Algebra Liniowa - Zadania R. Dryªo
1
Uwaga. Przez baz¦ kanoniczn¡ przestrzeni wektorowej F n nad ciaªem F
jak zawsze rozumiemy baz¦ e1, . . . , en, gdzie ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0).
|{z}
i
Zadanie 1. Wykaza¢, »e wektory b1 = [0, 1, 2], b2 = [2, −1, 1], b3 =
[−1, −1, 0] tworz¡ baz¦
3
R . Znale¹¢ wspóªrz¦dne wektora u = [1, 2, 3] w tej bazie.
Zadanie 2. Znale¹¢ macierz przej±cia z bazy kanonicznej 3
R do bazy
{bi} z poprzedniego zadania. Przy pomocy tej macierzy wyznaczy¢ wspóª-
rz¦dne wektora u = [−3, 2, 1] w bazie {bi}.
Zadanie 3. Poda¢ wzór odwzorowania liniowego f : 3
3
R → R w bazie
kanonicznej, takiego, »e f(bi) = ci dla i = 1, 2, 3, gdzie bi s¡ wektorami z zad.1 oraz c1 = [0, 1, 2], c2 = [2, −1, 1], c3 = [−1, −1, 0].
Zadanie 4. Niech V ⊂ 4
R b¦dzie podprzestrzeni¡ generowan¡ przez wektory v1 = [1, −1, 2, 2], v2 = [−1, 0, 2, 1], v3 = [3, −1, −2, 0].
(i) Znale¹¢ wymiar dim V .
(ii) Znale¹¢ podprzestrze« dopeªniaj¡c¡ W ⊂ 4
4
R tak¡, »e V ⊕ W = R .
(iii) Znale¹¢ formy liniowe F
4
1, . . . , Fn : R
→ R, gdzie n = 4 − dim V ,
takie »e V = {v ∈ 4
R | F1(v) = . . . = Fn(v) = 0}.
Zadanie 5. Znale¹¢ baz¦ j¡dra kerf i baz¦ obrazu imf odzorowania liniowego f : 4
4
R → R , które w bazie kanonicznej ma macierz
2
0
1 2
2
1
0 0
−2 −2 1 2
8
1
3 6
Zadanie 6. Odwzorowanie liniowe f : 3
3
Z →
ma w bazie kanonicznej
7
Z7
macierz
3 1 2
A =
3 2 1
.
5 4 4
2
Wykaza¢, »e f jest izomorzmem i wyznaczy¢ odwzorowanie odrotne f−1.
Zadanie 7. Rozwi¡za¢ ukªad równa« nad Z7
x
3
A y
5
=
,
z
1
gdzie A jest macierz¡ z zad.6.
3
Uwaga. Przez baz¦ kanoniczn¡ przestrzeni wektorowej F n nad ciaªem F
jak zawsze rozumiemy baz¦ e1, . . . , en, gdzie ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0).
|{z}
i
Zadanie 1. Wykaza¢, »e wektory b1 = [2, −1, −1], b2 = [−1, 1, 0], b3 =
[2, −1, 0] tworz¡ baz¦
3
R . Znale¹¢ wspóªrz¦dne wektora u = [1, 2, 3] w tej bazie.
Zadanie 2. Znale¹¢ macierz przej±cia z bazy kanonicznej 3
R do bazy
{bi} z poprzedniego zadania. Przy pomocy tej macierzy wyznaczy¢ wspóª-
rz¦dne wektora u = [−3, 2, 1] w bazie {bi}.
Zadanie 3. Poda¢ wzór odwzorowania liniowego f : 3
3
R → R w bazie
kanonicznej, takiego, »e f(bi) = ci dla i = 1, 2, 3, gdzie bi s¡ wektorami z zad.1 oraz c1 = [2, −1, −1], c2 = [−1, 1, 0], c3 = [2, −1, 0].
Zadanie 4. Niech V ⊂ 4
R b¦dzie podprzestrzeni¡ generowan¡ przez wektory v1 = [2, 0, 1, 2], v2 = [2, 1, 0, 0], v3 = [−2, −2, 1, 2].
(i) Znale¹¢ wymiar dim V .
