Z5/23. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
1
ZADANIE 23
Z5/23. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 23
Z5/23.1. Zadanie 23
Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki prostej przedstawionej na rysunku Z5/23.1. Wymiary belki podane są w metrach.
24,0 kN
16,0 kN/m
A
C
D
B
3,0
2,0
2,0
[m]
Rys. Z5/23.1. Belka prosta
Z5/23.2. Analiza kinematyczna belki
Rysunek Z5/23.2 przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę sztywną.
A
C
D
1
2
I
3
Rys. Z5/23.2. Belka prosta jako płaska tarcza sztywna Jak widać na rysunku Z5/23.2 tarcza sztywna posiada trzy stopnie swobody. Tarcza ta jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem trzy stopnie swobody. Został
więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (2.4). Belka może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony także i warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.
Z5/23.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych musimy najpierw przyjąć ich dodatnie zwroty.
Rysunek Z5/23.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki.
Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na belkę na oś poziomą X.
X = H =0
A
.
(Z5/23.1)
H =0,0 kN
A
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/23. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
2
ZADANIE 23
16,0 kN/m
24,0 kN
H
A
A
C
D
B
Y
V
V
A
C
[m]
X
3,0
2,0
2,0
Rys. Z5/23.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem punktu C.
1
1
M = V ⋅5,0− ⋅16,0⋅3,0⋅2,0 ⋅3,024,0⋅2,0=0
C
A
2
3
.
(Z5/23.2)
V =4,8 kN
A
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję na podporze C otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem punktu A.
1
2
M =− V ⋅5,0 ⋅16,0⋅3,0⋅ ⋅3,024,0⋅7,0=0
A
C
2
3
.
(Z5/23.3)
V =43,2 kN
C
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę na oś pionową Y.
1
Y = V V − ⋅16,0⋅3,0−24,0=4,843,2−24,0−24,0=0 .
(Z5/23.4)
A
C
2
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę zostały obliczone poprawnie i znajdują się w równowadze.
Rysunek Z5/23.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej belki.
Z5/23.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB
Rysunek Z5/23.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:
•
siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać z minusem
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/23. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
3
ZADANIE 23
•
siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać z plusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy zapisywać z minusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego będziemy zapisywać z plusem.
24,0 kN
16,0 kN/m
A
C
D
B
4,8 kN
43,2 kN
[m]
3,0
2,0
2,0
Rys. Z5/23.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki prostej q(x)
A
N(x)
X
T(x)
M(x)
4,8 kN
x
Rys. Z5/23.5. Siły działające w przedziale AB
Funkcja obciążenia ciągłego trójkątnego prostopadłego do osi belki będzie miała, zgodnie ze wzorem (5.3), postać
16,0
16
q x=
⋅ x =
⋅ x .
(Z5/23.5)
3,0
3
Jak widać na rysunku Z5/23.5 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły. Funkcja ta ma postać
1
1 16
8
T x=4,8− ⋅ q x⋅ x=4,8− ⋅ ⋅ x⋅ x=4,8− ⋅ x 2 .
(Z5/23.6)
2
2 3
3
Funkcja siły poprzecznej jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wartości tej funkcji na końcach przedziału wynoszą T 0,0=4,8 kN
8
.
(Z5/23.7)
T 3,0=4,8− ⋅3,02=−19,2 kN
3
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/23. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
4
ZADANIE 23
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc w przedziale AB miejsce zerowe, które znajduje się w odległości 8
4,8− ⋅ x 2=0
3 0
(Z5/23.8)
x =1,342 m
0
od początku przedziału czyli od punktu A. Współczynnik przy x2 jest ujemny więc parabola siły poprzecznej będzie miała „brzuszek” do góry. Ekstremum tego wykresu znajduje się w punkcie A, w którym obciążenie trójkątne ma wartość zero.
Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.
1
1
1 16
1
M x =4,8⋅ x− ⋅ q x⋅ x⋅ ⋅ x=4,8⋅ x− ⋅ ⋅ x⋅ x⋅ ⋅ x 2
3
2 3
3
.
(Z5/23.9)
8
M x =− ⋅ x 34,8⋅ x
9
Funkcja momentu zginającego jest wielomianem trzeciego stopnia i aby ją jednoznacznie narysować potrzebujemy jej wartości w czterech punktach. Wartości tej funkcji na końcach przedziału oraz w miejscu ekstremum wynoszą
M 0,0 =0,0 kNm
8
M 1,342=− ⋅1,34234,8⋅1,342=4,293 kNm
9
.
(Z5/23.10)
8
M 3,0 =− ⋅3,034,8⋅3,0=−9,6 kNm
9
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na górze, dodatnie zaś na dole. Czwartym punktem funkcji będzie fakt, że „brzuszek” jej musi być skierowany w stronę obciążenia trójkątnego czyli w dół.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (5.22) i (5.23). Pierwsze z nich ma postać
dT x
16
=−
⋅ x=− q x .
(Z5/23.11)
dx
3
Drugie ma postać
dM x
8
=4,8− ⋅ x 2= T x .
(Z5/23.12)
dx
3
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek Z5/23.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/23. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
5
ZADANIE 23
Z5/23.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC
Rysunek Z5/23.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
24,0 kN
N(x)
T(x)
C
D
X
M(x)
43,2 kN
[m]
x
2,0
Rys. Z5/23.6. Siły działające w przedziale BC
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z5/23.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna ma postać
T x=−43,224,0=−19,2 kN .
(Z5/23.13)
Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać
M x=43,2⋅ x−24,0⋅ x2,0=19,2⋅ x−48,0 .
(Z5/23.14)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M 0,0 =−48,0 kNm
.
(Z5/23.15)
M 2,0=19,2⋅2,0−48,0=−9,6 kNm
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać dM x =19,2=− T x .
(Z5/23.16)
dx
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek Z5/23.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Z5/23.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD
Rysunek Z5/23.7 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale CD. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/23. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
6
ZADANIE 23
24,0 kN
N(x)
T(x)
D
X
M(x)
x
Rys. Z5/23.7. Siły działające w przedziale CD
24,0 kN
16,0 kN/m
A
C
D
B
4,8 kN
43,2 kN
[m]
3,0
2,0
2,0
24,0
4,8
T(x) [kN]
1,342
1,658
19,2
6
48,0
3
9,
4,29
0,0
M(x) [kNm]
00,
1,342
1,658
Rys. Z5/23.8. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z5/23.7 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna ma postać
T x=24,0 kN .
(Z5/23.17)
Moment zginający w przedziale CD będzie miał postać
M x=−24,0⋅ x .
(Z5/23.18)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/23. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
7
ZADANIE 23
M 0,0 =0,0 kNm
.
(Z5/23.19)
M 2,0=−24,0⋅2,0=−48,0 kNm
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać dM x =−24,0=− T x .
(Z5/23.20)
dx
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale CD przedstawia rysunek Z5/23.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Dr inż. Janusz Dębiński