Spłata kredytu o rosn ˛
acych ratach
Kolejne spłaty mają rosnąć (lub maleć) o ustalony procent: spłata nast ępna = (1 + g) × spłata poprzednia, czyli CFℓ = (1 + g) · CFℓ−1, dla ℓ = 2, . . . , n. Gdy C
ozn. pierwszą spłat ę (czyli CF1), to CFℓ = C · (1 + g)(ℓ−1).
Interesuje nas ogólny związek mi ędzy D0, j, g, C, n.
Pami ętamy: D0 = −CF0.
P
Z podstawowej zależności
n
ℓ=0(1 + j)(n−ℓ)CFℓ = 0:
P
(1 + j)n · D
n
0 = C ·
ℓ=1(1 + j)(n−ℓ)(1 + g)(ℓ−1) =
P
= C · (1 + j)n · (1 + j)−1 ·
n
ℓ=1(1 + j)−(ℓ−1)(1 + g)(ℓ−1).
n
Czyli D
1+g
0 = C · 1 −
, dla g 6= i.
j−g
1+j
(Dla g = 0 jest zgodność z kredytem 4 (równe spłaty).) Dla g = j, D0 = n·C, a wi ęc CF
· (1 + j)ℓ (dla
1+j
ℓ = D0
n
ℓ = 1, . . . , n).
Rozpatrujemy D0 = 1000 zł, n = 4 i j = 0,1. Rozpatrujemy poniżej g = 0,1, czyli g = j.
Rachunki bez zaokrągle ń ze wzgl ędów dydaktycznych.
Schemat amortyzacji tego kredytu:
nr
zadłużenie
st. ods.
odsetki
rata kap.
spłata
1
1000
0,1
100
175
275
2
825
0,1
82,50
220
302,50
3
605
0,1
60,50
272,25
332,75
4
332,75
0,1
33,275
332,75
366,025
Σ
276,275
1000
1276,275
K. M. Przyłuski
MF 19
Wartość pieni ˛
adza w czasie
Kapitalizacja [ compounding]: wyznaczanie wartości przyszłej FV danej kwoty (wartości) początkowej P.
Obowiązuje model odsetek złożonych.
Załóżmy, że dane są:
n — liczba okresów odsetkowych;
i — okresowa stopa procentowa;
P — kwota (wartość) początkowa [zwana też principal ]).
Wartość przyszła FV kwoty P po n okresach odsetkowych określona jest wzorem FV = P · (1 + i)n, zapisywanym też jako FVn = P · FVIFi,n.
FVIF — czynnik w. przyszłej [ future value interest factor ].
Załóżmy teraz, że dane są:
n — liczba okresów (a wi ęc lat!);
stopa procentowa, a wi ęc nominalna, czyli APR ; P — kwota (wartość) początkowa;
m — cz ęstotliwość kapitalizacji.
Przypomnijmy, że APR jest oznaczane przez i(m), a odpowiednia okresowa stopa procentowa to i = i(m)/m, gdyż okresem odsetkowym b ędzie teraz 1/m-ta roku.
Wartość przyszła FV kwoty P po n okresach (czyli latach)
n·m
określona jest wzorem FV = P · 1 + i(m)/m
,
zapisywanym też na jako FVn = P · FVIFi/m,n·m.
Zwróć uwag ę na niekonsekwentne użycie i.
FVIF — nazywane jak wyżej.
K. M. Przyłuski
MF 20
Dyskontowanie [ discounting]: proces określenia wartości bieżącej PV kwoty (wartości) przyszłej F.
Obowiązuje model odsetek złożonych.
Procesy kapitalizacji i dyskontowania są wi ęc wzajemnie
„odwrotne”.
Załóżmy, że dane są:
n — liczba okresów odsetkowych;
i — okresowa stopa procentowa;
F — kwota (wartość) przyszła.
Wartość bież ˛
aca PV kwoty F otrzymanej po n okresach odsetkowych określona jest wzorem PV = F · (1 + i)−n, zapisywanym też jako PVn = F · PVIFi,n.
PVIF — czynnik w. bież ˛
acej [ present value interest factor ]; dla n = 1 jest to czynnik dyskonta [ discount factor ].
Oczywiście PVIFi,n = 1/FVIFi,n.
Załóżmy teraz, że dane są:
n — liczba okresów (a wi ęc lat!);
stopa procentowa, oczywiście nominalna, czyli APR ; F — kwota (wartość) przyszła;
m — cz ęstotliwość kapitalizacji.
Wartość bież ˛
aca PV kwoty F otrzymanej po n okresach (czyli latach) określona jest wzorem
−n·m
PV = F · 1 + i(m)/m
, zapisywanym też jako
PVn = F · PVIFi/m,n·m.
Zwróć uwag ę na niekonsekwentne użycie i.
PVIF — nazywane jak wyżej.
K. M. Przyłuski
MF 21
Wartość przyszła i bież ˛
aca strumienia p. pieniężnych
Zakładamy model odsetek złożonych; okresowa stopa procentowa i oraz okres odsetkowy są ustalone.
Rozpatrujemy jak zwykle strumienie regularne (czyli długości kolejnych okresów identyczne).
Przepływy pieni ężne mogą nast ępować na początku pierwszego z okresów i na ko ńcu każdego z n okresów.
Wartość przyszła FV oraz bieżąca („teraźniejsza”) PV
strumienia CF = (CF0, CF1, . . . , CFn) o długości n określone są wzorami
n
X
FV :=
(1 + i)(n−k) CFk,
k=0
n
X
PV :=
(1 + i)−k CFk.
k=0
Poj ęcia te opisują wartość inwestycji n-okresowych.
Przepływ CFk następujący w chwili k (czyli na ko ńcu k-tego okresu) dzieli od początku pierwszego okresu k okresów, a od ko ńca ostatniego (czyli n-tego) okresu n − k okresów.
Zwi ˛
azek mi ędzy FV i PV dla strumienia p. p. CF: P
FV :=
n
k=0(1 + i)(n−k) CFk =
P
= (1 + i)n
n
k=0(1 + i)−k CFk = (1 + i)n PV.
K. M. Przyłuski
MF 22