(ii) Znale¹¢ podprzestrze« dopeªniaj¡c¡ W ⊂ 4
4
R tak¡, »e V ⊕ W = R .
(iii) Znale¹¢ formy liniowe F
4
1, . . . , Fn : R
→ R, gdzie n = 4 − dim V ,
takie »e V = {v ∈ 4
R | F1(v) = . . . = Fn(v) = 0}.
Zadanie 5. Znale¹¢ baz¦ j¡dra kerf i baz¦ obrazu imf odzorowania liniowego f : 4
4
R → R , które w bazie kanonicznej ma macierz
2
1 −1 −1
−
1 0
0
0
.
4
1 −1 −1
5
3 −3 −3
Zadanie 6. Odwzorowanie liniowe f : 3
3
Z →
ma w bazie kanonicznej
7
Z7
macierz
1 1 4
A =
2 5 3
.
4 4 1
4
Wykaza¢, »e f jest izomorzmem i wyznaczy¢ odwzorowanie odrotne f−1.
Zadanie 7. Rozwi¡za¢ ukªad równa« nad Z7
x
3
A y
5
=
,
z
1
gdzie A jest macierz¡ z zad.6.
5
Uwaga. Przez baz¦ kanoniczn¡ przestrzeni wektorowej F n nad ciaªem F
jak zawsze rozumiemy baz¦ e1, . . . , en, gdzie ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0).
|{z}
i
Zadanie 1. Wykaza¢, »e wektory b1 = [2, 1, 1], b2 = [−1, 0, −1], b3 =
[1, 1, −1] tworz¡ baz¦
3
R . Znale¹¢ wspóªrz¦dne wektora u = [1, 2, 3] w tej bazie.
Zadanie 2. Znale¹¢ macierz przej±cia z bazy kanonicznej 3
R do bazy
{bi} z poprzedniego zadania. Przy pomocy tej macierzy wyznaczy¢ wspóª-
rz¦dne wektora u = [−3, 2, 1] w bazie {bi}.
Zadanie 3. Poda¢ wzór odwzorowania liniowego f : 3
3
R → R w bazie
kanonicznej, takiego, »e f(bi) = ci dla i = 1, 2, 3, gdzie bi s¡ wektorami z zad.1 oraz c1 = [2, 1, 1], c2 = [−1, 0, −1], c3 = [1, 1, −1].
Zadanie 4. Niech V ⊂ 4
R b¦dzie podprzestrzeni¡ generowan¡ przez wektory v1 = [2, 1, −1, −1], v2 = [−1, 0, 0, 0], v3 = [4, 1, −1, −1].
(i) Znale¹¢ wymiar dim V .
(ii) Znale¹¢ podprzestrze« dopeªniaj¡c¡ W ⊂ 4
4
R tak¡, »e V ⊕ W = R .
(iii) Znale¹¢ formy liniowe F
4
1, . . . , Fn : R
→ R, gdzie n = 4 − dim V ,
takie »e V = {v ∈ 4
R | F1(v) = . . . = Fn(v) = 0}.
Zadanie 5. Znale¹¢ baz¦ j¡dra kerf i baz¦ obrazu imf odzorowania liniowego f : 4
4
R → R , które w bazie kanonicznej ma macierz
2
1 −1 −1
−
1 0
0
0
4
1 −1 −1
5
3 −3 −3
Zadanie 6. Odwzorowanie liniowe f : 3
3
Z →
ma w bazie kanonicznej
7
Z7
macierz
4 2 1
A =
4 4 5
1 1 4
6
Wykaza¢, »e f jest izomorzmem i wyznaczy¢ odwzorowanie odrotne f−1.
Zadanie 7. Rozwi¡za¢ ukªad równa« nad Z7
x
3
A y
5
=
,
z
1
gdzie A jest macierz¡ z zad.6.
7
Uwaga. Przez baz¦ kanoniczn¡ przestrzeni wektorowej F n nad ciaªem F
jak zawsze rozumiemy baz¦ e1, . . . , en, gdzie ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0).
|{z}
i
Zadanie 1. Wykaza¢, »e wektory b1 = [2, 1, −1], b2 = [0, 1, 1], b3 =
[−1, 0, −1] tworz¡ baz¦
3
R . Znale¹¢ wspóªrz¦dne wektora u = [1, 2, 3] w tej bazie.
Zadanie 2. Znale¹¢ macierz przej±cia z bazy kanonicznej 3
R do bazy
{bi} z poprzedniego zadania. Przy pomocy tej macierzy wyznaczy¢ wspóª-
rz¦dne wektora u = [−3, 2, 1] w bazie {bi}.
Zadanie 3. Poda¢ wzór odwzorowania liniowego f : 3
3
R → R w bazie
kanonicznej, takiego, »e f(bi) = ci dla i = 1, 2, 3, gdzie bi s¡ wektorami z zad.1 oraz c1 = [2, 1, −1], c2 = [0, 1, 1], c3 = [−1, 0, −1].
Zadanie 4. Niech V ⊂ 4
R b¦dzie podprzestrzeni¡ generowan¡ przez wektory v1 = [2, 1, −1, −1], v2 = [−1, 0, 0, 0], v3 = [4, 1, −1, −1].
(i) Znale¹¢ wymiar dim V .
(ii) Znale¹¢ podprzestrze« dopeªniaj¡c¡ W ⊂ 4
4
R tak¡, »e V ⊕ W = R .
(iii) Znale¹¢ formy liniowe F
4
1, . . . , Fn : R
→ R, gdzie n = 4 − dim V ,
takie »e V = {v ∈ 4
R | F1(v) = . . . = Fn(v) = 0}.
Zadanie 5. Znale¹¢ baz¦ j¡dra kerf i baz¦ obrazu imf odzorowania liniowego f : 4
4
R → R , które w bazie kanonicznej ma macierz
0
1
1
2
−
1 −1 −1 0
2
3
3
2
−1
2
2
6
Zadanie 6. Odwzorowanie liniowe f : 3
3
Z →
ma w bazie kanonicznej
7
Z7
macierz
3 3 1
A =
2 5 2
.
5 3 1
8
Wykaza¢, »e f jest izomorzmem i wyznaczy¢ odwzorowanie odrotne f−1.
Zadanie 7. Rozwi¡za¢ ukªad równa« nad Z7
x
3
A y
5
=
,
z
1
gdzie A jest macierz¡ z zad.6.
9
Uwaga. Przez baz¦ kanoniczn¡ przestrzeni wektorowej F n nad ciaªem F
jak zawsze rozumiemy baz¦ e1, . . . , en, gdzie ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0).
|{z}
i
Zadanie 1. Wykaza¢, »e wektory b1 = [2, −1, 2], b2 = [0, 0, 2], b3 =
[2, 1, 2] tworz¡ baz¦
3
R . Znale¹¢ wspóªrz¦dne wektora u = [1, 2, 3] w tej bazie.
Zadanie 2. Znale¹¢ macierz przej±cia z bazy kanonicznej 3
R do bazy
{bi} z poprzedniego zadania. Przy pomocy tej macierzy wyznaczy¢ wspóª-
rz¦dne wektora u = [−3, 2, 1] w bazie {bi}.
Zadanie 3. Poda¢ wzór odwzorowania liniowego f : 3
3
R → R w bazie
kanonicznej, takiego, »e f(bi) = ci dla i = 1, 2, 3, gdzie bi s¡ wektorami z zad.1 oraz c1 = [2, −1, 2], c2 = [0, 0, 2], c3 = [2, 1, 2].
Zadanie 4. Niech V ⊂ 4
R b¦dzie podprzestrzeni¡ generowan¡ przez wektory v1 = [−1, 2, 2, −1], v2 = [1, 1, −1, −1], v3 = [−3, 0, 4, 1].
(i) Znale¹¢ wymiar dim V .
(ii) Znale¹¢ podprzestrze« dopeªniaj¡c¡ W ⊂ 4
4
R tak¡, »e V ⊕ W = R .
(iii) Znale¹¢ formy liniowe F
4
1, . . . , Fn : R
→ R, gdzie n = 4 − dim V ,
takie »e V = {v ∈ 4
R | F1(v) = . . . = Fn(v) = 0}.
