Z5/30. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
1
ZADANIE 30
Z5/30. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 30
Z5/30.1. Zadanie 30
Narysować metodą punktów szczególnych wykresy sił przekrojowych dla belki przedstawionej na rysunku Z5/30.1. Wymiary belki podane są w metrach.
31,0 kN/m
19,0 kN
A
C
D
B
[m]
3,0
7,0
2,0
Rys. Z5/30.1. Belka prosta
Analiza kinematyczna belki przedstawionej na rysunku Z5/30.1 znajduje się w zadaniu 29. Zgodnie z tamtym zadaniem rysunek Z5/30.2 przedstawia wartości i zwroty reakcji podporowych.
31,0 kN/m
19,0 kN
A
C
D
B
46,83 kN
80,67 kN
[m]
3,0
7,0
2,0
Rys. Z5/30.2. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji w belce prostej Z5/30.2. Wykres siły poprzecznej
Zgodnie z rozdziałem 5 w przedziale BC siła poprzeczna będzie funkcją kwadratową natomiast w pozostałych przedziałach będzie miała wartość stałą. Pionowe reakcje na podporach A i C będą powodo-wały skok siły poprzecznej o wartości bezwzględnej równej danej reakcji.
Rysowanie wykresu siły poprzecznej zaczniemy od punktu A. W punkcie tym działa reakcja o wartości 46,83 kN do góry. Siła poprzeczna w tym punkcie wynosi więc T =46,83 kN
A
.
(Z5/30.1)
W przedziale AB nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma w całym przedziale oraz z lewej strony punktu B wartość stałą równą
T
L
AB= T B =46,83 kN
.
(Z5/30.2)
W punkcie B nie działa żadna siła. Wartość siły poprzecznej z prawej strony punktu B wynosić będzie więc
T P=46,83 kN .
(Z5/30.3)
B
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/30. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
2
ZADANIE 30
W przedziale BC działa obciążenie ciągłe trójkątne o wartości z lewej strony 31,0 kN/m w dół więc siła poprzeczna w tym przedziale będzie parabolicznie opadać a w punkcie C tego przedziału wynosi 1
T L=46,83− ⋅31,0⋅7,0=−61,67 kN .
(Z5/30.4)
C
2
Jak widać siła poprzeczna na obu końcach przedziału BC ma wartości przeciwnych znaków. W przedziale tym będzie ona miała więc miejsce zerowe. Zgodnie ze wzorem (5.131) jego odległość od punktu C wynosi x =
=5,277 m .
(Z5/30.5)
L
2⋅61,67⋅7,0
31,0
Ekstremum parabolicznego wykresu siły poprzecznej znajduje się w punkcie B, w którym to obciążenie ciągłe trójkątne ma miejsce zerowe.
W punkcie C działa reakcja o wartości 80,67 kN w górę. Wartość siły poprzecznej z prawej strony punktu C wynosi więc
T P
C =−61,6780,67=19,0 kN
.
(Z5/30.6)
W przedziale CD nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma w całym przedziale wartość stałą równą
T =19,0 kN
CD
.
(Z5/30.7)
Rysunek Z5/30.3 przedstawia ostateczną postać wykresu siły poprzecznej w całej belce prostej wyz-naczonego metodą punktów charakterystycznych.
31,0 kN/m
19,0 kN
A
C
D
B
46,83 kN
80,67 kN
[m]
3,0
7,0
2,0
46,83
19,0
T(x) [kN]
7
61,6
1,723
5,277
Rys. Z5/30.3. Wykres siły poprzecznej w belce prostej Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/30. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
3
ZADANIE 30
Z5/30.3. Wykres momentu zginającego
Zgodnie z rozdziałem 5 w przedziale BC moment zginający będzie wielomianem trzeciego stopnia natomiast w pozostałych przedziałach będzie funkcją liniową. Wykres momentu będzie w całej belce ciągły.
W dalszej części, przy obliczaniu wartości momentu zginającego w punktach charakterystycznych, siły, które kręcą zgodnie z założonym momentem zginającym będziemy zapisywać z minusem, siły które kręcą przeciwnie z plusem.
a)
b)
A
A
M
M (L)
B
A
46,83 kN
46,83 kN
[m]
3,0
Rys. Z5/30.4. Momenty zginające na obu końcach przedziału AB
Rysunek Z5/30.4 a) przedstawia moment zginający w punkcie A. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M =0,0 kNm
A
.
(Z5/30.8)
Rysunek Z5/30.4 b) przedstawia moment zginający w punkcie B z lewej strony tego punktu. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M L
B =46,83⋅3,0=140,5 kNm
.
(Z5/30.9)
Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.
31,0 kN/m
19,0 kN
C
D
M (P)
80,67 kN
B
[m]
7,0
2,0
Rys. Z5/30.5. Moment zginający w punkcie B w przedziale BC
Rysunek Z5/30.5 przedstawia moment zginający w punkcie B z prawej strony tego punktu. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
1
1
M P=80,67⋅7,0−19,0⋅9,0− ⋅31,0⋅7,0⋅ ⋅7,0=140,5 kNm .
(Z5/30.10)
B
2
3
Moment ten jest równy momentowi wyznaczonemu ze wzoru (Z5/30.9). Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/30. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
4
ZADANIE 30
31,0 kN/m
A
M (L)
C
B
46,83 kN
[m]
3,0
7,0
Rys. Z5/30.6. Moment zginający w punkcie C w przedziale BC
Rysunek Z5/30.6 przedstawia moment zginający w punkcie C z lewej strony tego punktu. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
1
2
M L=46,83⋅10,0− ⋅31,0⋅7,0⋅ ⋅7,0=−38,03 kNm .
(Z5/30.11)
C
2
3
Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.
31,0 kN/m
q1
5,277
[m]
7,0
Rys. Z5/30.7. Wartość obciążenia ciągłego w miejscu zerowym siły poprzecznej Miejsce zerowe siły poprzecznej znajduje się w odległości 5,277 m od punktu C. Rysunek Z5/30.7
przedstawia wartość obciążenia ciągłego w tym punkcie, które możemy wyznaczyć z proporcji q 1
31,0
=
.
(Z5/30.12)
5,277
7,0
Ostatecznie wartość obciążenia ciągłego w miejscu zerowym siły poprzecznej wynosi kN
q =23,37
.
(Z5/30.13)
1
m
Rysunek Z5/30.8 przedstawia ekstremalny moment zginający w przedziale BC. Zgodnie z tym rysunkiem wynosi on
1
1
M =80,67⋅5,277−19,0⋅5,2772,0− ⋅23,37⋅5,277⋅ ⋅5,277=179,0 kNm (Z5/30.14)
1
2
3
Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/30. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
5
ZADANIE 30
23,37 kN/m
19,0 kN
C
D
M1
80,67 kN
[m]
5,277
2,0
Rys. Z5/30.8. Ekstremalny moment zginający w przedziale BC
a)
b)
19,0 kN
19,0 kN
M (P)
MD
C
D
D
2,0
[m]
Rys. Z5/30.9. Momenty zginające na na obu końcach przedziału CD
31,0 kN/m
19,0 kN
A
C
D
B
46,83 kN
80,67 kN
[m]
3,0
7,0
2,0
46,83
19,0
T(x) [kN]
,6761
1,723
5,277
M(x) [kNm]
0,0
,0
0,0
0
140,5
38
179,
1,723
5,277
Rys. Z5/30.10. Ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego wyznaczone metodą punktów charakterystycznych
Rysunek Z5/30.9 a) przedstawia moment zginający w punkcie C z prawej strony tego punktu. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/30. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
6
ZADANIE 30
M P
C =−19,0⋅2,0=−38,0 kNm
.
(Z5/30.15)
Moment ten jest równy momentowi wyznaczonemu ze wzoru (Z5/30.11). Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.
Rysunek Z5/30.9 b) przedstawia moment zginający w punkcie D. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M =0,0 kNm
D
.
(Z5/30.16)
Rysunek Z5/30.10 przedstawia ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej wyznaczone metodą punktów charakterystycznych.
Dr inż. Janusz Dębiński