C
2
x
2
ln 1+ y = ln
+ ln C
/e
2
1+ x
2
x
2
(1+ y ) =
⋅ C
2
1+ x
2
x
Rozwiązanie: 2
y = C ⋅
−1
2
1+ x
Koniec.