ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH

LICZBY ZESPOLONE

1. Obliczy¢:

a) (2 − 7i) − (1 − 9i);
b) (5 − i)(2 + i);
c)

1

4+3i

;

d)

1−13i

1−3i

;

e) pierwiastki kwadratowe z 8 + 6i.

2. Narysowa¢ zbiór tych liczb zespolonych z, które speªniaj¡ warunek:

a) 1 < Rez ≤ 2;
b) |z − 1 − i| > 3;
c) |z + 1 − 3i| = |z − 3 − i| .

3. Przedstawi¢ w postaci trygonometrycznej:

a) 1 − i; b) 4 − 4

√

3i

.

4. Obliczy¢:

a)

(1−i

√

3)

14

(−1+i)

25

;

b)

6

√

1

;

c)

4

√

16

;

d)

4

p

−8 + 8

√

3i

.

5. Pokaza¢, »e:

a) |z|

2

= z ¯

z

;

b) z + ¯z = 2Re z;
c) |z + z

0

| ≥ ||z| − |z

0

||

;

d) |z − z

0

| ≥ ||z| − |z

0

||

.

FUNKCJE ZESPOLONE

6. Wyrazi¢ funkcj¦ sin 6x przez funkcje sin x, cos x.

7. Pokaza¢, »e:

a) sin x =

z−¯

z

2i

, cos x =

z+¯

z

2

, gdzie z = cos x + i sin x;

b) sin z =

e

iz

−e

−iz

2i

, cos z =

e

iz

+e

−iz

2

;

c) sin

3

x =

1
4

(3 sin x − sin 3x)

;

d) sin z, cos z mo»na przedstawi¢ w postaci f(z) = u(x, y) + iv(x, y),

gdzie z = x + iy.

1

8. Pokaza¢, »e dla a, b, z ∈ C:

a)

|a+b|

2

≤ max(|a|, |b|)

;

b)

z−1
z+1

jest liczb¡ urojon¡, gdy |z| = 1 i Im z 6= 0, liczb¡ rzeczywist¡, gdy

Im z = 0

;

c) gdy z ∈ R, to

z−a
z−¯

a

= 1

dla a 6= z;

d) |a − b|

2

= |a|

2

− 2Re (¯

ab) + |b|

2

.

9. Rozwi¡za¢ równanie:

a) sin z = 0;
b) cos z = 0;
c) e

2z+1

=

√

3 − i

.

10. Pokaza¢, »e równania sin z = w, cos z = w maj¡ maj¡ dla ka»dej warto±ci

w

niesko«czenie wiele rozwi¡za«.

11. Obliczy¢ promie« zbie»no±ci szeregu:

a) P

+∞
n=0

i

n+1

z

2n

;

b) P

+∞
n=0

n

n

z

3n+1

;

c) P

+∞
n=0

(−1)

n

(2n+1)!

z

2n+1

;

d) P

+∞
n=0

(n + a

n

)z

n+1

, a > 0;

e) P

+∞
n=0

n!

n

n

z

n

.

12.

∗

Pokaza¢, »e szereg Lamberta P

∞
n=1

z

n

1−z

n

jest bezwzgl¦dnie zbie»ny, gdy

|z| < 1

, a rozbie»ny, gdy |z| > 1.

13. Poda¢ interpretacj¦ geometryczn¡ przeksztaªce« f : C −→ C danych

wzorem (a, b ∈ C):
a) f(z) = b;
b) f(z) = az;
c) f(z) = az + b;
d) f(z) = z

n

;

e) f(z) = az

n

;

f) f(z) =

1
z

, z 6= 0;

g) f(z) = e

z

;

h) f(z) = log z.

POCHODNA FUNKCJI ZESPOLONEJ. FUNKCJE

HOLOMORFICZNE

14. Pokaza¢, »e funkcja f(z) = |z|

2

, z ∈ C, ma pochodn¡ zespolon¡ tylko w

z = 0

.

2

15. Pokaza¢, »e iloraz ró»nicowy

f (z)−f (0)

z

funkcji f(x + iy) =

xy

2

(x+iy)

x

2

+y

4

, z =

x + iy ∈ C \ {0}, f (0) = 0, d¡»y do okre±lonej granicy, gdy z → 0 po

dowolnej prostej. Pokaza¢, »e funkcja ta nie ma pochodnej w punkcie 0.

16. Sprawdzi¢, czy funkcja f : C −→ C jest holomorczna:

a) f(x + iy) = (x

2

− y

2

) + 2ixy

b) f(x + iy) =

x

x

2

+y

2

−

iy

x

2

+y

2

, x + iy 6= 0

c) f(z) = ¯z
d) f(z) = Re z
e) f(z) =

sin z

z

dla z 6= 0, f(0) = 0

17. Czy gaª¡¹ logarytmu dla arg(z)∈ (−π; π) jest funkcj¡ holomorczn¡?

18. Sprawdzi¢, czy funkcja f(x + iy) =

√

xy

speªnia w punkcie 0 równania

Cauchy'ego Riemanna. Czy f posiada pochodn¡ w punkcie 0? Czy

jest funkcj¡ holomorczn¡?

19. Wykaza¢, »e je±li w punkcie z

0

= x

0

+ iy

0

istnieje sko«czona granica

a) lim

z→z

0

Re

f (z)−f (z

0

)

z−z

0

, b) lim

z→z

0

Im

f (z)−f (z

0

)

z−z

0

, to w punkcie tym

istniej¡ pochodne cz¡stkowe a)

∂u
∂x

,

∂v
∂y

oraz

∂u
∂x

=

∂v
∂y

, b)

∂u
∂y

,

∂v
∂x

oraz

∂u
∂y

= −

∂v
∂x

.

20. Wykaza¢, »e funkcja holomorczna f : D −→ R (o warto±ciach rzeczy-

wistych), gdzie D ⊂ C jest spójny, jest funkcj¡ staª¡.

21. Pokaza¢, »e je»eli f(x + iy) = (ax + by) + i(cx + dy), a, b, c, d ∈ R, jest

funkcj¡ holomorczn¡, to istnieje A ∈ C takie, »e f(z) = Az.

22. Pokaza¢, »e je»eli f = u + iv jest funkcj¡ holomorczn¡ oraz f

0

(z

0

) 6= 0

,

z

0

= x

0

+ iy

0

, to

∂(u,v)
∂(x,y)

(x

0

, y

0

) > 0

.

23. Pokaza¢, »e je»eli f = u + iv ma w punkcie z

0

pochodn¡, to funkcja

g = u − iv

ma pochodn¡ g

0

(z

0

)

wtedy i tylko wtedy, gdy f

0

(z

0

) = 0

.

24. Pokaza¢, »e je»eli f = u + iv jest funkcj¡ holomorczn¡ oraz u, v s¡

klasy C

2

, to u, v s¡ funkcjami harmonicznymi (tzn. ∆u =

∂

2

u

∂x

2

+

∂

2

u

∂y

2

= 0

i ∆v =

∂

2

v

∂x

2

+

∂

2

v

∂y

2

= 0

).

25. Pokaza¢, »e je»eli funkcja u klasy C

2

w obszarze jednospójnym jest funk-

cj¡ harmoniczn¡, to istnieje funkcja v taka, »e f = u + iv jest holomor-

czna.

26. Przy danej funkcji u(x, y) znale¹¢ tak¡ funkcj¦ v(x, y), »eby funkcja f(x+

iy) = u(x, y) + iv(x, y)

byªa holomorczna:

a) u(x, y) = xy,
b) u(x, y) = e

y

cos x

.

3

CAŠKI

27. Obliczy¢ caªk¦ z funkcji

a) f(x + iy) = x + iy

2

;

b) f(z) = z
wzdªu» dróg C

1

i C

2

, gdzie C

1

jest odcinkiem ª¡cz¡cym punkty z

1

= 0

i z

2

= 1 + i

, a C

2

jest ªaman¡ ª¡cz¡c¡ kolejno punkty z = 0, z

0

= 1

,

z

00

= 1 + i

. Czy funkcja f jest holomorczna?

28. Obliczy¢ caªk¦ po ªuku paraboli y = x

2

od −1 do 1 z funkcji f(z) = Imz.

29. Obliczy¢ caªk¦ a) po odcinku prostoliniowym od i do −i; b) po póªokr¦gu

|z| = 1

, Re z > 0 z funkcji |z|.

30. Pokaza¢, »e:

Z

|z|=1

z

n

dz =

0,

n 6= −1

2πi,

n = −1

dla n ∈ Z.

31. Obliczy¢ caªk¦ wzdªu» drogi γ z funkcji a) f(z) = sin z, b) f(z) = z

n

,

n 6= −1

, n ∈ Z.

32. Pokaza¢, »e funkcja f(z) =

1
z

, z 6= 0, nie ma pierwotnej.

33. Obliczy¢ caªki z funkcji f(z) =

1
z

, z 6= 0, po:

a) ªuku dodatnio skierowanego okr¦gu o promieniu r od k¡ta φ

1

do k¡ta

φ

2

, φ

2

> φ

1

;

b) odcinku na póªprostej nachylonej do dodatniej póªosi rzeczywistej pod

k¡tem φ, od punktu oddalonego od 0 o r

1

, do punktu oddalonego od 0 o

r

2

, r

2

> r

1

.

34. Obliczy¢ indeks krzywej γ wzgl¦dem punktów z

k

.

35. Obliczy¢ caªki z funkcji f(z) =

1
z

po zadanych drogach:

a)

b)

4

36.

∗

a) Korzystaj¡c z nierówno±ci sin α ≥

2α

π

dla 0 ≤ α ≤

π

2

oraz

R

γ

f (z) dz

≤

R

β

α

|f (γ(t))||γ

0

(t)| dt

pokaza¢, »e

R

C

R

e

iz

2

dz

≤

π

4R

(1 − e

−R

2

)

, gdzie C

R

jest ªukiem Re

it

dla t ∈ [0;

π

4

]

.

b) Wiedz¡c, »e R

∞

0

e

−x

2

dx =

1
2

√

π

obliczy¢ caªki Fresnela: I

1

=

R

∞

0

cos x

2

dx

,

I

2

=

R

∞

0

sin x

2

dx

.

Wsk. Policzy¢ caªk¦ z f(z) = e

iz

2

wzdªu» brzegu wycinka koªa o ±rodku

w 0 i promieniu R o k¡cie

π

4

.

37. Obliczy¢ caªk¦ R

C

dz

z

2

+4

wzdªu» dodatnio skierowanego konturu zamkni¦-

tego C, który jest brzegiem obszaru:
a) zawieraj¡cego punkt 2i i nie zawieraj¡cego punktu −2i;
b) zawieraj¡cego punkt −2i i nie zawieraj¡cego punktu 2i;
c) zawieraj¡cego punkt 2i punkt −2i;
d) nie zawieraj¡cego punktu 2i i punktu −2i.

38. Obliczy¢ caªki wzdªu» drogi γ z funkcji:

a)

sin z

z

;

b)

cos z

z

2

−1

;

c)

cos z

z

2

+1

;

d)

e

z

z

2

+1

;

e)

1

(z

2

−1) cos

z

10

.

39. Obliczy¢ caªk¦ R

γ

sin z dz

(z−

π

4

)

2

.

SZEREG TAYLORA

40. Znale¹¢ szereg Taylora dla f(z) = sin

2

z

o ±rodku w punkcie 0.

41. Znale¹¢ szereg Taylora dla funkcji f(z) o ±rodku w punkcie z

0

:

a) f(z) =

1

z+1

, z

0

= 4

;

b) f(z) =

1
z

, z

0

= 1

;

c) f(z) =

1

1+z

2

, z

0

= 0

;

d) f(z) =

z

z+3

, z

0

= i

;

e) f(z) =

9z−9

z

2

+5z−14

, z

0

= 1

.

42. Pokaza¢, »e je±li funkcje f, g na obszarze spójnym D s¡ analityczne, to

f (z)g(z) ≡ 0 ⇔ f (z) ≡ 0

lub g(z) ≡ 0.

5

ZERA FUNKCJI HOLOMORFICZNYCH

43. Okre±li¢ krotno±¢ zera z

0

= 0

funkcji f:

a) z

3

e

4z

;

b) z

4

sin

3

z

;

c) sin z

6

;

d) z

2

sin

5

z

3

;

e) cos

4

z − 1

;

f) cos z

4

− 1

;

g) sin

2

z

5

tan

3

z

3

;

h) (e

z

3

− 1 − z

3

) sin

2

z

7

.

44. Znale¹¢ krotno±¢ q zera z

0

danej funkcji, je±li z

0

jest zerem kkrotnym

funkcji f i zerem lkrotnym funkcji g, f, g s¡ funkcjami analitycznymi

w otoczeniu punktu z

0

:

a) f

2

(z)g

0

(z)

;

b) f(z) + 7g(z).

45. Pokaza¢, »e je±li f(z) jest analityczna w punkcie z

0

, to punkt ten jest

zerem kkrotnym funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy f

(r)

(z

0

) = 0

dla

r = 0, 1, . . . , k − 1

i f

(k)

(z

0

) 6= 0

.

46. Zbada¢, czy istnieje funkcja analityczna w otoczeniu punktu 0, która:

a) w punktach 1,

1
2

,

1
3

,

1
4

,

1
5

, . . .

przyjmuje warto±ci

1
2

,

4
5

,

9

10

,

16
17

,

25
26

, . . .

;

b) w punktach 1,

1
2

,

1
3

,

1
4

,

1
5

, . . .

przyjmuje warto±ci 1, 1,

1
3

,

1
3

,

1
5

,

1
5

, . . .

;

c) dla ka»dego n ∈ N speªnia równanie f(

1

n

) = f (−

1

n

) =

1

n

2

;

d) dla ka»dego n ∈ N speªnia równanie f(

1

n

) = f (−

1

n

) =

1

n

3

.

47. Niech funkcja f : D −→ C b¦dzie holomorczna w obszarze D. Poka-

za¢, »e je±li funkcja ta nie jest staªa i jest ró»na od 0 w ka»dym punkcie

obszaru D, to jej moduª nie osi¡ga minimum w »adnym punkcie we-

wn¦trznym obszaru D.

SZEREGI LAURENTA

48. Wyznaczy¢ obszar, w którym zbie»ny jest szereg Laurenta

−1

X

n=−∞

4

n

(z − 1)

n

+

+∞

X

n=0

(−1)

n

(z − 1)

n

i znale¹¢ jego sum¦.

49. Wyznaczy¢ maksymalne pier±cienie o ±rodku w z

0

= 3

, w których funkcja

f (z) =

1

(z

2

−8z+15)(z

2

+16)

rozwija si¦ w szereg Laurenta.

6

50. W odpowiednich obszarach rozwin¡¢ funkcj¦ f w szereg Laurenta w

punkcie z

0

:

a) f(z) =

1

1−z

, z

0

= 0

;

b) f(z) =

5z−9

(z−4)

6

(z−5)(z−1)

, z

0

= 4

;

c) f(z) =

1

(z−1)

2

(z+2)

, z

0

= 1

.

51. Okre±li¢ typ punktu osobliwego z = 0 dla funkcji:

a)

sin z

z

;

b) e

1

z2

;

c)

e

z2

−1

z

3

;

d) z

5

sin

1
z

;

e) ctg

3

z

.

52. Wskaza¢ punkty osobliwe danej funkcji i okre±li¢ ich typ:

a)

1

(z−1)

2

z

5

;

b) e

1

z−8

;

c)

sin

7

z

3

z

21

;

d)

1

cos

3

z

.

RESIDUA

53. Obliczy¢ residuum z funkcji f(z) w punkcie z

0

:

a) f(z) =

1

z

2

+z+1)

3

, z

0

= −

1
2

+ i

√

3

2

;

b) f(z) = ctgz, z

0

= 0

;

c) f(z) =

1

(z

2

+4)

3

, z

0

= 2i

;

d) f(z) = (z + 6) sin

1

z−1

, z

0

= 1

;

e) f(z) = ze

1
z

, z

0

= 0

.

54. Obliczy¢ caªk¦:

a) R

2π

0

sin

2

t

5+3 cos t

dt

;

b) R

2π

0

dt

13+12 sin t

;

c) R

+∞

−∞

t

2

−t+6

(t

2

+1)(t

2

−8t+25)

dt

;

d) R

+∞

−∞

dt

(t

2

+t+1)

3

.

55. Obliczy¢ sum¦ szeregu:

a) P

+∞
n=1

1

n

2

+1

;

b) P

+∞
n=−∞

1

n

2

+n+2

;

c) P

+∞
n=−∞

(−1)

n

n

2

+a

2

, a ∈ C \ iZ.

7