Data wykonania ćw:
Marcin Wrotniak
PWSZ w Kaliszu
MBM
Semestr II
2
29.04.2011
Mateusz Grajek
Grupa 1b
Zespół 1
Temat: Wyznaczanie parametrów
Prowadzący:
Przygotowanie:
Wykonanie:
Ocena :
ruchu obrotowego bryły sztywnej
dr inż. Justyna
Barańska
1. Część teoretyczna.
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego – Moment siły działającej na bryłę sztywną jest równy iloczynowi momentów bezwładności I tej bryły I jej przyspieszenia kątowego .
M = I ⋅α
M
oment bezwładności – punkt materialnego A względem osi jest iloczyn masy tego punktu m i kwadratu jego odległości d od osi. Moment bezwładności ciała sztywnego jest miarą jego bezwładności w ruchu obrotowym, podobnie jak masa punktu materialnego jest miarą jego bezwładności w ruchu postępowym.
n
2
I = ∑ m ri
i 1
=
i
moment bezwładności danego ciała można wyrazić także wzorem 2
I = mk
Twierdzenie Steinera – moment bezwładności I ciała względem dowolnej osi obrotu nie przechodzącej przez jego środek masy jest większy od momentu bezwładności I względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy ciała o iloczyn masy ciała m i kwadratu odległości d między obiema osiami.
2
I = I + ma
0
Moment siły – jeśli na ciało nie działa żaden moment siły to moment pedu tego ciała jest stały ( ciało obraca się ze stałą prędkością kątową ).
M = r ⋅ F
3.Tabele pomiarowe: Dla masy W1:
Wielkość
Wartość
Pomiar 1
Pomiar 2
Pomiar 3
h
[m]
0,015
0,0151
0,015
R
[m]
0,01985
0,0199
0,0199
hśr
[m]
0,01503
Rśr
[m]
0,019883
d
[m]
0,174
Mw
[kg]
0,1483
Mwr
[kg]
0,233(dla 2 ciężarków)
0,1923(dla 3 ciężarków)
ρ(z tablic)
[kg/m3]
7900
Dla masy W2:
Wielkość
Wartość
Pomiar 1
Pomiar 2
Pomiar 3
h
[m]
0,015
0,015
0,0149
R
[m]
0,0199
0,01985
0,01985
hśr
[m]
0,01497
Rśr
[m]
0,019867
d
[m]
0,174
Mw
[kg]
0,1484
Mwr
[kg]
0,233(dla 2 ciężarków)
0,1923(dla 3 ciężarków)
ρ (z tablic)
[kg/m3]
7900
Dla masy W3:
Wielkość
Wartość
Pomiar 1
Pomiar 2
Pomiar 3
h
[m]
0,015
0,015
0,015
R
[m]
0,01985
0,0199
0,0199
hśr
[m]
0,015
Rśr
[m]
0,019883
d
[m]
0,174
Mw
[kg]
0,1485
Mwr
[kg]
0,233(dla 2 ciężarków)
0,1923(dla 3 ciężarków)
ρ (z tablic)
[kg/m3]
7900
Wielkość
Wartość
Pomiar 1
Pomiar 2
Pomiar 3
h
[m]
0,015
0,0149
0,015
R
[m]
0,0199
0,0199
0,01985
hśr
[m]
0,01497
Rśr
[m]
0,019883
d
[m]
0,173
Mw
[kg]
0,1489
Mwr
[kg]
0,233(dla 2 ciężarków)
0,1923(dla 3 ciężarków)
ρ (z tablic)
[kg/m3]
7900
Dla wlaca C:
Wielkość
Wartość
Pomiar 1
Pomiar 2
Pomiar 3
dc
[m]
0,0299
0,0298
0,0299
lc
[m]
0,05
0,0499
0,05
dcśr
[m]
0,029867
lcśr
[m]
0,049967
ρ (z tablic)
[kg/m3]
7900
Mc
[kg]
0,02764
Dla pręta l:
Wielkość
Wymiar
Pręt 1
Pręt 2
Pręt 3
Pręt 4
ll
[m]
0,174
0,174
0,174
0,173
dl
[m]
0,006
0,006
0,006
0,0061
llśr
[m]
0,17375
dlśr
[m]
0,006025
ρ (z tablic)
[kg/m3]
7900
Ml
[kg]
0,03911
Wyniki obliczeń
Liczba
Czas
Odległość d
Masa
lp.
