Egzamin z Analizy 2, 26 VI 2013
1. a) Zadanie wstępne
∂ 2 f
1.1 Obliczyć pochodną
( − 1 , 1) , gdzie: f ( x, y) = x 4 + y 4 + y ln(2 + xy 2)
∂y 2
1.2 Obliczyć dywergencję pola wektorowego
−
→
√
F = y 2 sin( x − 1) , yeyz− 4 , y z 2 − 3 w punkcie A = (1 , 2 , 2) 1.3 Obliczyć całkę iterowaną
1 2 y
Z
Z
30 x 2 y d x d y
0
y
Z
1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną
3 xy d x − 2 x 2 d y ; C
C :
x = t 2 + 1 , y = t 3 od A(1 , 0) do B(2 , 1) 1.5 Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej:
√
√
A :
z 2 x 2 + y 2 , z ¬ 9 −
x 2 + y 2
1. b) Zadanie wstępne
∂ 2 f
1.1 Obliczyć pochodną
(1 , 1) , gdzie f ( x, y) = ( x 2 − y 2) exy− 1
∂x∂y
1.2 Obliczyć rotację pola wektorowego
−
→
F = xyz , x 2 + y 3 , x 3 z 2 w punkcie A = (1 , 1 , 1) 1.3 Obliczyć całkę iterowaną
1 x+1
Z
Z
(2 x + 4 y) d y d x 0
x
Z
1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną
2 y d x − 3 x d y ; C
C :
x = t 3 + 1 , y = t 2 + t od A(2 , 2) do B(1 , 0) 1.5 Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej:
√
A :
z 2( x 2 + y 2) , z ¬ 8 x 2 + y 2
2. Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej y( x) : x 2 + y 4 + 2 xy = 0
3. Znaleźć ekstrema lokalne warunkowe funkcji f ( x, y, z) = x + y + z pod warunkiem xyz − 8 = 0 .
ZZ
4. Obliczyć
12 x d x d y , gdzie
D
D : y x 2 , x + y ¬ 2 , y ¬ 2
1
5. Obliczyć moment bezwładności względem osi Oz jednorodnej bryły ograniczonej po-
√
wierzchniami z = x 2 + y 2 , z = 2 x 2 + y 2 .
−
→
6. Znaleźć potencjał pola wektorowego F = P , Q , R , 1
2 xy
z
P = 6 x 2 yz +
, Q = 2 x 3 z −
, R = 2 x 3 y + √
.
y 2 + 1
( y 2 + 1)2
z 2 + 1
Z
Obliczyć
P d x + Q d y + R d z , gdzie K - krzywa kawałkami gładka o początku w K
√
punkcie A(0 , 0 , 0) i końcu w B(2 , 1 , 3) .
2