1
Praca i energia
Praca wykonana przez sił
ę
stał
ą
Definicja
Praca W wykonana przez stał
ą
sił
ę
F jest iloczynem skalarnym tej siły
F i wektora przesuni
ę
cia s
α
cos
Fs
W
=
⋅
=
s
F
Przykład
Prac
ę
wykonuje tylko składowa Fs = Fcos
α
styczna do przesuni
ę
cia s
siła tarcia T przeciwstawiaj
ą
ca si
ę
ruchowi
(
α
= 180°)
W = T·s = T s cos 180° = -T s
PRACA
W > 0 gdy
α
< 90˚,
W < 0 gdy a > 90˚
2
Praca wykonana przez sił
ę
zmienn
ą
Przykład:
Zmienna siła F(x) (równoległa do przemieszczenia)
i
i
i
x
F
W
∆
=
∆
∑
∫
∞
=
→
∆
=
∆
=
1
0
2
1
d
)
(
lim
i
x
x
i
i
x
x
x
F
x
F
W
Całkowanie funkcji F(x) w zadanych granicach odpowiada liczeniu pola
powierzchni pod krzyw
ą
F(x) w zadanym przedziale
Ogólnie:
z
F
y
F
x
F
W
z
y
x
∆
+
∆
+
∆
=
∆
praca elementarna
∫
=
b
a
r
r
r
r
F
d
)
(
W
praca
Przykłady:
Praca siły do
ś
rodkowej (prostopadłej do toru):
0
=
W
r
F
∆
⋅
=
∆
W
Praca w polu siły ci
ęż
ko
ś
ci:
mgh
dy
mg
W
h
=
=
∫
0
Praca przeciw sile spr
ęż
ysto
ś
ci:
∫
∫
=
=
=
=
x
x
x
kx
kx
x
kx
x
x
F
W
0
0
2
0
2
2
2
'
'
d
)
'
(
'
d
)
'
(
kx
F
S
−
=
kx
F
=
3
Praca przy rozp
ę
dzaniu ciała:
Prawa
1) Praca wykonana przez sił
ę
F działaj
ą
c
ą
na ciało o masie m jest równa
zmianie energii kinetycznej tego ciała: W = E
k
– E
k(o)
2) Wykonana praca została „zmagazynowana” w postaci ruchu ciała – ciało
mo
ż
e odda
ć
t
ą
prac
ę
ale wtedy zmniejszy pr
ę
dko
ść
.
Jednostki
Jednostk
ą
pracy i energii jest w układzie SI d
ż
ul (J); 1J = 1N·m.
W fizyce atomowej u
ż
ywa si
ę
jednostki elektronowolt (eV); 1eV = 1.6·10
-19
J.
ENERGIA
Energia kinetyczna
2
m
W
E
2
k
v
=
=
2
v
m
)
t
v
(
2
t
m
2
a
t
m
)
2
at
(
a
m
s
ma
s
F
W
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
Przykład:
rzut pionowy (bez oporu powietrza !!!)
Ciało rzucone do góry, wraca z
t
ą
sam
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
i energi
ą
kinetyczn
ą
Po przebyciu zamkni
ę
tej drogi (cyklu) energia kinetyczna ciała nie zmienia si
ę
.
Praca wykonana przez sił
ę
grawitacji podczas pełnego cyklu jest równa
zeru
Definicja
Siła jest zachowawcza, je
ż
eli praca wykonana przez t
ę
sił
ę
nad punktem
materialnym, który porusza si
ę
po dowolnej drodze zamkni
ę
tej jest równa zeru.
Siły zachowawcze i niezachowawcze
Przykłady
sił zachowawczych
:
-siła grawitacji
-siła spr
ęż
ysta
- siła elektrostatyczna
Przykłady
sił niezachowawczych
:
-siła oporu powietrza
- siła tarcie
4
Praca wykonana przez sił
ę
zachowawcz
ą
nie zale
ż
y od wyboru drogi ł
ą
cz
ą
cej
dwa punkty, ale od ich wzajemnego poło
ż
enia
0
2
1
=
+
A
B
B
A
W
W
A
B
B
A
W
W
2
1
−
=
B
2
A
A
2
B
W
W
−
=
B
A
B
A
W
W
2
1
=
lecz:
Gdy działaj
ą
siły zachowawcze
, mo
ż
na wprowadzi
ć
poj
ę
cie
energii potencjalnej E
p
.
Energi
ę
potencjaln
ą
mo
ż
na traktowa
ć
jako zgromadzon
ą
w polu sił zachowawczych
prac
ę
, która mo
ż
e by
ć
w przyszło
ś
ci całkowicie odzyskana lub zamieniona na inn
ą
u
ż
yteczn
ą
form
ę
energii.
Energi
ę
potencjaln
ą
nazywa si
ę
energi
ą
(funkcj
ą
) stanu.
F
zew
F
p
W
W
E
−
=
=
∆
Energia potencjalna
Dla siły zachowawczej F równowa
ż
onej przez sił
ę
zewn
ę
trzn
ą
F
zew
:
5
'
d
)
'
(
'
d
)
'
(
0
0
∫
∫
−
=
=
∆
r
r
r
r
zew
p
r
r
F
r
r
F
E
Punkt r
0
nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak,
ż
eby energia potencjalna w tym punkcie odniesienia E
p
(r
0
) była równa zeru.
