1

Praca i energia

Praca wykonana przez sił

ę

stał

ą

Definicja

Praca W wykonana przez stał

ą

sił

ę

F jest iloczynem skalarnym tej siły

F i wektora przesuni

ę

cia s

α

cos

Fs

W

=

⋅

=

s

F

Przykład

Prac

ę

wykonuje tylko składowa Fs = Fcos

α

styczna do przesuni

ę

cia s

siła tarcia T przeciwstawiaj

ą

ca si

ę

ruchowi

(

α

= 180°)

W = T·s = T s cos 180° = -T s

PRACA

W > 0 gdy

α

< 90˚,

W < 0 gdy a > 90˚

2

Praca wykonana przez sił

ę

zmienn

ą

Przykład:

Zmienna siła F(x) (równoległa do przemieszczenia)

i

i

i

x

F

W

∆

=

∆

∑

∫

∞

=

→

∆

=

∆

=

1

0

2

1

d

)

(

lim

i

x

x

i

i

x

x

x

F

x

F

W

Całkowanie funkcji F(x) w zadanych granicach odpowiada liczeniu pola
powierzchni pod krzyw

ą

F(x) w zadanym przedziale

Ogólnie:

z

F

y

F

x

F

W

z

y

x

∆

+

∆

+

∆

=

∆

praca elementarna

∫

=

b

a

r

r

r

r

F

d

)

(

W

praca

Przykłady:

Praca siły do

ś

rodkowej (prostopadłej do toru):

0

=

W

r

F

∆

⋅

=

∆

W

Praca w polu siły ci

ęż

ko

ś

ci:

mgh

dy

mg

W

h

=

=

∫

0

Praca przeciw sile spr

ęż

ysto

ś

ci:

∫

∫

=

=

=

=

x

x

x

kx

kx

x

kx

x

x

F

W

0

0

2

0

2

2

2

'

'

d

)

'

(

'

d

)

'

(

kx

F

S

−

=

kx

F

=

3

Praca przy rozp

ę

dzaniu ciała:

Prawa

1) Praca wykonana przez sił

ę

F działaj

ą

c

ą

na ciało o masie m jest równa

zmianie energii kinetycznej tego ciała: W = E

k

– E

k(o)

2) Wykonana praca została „zmagazynowana” w postaci ruchu ciała – ciało
mo

ż

e odda

ć

t

ą

prac

ę

ale wtedy zmniejszy pr

ę

dko

ść

.

Jednostki

Jednostk

ą

pracy i energii jest w układzie SI d

ż

ul (J); 1J = 1N·m.

W fizyce atomowej u

ż

ywa si

ę

jednostki elektronowolt (eV); 1eV = 1.6·10

-19

J.

ENERGIA

Energia kinetyczna

2

m

W

E

2

k

v

=

=

2

v

m

)

t

v

(

2

t

m

2

a

t

m

)

2

at

(

a

m

s

ma

s

F

W

2

2

2

2

2

2

2

=

=

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

Przykład:

rzut pionowy (bez oporu powietrza !!!)

Ciało rzucone do góry, wraca z

t

ą

sam

ą

pr

ę

dko

ś

ci

ą

i energi

ą

kinetyczn

ą

Po przebyciu zamkni

ę

tej drogi (cyklu) energia kinetyczna ciała nie zmienia si

ę

.

Praca wykonana przez sił

ę

grawitacji podczas pełnego cyklu jest równa

zeru

Definicja

Siła jest zachowawcza, je

ż

eli praca wykonana przez t

ę

sił

ę

nad punktem

materialnym, który porusza si

ę

po dowolnej drodze zamkni

ę

tej jest równa zeru.

Siły zachowawcze i niezachowawcze

Przykłady

sił zachowawczych

:

-siła grawitacji
-siła spr

ęż

ysta

- siła elektrostatyczna

Przykłady

sił niezachowawczych

:

-siła oporu powietrza
- siła tarcie

4

Praca wykonana przez sił

ę

zachowawcz

ą

nie zale

ż

y od wyboru drogi ł

ą

cz

ą

cej

dwa punkty, ale od ich wzajemnego poło

ż

enia

0

2

1

=

+

A

B

B

A

W

W

A

B

B

A

W

W

2

1

−

=

B

2

A

A

2

B

W

W

−

=

B

A

B

A

W

W

2

1

=

lecz:

Gdy działaj

ą

siły zachowawcze

, mo

ż

na wprowadzi

ć

poj

ę

cie

energii potencjalnej E

p

.

Energi

ę

potencjaln

ą

mo

ż

na traktowa

ć

jako zgromadzon

ą

w polu sił zachowawczych

prac

ę

, która mo

ż

e by

ć

w przyszło

ś

ci całkowicie odzyskana lub zamieniona na inn

ą

u

ż

yteczn

ą

form

ę

energii.

Energi

ę

potencjaln

ą

nazywa si

ę

energi

ą

(funkcj

ą

) stanu.

F

zew

F

p

W

W

E

−

=

=

∆

Energia potencjalna

Dla siły zachowawczej F równowa

ż

onej przez sił

ę

zewn

ę

trzn

ą

F

zew

:

5

'

d

)

'

(

'

d

)

'

(

0

0

∫

∫

−

=

=

∆

r

r

r

r

zew

p

r

r

F

r

r

F

E

Punkt r

0

nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak,

ż

eby energia potencjalna w tym punkcie odniesienia E

p

(r

0

) była równa zeru.

'

d

)

'

(

)

(

)

(

)

(

0

0

0

∫

−

=

∆

+

=

r

r

p

p

p

p

r

r

F

r

E

E

r

E

r

E

F

zew

F

p

W

W

E

−

=

=

∆

Przykłady

Energia potencjalna w pobliżu powierzchni Ziemi (punkt odniesienia na powierzchni Ziemi y

0

= 0)

mgh

)

y

(

E

p

=

0

)

0

(

=

p

E

dla:

2

p

kx

2

1

W

)

x

(

E

=

=

0

)

0

(

=

p

E

dla:

Energia potencjalna idealnej nieważkiej sprężyny (punkt odniesienia x

0

= 0)

6

Energia potencjalna w dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi, odległym o r od środka Ziemi
(zerową energię potencjalną przypisujemy punktowi odniesienia w nieskończoności r → ∞).

r

Mm

G

r

E

p

−

=

)

(

0

)

(

=

∞

p

E

dla:

Gdy na ciało działa tylko siła zachowawcza F, to:

const.

E

E

E

p

k

mech

=

+

=

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII

W układzie zamkni

ę

tym, na który nie działaj

ą

zewn

ę

trzne siły, suma energii

kinetycznych i potencjalnych wszystkich ciał pozostaje stała bez wzgl

ę

du na

oddziaływania zachodz

ą

ce w tym układzie.

Zasada zachowania energii mechanicznej mówi,

ż

e dla ciała

podlegaj

ą

cego działaniu siły zachowawczej, suma energii kinetycznej i

potencjalnej jest stała.

7

Je

ż

eli oprócz siły zachowawczej F

z

działa jeszcze siła niezachowawcza F

nz

(np. tarcie)

Energia mo

ż

e by

ć

przekształcana z jednej formy w inn

ą

, ale nie mo

ż

e by

ć

wytwarzana ani niszczona.
Energia całkowita jest wielko

ś

ci

ą

stał

ą

.

.

const

U

E

E

p

k

=

+

+

Zmiana energii wewn

ę

trznej

∆

U jest równa rozproszonej energii mechanicznej

(jej ubytkowi), zatem :

0

=

∆

+

∆

+

∆

U

E

E

p

k

Np., siła tarcia zmienia energi

ę

mechaniczn

ą

układu a „stracona" energia

mechaniczna zostaje przekształcona na energi

ę

wewn

ę

trzn

ą

U (ciepło).

lub:

Zasada zachowania energii całkowitej.

t

W

P

=

__

Definicja

Moc definiujemy jako ilo

ść

wykonanej pracy (lub przekazanej energii) do czasu w

jakim została ona wykonana.

Moc

ś

rednia

v

F

t

Fs

P

=

=

__

Moc chwilowa

t

W

P

d

d

=

Jednostki

Jednostk

ą

mocy w układzie SI jest wat (W); 1 W = 1 J/ s. Dla celów praktycznych

powszechnie stosowan

ą

jednostk

ą

mocy jest kilowat (kW), a jednostk

ą

energii

(iloczyn mocy i czasu) jest kilowatogodzina (kWh).

Moc

dla stałej siły:

v

F

dt

ds

F

P

=

=

8

Ruch post

ę

powy

Ruch obrotowy

2

2

1

d

d

v

m

E

m

t

m

m

k

=

=

=

=

a

F

p

F

F

v

p

a,

v,

r,

2

2

1

d

d

,

Iω

E

I

t

Ι

I

k

=

=

=

×

=

=

×

=

ε

M

L

M

F

r

M

ω

L

p

r

L

ε

,

ω

,

,

ϕϕϕϕ

przypadek szczególny,

L

||

ω

ω

ω

ω

oraz

M

||

εεεε

Analogie ruchu obrotowego do ruchu post

ę

powego - uzupełnienie

ZASADY ZACHOWANIA DLA UKŁADU
ODOSOBNIONEGO (nie działaj

ą

siły zewn

ę

trzne)

const.

t

=

⇒

=

cał

cał

p

p

0

d

d

Zasada zachowania pędu :

const.

t

=

⇒

=

cał

cał

L

L

0

d

d

Zasada zachowania momentu pędu :

Zasada zachowania energii :

const.

U

E

0

p

=

+

+

=

⇒

=

k

E

E

t

d

E

d

cał

cał

9

Przykład zasady zachowania p

ę

du

-

napęd odrzutowy (ruch rakiety)

g

g

r

r

g

r

r

r

dm

d

dm

m

m

v

v

v

v

+

+

−

=

)

)(

(

prawo zachowania pędu

podstawiając:

gr

r

r

g

d

v

v

v

v

−

+

=

)

(

po prostych przekształceniach :

gr

g

r

r

dm

d

m

v

v

=

dzielimy przez dt :

gr

g

r

r

dt

dm

dt

d

m

v

v

=

gr

g

r

r

dt

dm

a

m

F

v

=

=

F -siła ciągu , dm

g

/dt – szybkość spalania

gazu, v

gr

- prędk. gazu wzgl. rakiety

gr

v

- prędkość gazu

względem rakiety

Przykład zasady zachowania momentu p

ę

du

Ciało o masie m porusza się w płaszczyźnie poziomej po okręgu o promieniu r

1

(a). Prędkość

liniowa ciała wynosi v

1

. Ile razy zmieni się prędkość liniowa ciała, jeśli pociągając za sznurek

jak na rys (b) zmniejszymy promień okręgu do długości r

2

(b) . Zakładamy, że nie działa siła

grawitacji.

a)

1

1

v

r

m

L

m

=

=

1

1

v

r

L

x

1

1

v

r

⊥

const.

0

d

d

0

=

⇒

=

⇒

=

=

L

L

F

r

M

1

t

x

b)

siła F działa wzdłuż sznurka i zawsze prostopadle

do prędkości ciała , czyli:

