WM

Z5/24. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 24

1

Z5/24. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 24

Z5/24.1. Zadanie 24

Narysować metodą punktów szczególnych wykresy sił przekrojowych dla belki przedstawionej na

rysunku Z5/24.1. Wymiary belki podane są w metrach.

A

B

C

D

24,0 kN

16,0 kN/m

3,0

2,0

2,0

[m]

Rys. Z5/24.1. Belka prosta

Analiza kinematyczna belki przedstawionej na rysunku Z5/24.1 znajduje się w zadaniu 23. Zgodnie

z tamtym zadaniem rysunek Z5/24.2 przedstawia wartości i zwroty reakcji podporowych.

A

B

C

D

24,0 kN

16,0 kN/m

3,0

2,0

2,0

[m]

4,8 kN

43,2 kN

Rys. Z5/24.2. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji w belce prostej

Z5/24.2. Wykres siły poprzecznej

Zgodnie z rozdziałem 5 w przedziale AB siła poprzeczna będzie funkcją kwadratową natomiast

w pozostałych przedziałach będzie miała wartość stałą. Pionowe reakcje na podporach A i C będą powodo-
wały skok siły poprzecznej o wartości bezwzględnej równej danej reakcji.

Rysowanie wykresu siły poprzecznej zaczniemy od punktu A. W punkcie tym działa reakcja o war-

tości 4,8 kN do góry. Siła poprzeczna w tym punkcie wynosi więc

T

A

=

4,8 kN

.

(Z5/24.1)

W przedziale AB działa obciążenie ciągłe trójkątne o wartości z prawej strony 16,0 kN/m w dół więc

siła poprzeczna w tym przedziale będzie parabolicznie opadać a w punkcie B tego przedziału wynosi

T

B



L



=

4,8−

1

2

⋅

16,0⋅3,0=−19,2kN

.

(Z5/24.2)

Jak widać siła poprzeczna na obu końcach przedziału AB ma wartości przeciwnych znaków. W przedziale
tym będzie ona miała więc miejsce zerowe. Zgodnie ze wzorem (5.131) jego odległość od punktu A wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/24. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 24

2

x

L

=



2⋅4,8⋅3,0

16,0

=

1,342 m

.

(Z5/24.3)

Ekstremum parabolicznego wykresu siły poprzecznej znajduje się w punkcie A, w którym to obciąże-

nie ciągłe trójkątne ma miejsce zerowe.

W punkcie B nie działa żadna siła. Wartość siły poprzecznej z prawej strony punktu B wynosić będzie

więc

T

B



P



=−

19,2 kN

.

(Z5/24.4)

W przedziale BC nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma w całym przedziale oraz

z lewej strony punktu C wartość stałą równą

T

BC

=

T

C



L



=−

19,2 kN

.

(Z5/24.5)

W punkcie C działa reakcja o wartości 43,2 kN w górę. Wartość siły poprzecznej z prawej strony

punktu C wynosi więc

T

C



P



=−

19,243,2=24,0 kN

.

(Z5/24.6)

W przedziale CD nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma w całym przedziale

wartość stałą równą

T

CD

=

24,0 kN

.

(Z5/24.7)

Rysunek Z5/24.3 przedstawia ostateczną postać wykresu siły poprzecznej w całej belce prostej wyz-

naczonego metodą punktów charakterystycznych.

A

B

C

D

24,0 kN

16,0 kN/m

3,0

2,0

2,0

[m]

4,8 kN

43,2 kN

T(x) [kN]

4,8

19,2

24,0

1,342

1,658

Rys. Z5/24.3. Wykres siły poprzecznej w belce prostej

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/24. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 24

3

Z5/24.3. Wykres momentu zginającego

Zgodnie z rozdziałem 5 w przedziale AB moment zginający będzie wielomianem trzeciego stopnia

natomiast w pozostałych przedziałach będzie funkcją liniową. Wykres momentu będzie w całej belce ciągły.
W dalszej części, przy obliczaniu wartości momentu zginającego w punktach charakterystycznych, siły,
które kręcą zgodnie z założonym momentem zginającym będziemy zapisywać z minusem, siły które kręcą
przeciwnie z plusem.

A

4,8 kN

M

A

A

3,0

4,8 kN

16,0 kN/m

M

B

(L)

[m]

a)

b)

Rys. Z5/24.4. Momenty zginające na obu końcach przedziału AB

Rysunek Z5/24.4 a) przedstawia moment zginający w punkcie A. Zgodnie z tym rysunkiem moment

ten ma wartość

M

A

=

0,0kNm

.

(Z5/24.8)

Rysunek Z5/24.4 b) przedstawia moment zginający w punkcie B z lewej strony podpory. Zgodnie

z tym rysunkiem moment ten ma wartość

M

B



L



=

4,8⋅3,0−

1

2

⋅

16,0⋅3,0⋅

1
3

⋅

3,0=−9,6 kNm

.

(Z5/24.9)

Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.

[m]

3,0

16,0 kN/m

q

1

1,342

Rys. Z5/24.5. Wartość obciążenia ciągłego w miejscu zerowym siły poprzecznej

Miejsce zerowe siły poprzecznej znajduje się w odległości 1,342 m od punktu A. Rysunek Z5/24.5

przedstawia wartość obciążenia ciągłego w tym punkcie, które możemy wyznaczyć z proporcji

q

1

1,342

=

16,0

3,0

.

(Z5/24.10)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/24. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 24

4

Ostatecznie wartość obciążenia ciągłego w miejscu zerowym siły poprzecznej wynosi

q

1

=

7,157

kN

m

.

(Z5/24.11)

A

1,342

4,8 kN

7,157 kN/m

M

1

[m]

Rys. Z5/24.6. Ekstremalny moment zginający w przedziale AB

Rysunek Z5/24.6 przedstawia ekstremalny moment zginający w przedziale AB. Zgodnie z tym rysun-

kiem wynosi on

M

1

=

4,8⋅1,342−

1

2

⋅

7,157⋅1,342⋅

1
3

⋅

1,342=4,293 kNm

(Z5/24.12)

Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.

C

D

24,0 kN

2,0

[m]

43,2 kN

M

B

(P)

2,0

C

D

24,0 kN

2,0

[m]

43,2 kN

M

C

(L)

a)

b)

Rys. Z5/24.7. Momenty zginające na na obu końcach przedziału BC

Rysunek Z5/24.7 a) przedstawia moment zginający w punkcie B z prawej strony tego punktu. Zgodnie

z tym rysunkiem moment ten ma wartość

M

B



P



=

43,2⋅2,0−24,0⋅4,0=−9,6 kNm

.

(Z5/24.13)

Moment ten jest równy momentowi wyznaczonemu ze wzoru (Z5/24.9). Znak minus oznacza, że rozciąga on
górną część belki.

Rysunek Z5/24.7 b) przedstawia moment zginający w punkcie C lewej strony tego punktu. Zgodnie

z tym rysunkiem moment ten ma wartość

M

C



L



=−

24,0⋅2,0=−48,0 kNm

.

(Z5/24.14)

Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/24. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 24

5

D

24,0 kN

[m]

2,0

M

C

(P)

D

24,0 kN

M

D

a)

b)

Rys. Z5/24.8. Momenty zginające na na obu końcach przedziału CD

Rysunek Z5/24.8 a) przedstawia moment zginający w punkcie C z prawej strony tego punktu. Zgodnie

z tym rysunkiem moment ten ma wartość

M

B



P



=−

24,0⋅2,0=−48,0 kNm

.

(Z5/24.15)

Moment ten jest równy momentowi wyznaczonemu ze wzoru (Z5/24.14). Znak minus oznacza, że rozciąga
on górną część belki.

Rysunek Z5/24.8 b) przedstawia moment zginający w punkcie D. Zgodnie z tym rysunkiem moment

ten ma wartość

M

D

=

0,0 kNm

.

(Z5/24.16)

Rysunek Z5/24.9 przedstawia ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej
wyznaczone metodą punktów charakterystycznych.

A

B

C

D

24,0 kN

16,0 kN/m

3,0

2,0

2,0

[m]

4,8 kN

43,2 kN

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

4,8

19,2

24,0

0,0

9,

6

48

,0

0,0

1,342

1,658

1,342

1,658

4,2

93

Rys. Z5/24.9. Ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego wyznaczone metodą punktów

charakterystycznych

Dr inż. Janusz Dębiński