Zadanie 5. Znale¹¢ baz¦ j¡dra kerf i baz¦ obrazu imf odzorowania liniowego f : 4
4
R → R , które w bazie kanonicznej ma macierz
−1 −1
0
1
1
1
2
2
−3 −3 −4 −3
−2 −2
2
5
Zadanie 6. Odwzorowanie liniowe f : 3
3
Z →
ma w bazie kanonicznej
7
Z7
macierz
3 1 2
A =
4 3 1
5 1 3
10
Wykaza¢, »e f jest izomorzmem i wyznaczy¢ odwzorowanie odrotne f−1.
Zadanie 7. Rozwi¡za¢ ukªad równa« nad Z7
x
3
A y
5
=
,
z
1
gdzie A jest macierz¡ z zad.6.
11
Uwaga. Przez baz¦ kanoniczn¡ przestrzeni wektorowej F n nad ciaªem F
jak zawsze rozumiemy baz¦ e1, . . . , en, gdzie ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0).
|{z}
i
Zadanie 1. Wykaza¢, »e wektory b1 = [0, 0, 2], b2 = [1, −1, 1], b3 =
[2, −1, 2] tworz¡ baz¦
3
R . Znale¹¢ wspóªrz¦dne wektora u = [1, 2, 3] w tej bazie.
Zadanie 2. Znale¹¢ macierz przej±cia z bazy kanonicznej 3
R do bazy
{bi} z poprzedniego zadania. Przy pomocy tej macierzy wyznaczy¢ wspóª-
rz¦dne wektora u = [−3, 2, 1] w bazie {bi}.
Zadanie 3. Poda¢ wzór odwzorowania liniowego f : 3
3
R → R w bazie
kanonicznej, takiego, »e f(bi) = ci dla i = 1, 2, 3, gdzie bi s¡ wektorami z zad.1 oraz c1 = [0, 0, 2], c2 = [1, −1, 1], c3 = [2, −1, 2].
Zadanie 4. Niech V ⊂ 4
R b¦dzie podprzestrzeni¡ generowan¡ przez wektory v1 = [−1, −1, 0], v2 = [1, 1, 1, 2, 2], v3 = [−3, −3, −4, −3].
(i) Znale¹¢ wymiar dim V .
(ii) Znale¹¢ podprzestrze« dopeªniaj¡c¡ W ⊂ 4
4
R tak¡, »e V ⊕ W = R .
(iii) Znale¹¢ formy liniowe F
4
1, . . . , Fn : R
→ R, gdzie n = 4 − dim V ,
takie »e V = {v ∈ 4
R | F1(v) = . . . = Fn(v) = 0}.
Zadanie 5. Znale¹¢ baz¦ j¡dra kerf i baz¦ obrazu imf odzorowania liniowego f : 4
4
R → R , które w bazie kanonicznej ma macierz
0
−1
0
0
2
−1
2
−1
−4
1
−4
2
2
−4
2
−1
Zadanie 6. Odwzorowanie liniowe f : 3
3
Z →
ma w bazie kanonicznej
7
Z7
macierz
4 4 5
A =
1 5 4
5 2 4
12
Wykaza¢, »e f jest izomorzmem i wyznaczy¢ odwzorowanie odrotne f−1.
Zadanie 7. Rozwi¡za¢ ukªad równa« nad Z7
x
3
A y
5
=
,
z
1
gdzie A jest macierz¡ z zad.6.
13
Uwaga. Przez baz¦ kanoniczn¡ przestrzeni wektorowej F n nad ciaªem F
jak zawsze rozumiemy baz¦ e1, . . . , en, gdzie ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0).
|{z}
i
Zadanie 1. Wykaza¢, »e wektory b1 = [2, 1, 2], b2 = [−1, 0, 1], b3 =
[1, 2, 1] tworz¡ baz¦
3
R . Znale¹¢ wspóªrz¦dne wektora u = [1, 2, 3] w tej bazie.
Zadanie 2. Znale¹¢ macierz przej±cia z bazy kanonicznej 3
R do bazy
{bi} z poprzedniego zadania. Przy pomocy tej macierzy wyznaczy¢ wspóª-
rz¦dne wektora u = [−3, 2, 1] w bazie {bi}.
Zadanie 3. Poda¢ wzór odwzorowania liniowego f : 3
3
R → R w bazie
kanonicznej, takiego, »e f(bi) = ci dla i = 1, 2, 3, gdzie bi s¡ wektorami z zad.1 oraz c1 = [2, 1, 2], c2 = [−1, 0, 1], c3 = [1, 2, 1].
Zadanie 4. Niech V ⊂ 4
R b¦dzie podprzestrzeni¡ generowan¡ przez wektory v1 = [0, −1, 0, 0], v2 = [2, −1, 2, −1], v3 = [−4, 1, −4, 2].
(i) Znale¹¢ wymiar dim V .
(ii) Znale¹¢ podprzestrze« dopeªniaj¡c¡ W ⊂ 4
4
R tak¡, »e V ⊕ W = R .
(iii) Znale¹¢ formy liniowe F
4
1, . . . , Fn : R
→ R, gdzie n = 4 − dim V ,
takie »e V = {v ∈ 4
R | F1(v) = . . . = Fn(v) = 0}.
Zadanie 5. Znale¹¢ baz¦ j¡dra kerf i baz¦ obrazu imf odzorowania liniowego f : 4
4
R → R , które w bazie kanonicznej ma macierz
2
2
0
−1
2
2
−1 −1
−2 −2
2
1
8
8
−1 −4
Zadanie 6. Odwzorowanie liniowe f : 3
3
Z →
ma w bazie kanonicznej
7
Z7
macierz
3 5 5
A =
1 3 3
1 1 4
14
. Wykaza¢, »e f jest izomorzmem i wyznaczy¢ odwzorowanie odrotne f−1.
Zadanie 7. Rozwi¡za¢ ukªad równa« nad Z7
x
3
A y
5
=
,
z
1
gdzie A jest macierz¡ z zad.6.
15
Uwaga. Przez baz¦ kanoniczn¡ przestrzeni wektorowej F n nad ciaªem F
jak zawsze rozumiemy baz¦ e1, . . . , en, gdzie ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0).
|{z}
i
Zadanie 1. Wykaza¢, »e wektory b
3
1, b2, b3 tworz¡ baz¦ R .
Znale¹¢
wspóªrz¦dne wektora u = [1, 2, 3] w tej bazie b1 = [1, 1, −1], b2 = [−1, 2, 2], b3 =
[0, −1, 2].
Zadanie 2. Znale¹¢ macierz przej±cia z bazy kanonicznej 3
R do bazy
{bi} z poprzedniego zadania. Przy pomocy tej macierzy wyznaczy¢ wspóª-
rz¦dne wektora u = [−3, 2, 1] w bazie {bi}.
Zadanie 3. Poda¢ wzór odwzorowania liniowego f : 3
3
R → R w bazie
kanonicznej, takiego, »e f(bi) = ci dla i = 1, 2, 3, gdzie bi s¡ wektorami z zad.1 oraz c1 = [1, 1, −1], c2 = [−1, 2, 2], c3 = [0, −1, 2].
Zadanie 4. Niech V ⊂ 4
R b¦dzie podprzestrzeni¡ generowan¡ przez wektory v1 = [0, −1, 0, 0], v2 = [2, −1, 2, −1], v3 = [−4, 1, −4, 2].
(i) Znale¹¢ wymiar dim V .
(ii) Znale¹¢ podprzestrze« dopeªniaj¡c¡ W ⊂ 4
4
R tak¡, »e V ⊕ W = R .
(iii) Znale¹¢ formy liniowe F
4
1, . . . , Fn : R
→ R, gdzie n = 4 − dim V ,
takie »e V = {v ∈ 4
R | F1(v) = . . . = Fn(v) = 0}.
Zadanie 5. Znale¹¢ baz¦ j¡dra kerf i baz¦ obrazu imf odzorowania liniowego f : 4
4
R → R , które w bazie kanonicznej ma macierz
2
2
0
−1
2
2
−1 −1
−2 −2
2
1
8
8
−1 −4
Zadanie 6. Odwzorowanie liniowe f : 3
3
Z →
ma w bazie kanonicznej
7
Z7
macierz
1 5 5
A =
4 2 1
4 1 3
16
Wykaza¢, »e f jest izomorzmem i wyznaczy¢ odwzorowanie odrotne f−1.
Zadanie 7. Rozwi¡za¢ ukªad równa« nad Z7
x
3
A y
5
=
,
z
1
gdzie A jest macierz¡ z zad.6.
17
Uwaga. Przez baz¦ kanoniczn¡ przestrzeni wektorowej F n nad ciaªem F
jak zawsze rozumiemy baz¦ e1, . . . , en, gdzie ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0).
|{z}
i
Zadanie 1. Wykaza¢, »e wektory b1 = [2, 2, −1], b2 = [2, 2, 0], b3 =
[−1, 1, 0] tworz¡ baz¦
3
R . Znale¹¢ wspóªrz¦dne wektora u = [1, 2, 3] w tej bazie.
Zadanie 2. Znale¹¢ macierz przej±cia z bazy kanonicznej 3
R do bazy
{bi} z poprzedniego zadania. Przy pomocy tej macierzy wyznaczy¢ wspóª-
rz¦dne wektora u = [−3, 2, 1] w bazie {bi}.
Zadanie 3. Poda¢ wzór odwzorowania liniowego f : 3
3
R → R w bazie
kanonicznej, takiego, »e f(bi) = ci dla i = 1, 2, 3, gdzie bi s¡ wektorami z zad.1 oraz c1 = [2, 2, −1], c2 = [2, 2, 0], c3 = [−1, 1, 0].
Zadanie 4. Niech V ⊂ 4
R b¦dzie podprzestrzeni¡ generowan¡ przez wektory v1 = [2, 2, 0, −1], v2 = [2, 2, −1, −1], v3 = [−2, −2, 2, 1].
(i) Znale¹¢ wymiar dim V .
(ii) Znale¹¢ podprzestrze« dopeªniaj¡c¡ W ⊂ 4
4
R tak¡, »e V ⊕ W = R .
(iii) Znale¹¢ formy liniowe F
4
1, . . . , Fn : R
→ R, gdzie n = 4 − dim V ,
takie »e V = {v ∈ 4
R | F1(v) = . . . = Fn(v) = 0}.
Zadanie 5. Znale¹¢ baz¦ j¡dra kerf i baz¦ obrazu imf odzorowania liniowego f : 4
4
R → R , które w bazie kanonicznej ma macierz
1
1
1
−1
−
1
2
−1
2
3
−3
3
−5
2
5
2
−1
Zadanie 6. Odwzorowanie liniowe f : 3
3
Z →
ma w bazie kanonicznej
7
Z7
macierz
3 3 1
A =
4 2 2
2 3 1
Wykaza¢, »e f jest izomorzmem i wyznaczy¢ odwzorowanie odrotne f−1.
18
Zadanie 7. Rozwi¡za¢ ukªad równa« nad Z7
x
3
A y
5
=
,
z
1
gdzie A jest macierz¡ z zad.6.
19
Uwaga. Przez baz¦ kanoniczn¡ przestrzeni wektorowej F n nad ciaªem F
jak zawsze rozumiemy baz¦ e1, . . . , en, gdzie ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0).
|{z}
i
Zadanie 1. Wykaza¢, »e wektory b1 = [1, 1, −1], b2 = [−1, 2, 1], b3 =
[1, 1, 0] tworz¡ baz¦
3
R . Znale¹¢ wspóªrz¦dne wektora u = [1, 2, 3] w tej bazie.
Zadanie 2. Znale¹¢ macierz przej±cia z bazy kanonicznej 3
R do bazy
{bi} z poprzedniego zadania. Przy pomocy tej macierzy wyznaczy¢ wspóª-
rz¦dne wektora u = [−3, 2, 1] w bazie {bi}.
Zadanie 3. Poda¢ wzór odwzorowania liniowego f : 3
3
R → R w bazie
kanonicznej, takiego, »e f(bi) = ci dla i = 1, 2, 3, gdzie bi s¡ wektorami z zad.1 oraz c1 = [1, 1, −1], c2 = [−1, 2, 1], c3 = [1, 1, 0].
Zadanie 4. