Egzamin z Analizy 2, 18 VI 2010 godz. 9.00
1. Zadanie wstępne
∂ 2 f
1.1 Obliczyć pochodną
( P ) , gdzie f ( x, y) = 2 x ln( x 2 + y)
, P = (1 , 1)
∂x∂y
−
→
h
x
1.2 Obliczyć dywergencję pola wektorowego F = 2 x 2 y + z ,
, x 2 z + yz 2i w punkcie y
P = (1 , − 1 , 0)
1.3 Obliczyć całkę iterowaną
1 x
Z
Z
(2 x + 2 y) d y d x
0
0
Z
1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną
y d x + x d y
C
C :
x = t 2 , y = t od t = 0 do t = 1
1.5 Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej: A :
x 2 + y 2 ¬ 4 , z 2 ¬ x 2 + y 2
2. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji
f ( x, y) = xy 2 − 4 y 2 − 2 x 2
3. Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej y( x) : x 2 + y 4 + 2 xy = 0
4. Obliczyć masę obszaru ograniczonego parabolami y = x 2 , y 2 = x jeżeli gęstość ρ( x, y) = x 2 + y ZZ Z
5. Obliczyć
x 2 d x d y d z , jeżeli bryła A jest ograniczona powierzchniami z 2 = x 2 + y 2
A
, x 2 + y 2 = 2 − z 2 .
6. Korzystając z twierdzenia Gaussa obliczyć strumień pola ~
F = [ yz, x + y 2 , z 3] przez powierzchnię zamkniętą S : x 2 + y 2 + z 2 = 1 zorientowaną na zewnątrz.
1