29 grudnia 2003 roku
Spis treści
1
Wzory podstawowe
2
2
Całkowanie funkcji wielomianowych
4
3
Całkowanie funkcji wymiernych
5
4
Całkowanie funkcji niewymiernych
7
5
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
8
6
Całkowanie funkcji wykładniczych
9
7
Całkowanie przez cz¸
eści i podstawienie
10
1
Wzory podstawowe
1. R 0dx = C
2. R dx = x + C
3. R xdx = 1 x2 + C
2
4. R xndx = 1 xn+1 + C, dla n 6= −1
n+1
5. R 1 dx = ln |x| + C
x
6. R f0(x) dx = ln |f (x)| + C
f (x)
7. R 1 dx = − 1 + C
x2
x
√
√
8. R
xdx = 2 x x
3√
9. R 1
√ dx = 2
x + C
x
q
10. R f0(x)
√
dx = 2 f (x) + C
f (x)
11. R
dx
√
= arcsin x + C
1−x2
12. R sin xdx = − cos x + C
13. R 1 sinh xdx = −2 cosh x + C
14. R cos xdx = sin x + C
15. R cosh xdx = sinh x + C
16. R
1
dx = −3 cot x + C
sin2 x
17. R
1
dx = −4 coth x + C
sinh2 x
18. R
1
dx = tan x + C
cos2 x
19. R
1
dx = 5 tanh x + C
cosh2 x
20. R exdx = ex + C
1sinh x = ex−e−x , jest to sinus hiperboliczy 2
2cosh x = ex+e−x , jest to cosinus hiperboliczy 2
3cot x oznacza cotangens
4cot x = cosh x , jest to cotangens hiperboliczy sinh x
5tanh x = sinh x , jest to tangens hiperboliczy cosh x
2
21. R mxdx = mx + C, dla m > 0 i m 6= 1
ln m
22. R ln xdx = x ln x − x + C
√
23. R arctan xdx = x arctan x − ln
x2 + 1
3
Całkowanie funkcji wielomianowych
1. R 0dx = C
2. R dx = x + C
3. R xdx = 1 x2 + C
2
4. R (ax + b)dx = a x2 + bx + C
2
5. R xndx = 1 xn+1 + C, dla n 6= −1
n+1
6. R (ax + b)ndx =
1
(ax + b)n+1 + C, dla a 6= 0 i n 6= −1
a(n+1)
7. R (anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0)dx = an xn+1 + an−1 xn +
n+1
n
... + a1 x2 + a
2
0x + C
4
Całkowanie funkcji wymiernych
1. R 1 dx = ln |x| + C
x
2. R 1 dx = − 1 + C
x2
x
3. R dx = arctan x + C
1+x2
4. R
dx
=
x
+ 2n−3 R
dx
, dla n 6= 1
(1+x2)n
2(n−1)(1+x2)n−1
2n−2
(1+x2)n−1
5. R
dx
= 1 arctan (ax + b) + C, dla a 6= 0
1+(ax+b)2
a
6. R
dx
= 1 arctan x + C, dla a 6= 0
a2+x2
a
a
7. R
dx
= 1
√ arctan x−a
√
+ C, dla b > 0
b+(x−a)2
b
b
8. R
dx
= 1 ln | a+x | + C, dla a > 0 i |x| 6= 0
a2−x2
2a
a−x
9. R
1
dx = 1 ln |ax + b| + C, dla a 6= 0
ax+b
a
10. R
1
dx = −
1
+ C
(ax+b)2
a(ax+b)
11. R
1
=
1
+ C, dla n 6= 1
(ax+b)n
a(1−n)(ax+b)n−1
12. R Ax+B dx = A x + aB−Ab ln |ax + b| + C, dla a 6= 0
ax+b
a
a2
x+ b
13. R
dx
=
1
arctan
2a
+ C, dla a 6= 0 oraz ∆ < 0
ax2+bx+c
q
q
a
−∆
−∆
4a2
4a2
√∆
14. R
dx
= 1
√
ln | x+ b−2a
√
| + C, dla a 6= 0 oraz ∆ > 0
ax2+bx+c
∆
x+ b+ ∆
2a
15. R
dx
= − 1
+ C, dla a 6= 0 oraz ∆ = 0
ax2+bx+c
ax+ b2
16. R dx = 1
√ arctan x
√ + C, dla b > 0
b+x2
b
b
x+ b
17. R
Ax+B
dx = A ln |ax2 + bx + c| + 2aB−Ab
√
arctan
2a
+ C,
ax2+bx+c
2a
a −∆
q −∆
4a2
dla a 6= 0 oraz ∆ < 0
√∆
18. R
Ax+B
dx = A ln |ax2 + bx + c| + 2aB−Ab
√
ln | x+ b−2a
√
| + C, dla
ax2+bx+c
2a
2a
∆
x+ b+ ∆
2a
a 6= 0 oraz ∆ > 0
5
Ax+B
dx = A ln |ax2 + bx + c| + 2aB−Ab (− 1 ) + C, dla ax2+bx+c
2a
2a
ax+ b2
a 6= 0 oraz ∆ = 0
20. R
Ax+B
dx =
A
+
2aB−bA
R
dt
, dla
(ax2+bx+c)n
2a(1−n)(ax2+bx+c)n−1
2an+1( −∆ )n− 1
(1+t2)n
2
4a2
x+ b
a 6= 0, n 6= 1, ∆ < 0 oraz t =
2a
q −∆
4a2
B− bA
2a(C− cA )−(B− bA )b
x+ b
21. R Ax2+Bx+C dx = A x+
a
ln |ax2 + bx + c|+
a
a
√
arctan
2a +
ax2+bx+c
a
2a
a −∆
q −∆
4a2
C, dla a 6= 0 oraz ∆ < 0
√
B− bA
2a(C− cA )−(B− bA )b
∆
22. R Ax2+Bx+C dx = A x+
a
ln |ax2 + bx + c|+
a
a
√
ln | x+ b−2a
√
|+
ax2+bx+c
a
2a
2a
∆
x+ b+ ∆
2a
C, dla a 6= 0 oraz ∆ > 0
B− bA
2a(C− cA )−(B− bA )b
23. R Ax2+Bx+C dx = A x+
a
ln |ax2 + bx + c|+
a
a
(− 1 )+
ax2+bx+c
a
2a
2a
ax+ b2
C, dla a 6= 0 oraz ∆ = 0
24. R
dx
=
1
ln |x − a|+
1
ln |x − b|+
1
ln |x − c|+
(x−a)(x−b)(x−c)
(a−b)(a−c)
(b−a)(b−c)
(c−a)(c−b)
C, dla a 6= b 6= c
25. R
Ax+B
dx =
Aa+B
ln |x − a| +
Ab+B
ln |x − b| +
(x−a)(x−b)(x−c)
(a−b)(a−c)
(b−a)(b−c)
Ac+B
ln |x − c| + C, dla a 6= b 6= c
(c−a)(c−b)
6
Całkowanie funkcji niewymiernych
√
√
1. R
xdx = 2 x x
3
√
q
2. R
ax + bdx = 2 (ax + b) (ax + b), dla a 6= 0
3a
√
3. R 1
√ dx = 2
x + C
x
√
4. R
1
√
dx = 2 ax+b + C, dla a 6= 0
(ax+b)
a
5. R
dx
√
= arcsin x + C
1−x2
6. R
dx
√
= 1 arcsin (ax + b) + C, dla a 6= 0
1−(ax+b)2
a
7. R
dx
√
= arcsin x + C, dla a > 0
a2−x2
a√
8. R
dx
√
= ln |x +
x2 − a2| + C, dla a 6= 0
x2−a2
√
9. R
dx
√
= ln (x +
x2 + 1) + C
1+x2
q
10. R
dx
√
= 1 ln ((ax + b) +
(ax + b)2 + 1) + C, dla a 6= 0
1+(ax+b)2
a
√
11. R
dx
√
= ln |x +
x2 − 1| + C, dla |x| > 1
x2−1
q
12. R
dx
√
= 1 ln |(ax + b) +
(ax + b)2 − 1| + C, dla |ax +
(ax+b)2−1
a
b| > 1 i a 6= 0
√
13. R
dx
√
= ln |x + 1 b +
x2 + bx + c| + C, dla 6 ∆ < 0
x2+bx+c
2
√−ax− b
√
14. R
dx
√
=
1
√
arcsin
2
−a + C, dla a < 0, oraz ∆ > 0
ax2+bx+c
−a
q
∆
−4a
√
√
15. R
dx
√
= 1
√
ln | ax + b
√
+
ax2 + bx + c| + C, dla a >
ax2+bx+c
a
2
a
0 i ∆ < 0
√
√
√
16. R
Ax+B
√
dx = A
ax2 + bx + c+ 2aB−Ab
√
ln | ax + b
√
+
ax2 + bx + c|+
ax2+bx+c
a
2a
a
2
a
C, dla a > 0 i ∆ < 0
√
√−ax− b
√
17. R
Ax+B
√
dx = A
ax2 + bx + c + 2aB−Ab
√
arcsin
2
−a +
ax2+bx+c
a
2a
−a
q
∆
−4a
C, dla a < 0, oraz ∆ > 0
6∆ = b2 − 4ac oznacza delt równania kwadratowego 7
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
1. R sin xdx = − cos x + C
2. R sin (ax + b)dx = − 1 cos (ax + b) + C, dla a 6= 0
a
3. R cos xdx = sin x + C
4. R cos (ax + b)dx = 1 sin (ax + b) + C, dla a 6= 0
a
5. R
1
dx = − cot x + C
sin2 x
6. R
1
dx = − 1 cot (ax + b) + C, dla a 6= 0
sin2 (ax+b)
a
7. R
1
dx = tan x + C
cos2 x
8. R
1
dx = 1 tan (ax + b) + C, dla a 6= 0
cos2 (ax+b)
a
9. R sinh xdx = − cosh x + C
10. R sinh (ax + b)dx = − 1 cosh (ax + b) + C, dla a 6= 0
a
11. R cosh xdx = sinh x + C
12. R cosh (ax + b)dx = 1 sinh (ax + b) + C, dla a 6= 0
a
13. R
1
dx = tanh x + C
cosh2 x
14. R
1
dx = 1 tanh (ax + b) + C, dla a 6= 0
cosh2 (ax+b)
a
15. R
1
dx = − coth x + C
sinh2 x
16. R
1
dx = − 1 coth (ax + b) + C, dla a 6= 0
sinh2 (ax+b)
a
8
Całkowanie funkcji wykładniczych
1. R exdx = ex + C
2. R eax+bdx = 1 eax+b + C, dla a 6= 0
a
3. R mxdx = mx + C, dla m > 0 i m 6= 1
ln m
4. R max+bdx = max+b + C, dla d > 0, m 6= 1 i a 6= 0
a ln m
9
Całkowanie przez cz¸
eści i podstawienie
1. R ln (ax + b)dx = 1 [(ax+b) ln (ax + b)−(ax+b)]+C, dla a 6= 0
a
2. R xn ln xdx = 1 xn+1 ln x −
1
xn+1 + C
n+1
(n+1)2
q
3. R arctan (ax + b)dx = 1 [(ax+b) arctan (ax + b)−ln (ax + b)2 + 1] + C
a
10