Próbny egzamin maturalny z matematyki Arkusz II

MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA

ARKUSZ II

Numer

Etapy rozwiązania zadania

Liczba

zadania

punktów

Wyznaczenie wartości parametru m, wiedząc że liczba -1 jest 2

pierwiastkiem równania (1 punkt przyznajemy za metodę, 1punkt za obliczenia): m = -2

Wykorzystanie twierdzenia Bezout’a i wykonanie dzielenia przez 11

dwumian (x+1) (1 punkt przyznajemy za metodę, 1punkt za obliczenia), 2

wynik dzielenia: 2 2

x + 5 x + 2 = 0

1

Obliczenie pozostałych pierwiastków tego równania: x = − , x = −2

1

1

2

2

4

Wyznaczenie sinusa kąta przy wierzchołku C: sin γ =

1

5

Wyznaczenie cosinusa kąta przy wierzchołku C: 3

cos γ = −

1

5

12

Obliczenie długości boku AB: AB = 241 cm ( 1 pkt. za zastosowanie twierdzenia cosinusów, odpowiedź punktujemy 2

także gdy podana jest w formie AB = 241 lub AB ≈

5

,

15 )

Podanie zbioru rozwiązań nierówności x − π

5 ≤ π

5 : x ∈

π

10

,

0

1

( zdający może rozwiązać nierówność lub wykorzystać interpretację geometryczną wartości bezwzględnej) 25

Podanie wartości liczbowej wyrażenia ctg π: 0

1

2

π

Rozwiązanie równania sin 3 x = 0 : x = k ⋅

∧ k ∈ C

3

1

( punkt przyznajemy także, gdy zdający nie poda, że k ∈ C ) Zauważenie, że kolejne rozwiązania równania trygonometrycznego, są 13

wyrazami ciągu arytmetycznego, w którym

π

1

a = 0 ∧ r =

1

3

Ustalenie liczby rozwiązań należących do zbioru π

10

;

0

: n = 31

1

Obliczenie sumy rozwiązań równania należących do zbioru π

10

,

0

:

S =

π

155 ( lub sumy 30 początkowych wyrazów ciągu, gdy zdający 31

π

1

przyjmie, że a =

).

1

3

1

Próbny egzamin maturalny z matematyki Arkusz II

Zapisanie wyrażenia: a

= (

3 n + )

1 2 − (

3 n + )

1 + 2

1

n 1

+

Wykorzystanie definicji monotoniczności ciągu: 1

a

− a = n

n

n

n

n+

n

(3 + )12 −

+ + −

−

+

1

(3

)1 2 3

( 2 3

2)

Przekształcenie różnicy a

− a do najprostszej postaci; a

− a = 6n

n+1

n

n+1

n

1

Uzasadnienie, że ciąg ( a ) jest rosnący.

n

1

3 8 n 6 + n

3 8 6

n + n

Zapisanie granicy: lim

w postaci lim

1

n→∞

1 − a

n→∞ − 3 2

n + 3 n −1

14

n

Zastosowanie właściwego algorytmu obliczania granicy ciągu: 1

3 8 +

3 8 n 6 + n

5

1

np. zapisanie ułamka

w postaci

n

1 − a

1

3

n

−

+ − 3

2

n

n

3 8 6

n + n

2

Obliczenie granicy: lim

= −

1

n→∞

1− a

3

n

Wyznaczenie wartości parametru c ; c = 8, zapisanie wzoru funkcji 1

f ( x)

3

= x − 6 2

x + 8

Wyznaczenie pochodnej funkcji f: x

f '( x) = 3 x 2 −12

1

Obliczenie miejsc zerowych pochodnej: x = , 0 x = 4 i stwierdzenie ,

1

2

1

że argument x = 4 ∉< − 3

;

1 >

2

Obliczenie wartości f (− )

1 = ,

1

f (3) = −19

1

Podanie wartości największej: f ( ) 0 = 8 i najmniejszej: f )

3

( = −19

1

15

f (′ x) > 0 ⇔ x ∈ (− ∞ 0

, )∪ ( ,

4 ∞)

Badanie znaku pochodnej:

f (′ x) < 0 ⇔ x ∈ ( , 0 4)

1

(wystarczy gdy zdający poda zbiór, w którym pochodna jest dodatnia albo ujemna).

Podanie przedziałów monotoniczności funkcji : funkcja rośnie w przedziale (− ∞,0) oraz w przedziale ( , 4 ∞) ,

funkcja maleje w przedziale ( ,

0 4) .

1

( nie przyznajemy punktu w przypadku stwierdzenia, że funkcja rośnie w sumie przedziałów).

Analiza treści zadania i stwierdzenie konieczności wyznaczenia wartości funkcji dla argumentu x = 2,4 (lub wyznaczenia argumentu, 1

dla którego funkcja przyjmuje wartość 4 ).

Obliczenie wartości f ( 2,4 ) = 3,84

16

 4 3 

 − 4 3 

1

(lub stwierdzenie, że 4 = f

=





f 

 )

 3 

 3 

Porównanie odpowiednich wartości liczbowych i podanie wniosku, że 1

ciężarówka nie zmieści się w tunelu.

2

Próbny egzamin maturalny z matematyki Arkusz II

Wyznaczenie współrzędnych środka i długości promienia okręgu o1: 1

S = ( 2, -3 ), r = 2.

Obliczenie długości promienia okręgu o2 (np. jako |AS|): R = 5

1

17

Zapisanie równania okręgu o

2

2

2: ( x − 2) + ( y + ) 3 = 25

1

Obliczenie pola pierścienia (1 punkt przyznajemy za metodę, a jeden za 2

obliczenia): P =

π

21

Analiza zadania lub sporządzenie rysunku z oznaczeniami 1

Uzasadnienie podobieństwa odpowiednich trójkątów 1

Zastosowanie proporcji wynikającej z podobieństwa trójkątów: np.

13

7

=

1

18

x + 6

x

Obliczenie długości wysokości odpowiedniego trójkąta: x = 7. 1

Obliczenie objętości stożka ściętego:

3

V = 618π cm

2

( 1 punkt przyznajemy za metodę i 1 punkt za obliczenia) Podanie odpowiedzi z uwzględnieniem zadanej dokładności: 3

V ≈ 1941 cm

1

Określenie liczby k sukcesów w schemacie 20 prób Bernoulliego oraz podanie prawdopodobieństw sukcesu i porażki w jednej próbie : 1

k = 0 lub k = 1 , p = 01

, q = 0 9

,

Zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w schemacie n prób Bernoulliego i obliczenie właściwego prawdopodobieństwa ( 1 punkt przyznajemy za metodę i 1 punkt za 2

obliczenia) : P( B) = ( 19

,

0

)19 ⋅ 9,

2 ≈ ,

0 406

19

10

Wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω =  

1

4 

Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających wyborowi dwóch łańcuchów

4 

 6

krótkich i dwóch łańcuchów długich: A =  

 

1

2 

 2

3

Obliczenie prawdopodobieństwa: P( A) =

1

7

3