WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA:
1.
n
m
n+m
a ⋅ a
= a
np: (a2·a3=a5)
1.
2
2
2
a
( + b) = a + 2ab + b n
a
n−m
2.
2
2
2
a
( − b) = a − 2ab + b 2.
= a
np: a5/a3=a2
m
a
3.
3
3
2
2
3
a
( + b) = a + a 3 b + 3ab + b
an
3.
0
= a => 1
4.
3
3
2
2
3
a
( − b) = a − a 3 b + ab
3
− b
an
0
5.
2
2
a − b = a
( + b a
)( − b)
1
a
4.
0−n
=
= a np: 1/a3=a-3
n
n
6.
3
3
2
2
a − b
= a
( − b a
)(
+ ab + b )
a
a
n
m
n⋅m
7.
3
3
2
2
a + b
= a
( + b a
)(
− ab + b )
5.
a
( ) = a np: (a2)3=a6
6.
n
n
n
a
( ⋅ b) = a ⋅ b np: (a·b)2=a2·b2
GRANICE:
n
n
⎛ a ⎞
a
a ⋅ a
1
7.
S
n
=
⋅ n
⎜
⎟ =
np: (a/b)2=a2/b2
n
n
⎝ b ⎠
b
2
1
1
1
(
lim + )x = e
8.
n
n
a = a np: a1/3= 3 a
x→∞
x
n
sin x
9.
m
m
n
a
= a np:a2/3= 3 2
a
lim
= 1
x →o
x
LOGARYTMY:
POCHODNE (RÓŻNICZKOWANIE)
1.
c
log b = c <=> a = b dla a>0, a≠1, b>0
1. (x)' = 1
a
2. log a = 1 bo a1=a
2. ( )'
a = 0
a
3.
n
n−1
log 1 = 0 bo a0=1
3. (x )' = n ⋅ x
a
4.
(c ⋅ f(x))' = c ⋅ f'(x log x + log y = log (x ⋅ y) 4.
)
a
a
a
x
'
⎛ f ⎞
f' g − '
fg
5. log x − log y = log 5.
=
a
a
a y
⎜⎜ ⎟⎟
2
⎝ g ⎠
g
6.
p
log x
= p ⋅ log x
6. (f ⋅ )'
g = f' g +
'
fg
a
a
log x
'
⎛ 1 ⎞
− 1
7.
b
log x =
⎜ ⎟ =
a
7.
log a
2
⎝ x ⎠
x
b
8.
log
a
A
a
= A np: 3log 53=5
1
8. ( x )' =
9.
A
log a
= A np: log
a
334=4
2 x
10. log f(x) = ln f(x)
1
1
1
e
−1
9.
3
3
n
( x )' = (x )' = x
n
CIĄGI:
CIĄGI:
10.
x
x
a
( )' = a lna np: (5x)’=5xln5
SYMBOLE OZNACZONE
SYMBOLE NIEOZNACZONE
∞ + ∞ = ∞
x
x
e
( )' = e
∞ 0
11.
∞ ⋅ ∞ = ∞
;
; ∞ − ∞ ; 0 ⋅ ∞ ;
1
a
a
∞ 0
12. (ln x )' =
= 0 ,
= 0
0
0
x
∞
− ∞
; 0
∞ ; ∞
0 ; ∞
1
1
1
a
0
13. (log x)' =
np: (log3x)’ =
= ±∞
a
,
= 0
x lna
ln3
x
0
a
14. (sin x)' = cos x
∞∞ = ∞
15. (cos x)' = − sin x
a = 0
1
x
16. (tg x)' =
cos2 x
PIERWIASTKI:
1
1
1
1
1
17. ctg
(
x)' = −
21. arcctg
(
x)' = −
2
2
1. n
n
n
n
n
n
sin x
1 + x
a ⋅ b = a
( ⋅ b) = a ⋅ b = a ⋅ b 1
1
1
18. (arcsin x)' =
n
n
n
a
⎛ a ⎞
a
a
2.
2
n
= ⎜ ⎟ =
=
1 − x
1
n
b
⎝ b ⎠
b
n
b
1
19. (arccos x)' = −
n
a
a
2
1 − x
3. n
n
n
a ⋅ b = a ⋅ b 4. n
=
n
b
b
1
20. arctg
(
x)' =
2
1 + x
Π=180°
sin2 x + cos2 x = 1
II
I
sinix +
sinix +
cosix +
WZORY REDUKCYJNE
1. sin2α = 2 sin α ⋅ cos α
tgix +
90
sin(
o + α) = cos α
ctgi x +
2. cos 2α =
2
cos α −
2
sin α
270
sin(
o + α) = − cos α
3. sin α cos β − cos α sinβ = sin(α − β) III
IV
α − β
α + β
180
sin(
o − α) = sinα
tgi x +
cosi x +
4. sin α − sinβ = 2 sin
⋅ cos
2
2
ctgix +
α + β
α − β
360
sin(
0 − α) = − sinα
5. sin α + sinβ = 2 sin
⋅ cos
2
2
α + β
β − α
6. cos α − cos β = 2 sin
⋅ sin
2
2
cos α = cos(−α) funkcja parzysta α + β
α − β
7.
cos α + cos β = 2 cos
⋅ cos
− sinα = sin(−α) funkcja a
nieparzyst
2
2
FUNKCJA KWADRATOWA:
1.
2
Postać ogólna:
2
y = x + bx + c ∆ = b2 − 4ac ∆>0 – 2 miejca zerowe 2.
2
Postać kanoniczna: y = (x − p) + q ∆=0 – 1 miejca zerowe
− b
− ∆
x1 i x2 – miejsca
3. Współrzędne wierzchołka: p =
; q =
zerowe f
unkcji ∆<0 – brak miejc zerowych 2a
4a
− b − ∆
− b + ∆
Wzory Vieta: x =
; x =
1
2a
2
a
2
b
− b
x + x = − gdy ∆=0 miejsce zerowe x =
1
2
a
0
2a
c
dla ∆ ≥ 0
x ⋅ x =
F(a)=F(-a) – funkcja parzysta,
1
2
a
F(-a)=-F(a) – funkcja nieparzysta