Ćwiczenia 2 WIL, BUDOWNICTWO semestr 1, 2012/13

Na każde zajęcia proszę przynosić notatki z wykładów!

1. Kinematyka punktu materialnego

Proszę przeczytać fragmenty wykładu 2 dotyczące kinematyki i nauczyć się podstawowych

wzorów.

1. Punkt materialny porusza się po torze danym równaniem: cos · sin · (, , stałe dodatnie).

(a) Jaka krzywa jest torem punktu? Naszkicuj jej tor. Równanie toru znajdziesz, jeśli zapiszesz równania: i

a następnie wyeliminujesz z nich czas. (Patrz: przykład z wykładu) (b) Znajdź wektory: prędkości chwilowej i przyspieszenia . (c) Znajdź wektor położenia punktu oraz prędkości po czasie య, gdzie jest ర

okresem ruchu ( ଶగ, czas jednego obiegu krzywej, będącej torem). (d) Oblicz kąt między wektorami య i ఠ

ర

య. Zaznacz te wektory na rysunku z punktu a.

ర

Rozwią zanie:

a. Równanie toru w postaci jawnej (czyli równanie krzywej, po której porusza się punkt materialny)

znajdziemy eliminują c czas z równania (to też jest równanie toru, ale w postaci

parametrycznej; parametrem jest czas).

y

Z podanego równania znajdujemy, ż e:

c

x(t) cos , sin .

Nastę pnie obliczamy:

b

/ cos , / sin ,

równania podnosimy obustronnie do kwadratu i dodajemy

x

stronami, dostają c równanie elipsy :

௫మ

௬మ 1.

௕మ

௖మ

b. Prę dkość chwilowa: ௗ௥Ԧ sin · cos · ; wektor jest styczny do toru, elipsy.

ௗ௧

przyspieszenie: ௗ௩ሬԦ ଶcos · ଶ sin · ଶ .

ௗ௧

Widzimy, ż e wektor przyspieszenia ma kierunek wektora położ enia, ale przeciwny zwrot.

c. Obliczamy wektory położ enia ciała i prę dkoś ci po czasie t=T/4:

2

2

் cos

ସ

4# ̂ sin 4# ̂ ̂ ,

2

2

் sin

ସ

4# ̂ cos 4# ̂ ̂ ,

Ką ty mię dzy wektorami w dowolnej chwili t moż na znaleźć korzystają c ze wzoru na iloczyn skalarny,

np.:

·

cos%&, |||| (.

2. Koło o promieniu ) toczy się po prostej ruchem jednostajnym z prędkością kątową . Dla punktu A leżącego na obwodzie koła współrzędne , dane są równaniami:

஺ ) ) sin oraz ஺ ) )cos .

1

a. Narysować tor punktu przyjmując, że w chwili początkowej 0, ஺ 0, ஺ 0. b. Znaleźć prędkość i przyspieszenie punktu A. c. Oblicz wartość przyspieszenia – czy zależy ona od czasu?

Rozwią zanie:

Ś rodek koła O porusza się wzdłuż prostej z szybkoś cią ); po czasie t przemieś ci się o

odcinek ) . Po tym czasie droga ką towa punktu A bę dzie równa : .

Zauważ my, ż e po czasie 2 / koło wykona pełny obrót i jednocześ nie przemieś ci się o

odcinek 2 ) . Współrzę dne punktu A zmienią się na ஺ 2 ), ஺ 0 .

W czasie /2 punkt A wykonał obrót o ką t i jednocześ nie przesuną ł się wzdłuż osi o

odcinek /2 ) , stą d położ enie punktu A wynosiło ஺ ), ஺ 2) .

Mają c te informacje moż emy naszkicować tor punktu A, ponieważ jego współrzę dne bę dą się

zmieniały cyklicznie.

A

A

2ܴ

•

•

O•

•

: O

•

•

A

2ߨܴ

a. Torem punktu jest krzywa (czerwona) zwana cykloidą , której równanie dostaniemy eliminują c czas t

z obu równań czas. Ponieważ równanie cykloidy jest dość skomplikowane, nie bę dziemy go wyznaczać .

b. Obliczamy współrzędne wektora prędkości:

,-

,

+࢞ ,. ,.) )sin ) )cos )1 cos ,

,0

,

+࢟ ,. ,.)1 cos 123452.,

+& )1 cos ̂ 21 3452. 6̂.

Przyspieszenie:

,+

,

7

࢞

࢞ ,. ,. )1 cos (,

,+

,

7

࢟

࢟ ,. ,. )sin (.

7& (.

c. Oblicz wartość przyspieszenia punktu A.

3. Rozpatrzyć ruch punktu materialnego po jednej gałęzi paraboli o równaniu

ଶ 28, przy czym rzut wektora prędkości na kierunek stycznej do

y

ଶ 28

wierzchołka paraboli ma stałą wartość

଴. Znaleźć: a. i , b. wektor

௬

prędkości i jego wartość, c. wektor przyspieszenia i jego wartość.

௫

x

Metoda rozwiązywania zadania:

1. Uważnie przeczytaj temat i zastanów się, jakie wielkości są podane a jakie

musisz wyznaczyć.

2. Sporządź rysunek w odpowiednio wybranym układzie współrzędnych xy.

2

3. Znajdź oraz . Jak wykorzystać informację, że ௬ ଴ = const? (wskazówka: wzdłuż osi ruch jednostajny prostoliniowy: ଴ , a jeśli podstawimy to wyrażenie do wzoru na , to co dostaniemy?) 4. Wykonaj obliczenia składowych prędkości korzystając z podanych na wykładzie wzorów: ௫ ௗ௫ሺ௧ሻ, itd.

ௗ௧

5. Sprawdź, czy otrzymane wzory na składowe prędkości dają poprawny wymiar tej wielkości. Zapisz wektor prędkości.

6. Oblicz przyspieszenie kamienia ( ௫ ௗ௩ೣ, itd.)

ௗ௧

4. Przeanalizuj rzut ukośny ciała przy założeniu, że nie występują opory ruchu.

Rzuty (rzut poziomy, ukośny) zaliczamy do ruchów krzywoliniowych płaskich, ponieważ torem ciała w rzucie jest krzywa leżąca w jednej płaszczyźnie.

Przypuśćmy, że z wieży o wysokości ; zostaje wyrzucony z prędkością ଴ skierowaną pod kątem < do poziomu kamień. Mamy znaleźć: a. równanie toru kamienia, b. maksymalną wysokość ;௠௔௫ nad powierzchnią gruntu, na którą się wzniesie, c. zasięg rzutu = czyli odległość, w której upadnie na ziemię, liczoną od podstawy wieży, d.

wektor prędkości kamienia.

Rozwią zanie

Dane są : ; , ଴ , < .

a. Jako układ odniesienia przyjmijmy podstawę wież y. Ruch kamienia w wybranym układzie

współrzę dnych (oś pozioma, oś pionowa) moż emy rozłoż yć na dwa ruchy składowe odbywają ce się

wzdłuż kierunków osi układu. Musimy zapisać równania na współrzę dne oraz kamienia

(równania te czę sto nazywa się kinematycznymi równaniami ruchu).

Wzdłuż osi kamień porusza się bez przyspieszenia, ruchem jednostajnym

଴௫ , ଴௫ ଴ cos < .

Wzdłuż osi kamień posiada przyspieszenie ziemskie g, skierowane w dół, przeciwnie do zwrotu osi

( >̂ ). Zatem jest to ruch przyspieszony

; ଴௬ ଵ> ଶ ,

ଶ

଴௬ ଴ sin <.

Przez eliminację czasu z powyż szego układu równań dostajemy równanie toru kamienia, którym jest

parabola

>

; tg< 2ଶcos૛< ଶ .

଴

b. Moż emy wyznaczyć współrzę dną ௠௔௫ wierzchołka paraboli i w ten sposób znaleźć maksymalną

wysokość rzutu.

c. Zasię g = znajdziemy z warunku, ż e w chwili dotknię cia ziemi 0 . Wyznaczymy czas trwania

rzutu, a podstawiają c go do równania na x=x(t) znajdziemy D.

d. Prę dkość kamienia

A

A

௫ A A ଴௫ ଴௫ ଴cos<,

A

A

௬ A A ; ଴௬ ଵ> ଶ

ଶ

଴௬ > ଴ sin < > .

Zapisujemy wektor (.

3

Obliczmy jeszcze odległość kamienia w dowolnej chwili trwania rzutu od punktu, z którego został

wyrzucony.

Jeś li jego położ enie dane jest przez wektor położ enia

଴௫ B ; ଴௬ ଵ> ଶ ̂ ,

ଶ

to obliczają c długość tego wektora znajdziemy szukaną odległość .

5. W podobny sposób jak postępowaliśmy w zadaniu 4 rozpatrz dwa skrajne przypadki rzutu ukośnego. Pierwszy, noszący nazwę rzutu pionowego, zachodzi przy prędkości początkowej skierowanej pionowo. Drugi, rzut poziomy, zachodzi przy prędkości początkowej skierowanej poziomo.

Sprawdź , czy potrafisz odpowiedzieć na poniż sze pytania – są to pytania egzaminacyjne, w nawiasach podana ilość punktów, jakie za nie moż na otrzymać .

1. a. Wyjaśnij, na czym polega względność położenia i względność ruchu, podaj transformację Galileusza (2p) b.

Podaj sposoby określania położenia ciała. Zrób odpowiednie rysunki. (2p) c. Zdefiniuj przemieszczenie i prędkość średnią. Zdefiniuj prędkość chwilową i przyspieszenie chwilowe. Jaka jest między nimi różnica? (Rysunki!) (3p) d.

Podaj różnice między torem i drogą. (1p) e. Wyznacz prędkość i przyspieszenie ciała, jeśli podane są funkcje

) ) sin i ) )cos ), stałe dodatnie). (2p)

Literatura

D.Halliday,R.Resnick,J.Walker: Podstawy fizyki, t.1.

B.Oleś: Wykłady z fizyki , Wydawnictwo PK.

A.Januszajtis: Fizyka dla politechnik, t.1.

4