Ekstremum funkcji
∂f
∂f
(x0, y0) = 0,
(x0, y0) = 0
∂x
∂y
∂2f
(x0, y0)
∂2f (x0, y0)
∂x2
∂x∂y
> 0
∂2 f (x
(x
∂x∂y
0, y0)
∂2f
∂y2
0, y0)
∂2f (x0, y0) > 0 − minimum lokalne
∂x2
∂2f (x0, y0) < 0 − maksimum lokalne
∂x2
Sferyczne
˚
˚
f (x, y, z)dxdydz =
f (r cos φ cos ψ, r sin φ cos ψ, r sin ψ)r2cosψ drdφdψ
U
Ω
Biegunowe
¨
¨
f (x, y)dxdy =
f (r cos φ, r sin φ)r dφdr D
∆
Walcowe˚
˚
f (x, y, z)dxdydz =
f (r cos φ, r sin φ, h)r dφdrdh D
∆
Pole płata
¨ s
∂f 2
∂f 2
|Σ| =
1 +
+
dP
D
∂x
∂y
Masa obszaru
¨
˚
M =
σ(x, y)dxdy
M =
γ(x, y, z)dxdydz
D
U
σ(x, y), γ(x, y, z) - funkcje gęstości Srodek masy
˜
˜
xσ(x, y)dP
yσ(x, y)dP
x
D
D
c =
yc =
M
M
Momenty bezwładności
Ïx =
y2σ(x, y)dP
D
Ïy =
x2σ(x, y)dP
D
ÏO =
(x2 + y2)σ(x, y)dP
D
1
˚
Ix =
(y2 + z2)γ(x, y, z)dV
U
˚
Iy =
(x2 + z2)γ(x, y, z)dV
U
˚
Iz =
(x2 + y2)γ(x, y, z)dV
U
˚
IO =
(x2 + y2 + z2)σ(x, y, z)dV
U
Wartość średnia
˚
˚
1
1
fsr =
f (x, y)dP
f
f (x, y, z)dV
|
sr =
D|
|
D
U |
U
Szereg Fouriera
ˆ
1
π
an =
f (x) cos(nx) dx,
n = 0, 1, 2, ...
π −π
ˆ
1
π
bn =
f (x) sin(nx) dx,
n = 1, 2, ...
π −π
∞
a0
X
f (x) =
+
(an cos(nx) + bn sin(nx)) 2
n=1
Kryteria zbieżności szeregów
∞
ˆ ∞
X
Szereg
f (n) jest zbieżny ↔ całka f (x) dx jest zbieżna
n=n
n0
0
∞
X
1
zbieżny dla p > 1
Szereg
jest y =
np
rozbieżny dla p ≤ 1
n=1
Kryterium porównawcze
Jeżeli 0 ≤ an ≤ bn dla każdego n ≥ n0 i
∞
∞
X
X
Jeżeli szereg
bn jest zbieżny, to szereg an jest zbieżny.
n=1
n=1
∞
∞
X
X
Jeżeli szereg
an jest rozbieżny, to szereg bn jest rozbieżny.
n=1
n=1
2
Kryterium d’Alemberta
∞
a
n + 1
X
Jeżeli lim
< 1 to szereg
an jest zbieżny.
n→∞
an
n=1
∞
a
n + 1
X
Jeżeli lim
> 1 to szereg
an jest rozbieżny.
n→∞
an
n=1
Kryterium Cauchy’ego
∞
X
Jeżeli lim n
p|an| < 1 to szereg
an jest zbieżny.
n→∞
n=1
∞
X
Jeżeli lim n
p|an| > 1 to szereg
an jest rozbieżny.
n→∞
n=1
Zbieżność szeregu naprzemiennego
∞
X
Jeżeli lim bn = 0 to szereg (−1)n+1bn jest zbieżny.
n→∞
n=1
Zbieżność bezwzględna szeregu
∞
∞
X
X
Szereg
an jest zbieżny bezwzględnie, gdy szereg
|an| jest zbieżny.
n=1
n=1
3
Sumy szeregów
∞
X
1
= 1
n(n + 1)
n=1
∞
X
1
π2
=
n2
6
n=1
∞
X
1 = e
n!
n=0
∞
X (−1)n
1
=
n!
e
n=0
∞
X (−1)n+1 = ln 2
n
n=1
∞
X (−1)n+1
π
=
2n − 1
4
n=1
Promień zbieżności szeregu potęgowego 1
c
n
R = lim √
,
R = lim
n→∞ n cn
n→∞ cn+1
4
Szeregi Maclourina
∞
1
X
=
xn
1 − x
n=0
∞
X xn
ex =
n!
n=0
∞
X
(−1)n
sin x =
x2n+1
(2n + 1)!
n=0
∞
X (−1)n
cos x =
x2n
(2n)!
n=0
∞
X (−1)n
ln(1 + x) =
xn+1
n + 1
n=0
∞
X (−1)n
arctan x =
x2n+1
2n + 1
n=0
∞
X
x2n+1
sinh x =
(2n + 1)!
n=0
∞
X
x2n
cosh x =
(2n)!
n=0
Sumy szeregów potęgowych
∞
X
1
xn = 1 − x
n=0
∞
X
x
nxn = (1 − x)2
n=1
∞
X
1 + x
n2xn−1 = (1 − x)3
n=1
∞
X xn = − ln(1 − x)
n
n=1
∞
X
xn
1 − x
= 1 +
ln(1 − x)
n(n + 1)
x
n=1
∞
X
x2n−1
1
1 + x
=
ln
2n − 1
2
1 − x
n=1
5
Tożsamości trygonometryczne cos(x − y) + cos(x + y) cos x · cos y =
2
cos(x − y) − cos(x + y) sin x · sin y =
2
sin(x − y) + sin(x + y) sin x · cos y =
2
sin(2x)
sin x · cos x =
2
sin(x + y − z) + sin(y + z − x) + sin(z + x − y) − sin(x + y + z) sin x · sin y · sin z =
4
− cos(x + y − z) + cos(y + z − x) + cos(z + x − y) + cos(x + y + z) sin x · sin y · cos z =
4
sin(x + y − z) − sin(y + z − x) + sin(z + x − y) − sin(x + y + z) sin x · cos y · cos z =
4
cos(x + y − z) + cos(y + z − x) + cos(z + x − y) + cos(x + y + z) cos x · cos y · cos z =
4
6