- wykonana przez stala sile.
F
r
r
v
W =
r
F • s = F ⋅ s ⋅ cos α
a Fcosa
W = Fs cos α
d
W = F·s dla F| s; α = 00
W = F·s = 0 dla F⊥s; α = 900
- wykonana przez sile zmienna F(x)
∆W = F∆x
x 2 r r
W
F x
12 = ∑ ∆
1
x
x
2
x
2
W
lim
F x
Fdx
12 = ∆ x→0 ∑ ∆ = ∫
x
1
x
1
x
x1 ? x
x2
Ogólnie – prace sily na pewnym odcinku drogi definiujemy y
2
r
r
r
W = ∫ F ⋅ r d
F
r
r
1
1
r1 – wektor wodzacy w
poczatkowym punkcie drogi
r2
r2 – wektor wodzacy w koncowym x
punkcie drogi, po której porusza sie
punkt.
W szczególnym przypadku
W = F · r
F = const, r - droga – linia prosta majaca kierunek sily Przyklad - sprezyna przymocowana do sciany.
F = -k(x-x0)
x
x
Prawo
0
x
Hooke’a,
F = -kx
F’(x) – sila przeciwnie skierowana do sily sprezystosci F(x) dla x1 = 0 i x2 = x, W12 =½kx2
x
x
1
1
W = ∫ F'( x) dx = ∫ kxdx =
x
kx 2 =
kx 2
0
2
2
0
0
1
y
P(t+dt)
F
f
F’= kx
r(t+dt)
ds
P
d?
kx
½ kx2
r(t)
?
O
x
x
x
W ruchu obrotowym
ds = rdθ, Fcosϕ – skladowa sily F w kierunku ds r
dW =
r
F ds = F ds cos ϕ = Fr cos ϕdθ
dW = M dθ
bo
M = Fr cos ϕ
M – wartosc chwilowego momentu sily dzialajacego na cialo sztywne wzgledem osi 0.
Moc
W
dW
P =
P =
jednostka [J/s] = [W]
t
dt
dW
P =
jesli W ~ t
wtedy P =W/t
dt
Moc w ruchu obrotowym
dW
dθ
P =
= M
= Mω
dt
dt
dθ
P = Mω
bo
dW = Mdθ , a ω = dt Energia kinetyczna
v0 – predkosc czastki w chwili t=0
v − v
v + v
v – predkosc w chwili t
a
0
=
,
x
0
=
t
t
2
v − v
v + v
1
1
1
0
0
2
2
W = F x = max = m
⋅
t =
mv − mv
i
2
E =
mv
0
k
t
2
2
2
2
x
r r
W = ∫ d
F s = ∫ Fdx
x 0
dv
dv dx
dv
dv
a =
=
=
v = v
dt
dx dt
dx
dx
x
x
dv
v
1
1
2
2
W =
Fdx =
mv
dx =
mv dv =
mv − mv
∫
∫
∫
0
dx
2
2
x 0
x 0
v 0
W = E − E
= ∆ E
Twierdzenie o pracy i energii k
k
k
0
v = const , W = ∆ E
v, v
k = 0
0 – predkosc punktu materialnego na koncu i poczatku drogi 2
gdy M – moment sily = const, ϕ- obrót o pewinien kat
W = Mϕ = ∆Ek = Fs
Ek = ½mv2 + ½Iω2
dW
d 1
1
2
d
2
dω
=
(
ω
I
) =
I
ω = Iω
= ωα
I
dt
dt 2
2
dt
dt
ω
M
= ωα
I
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego ciala sztywnego M = α
I
Energia potencjalna
1
1
x
W =
Fdx =
mv 2 − mv
0 = ∆ E
∫
2
x
k
0
2
2
∆Ek = - ∆Ep
∆ E
x
=
Fdx
∫
k
x 0
czyli
∆ E
x
= −
F ( x dx
)
∫
p
x 0
zatem
E ( x) − E ( x x
)
0
=
F ( x) dx
∫
p
p
0
x
1
1
E ( x) − E ( x x
)
0
0
=
Fdx =
mv 20 − mv 2 = −∆ E
∫
p
p
x
k
2
2
lub
1
1
E ( x) +
mv 2 = E ( x ) 0
+ mv 20 = const
p
p
2
2
Prawo zachowania energii kinetycznej i potencjalnej.
1
2
E = E + E = E ( ) x +
mv
p
k
p
2
F( ) = − d
x
E ( x)
bo
f ( x dx
)
E
p
− ∫
= ∆ p
dx
Zasada zachowania energii mechanicznej 1
mgh +
mv 2 = const
h – wysokosc punktu materialnego od powierzchni Ziemi 2
Ruch postepowo-obrotowy ciala sztywnego 1
2
E =
I
i
I
k
pω
p = I0 + MR2
2
v
Ip – moment bezwladnosci wzgl. osi przechodzacej przez pkt. P,
I0 – moment bezwladnosci wzgl. osi równoleglej do osi 0
R
przechodzacej przez srodek ciezkosci, czyli 1
1
1
1
2
2
2
2
2
E =
I ω +
MR ω =
I ω +
Mv ,
bo
Rω = v
k
0
0
0
0
2
2
2
2
v
P
0 = R? – jest predkoscia liniowa srodka masy cylindra wzgledem nieruchomego pkt. P
3