'
d
)
'
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
∫
−
=
∆
+
=
r
r
p
p
p
p
r
r
F
r
E
E
r
E
r
E
F
zew
F
p
W
W
E
−
=
=
∆
Przykłady
Energia potencjalna w pobliżu powierzchni Ziemi (punkt odniesienia na powierzchni Ziemi y
0
= 0)
mgh
)
y
(
E
p
=
0
)
0
(
=
p
E
dla:
2
p
kx
2
1
W
)
x
(
E
=
=
0
)
0
(
=
p
E
dla:
Energia potencjalna idealnej nieważkiej sprężyny (punkt odniesienia x
0
= 0)
6
Energia potencjalna w dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi, odległym o r od środka Ziemi
(zerową energię potencjalną przypisujemy punktowi odniesienia w nieskończoności r → ∞).
r
Mm
G
r
E
p
−
=
)
(
0
)
(
=
∞
p
E
dla:
Gdy na ciało działa tylko siła zachowawcza F, to:
const.
E
E
E
p
k
mech
=
+
=
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII
W układzie zamkni
ę
tym, na który nie działaj
ą
zewn
ę
trzne siły, suma energii
kinetycznych i potencjalnych wszystkich ciał pozostaje stała bez wzgl
ę
du na
oddziaływania zachodz
ą
ce w tym układzie.
Zasada zachowania energii mechanicznej mówi,
ż
e dla ciała
podlegaj
ą
cego działaniu siły zachowawczej, suma energii kinetycznej i
potencjalnej jest stała.
7
Je
ż
eli oprócz siły zachowawczej F
z
działa jeszcze siła niezachowawcza F
nz
(np. tarcie)
Energia mo
ż
e by
ć
przekształcana z jednej formy w inn
ą
, ale nie mo
ż
e by
ć
wytwarzana ani niszczona.
Energia całkowita jest wielko
ś
ci
ą
stał
ą
.
.
const
U
E
E
p
k
=
+
+
Zmiana energii wewn
ę
trznej
∆
U jest równa rozproszonej energii mechanicznej
(jej ubytkowi), zatem :
0
=
∆
+
∆
+
∆
U
E
E
p
k
Np., siła tarcia zmienia energi
ę
mechaniczn
ą
układu a „stracona" energia
mechaniczna zostaje przekształcona na energi
ę
wewn
ę
trzn
ą
U (ciepło).
lub:
Zasada zachowania energii całkowitej.
t
W
P
=
__
Definicja
Moc definiujemy jako ilo
ść
wykonanej pracy (lub przekazanej energii) do czasu w
jakim została ona wykonana.
Moc
ś
rednia
v
F
t
Fs
P
=
=
__
Moc chwilowa
t
W
P
d
d
=
Jednostki
Jednostk
ą
mocy w układzie SI jest wat (W); 1 W = 1 J/ s. Dla celów praktycznych
powszechnie stosowan
ą
jednostk
ą
mocy jest kilowat (kW), a jednostk
ą
energii
(iloczyn mocy i czasu) jest kilowatogodzina (kWh).
Moc
dla stałej siły:
v
F
dt
ds
F
P
=
=
8
Ruch post
ę
powy
Ruch obrotowy
2
2
1
d
d
v
m
E
m
t
m
m
k
=
=
=
=
a
F
p
F
F
v
p
a,
v,
r,
2
2
1
d
d
,
Iω
E
I
t
Ι
I
k
=
=
=
×
=
=
×
=
ε
M
L
M
F
r
M
ω
L
p
r
L
ε
,
ω
,
,
ϕϕϕϕ
przypadek szczególny,
L
||
ω
ω
ω
ω
oraz
M
||
εεεε
Analogie ruchu obrotowego do ruchu post
ę
powego - uzupełnienie
ZASADY ZACHOWANIA DLA UKŁADU
ODOSOBNIONEGO (nie działaj
ą
siły zewn
ę
trzne)
const.
t
=
⇒
=
cał
cał
p
p
0
d
d
Zasada zachowania pędu :
const.
t
=
⇒
=
cał
cał
L
L
0
d
d
Zasada zachowania momentu pędu :
Zasada zachowania energii :
const.
U
E
0
p
=
+
+
=
⇒
=
k
E
E
t
d
E
d
cał
cał
9
Przykład zasady zachowania p
ę
du
-
napęd odrzutowy (ruch rakiety)
g
g
r
r
g
r
r
r
dm
d
dm
m
m
v
v
v
v
+
+
−
=
)
)(
(
prawo zachowania pędu
podstawiając:
gr
r
r
g
d
v
v
v
v
−
+
=
)
(
po prostych przekształceniach :
gr
g
r
r
dm
d
m
v
v
=
dzielimy przez dt :
gr
g
r
r
dt
dm
dt
d
m
v
v
=
gr
g
r
r
dt
dm
a
m
F
v
=
=
F -siła ciągu , dm
g
/dt – szybkość spalania
gazu, v
gr
- prędk. gazu wzgl. rakiety
gr
v
- prędkość gazu
względem rakiety
Przykład zasady zachowania momentu p
ę
du
Ciało o masie m porusza się w płaszczyźnie poziomej po okręgu o promieniu r
1
(a). Prędkość
liniowa ciała wynosi v
1
. Ile razy zmieni się prędkość liniowa ciała, jeśli pociągając za sznurek
jak na rys (b) zmniejszymy promień okręgu do długości r
2
(b) . Zakładamy, że nie działa siła
grawitacji.
a)
1
1
v
r
m
L
m
=
=
1
1
v
r
L
x
1
1
v
r
⊥
const.
0
d
d
0
=
⇒
=
⇒
=
=
L
L
F
r
M
1
t
x
b)
siła F działa wzdłuż sznurka i zawsze prostopadle
do prędkości ciała , czyli:
F
r
1
||
2
2
1
1
v
v
r
m
r
m
L
=
=
1
2
1
2
v
v
r
r
=
10
Przykład zasady zachowania energii
s
f
>
θ
tg
θ
mg
f
θ
mg
θ
mg
f
N
f
T
T
F
s
s
s
cos
sin
cos
max
max
>
=
=
>
2
2
v
m
E
k
=
∆
mgh
mg
h
smg
W
E
F
p
−
=
−
=
−
=
−
=
∆
θ
θ
θ
sin
sin
sin
θ
θ
θ
θ
ctg
cos
sin
)
cos
(
k
k
k
T
f
mgh
mg
f
h
mg
f
s
W
U
=
=
−
−
=
−
=
∆
0
=
∆
+
∆
+
∆
U
E
E
p
k
0
ctg
2
2
=
−
+
mgh
f
mgh
m
k
θ
v
)
ctg
1
(
2
θ
k
f
gh
−
=
v
Zasada zachowania energii : toczenie si
ę
(bez po
ś
lizgu) po równi pochyłej
ruch post
ę
powy
ruch obrotowy
2
2
1
SM
kp
m
E
v
=
R
ω
=
v
2
2
1
ω
I
E
SM
ko
=
2
2
2
1
2
1
ω
SM
SM
I
m
mgh
+
=
v
Toczenie bez po
ś
lizgu
np. dla walca
Z zasady zachowania energii
gh
SM
3
4
=
v
2
/
2
R
I
m
mgh
SM
SM
+
=
v
11
Zderzenia:
-doskonale niesprężyste
-doskonale sprężyste
-inne
p
1
+p
2
=p’
doskonale niesprężyste:
-zas. zach. energii mechanicznej –
-niespełniona
- zas. zach. pędu -
spełniona
+
−
=
+
−
=
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
'
'
m
m
m
m
m
m
m
y
y
x
x
x
v
v
v
v
v
+
=
−
+
=
−
'
(
'
(
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
y
y
x
x
x
m
m
m
m
m
m
m
)v
v
)v
v
v
Uwaga: w równaniach uwzględniono znaki „+” i „-”
dla przykładu pokazanego na rysunku
przykład zderzenia niecentralnego:
−
=
+
=
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
sin
'
sin
'
0
cos
'
cos
'
θ
θ
θ
θ
v
v
v
v
v
m
m
m
m
m
2
2
2
1
)
'
(
)
'
(
v
v
v
m
2
1
+
m
2
1
=
m
2
1
2
1
2
1
1
zas. zach. energii
zas. zach. pędu
p
1
+p
2
=p
1
’+ p
2
’
doskonale sprężyste:
- zas. zach. energii mechanicznej -
spełniona
- zas. zach. pędu -
spełniona
E
k1
+E
k2
=E
k1
’+ E
k2
’
Uwaga: w równaniach uwzględniono znaki „+” i „-” przed i po zderzeniu dla przykładu pokazanego na
rysunku
12
przykład zderzenia centralnego (
θ
1
= θ
2
=0
)
+
=
2
2
2
1
2
2
1
1
1
1
)
'
(
)
'
(
'
'
v
v
v
v
v
v
m
2
1
+
m
2
1
=
m
2
1
m
m
m
2
1
2
1
1
zas. zach. energii
zas. zach. pędu
+
−
=
−
2
2
1
1
2
2
1
1
1
)
'
(
)
'
)(
'
(
'
)
'
(
v
v
v
v
v
v
v
v
m
=
m
m
m
2
1
1
1
+
=
−
'
)
'
(
'
)
'
(
2
1
2
2
1
1
1
v
v
v
v
v
v
=
m
m
1
+
+
=
−
'
)
'
(
)
'
(
)
'
(
2
1
1
2
1
1
1
v
v
v
v
v
v
v
=
m
m
1
1
+
=
+
−
=
v
v
v
v
1
1
m
m
m
m
m
m
m
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
'
'
przypadek szczególny gdy m
1
=m
2
=m:
=
=
1
2
1
'
0
'
v
v
v
1
1
'
v
v
≠
→
−
≈
0
'
'
2
1
1
v
v
v
przypadek szczególny gdy m
1
<<m
2: