ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH
LICZBY ZESPOLONE
1. Obliczy¢:
a) (2 − 7i) − (1 − 9i);
b) (5 − i)(2 + i);
c) 1 ;
4+3i
d) 1−13i;
1−3i
e) pierwiastki kwadratowe z 8 + 6i.
2. Narysowa¢ zbiór tych liczb zespolonych z, które speªniaj¡ warunek: a) 1 < Rez ≤ 2;
b) |z − 1 − i| > 3;
c) |z + 1 − 3i| = |z − 3 − i| .
3. Przedstawi¢ w postaci trygonometrycznej:
√
a) 1 − i; b) 4 − 4 3i.
4. Obliczy¢:
√
a) (1−i 3)14 ;
(−1+i)25
√
b) 6 1;
√
c) 4 16;
√
d) 4p−8 + 8 3i.
5. Pokaza¢, »e:
a) |z|2 = z¯z;
b) z + ¯z = 2Re z;
c) |z + z0| ≥ ||z| − |z0||;
d) |z − z0| ≥ ||z| − |z0||.
FUNKCJE ZESPOLONE
6. Wyrazi¢ funkcj¦ sin 6x przez funkcje sin x, cos x.
7. Pokaza¢, »e:
a) sin x = z−¯z, cos x = z+¯z, gdzie z = cos x + i sin x; 2i
2
b) sin z = eiz−e−iz , cos z = eiz+e−iz ;
2i
2
c) sin3 x = 1(3 sin x − sin 3x);
4
d) sin z, cos z mo»na przedstawi¢ w postaci f(z) = u(x, y) + iv(x, y), gdzie z = x + iy.
1
8. Pokaza¢, »e dla a, b, z ∈ C:
a) |a+b| ≤ max(|a|, |b|);
2
b)z−1 jest liczb¡ urojon¡, gdy |z| = 1 i Im z 6= 0, liczb¡ rzeczywist¡, gdy z+1
Im z = 0;
c) gdy z ∈
z−a
R, to z−¯a = 1 dla a 6= z;
d) |a − b|2 = |a|2 − 2Re (¯ab) + |b|2.
9. Rozwi¡za¢ równanie:
a) sin z = 0;
b) cos z = 0;
√
c) e2z+1 = 3 − i.
10. Pokaza¢, »e równania sin z = w, cos z = w maj¡ maj¡ dla ka»dej warto±ci w niesko«czenie wiele rozwi¡za«.
11. Obliczy¢ promie« zbie»no±ci szeregu:
a) P+∞ in+1z2n;
n=0
b) P+∞ nnz3n+1;
n=0
c) P+∞ (−1)n z2n+1;
n=0 (2n+1)!
d) P+∞(n + an)zn+1, a > 0;
n=0
e) P+∞ n! zn.
n=0 nn
12. ∗ Pokaza¢, »e szereg Lamberta P∞
zn
jest bezwzgl¦dnie zbie»ny, gdy
n=1 1−zn
|z| < 1, a rozbie»ny, gdy |z| > 1.
13. Poda¢ interpretacj¦ geometryczn¡ przeksztaªce« f : C −→ C danych wzorem (a, b ∈ C):
a) f(z) = b;
b) f(z) = az;
c) f(z) = az + b;
d) f(z) = zn;
e) f(z) = azn;
f) f(z) = 1, z 6= 0;
z
g) f(z) = ez;
h) f(z) = log z.
POCHODNA FUNKCJI ZESPOLONEJ. FUNKCJE
HOLOMORFICZNE
14. Pokaza¢, »e funkcja f(z) = |z|2, z ∈ C, ma pochodn¡ zespolon¡ tylko w z = 0.
2
15. Pokaza¢, »e iloraz ró»nicowy f(z)−f(0) funkcji f(x + iy) = xy2(x+iy), z =
z
x2+y4
x + iy ∈ C \ {0}, f (0) = 0, d¡»y do okre±lonej granicy, gdy z → 0 po dowolnej prostej. Pokaza¢, »e funkcja ta nie ma pochodnej w punkcie 0.
16. Sprawdzi¢, czy funkcja f : C −→ C jest holomorczna: a) f(x + iy) = (x2 − y2) + 2ixy
b) f(x + iy) = x − iy , x + iy 6= 0
x2+y2
x2+y2
c) f(z) = ¯z
d) f(z) = Re z
e) f(z) = sinz dla z 6= 0, f(0) = 0
z
17. Czy gaª¡¹ logarytmu dla arg(z)∈ (−π; π) jest funkcj¡ holomorczn¡?
18. Sprawdzi¢, czy funkcja
√
f (x + iy) =
xy speªnia w punkcie 0 równania
Cauchy'ego Riemanna. Czy f posiada pochodn¡ w punkcie 0? Czy jest funkcj¡ holomorczn¡?
19. Wykaza¢, »e je±li w punkcie z0 = x0 + iy0 istnieje sko«czona granica a)
lim
f (z)−f (z0)
f (z)−f (z0)
z→z Re
, b) lim
Im
, to w punkcie tym
0
z−z
z→z
0
0
z−z0
istniej¡ pochodne cz¡stkowe a) ∂u, ∂v oraz ∂u = ∂v, b) ∂u, ∂v oraz
∂x
∂y
∂x
∂y
∂y
∂x
∂u = − ∂v .
∂y
∂x
20. Wykaza¢, »e funkcja holomorczna f : D −→ R (o warto±ciach rzeczy-wistych), gdzie D ⊂ C jest spójny, jest funkcj¡ staª¡.
21. Pokaza¢, »e je»eli f(x + iy) = (ax + by) + i(cx + dy), a, b, c, d ∈ R, jest funkcj¡ holomorczn¡, to istnieje A ∈ C takie, »e f(z) = Az.
22. Pokaza¢, »e je»eli f = u + iv jest funkcj¡ holomorczn¡ oraz f0(z0) 6= 0, z0 = x0 + iy0, to ∂(u,v)(x
∂(x,y)
0, y0) > 0.
23. Pokaza¢, »e je»eli f = u + iv ma w punkcie z0 pochodn¡, to funkcja g = u − iv ma pochodn¡ g0(z0) wtedy i tylko wtedy, gdy f 0(z0) = 0.
24. Pokaza¢, »e je»eli f = u + iv jest funkcj¡ holomorczn¡ oraz u, v s¡
klasy C2, to u, v s¡ funkcjami harmonicznymi (tzn. ∆u = ∂2u + ∂2u = 0
∂x2
∂y2
i ∆v = ∂2v + ∂2v = 0).
∂x2
∂y2
25. Pokaza¢, »e je»eli funkcja u klasy C2 w obszarze jednospójnym jest funkcj¡ harmoniczn¡, to istnieje funkcja v taka, »e f = u + iv jest holomor-
czna.
26. Przy danej funkcji u(x, y) znale¹¢ tak¡ funkcj¦ v(x, y), »eby funkcja f(x+
iy) = u(x, y) + iv(x, y) byªa holomorczna:
a) u(x, y) = xy,
b) u(x, y) = ey cos x.
3
27. Obliczy¢ caªk¦ z funkcji
a) f(x + iy) = x + iy2;
b) f(z) = z
wzdªu» dróg C1 i C2, gdzie C1 jest odcinkiem ª¡cz¡cym punkty z1 = 0
i z2 = 1 + i, a C2 jest ªaman¡ ª¡cz¡c¡ kolejno punkty z = 0, z0 = 1, z00 = 1 + i. Czy funkcja f jest holomorczna?
28. Obliczy¢ caªk¦ po ªuku paraboli y = x2 od −1 do 1 z funkcji f(z) = Imz.
29. Obliczy¢ caªk¦ a) po odcinku prostoliniowym od i do −i; b) po póªokr¦gu
|z| = 1, Re z > 0 z funkcji |z|.
30. Pokaza¢, »e:
Z
0,
n 6= −1
zn dz =
2πi,
n = −1
|z|=1
dla n ∈ Z.
31. Obliczy¢ caªk¦ wzdªu» drogi γ z funkcji a) f(z) = sin z, b) f(z) = zn, n 6= −1, n ∈ Z.
32. Pokaza¢, »e funkcja f(z) = 1, z 6= 0, nie ma pierwotnej.
z
33. Obliczy¢ caªki z funkcji f(z) = 1, z 6= 0, po:
z
a) ªuku dodatnio skierowanego okr¦gu o promieniu r od k¡ta φ1 do k¡ta φ2, φ2 > φ1;
b) odcinku na póªprostej nachylonej do dodatniej póªosi rzeczywistej pod k¡tem φ, od punktu oddalonego od 0 o r1, do punktu oddalonego od 0 o r2, r2 > r1.
34. Obliczy¢ indeks krzywej γ wzgl¦dem punktów zk.
35. Obliczy¢ caªki z funkcji f(z) = 1 po zadanych drogach: z
a)
b)
4
a) Korzystaj¡c z nierówno±ci sin α ≥ 2α dla 0 ≤ α ≤ π oraz R
f (z) dz ≤
π
2
γ
R β |f (γ(t))||γ0(t)| dt pokaza¢, »e R
eiz2 dz ≤ π (1 − e−R2), gdzie C
α
R
CR
4R
jest ªukiem Reit dla t ∈ [0; π].
4
√
b) Wiedz¡c, »e R ∞ e−x2 dx = 1 π obliczy¢ caªki Fresnela: I cos x2 dx,
0
2
1 = R ∞
0
I2 = R ∞ sin x2 dx.
0
Wsk. Policzy¢ caªk¦ z f(z) = eiz2 wzdªu» brzegu wycinka koªa o ±rodku w 0 i promieniu R o k¡cie π.
4
37. Obliczy¢ caªk¦ R
dz
wzdªu» dodatnio skierowanego konturu zamkni¦-
C z2+4
tego C, który jest brzegiem obszaru:
a) zawieraj¡cego punkt 2i i nie zawieraj¡cego punktu −2i; b) zawieraj¡cego punkt −2i i nie zawieraj¡cego punktu 2i; c) zawieraj¡cego punkt 2i punkt −2i;
d) nie zawieraj¡cego punktu 2i i punktu −2i.
38. Obliczy¢ caªki wzdªu» drogi γ z funkcji:
a) sinz;
z
b) cosz ;
z2−1
c) cosz ;
z2+1
d) ez ;
z2+1
e)
1
.
(z2−1) cos z
10
39. Obliczy¢ caªk¦ R sinz dz .
γ (z− π )2
4
SZEREG TAYLORA
40. Znale¹¢ szereg Taylora dla f(z) = sin2 z o ±rodku w punkcie 0.
41. Znale¹¢ szereg Taylora dla funkcji f(z) o ±rodku w punkcie z0: a) f(z) = 1 , z
z+1
0 = 4;
b) f(z) = 1, z
z
0 = 1;
c) f(z) = 1 , z
1+z2
0 = 0;
d) f(z) = z , z
z+3
0 = i;
e) f(z) = 9z−9 , z
z2+5z−14
0 = 1.
42. Pokaza¢, »e je±li funkcje f, g na obszarze spójnym D s¡ analityczne, to f (z)g(z) ≡ 0 ⇔ f (z) ≡ 0 lub g(z) ≡ 0.
5
43. Okre±li¢ krotno±¢ zera z0 = 0 funkcji f:
a) z3e4z;
b) z4 sin3 z;
c) sin z6;
d) z2 sin5 z3;
e) cos4 z − 1;
f) cos z4 − 1;
g) sin2 z5 tan3 z3;
h) (ez3 − 1 − z3) sin2 z7.
44. Znale¹¢ krotno±¢ q zera z0 danej funkcji, je±li z0 jest zerem kkrotnym funkcji f i zerem lkrotnym funkcji g, f, g s¡ funkcjami analitycznymi w otoczeniu punktu z0:
a) f2(z)g0(z);
b) f(z) + 7g(z).
45. Pokaza¢, »e je±li f(z) jest analityczna w punkcie z0, to punkt ten jest zerem kkrotnym funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy f(r)(z0) = 0 dla r = 0, 1, . . . , k − 1 i f (k)(z0) 6= 0.
46. Zbada¢, czy istnieje funkcja analityczna w otoczeniu punktu 0, która: a) w punktach 1, 1, 1, 1, 1, . . . przyjmuje warto±ci 1, 4, 9 , 16, 25, . . .; 2
3
4
5
2
5
10
17
26
b) w punktach 1, 1, 1, 1, 1, . . . przyjmuje warto±ci 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .; 2
3
4
5
3
3
5
5
c) dla ka»dego n ∈ N speªnia równanie f( 1 ) = f(− 1 ) = 1 ; n
n
n2
d) dla ka»dego n ∈ N speªnia równanie f( 1 ) = f(− 1 ) = 1 .
n
n
n3
47. Niech funkcja f : D −→ C b¦dzie holomorczna w obszarze D. Pokaza¢, »e je±li funkcja ta nie jest staªa i jest ró»na od 0 w ka»dym punkcie obszaru D, to jej moduª nie osi¡ga minimum w »adnym punkcie we-wn¦trznym obszaru D.
SZEREGI LAURENTA
48. Wyznaczy¢ obszar, w którym zbie»ny jest szereg Laurenta
−1
+∞
X
X
4n(z − 1)n +
(−1)n(z − 1)n
n=−∞
n=0
i znale¹¢ jego sum¦.
49. Wyznaczy¢ maksymalne pier±cienie o ±rodku w z0 = 3, w których funkcja f (z) =
1
rozwija si¦ w szereg Laurenta.
(z2−8z+15)(z2+16)
6
50. W odpowiednich obszarach rozwin¡¢ funkcj¦ f w szereg Laurenta w punkcie z0:
a) f(z) = 1 , z
1−z
0 = 0;
b) f(z) =
5z−9
, z
(z−4)6(z−5)(z−1)
0 = 4;
c) f(z) =
1
, z
(z−1)2(z+2)
0 = 1.
51. Okre±li¢ typ punktu osobliwego z = 0 dla funkcji: a) sinz;
z
b) 1
e z2 ;
c) ez2−1;
z3
d) z5 sin 1;
z
e) ctg3z.
52. Wskaza¢ punkty osobliwe danej funkcji i okre±li¢ ich typ: a)
1
;
(z−1)2z5
b) 1
e z−8 ;
c) sin7 z3 ;
z21
d) 1 .
cos3 z
RESIDUA
53. Obliczy¢ residuum z funkcji f(z) w punkcie z0:
√
a) f(z) =
1
, z
+ i 3 ;
z2+z+1)3
0 = − 1
2
2
b) f(z) = ctgz, z0 = 0;
c) f(z) =
1
, z
(z2+4)3
0 = 2i;
d) f(z) = (z + 6) sin 1 , z
z−1
0 = 1;
e)
1
f (z) = ze z , z0 = 0.
54. Obliczy¢ caªk¦:
a) R 2π sin2 t dt;
0
5+3 cos t
b) R 2π
dt
;
0
13+12 sin t
c) R +∞
t2−t+6
dt;
−∞ (t2+1)(t2−8t+25)
d) R +∞
dt
.
−∞ (t2+t+1)3
55. Obliczy¢ sum¦ szeregu:
a) P+∞ 1 ;
n=1 n2+1
b) P+∞
1
;
n=−∞ n2+n+2
c) P+∞
(−1)n , a ∈
n=−∞ n2+a2
C \ iZ.
7