obrotów
spadania mas od osi
I
m
c
Iw
Ip
I
N
masy t
walca
[kg]
-
[s]
[m]
[kgm2]
[kgm2]
[kgm2]
[kgm2]
1
0,1011
4
15,36
0,182
3,082*10-5
1,746*10-5 3,9356*10-4
0,0214
2
0,1512
4
11,32
0,182
3,082*10-5
1,746*10-5 3,9356*10-4
0,0214
3
0,1011
4
13,97
0,167
3,082*10-5
1,746*10-5 3,9356*10-4
0,0182
4
0,1512
4
10,95
0,167
3,082*10-5
1,746*10-5 3,9356*10-4
0,0182
5
0,1011
4
13
0,15
3,082*10-5
1,746*10-5 3,9356*10-4
0,015
6
0,1512
4
9,8
0,15
3,082*10-5
1,746*10-5 3,9356*10-4
0,015
7
0,1011
4
8,68
0,1
3,082*10-5
1,746*10-5 3,9356*10-4
0,0076
8
0,1512
4
6,94
0,1
3,082*10-5
1,746*10-5 3,9356*10-4
0,0076
9
0,1011
4
6,88
0,07
3,082*10-5
1,746*10-5 3,9356*10-4
0,0046
10
0,1512
4
5,44
0,07
3,082*10-5
1,746*10-5 3,9356*10-4
0,0046
11
0,1011
4
6,16
0,05
3,082*10-5
1,746*10-5 3,9356*10-4
0,0032
12
0,1512
4
4,86
0,05
3,082*10-5
1,746*10-5 3,9356*10-4
0,0032
Tabele dla obliczeń regresji liniowej: Dla 2 ciężarków
Dla 3 ciężarków
2ciężarki 3ciężarki
d2
t2
d2
t2
I
I
[m2]
[m2]
[m2]
[m2]
[kgm2]
[kgm2]
0,033
235,93
0,033
128,14
0,033
0,028
0,0279
195,16
0,0279
119,9
0,028
0,024
0,0225
169
0,0225
96,04
0,023
0,02
0,01
75,34
0,01
48,16
0,012
0,01
0,0049
47,33
0,0049
29,59
0,0071
0,0067
0,0025
37,95
0,0025
23,62
0,0048
0,0049
promień dla mas W1, W2, W3, W4:
1
R =
⋅ d
2
1
R =
⋅39,7 mm =19,85 mm = 0,01985 m 2
1
R =
⋅39,8 mm =19,9 mm = 0,0199 m 2
1
R =
⋅39,7 mm =19,85 mm = 0,01985 m 2
wartości średnie:
1 n
h =
h
Σ
sr
i
n i 1
=
0, 015 m + 0, 0151 m + 0, 015 m h =
= 0,01503 m
sr
3
0, 015 m + 0, 015 m + 0, 0149 m h =
= 0,01497 m
sr
3
0, 015 m + 0, 015 m + 0, 015 m h =
= 0,015 m
sr
3
1 n
R =
R
Σ
sr
i
n i 1
=
0, 01985 m + 0, 0199 m + 0, 0199 m R =
= 0,019883 m
sr
3
0, 0199 m + 0, 01985 m + 0, 01985 m R =
= 0,019867 m
sr
3
0, 01985 m + 0, 0199 m + 0, 0199 m R =
= 0,019883 m
sr
3
moment bezwładności walca C:
1
I =
⋅ M ⋅ r
c
2
c
c
M
d
c
csr
2
δ =
Ţ M = δ ⋅ V = δ ⋅π (
) ⋅ l
c
V
2
kg
0, 029867
kg
2
3
M = 7900
⋅3,14⋅(
m) ⋅ 0, 049967 m = 0, 2764[
⋅ m = kg]
c
3
3
m
2
m
1
0, 029867
2
5
−
2
I =
⋅0,2764 kg ⋅(
m) = 3, 082 ⋅10 [ kg ⋅ m ]
c
2
2
moment bezwładności pręta l: 1
2
I = ⋅ M ⋅ l
p
3
l
sr
M
d
kg
0, 006025
l
lsr
2
2
δ =
Ţ M = δ ⋅π (
) l
= 7900
⋅3,14⋅(
m) ⋅ 0,17375 m = 0, 03911 kg l
lsr
3
V
2
m
2
1
2
4
−
2
I = ⋅ 0, 03911 kg ⋅ (0,17375 m) = 3,9356 ⋅10 kgm p
3
moment bezwładności masy W:
1
1
2
2
2
2
2
I = M ( R +
h )[ kg( m + m ) = kgm ]
w
w
4 w
12 w
1
1
2
2
5
−
2
I = 0,148525 kg[ (0, 019879) +
(0, 0149925) ] = 1, 746⋅10 [ kgm ]
w
4
12
moment bezwładności brył biorących udział w ruchu: 2
I = I + 4 M d
0
w
I = I + 4 I + 4 I 0
c
p
w
5
−
2
4
−
2
5
−
2
3
−
2
I = 3, 082 ⋅10 kgm + 4 ⋅3,9356 ⋅10 kgm + 4 ⋅1, 746 ⋅10 kgm = 1, 675⋅10 kgm 0
3
−
2
2
2
I = 1, 675 ⋅10 kgm + 4 ⋅ 0,148525 kg ⋅ (0,182 m) = 0, 0214 kgm 1
3
−
2
2
2
I = 1, 675⋅10 kgm + 4 ⋅ 0,148525 kg ⋅ (0,167 m) = 0, 0182 kgm 2
3
−
2
I = 1, 675⋅10 kgm + 4 ⋅ 0,148525 kg ⋅
2
2
(0,15 m) = 0, 015 kgm
3
moment ciężkości działającego na bryłę:
−>
−>
M =
× m
r
g
M = rmg ⋅sin 90°
d
0, 0144 m
r =
=
= 0,0072 m
2
2
dla 2 ciężarków:
M=0,0072m*0,1011kg*9,81m/s2=0,00714Nm dla 3 ciężarków:
M=0,0072m*0,1512kg*9,81m/s2=0,01068Nm przyspieszenie kątowe:
4π N
α = 2 t
dla 2 ciężarków:
4 ⋅ 3,14 ⋅ 4
1
α =
= 0,213
1
2
2
(15, 36 s)
s
4 ⋅ 3,14 ⋅ 4
1
α =
= 0, 257
2
2
2
(13, 97 s)
s
4 ⋅ 3,14 ⋅ 4
1
α =
= 0, 297
3
2
2
(13 s)
s
α = 0,667
4
2
s
1
α =1,061
5
2
s
1
α =1,32
6
2
s
dla 3 ciężarków:
1
α = 0,392
1
2
s
1
α = 0,419
2
2
s
1
α = 0,523
3
2
s
1
α =1,043
4
2
s
1
α =1,698
5
2
s
1
α = 2,127
6
2
s
moment ciężkości działający na bryłę M=I*α
dla 2 ciężarków:
1
2
3
M = 0, 0214 kgm ⋅ 0, 213
= 4,5582⋅10− Nm
1
2
s
1
2
3
M = 0, 0182 kgm ⋅ 0, 257
= 4,6774⋅10− Nm
2
2
s
1
2
3
M = 0, 015 kgm ⋅ 0, 297
= 4, 455⋅10− Nm
3
2
s
3
M = 5, 0692 ⋅10− Nm
4
3
M = 4,8806 ⋅10− Nm
5
3
M = 4, 224 ⋅10− Nm
6
dla 3 ciężarków:
3
M = 8,3888⋅10− Nm
1
3
M = 7, 6258⋅10− Nm
2
3
M = 7,845⋅10− Nm
3
3
M = 7,9268⋅10− Nm
4
3
M = 7,8108⋅10− Nm
5
3
M = 6,8064 ⋅10− Nm
6
regresja liniowa:
Σ
Σ xy −
2 2
2 2
2
m s − m s
s
n
a =
[
=
]
2
4
4
2
Σ
−
2
( x)
m
m
m
x
Σ − n
2
y
Σ − a x
Σ
s
2
2
2
b =
[ s −
m = s ]
2
n
m
dla 2 ciężarków:
x
Σ y =18,14
x
Σ = 0,1
y
Σ = 760,7
2
x
Σ = 0,0025
2
( x
Σ ) = 0,01
0,1⋅ 760, 7
18,14 −
2
6
s
a =
= 6554[
]
2
0, 01
m
0, 0025 − 6
760, 7 − 6554 ⋅ 0,1
2
b =
=17,55[ s ]
6
y=6554x+17,55
dla 3 ciężarków:
Σ xy =10,44
Σ x = 0,1
Σ y = 445, 46
2
Σ x = 0,0025
2
( x
Σ ) = 0,01
0,1⋅ 445, 46
10, 44 −
2
6
s
a =
= 3618,8[
]
2
0, 01
m
0, 0025 − 6
445, 46 − 3618,8⋅ 0,1
2
b =
=13,93[ s ]
6
y=3618,8x+13,93
obliczenie masy walca W z regresji liniowej: amr g
c
M =
w
16π N
dla 2 ciężarków:
s
6554
⋅0,00714 Nm
2
2
2
s
m
m
M =
= 0,233[
kg
= kg]
w
2
2
16 ⋅ 3,14 ⋅ 4
m
s
dla 3 ciężarków:
Mw=0,1923kg
obliczenie momentu bezwładności regresją liniową: dla 2 ciężarków:
bmr g
c
I =
0
4π N
2
2
17, 55 s ⋅ 0, 00714 Nm
−
m
3
2
2
I =
= 2, 49⋅10 [ s ⋅ kg
= kgm ]
0
2
4 ⋅ 3,14 ⋅ 4
s
dla 3 ciężarków:
I0=2,96*10-3
5.
Obliczenia błędów:
błąd Rsr:
ε1=0.01985 - 0.019883 = -0,000033
ε2=0,0199 - 0,019883 = 0.000017
ε3=0,01985 - 0,019883 = -0,000033
1
n
2
σ =
ε
Σ
s
n( n −1)
i
i 1
=
5
σ =1,7214⋅10−
s
błąd hsr
ε = 0,015 − 0,01503 = −0,00003
1
ε = 0,0151− 0,01503 = 0,00007
2
ε = 0,015 − 0,01503 = −0,00003
3
9
6, 7 ⋅10−
σ =
= 0,0000334
s
3(3 −1)
błąd dcsr:
ε = 0,0299 − 0,029867 = 0,000033
1
ε = 0,0298 − 0,029867 = −0,000067
2
ε = 0,0299 − 0,029867 = 0,000033
3
9
6, 667 ⋅10−
σ =
= 0,000033
s
3(3 −1)
ε = 0,05 − 0,049967 = −0,000033
1
ε = 0,0499 − 0,049967 = −0,000067
2
ε = 0,05 − 0,049967 = −0,000033
3
9
6, 667 ⋅10−
σ =
= 0,000033
s
3(3 −1)
błąd llsr:
ε = 0,174 − 0,17375 = 0,00025
1
ε = 0,174 − 0,17375 = 0,00025
2
ε = 0,174 − 0,17375 = 0,00025
3
ε = 0,173− 0,17375 = 0
