POMIAR REZYSTANCJI ZA POMOCĄ MOSTKA PRĄDU
STAŁEGO
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie rezystancji:
1. rezystora pierwszego,
2. rezystora drugiego,
3. układu tych rezystorów połączonych równolegle,
4. układu tych rezystorów połączonych szeregowo.
Każdy z ćwiczących zapisuje wszystkie wykonywane pomiary. Zaleca się by prowadzący dokonał
podziału zagadnień do opracowania pomiędzy ćwiczących. Jeżeli prowadzący nie zaleci inaczej każdy ćwiczący opracowuje całość ćwiczenia.
13.1 Wstęp teoretyczny
Różne metody pomiarowe zostały omówione we Wstępie do Teorii Błędów pkt. 1. „Wiadomości z podstaw metrologii”. Za najdokładniejsze metody porównania bezpośredniego są uważane metody zerowe. Porównanie wartości mierzonej z wartością wzorcową odbywa się w nich za pomocą ukła-du pomiarowego, w którym przez zmianę parametrów układu pomiarowego doprowadza się do za-niku napięcia lub prądu w kontrolowanej gałęzi obwodu. Wskaźnik służący do zaobserwowania tego stanu ( np. galwanometr) nazywamy wskaźnikiem równowagi. Na dużą dokładność pomiarów metodami zerowymi wpływa duża precyzja wykonania wzorców oraz wysoka czułość wskaźników równowagi. Przy metodzie zerowej można zatem jako pomijalnie małe odrzucić błędy systematycz-ne. Pozostają jedynie błędy przypadkowe. Można wyróżnić metody zerowe mostkowe oraz kom-pensacyjne. Przy pomiarach rezystancji R (opór czynny) oraz reaktancji X ( X
X = ω
C=1/ωC;
L
L
-
opór bierny) obwodów elektrycznych zarówno przy prądzie stałym jak i zmiennym najczęściej sto-suje się układy zwane mostkowymi. Są to układy schematycznie przedstawione na Rys. 13.1
C
Z
Z
1
2
A Z
B
5
Z3
Z4
- +
Rys. 13.1 Schemat układu mostkowego.
Ramionami mostka są impedancje Z
2
1, Z2, Z3, Z4 gdzie :
2
Z =
R + ( X + X ) . Na przekątnej w
C
L
punktach C, D włączony jest wskaźnik równowagi, np. galwanometr o impedancji Z5. Wskaźnik ten jest włączony jak „most” między równolegle połączonymi gałęziami (Z1 + Z2 ) oraz (Z3 +Z4). W
punktach A, B mostek jest zasilany ze źródła prądu o sile elektromotorycznej E i impedancji we-wnętrznej Z6. Oprócz mostków stałoprądowych mogą wystąpić mostki zasilane źródłem zmiennoprądowym. W tym przypadku zamiast źródła stałoprądowego na Rys. 13.1 należy podstawić źródło zmiennoprądowe zaś na impedancje występujące w schemacie składają się rezystancje, pojemności oraz indukcyjności własne i wzajemne.
Mostek stałoprądowy w układzie czteroramiennym nazywa się mostkiem Wheatstone’a i jest naj-bardziej rozpowszechniony przy pomiarach rezystancji. W jego skład wchodzą cztery ramiona opo-rowe R1, R2, R3, R4, wskaźnik równowagi – galwanometr o rezystancji R5 oraz źródło o sile elektromotorycznej E i rezystancji wewnętrznej R6.
C
I2
R
I
R
1
5
2
I
R
1
5
A III II
B
I4
R
R
4
3
I3
D
I6
I
- +
Rys. 13.2. Mostek Wheatstone’a
Aby wyznaczyć zależność na nieznaną rezystancję korzystamy z podstawowych praw zachowania ładunku i energii, które dla przypadku obwodów elektrycznych przyjmują postać pierwszego pierwszego drugiego prawa Kirchhoffa. Pierwsze prawo Kirchhoffa mówi, że suma prądów wpływają-
cych i suma prądów wypływających z węzła są sobie równe. Oznaczając jako dodatnie prądy wpływające a jako ujemne wypływające pierwsze prawo Kirchhoffa zapisujemy w postaci:
∑ n I 0
k =
(13.1)
k = 1
gdzie: n - liczba gałęzi zbiegających się w węźle, Ik – prąd płynący w k-tej gałęzi.
Drugie prawo, zwane również twierdzeniem o oczkach sieci elektrycznej, mówi, że suma zmian potencjału napotykanych przy dokonywaniu obiegu wokół dowolnego obwodu ( oczka) jest równa zeru. Zmiana potencjału może być spowodowana zarówno spadkiem napięcia na rezystancji jak i źródłem siły elektromotorycznej. Dla schematu z Rys. 13.2. mamy zatem trzy równania na spadki napięć w oczkach:
- 1 oczko
E = R I + R I + R I
6 6
3 3
4 4
- 2 oczko
0 = R I + R I − R I
2 2
5 5
3 3
(13.2)
- 3 oczko
0 = R I − R I − R I
1 1
4 4
5 5
oraz trzy równania na sumy prądów w węzłach:
- węzeł A
I − I + I = 0
1
6
4
- węzeł B
I − I − I = 0
6
3
2
(13.3)
- węzeł C
I − I − I = 0
2
5
1
Jest to układ sześciu równań z sześcioma niewiadomymi prądami. Korzystając z metody podstawia-nia lub macierzowej wyznaczymy prąd I5.
R R − R R
I = E 1 3
2
4
(13.4)
5
M
gdzie:
M = R R ( R + R + R + R ) + R ( R + R )( R + R ) + R ( R + R )( R + R ) +
5
6
1
2
3
4
5
1
2
3
4
6
1
4
2
3
+ R R ( R + R ) + R R ( R + R ) 1
2
3
4
3
4
1
2
W warunkach równowagi mostka ( prąd I5=0) otrzymujemy:
R 2
R = R =
R
1
x
4
(13.5)
R 3
W celu uzyskania równowagi mostka należy regulować wzorcowy opornik R4 przy stałym stosunku R2/R3 lub stosunek rezystancji R2/R3 utrzymując niezmienną wartość rezystancji wzorcowej R4. W
tym ćwiczeniu wykorzystuje się drugą metodę (Rys. 13.3).
R
R l
X
2
2
B
A
R l
3
3
R4
D
Rys. 13.3 . Metoda równoważenia mostka Wheatstone’a
W przypadku, gdy oporniki R2, R3 zostały zastąpione drutem ślizgowym, warunek równowagi mostka ma postać:
l
l
2
2
R = R
= R
X
4
4
(13.6)
l
l − l
3
2
oznaczenia: l = l + l
2
3 - całkowita długość drutu, ρ - opór właściwy drutu, S – powierzchnia prze-kroju drutu, gdyż
l
l
R
2
= ρ ⋅ ;
R
3
= ρ ⋅ ;
(13.7)
2
S
3
S
13.1.1. Dokładność metody.
Rozpatrzmy zależność 13.6 z której metodą pośrednią określamy wartość nieznanej rezystancji RX .
Mierząc l
∆
2 i popełniając błąd
l . Wartość l oraz R
2
4 zostały zmierzone ze znacznie większą precy-
zją. Załóżmy, że błędy wynoszą odpowiednio ∆ l oraz ∆ R . Jeżeli przyjąć, że podane błędy są war-4
tościami granicznymi, to maksymalny (graniczny) błąd pomiaru RX stanowi sumę wartości bez-względnych błędów cząstkowych :
∂ R
∂ R
∂ R
∆ R
X
=
∆ l
X
+
∆ l
X
+
∆ R
X
2
4
(13.8)
∂ l
∂ l
∂ R
2
4
Przy pominięciu wkładów od błędu ∆ l oraz ∆ R jako znacznie mniejsze od wkładu od ∆ l wzór na 4
2
błąd względny przyjmuje postać:
∆ R
l ⋅ ∆ l
X
2
=
(13.9)
R
l ( l − l )
X
2
2
Błąd ten osiąga minimum, kiedy mianownik osiąga maksimum tzn. dla l =
czyli l = l co daje
2
2
3
2
R2 = R3. Podstawiając ten warunek do 13.9 uzyskuje się:
∆ R
∆ l
X
2
= 2
R
l
(13.10)
X
Wniosek: minimalny błąd pomiaru wielkości RX jest wtedy, gdy jego wartość mało różni się od R4.
13.2. Opis układu pomiarowego.
Schemat montażowy przedstawiony jest na stole pomiarowym, ale zasada jest zgodna z Rys. 13.3.
Ramię AC- odpowiada mierzonej rezystancji RX, zaś ramię AD – rezystancji zatyczkowej R4. Wielkości rezystancji R2 i R3 zależą od położenia suwaka reochordu długości 1 m. Przy przesuwaniu jego suwaka zmieniają się wielkości rezystancji R2 i R3 , a w związku z tym ich stosunek a zarazem stosunek długości odcinków reachordu. Pomiar nieznanej rezystancji sprowadza się do takiego zna-lezienia położenia suwaka reochordu ( po uprzednim dobraniu za pomocą rezystora zatyczkowego odpowiedniej wartości rezystancji R4), przy którym prąd nie płynie przez galwanometr. Powyższa operacja nosi nazwę równoważenia mostka, a mostek przez który prąd nie płynie nazywa się zrównoważonym.
Na schemacie montażowym dodatkowo zainstalowano komutator służący do zamiany miejscami rezystancji włączonych w ramiona mostka bez przełączania przewodów. Stosowanie komutatora jest wskazane z tego powodu, że drut reochordu nie bywa całkowicie jednorodny wzdłuż całej długości i dlatego stosunek R2 / R3 nie jest dokładnie równy stosunkowi l2 / l3. Przy końcowych obliczeniach należy brać średnią arytmetyczną wartości l2 i l3 z wielkości znalezionych przy dwóch położeniach komutatora. Drugim elementem różniącym układ pomiarowy od schematu jest podwójny klucz K1, którym można otwierać i zamykać obwód prądu jak i obwód galwanometru. Jego konstrukcja pozwala przy naciśnięciu zamykać najpierw obwód prądu a po nim obwód galwanometru zaś przy otwieraniu – odwrotnie. Zastosowanie klucza pozwala włączać obwód na krótki okres, co zapobiega nagrzewaniu się drutu a jednocześnie zapobiega galwanometr przed przeciążeniem. Dodatko-wym zabezpieczeniem galwanometru jest klucz K3 , za pomocą którego można włączać szeregowo dodatkowy rezystor przy wstępnym równoważeniu mostka. Dla dokładnego zrównoważenia mostka
, klucz K3 trzeba zamknąć. Obwód zasilany jest prądem stałym.
13.3. Przebieg pomiarów
1. Porównać elementy układu pomiarowego ze szkicem na rysunku 13.3.
2. Sprawdzić czy na na rezystorze zatyczkowym ustawiona jest rezystancja około 100 Ω .
3. Sprawdzić, czy komutator znajduje się w jednym z położeń roboczych (1 albo 2), a nie pomię-
dzy nimi.
4. Włożyć jeden z badanych rezystorów do uniwersalnego gniazda pomiarowego w taki sposób by zamknąć gałąź pomiarową mostka.
5. Ustawić suwak w połowie długości reochordu przy otwartym kluczu, zaś na rezystancji zatyczkowej dobrać taką rezystancję aby przy zamykaniu klucza przez galwanometr popłynął jak najmniejszy prąd.
6. Całkowite wyzerowanie wskazań galwanometru osiągamy przez minimalne zmiany w położeniu suwaka reochordu (np. zakres 450 – 550 mm) przy zamykanym na krótko kluczu.
7. Czynności według punktów 5-6 przeprowadzić dla tego samego rezystora, ale przeciwnego po-
łożenia komutatora.
8. Powyższe czynności powtórzyć dla:
●
drugiej rezystancji,
●
obu rezystancji połączonych szeregowo,
●
obu rezystancji połączonych równolegle.
Zaleca się nie poprzestać na pojedynczym pomiarze, ale wykonać każdy z cykli pomiarów przez każdego z ćwiczących. Do opracowania bierzemy wtedy wartości średnie odpowiednich wielkości.
W przypadku pomiarów rezystancji powyżej 10 Ω niepewności powodowane złym odczytem poło-
żenia suwaka przewyższają niepewności ustawienia opornika zatyczkowego.
13.4. Opracowanie wyników pomiarów.
1. Wykonać obliczenia wartości mierzonych rezystancji: pierwszej, drugiej oraz ich połączenia szeregowego i równoległego korzystając ze wzoru (13.6).
2. Obliczyć niepewności wyznaczenia powyższych rezystancji korzystając ze wzoru (13.10). Błąd
∆ l obliczyć za pomocą następującego wzoru
2
1
2
l
− l + l
− l
2 śr
2
2
2
∆ l
śr
=
,
2
2
gdzie 1
2
l i l oznaczają długości odcinka przy różnych położeniach komutatora.
2
2
Jeżeli tak otrzymany wynik jest mniejszy od dokładności odczytu położenia reochordu, to za ∆ l 2
należy przyjąć dokładność odczytu.
3. Wykorzystując wyniki pomiarów rezystancji i niepewności wartości średnich porównać z wyni-kami uzyskanymi dla połączenia szeregowego i równoległego.
L i t e r a t u r a
[1] M. Łaciński, Miernictwo elektryczne, PWN, Warszawa 1974
[2] A. Piekara , Elektryczność i magnetyzm, PWN, Warszawa, 1970