Z5/13. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 13
1
Z5/13. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 13
Z5/13.1. Zadanie 13
Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki prostej przedstawionej na rysunku Z5/13.1. Wymiary belki podane są w metrach.
27,0 kN/m
18,0 kN
A
C
D
B
6,0
2,0
2,0
[m]
Rys. Z5/13.1. Belka prosta
Z5/13.2. Analiza kinematyczna belki
Rysunek Z5/13.2 przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę sztywną.
A
C
D
I
1
2
3
Rys. Z5/13.2. Belka prosta jako płaska tarcza sztywna Tarcza sztywna na rysunku Z5/13.2 posiada trzy stopnie swobody. Jest ona podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem także trzy stopnie swobody. Został więc speł-
niony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (2.4). Belka może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.
Z5/13.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych musimy najpierw przyjąć ich dodatnie zwroty.
Rysunek Z5/13.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki.
Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na belkę na oś poziomą X.
X = H =0
A
.
(Z5/13.1)
H =0,0 kN
A
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/13. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 13
2
27,0 kN/m
18,0 kN
HA A
C
D
Y
B
X
VA
VC
6,0
2,0
2,0
[m]
Rys. Z5/13.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem punktu C.
1
M = V ⋅8,0−27,0⋅6,0⋅2,0 ⋅6,018,0⋅2,0=0
C
A
2
.
(Z5/13.2)
V =96,75 kN
A
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję na podporze C otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem punktu A.
1
M =− V ⋅8,027,0⋅6,0⋅ ⋅6,018,0⋅10,0=0
A
C
2
.
(Z5/13.3)
V =83,25 kN
C
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę na oś pionową Y.
Y = V V −27,0⋅6,0−18,0=96,7583,25−162,0−18,0=0
A
C
.
(Z5/13.4)
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę zostały obliczone poprawnie i znajdują się w równowadze.
Rysunek Z5/13.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej belki.
27,0 kN/m
18,0 kN
A
C
D
B
96,75 kN
83,25 kN
6,0
2,0
2,0
[m]
Rys. Z5/13.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki prostej Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/13. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 13
3
Z5/13.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB
Rysunek Z5/13.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
27,0 kN/m
A
N(x)
X
T(x)
M(x)
96,75 kN
x
Rys. Z5/13.5. Siły działające w przedziale AB
W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:
•
siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać z minusem
•
siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać z plusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy zapisywać z minusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego będziemy zapisywać z plusem.
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała postać
kN
q x=27,0
.
(Z5/13.5)
m
Jak widać na rysunku Z5/13.5 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły. Funkcja ta ma postać
T x=96,75−27,0⋅ x .
(Z5/13.6)
Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartości na obu końcach przedziału. Wartości te wynoszą
T 0,0 =96,75 kN
.
(Z5/13.7)
T 6,0 =96,75−27,0⋅6,0=−65,25 kN
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału AB wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc miejsce zerowe w tym przedziale. Znajduje się ono
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/13. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 13
4
96,75−27,0⋅ x =0
0
(Z5/13.8)
x =3,583 m
0
od początku przedziału AB czyli od punktu A.
Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.
x
M x=96,75⋅ x−27,0⋅ x⋅ =−13,5⋅ x 296,75⋅ x .
(Z5/13.9)
2
Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one
M 0,0=0,0 kNm
M 3,583=−13,5⋅3,583296,75⋅3,583=173,3 kNm .
(Z5/13.10)
M 6,0=−13,5⋅6,0296,75⋅6,0=94,5 kNm
Jak wiadomo dodatnie momenty zginające rozciągają dolną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na dole.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (5.22) i (5.23). Równania te mają postać
dT x =−27,0=− q x ,
(Z5/13.11)
dx
dM x =96,75−27,0⋅ x= T x .
(Z5/13.12)
dx
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek Z5/13.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Z5/13.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC
Rysunek Z5/13.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
18,0 kN
N(x)
C
D
X
T(x)
M(x)
83,25 kN
x
2,0
[m]
Rys. Z5/13.6. Siły działające w przedziale BC
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/13. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 13
5
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z5/13.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna ma postać
T x=18,0−83,25=−65,25 kN .
(Z5/13.13)
Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać
M x=83,25⋅ x−18,0⋅ x2,0=65,25⋅ x−36,0 .
(Z5/13.14)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M 0,0 =−36,0 kNm
.
(Z5/13.15)
M 2,0=65,25⋅2,0−36,0=94,5 kNm
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na górze, dodatnie zaś na dole.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać dM x =65,25=− T x .
(Z5/13.16)
dx
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek Z5/13.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Z5/13.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD
Rysunek Z5/13.7 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale CD. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
18,0 kN
M(x)
X
D
N(x)
T(x)
x
Rys. Z5/13.7. Siły działające w przedziale CD
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z5/13.7 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna ma postać
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/13. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 13
6
T x=18,0 kN .
(Z5/13.17)
Moment zginający w przedziale CD będzie miał postać
M x=−18,0⋅ x .
(Z5/13.18)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M 0,0=0,0 kNm
.
(Z5/13.19)
M 2,0=−18,0⋅2,0=−36,0 kNm
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać dM x =−18,0=− T x .
(Z5/13.20)
dx
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
27,0 kN/m
18,0 kN
A
C
D
B
96,75 kN
83,25 kN
6,0
2,0
2,0
[m]
,7596
18,0
T(x) [kN]
3,583
2,417
65,25
0
M(x) [kNm]
0,
94,5
36,0
0,0
3,317
3,583
2,417
Rys. Z5/13.8. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/13. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 13
7
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek Z5/13.8.
Z5/13.7. Wykresy sił przekrojowych
Rysunek Z5/13.8 przedstawia ostateczne wykresy funkcji siły poprzecznej oraz momentu zginającego w belce złożonej.
Dr inż. Janusz Dębiński