− ,00075
4
7
7, 5 ⋅10−
σ =
= 0,00025
s
4(4 −1)
błąd dlsr:
ε = 0,006 − 0,006025 = −0,000025
1
ε = 0,006 − 0,006025 = −0,000025
2
ε = 0,006 − 0,006025 = −0,000025
3
ε = 0,0061− 0,006025 = 0,000075
4
9
7, 5 ⋅10−
σ =
= 0,000025
s
4(4 −1)
obliczenia błędów metodą różniczki zupełnej: 1
2
I =
M r
c
2
c c
dI
1
c
2
= r
dM
2 c
c
dIc = M rcc
drc
1 2
I
∆ = r ⋅ M
∆
+ M r r
∆ = 0,0000038
c
2 c
c
c
c
c
1
2
I = M ⋅ l
p
3
l
sr
dI p
1
2
= l
dM
3 sr
l
dI p
2
= M l
dl
3
l sr
sr
1
2
2
I
∆
|
= l ⋅ M
∆
| + |
M l ⋅ l
∆ |= 0,000005537
p
3 sr
l
3
l sr
sr
1
1
1
1
2
2
I
∆
= ⋅ r +
⋅ h ⋅ ∆ m
+ m ⋅ ⋅ r ⋅ r
∆
+ m ⋅ ⋅ h ⋅ h
∆
=
W
4
W
12
W
W
W
2
W
W
W
6
W
w
−6
= 7
,
0
4 ⋅10
[
2
kg ⋅ m ]
I
∆ = I
∆ + I
∆ + I
∆ = 10 5
, 4 ⋅10− kg ⋅ m
0
C
W
P
[
2 ]
2
I
∆ = I
∆ + ( I + 4⋅ d )⋅ m
∆
+ ( I + 8⋅ m d)⋅ d
∆
1
0
0
w
0
W
−6
−6
−6
−6
= 10 5
, 4 ⋅10
+11 9
, 4 ⋅10
+1 ,
0 22 ⋅10
= 3 ,
2 7 ⋅10 [
2
kg ⋅ m ]
6
−
2
I
∆ = 28,92⋅10 kgm
2
6
−
2
I
∆ = 25,46⋅10 kgm
3
6
−
2
I
∆ = 22,31⋅10 kgm
4
6
−
2
I
∆ =19,49⋅10 kgm
5
6
−
2
I
∆ = 17,22⋅10 kgm
6
6.Zestawienie wyników z prawidłowym zaokrądleniem: R = (0, 019883 ± 0, 000033) m 2
=
±
sr
I
(0, 0000308 0, 0000038) kgm
c
h = (0, 01503 ± 0, 00003) m 2
sr
I = (0, 0003935 ± 0, 0000055) kgm p
d
= (0,029867 ± 0,000033) m
csr
2
I = (0, 0000174 ± 0, 0000074) kgm w
l
= (0,049967 ± 0,000033) m
csr
2
I = (0, 0214 ± 0, 0000032) kgm 1
l
= (0,17375± 0,00025) m
lsr
2
I = (0, 0182 ± 0, 0000028) kgm 2
d
= (0,006025 ± 0,000025) m
lsr
2
I = (0, 015 ± 0, 0000025) kgm 3
2
I = (0, 0076 ± 0, 0000022) kgm 4
I = (0, 0046 ± 0, 0000
2
019) kgm
5
2
I = (0, 0032 ± 0, 0000017) kgm 6
7.wykres:
8.wnioski:
Badając parametry ruchu obrotowego bryły sztywnej wnioskujemy iż im bliżej ustawiliśmy walce W na ramionach tym mniejszy okazywał się całkowity moment bezwładności I i jednocześnie zmniejszał się moment pędu M, oraz ciężarek opadający szybciej pokonywał pewną wysokość.