Z5/25. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
1
ZADANIE 25
Z5/25. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 25
Z5/25.1. Zadanie 25
Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki prostej przedstawionej na rysunku Z5/25.1. Wymiary belki podane są w metrach.
24,0 kN/m
12,0 kN
A
C
D
B
6,0
2,0
2,0
[m]
Rys. Z5/25.1. Belka prosta
Z5/25.2. Analiza kinematyczna belki
Rysunek Z5/25.2 przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę sztywną.
A
C
D
1
2
I
3
Rys. Z5/25.2. Belka prosta jako płaska tarcza sztywna Jak widać na rysunku Z5/25.2 tarcza sztywna posiada trzy stopnie swobody. Tarcza ta jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem trzy stopnie swobody. Został
więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (2.4). Belka może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony także i warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.
Z5/25.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych musimy najpierw przyjąć ich dodatnie zwroty.
Rysunek Z5/25.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki.
Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na belkę na oś poziomą X.
X = H =0
A
.
(Z5/25.1)
H =0,0 kN
A
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/25. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
2
ZADANIE 25
24,0 kN/m
12,0 kN
A
C
D
H
B
A
V
Y
V
C
A
6,0
2,0
2,0
[m]
X
Rys. Z5/25.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem punktu C.
1
2
M = V ⋅8,0− ⋅24,0⋅6,0⋅2,0 ⋅6,012,0⋅2,0=0
C
A
2
3
.
(Z5/25.2)
V =51,0 kN
A
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję na podporze C otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem punktu A.
1
1
M =− V ⋅8,0 ⋅24,0⋅6,0⋅ ⋅6,012,0⋅10,0=0
A
C
2
3
.
(Z5/25.3)
V =33,0 kN
C
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę na oś pionową Y.
1
Y = V V − ⋅24,0⋅6,0−12,0=51,033,0−72,0−12,0=0 .
(Z5/25.4)
A
C
2
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę zostały obliczone poprawnie i znajdują się w równowadze.
Rysunek Z5/25.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej belki.
Z5/25.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB
Rysunek Z5/25.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:
•
siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać z minusem
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/25. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
3
ZADANIE 25
•
siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać z plusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy zapisywać z minusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego będziemy zapisywać z plusem.
12,0 kN
24,0 kN/m
A
C
D
B
51,0 kN
33,0 kN
[m]
6,0
2,0
2,0
Rys. Z5/25.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki prostej q(x)
12,0 kN
M(x)
X
C
D
B
N(x)
T(x)
33,0 kN
x
2,0
2,0
[m]
Rys. Z5/25.5. Siły działające w przedziale AB
Funkcja obciążenia ciągłego trójkątnego prostopadłego do osi belki będzie miała, zgodnie ze wzorem (5.3), postać
24,0
q x=
⋅ x=4,0⋅ x .
(Z5/25.5)
6,0
Jak widać na rysunku Z5/25.5 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły. Funkcja ta ma postać
1
1
T x=−33,012,0 ⋅ q x⋅ x=−21,0 ⋅4,0⋅ x⋅ x=−21,02,0⋅ x 2 .
(Z5/25.6)
2
2
Funkcja siły poprzecznej jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wartości tej funkcji na końcach przedziału wynoszą T 0,0=−21,0 kN
.
(Z5/25.7)
T 6,0=−21,02,0⋅6,02=51,0 kN
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/25. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
4
ZADANIE 25
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc w przedziale AB miejsce zerowe, które znajduje się w odległości
−21,02,0⋅ x 2=0
0
(Z5/25.8)
x =3,240 m
0
od początku przedziału czyli od punktu B. Współczynnik przy x2 jest dodatni więc parabola siły poprzecznej będzie miała „brzuszek” w dół. Ekstremum tego wykresu znajduje się w punkcie B, w którym obciążenie trójkątne ma wartość zero.
Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.
1
1
1
1
M x =33,0⋅ x2,0 −12,0⋅ x4,0 − ⋅ q x ⋅ x⋅ ⋅ x=21,0⋅ x18,0− ⋅4,0⋅ x⋅ x⋅ ⋅ x 2
3
2
3
.
(Z5/25.9)
2
M x =− ⋅ x 321,0⋅ x18,0
3
Funkcja momentu zginającego jest wielomianem trzeciego stopnia i aby ją jednoznacznie narysować potrzebujemy jej wartości w czterech punktach. Wartości tej funkcji na końcach przedziału oraz w miejscu ekstremum wynoszą
M 0,0 =18,0 kNm
2
M 3,240 =− ⋅3,240321,0⋅3,24018,0=63,37 kNm 3
.
(Z5/25.10)
2
M 6,0 =− ⋅6,0321,0⋅6,018,0=0,0 kNm
3
Jak wiadomo dodatni momenty zginające rozciągają dolną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na dole. Czwartym punktem funkcji będzie fakt, że „brzuszek” jej musi być skierowany w stronę obciążenia trójkątnego czyli w dół.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (5.31) i (5.32). Pierwsze z nich ma postać
dT x =4,0⋅ x= q x .
(Z5/25.11)
dx
Drugie ma postać
dM x =21,0−2,0⋅ x 2=− T x .
(Z5/25.12)
dx
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek Z5/25.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/25. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
5
ZADANIE 25
Z5/25.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC
Rysunek Z5/25.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
12,0 kN
M(x)
X
C
D
N(x)
T(x)
33,0 kN
x
2,0
[m]
Rys. Z5/25.6. Siły działające w przedziale BC
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z5/25.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna ma postać
T x=−33,012,0=−21,0 kN .
(Z5/25.13)
Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać
M x=33,0⋅ x−12,0⋅ x2,0=21,0⋅ x−24,0 .
(Z5/25.14)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M 0,0 =−24,0 kNm
.
(Z5/25.15)
M 2,0=21,0⋅2,0−24,0=18,0 kNm
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na górze, dodatnie zaś na dole.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać dM x =21,0=− T x .
(Z5/25.16)
dx
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek Z5/25.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Z5/25.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD
Rysunek Z5/25.7 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale CD. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/25. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
6
ZADANIE 25
12,0 kN
M(x)
X
D
N(x)
T(x)
x
Rys. Z5/25.7. Siły działające w przedziale CD
12,0 kN
24,0 kN/m
A
C
D
B
51,0 kN
33,0 kN
6,0
2,0
2,0
[m]
51,0
12,0
T(x) [kN]
2,760
3,240
21,0
,0
M(x) [kNm]
0,0
18
0
7
24,0
0,
63,3
2,760
3,240
Rys. Z5/25.8. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z5/25.7 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna ma postać
T x=12,0 kN .
(Z5/25.17)
Moment zginający w przedziale CD będzie miał postać
M x=−12,0⋅ x .
(Z5/25.18)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/25. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
7
ZADANIE 25
M 0,0 =0,0 kNm
.
(Z5/25.19)
M 2,0=−12,0⋅2,0=−24,0 kNm
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać dM x =−12,0=− T x .
(Z5/25.20)
dx
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale CD przedstawia rysunek Z5/25.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Dr inż. Janusz Dębiński