F

r

1

||

2

2

1

1

v

v

r

m

r

m

L

=

=

1

2

1

2

v

v

r

r

=

10

Przykład zasady zachowania energii

s

f

>

θ

tg

θ

mg

f

θ

mg

θ

mg

f

N

f

T

T

F

s

s

s

cos

sin

cos

max

max

>

=

=

>

2

2

v

m

E

k

=

∆

mgh

mg

h

smg

W

E

F

p

−

=

−

=

−

=

−

=

∆

θ

θ

θ

sin

sin

sin

θ

θ

θ

θ

ctg

cos

sin

)

cos

(

k

k

k

T

f

mgh

mg

f

h

mg

f

s

W

U

=

=

−

−

=

−

=

∆

0

=

∆

+

∆

+

∆

U

E

E

p

k

0

ctg

2

2

=

−

+

mgh

f

mgh

m

k

θ

v

)

ctg

1

(

2

θ

k

f

gh

−

=

v

Zasada zachowania energii : toczenie si

ę

(bez po

ś

lizgu) po równi pochyłej

ruch post

ę

powy

ruch obrotowy

2

2

1

SM

kp

m

E

v

=

R

ω

=

v

2

2

1

ω

I

E

SM

ko

=

2

2

2

1

2

1

ω

SM

SM

I

m

mgh

+

=

v

Toczenie bez po

ś

lizgu

np. dla walca

Z zasady zachowania energii

gh

SM

3

4

=

v

2

/

2

R

I

m

mgh

SM

SM

+

=

v

11

Zderzenia:

-doskonale niesprężyste
-doskonale sprężyste
-inne

p

1

+p

2

=p’

doskonale niesprężyste:

-zas. zach. energii mechanicznej –

-niespełniona

- zas. zach. pędu -

spełniona













+

−

=

+

−

=

2

1

2

2

2

1

2

2

1

1

'

'

m

m

m

m

m

m

m

y

y

x

x

x

v

v

v

v

v







+

=

−

+

=

−

'

(

'

(

2

1

2

2

2

1

2

2

1

1

y

y

x

x

x

m

m

m

m

m

m

m

)v

v

)v

v

v

Uwaga: w równaniach uwzględniono znaki „+” i „-”

dla przykładu pokazanego na rysunku

przykład zderzenia niecentralnego:







−

=

+

=

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

1

sin

'

sin

'

0

cos

'

cos

'

θ

θ

θ

θ

v

v

v

v

v

m

m

m

m

m

2

2

2

1

)

'

(

)

'

(

v

v

v

m

2

1

+

m

2

1

=

m

2

1

2

1

2
1

1

zas. zach. energii

zas. zach. pędu

p

1

+p

2

=p

1

’+ p

2

’

doskonale sprężyste:

- zas. zach. energii mechanicznej -

spełniona

- zas. zach. pędu -

spełniona

E

k1

+E

k2

=E

k1

’+ E

k2

’

Uwaga: w równaniach uwzględniono znaki „+” i „-” przed i po zderzeniu dla przykładu pokazanego na

rysunku

12

przykład zderzenia centralnego (

θ

1

= θ

2

=0

)









+

=

2

2

2

1

2

2

1

1

1

1

)

'

(

)

'

(

'

'

v

v

v

v

v

v

m

2

1

+

m

2

1

=

m

2

1

m

m

m

2

1

2

1

1

zas. zach. energii

zas. zach. pędu







+

−

=

−

2

2

1

1

2

2

1

1

1

)

'

(

)

'

)(

'

(

'

)

'

(

v

v

v

v

v

v

v

v

m

=

m

m

m

2

1

1

1







+

=

−

'

)

'

(

'

)

'

(

2

1

2

2

1

1

1

v

v

v

v

v

v

=

m

m

1







+

+

=

−

'

)

'

(

)

'

(

)

'

(

2

1

1

2

1

1

1

v

v

v

v

v

v

v

=

m

m

1

1













+

=

+

−

=

v

v

v

v

1

1

m

m

m

m

m

m

m

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

'

'

przypadek szczególny gdy m

1

=m

2

=m:







=

=

1

2

1

'

0

'

v

v

v

1

1

'

v

v

≠







→

−

≈

0

'

'

2

1

1

v

v

v

przypadek szczególny gdy m

1

<<m

2: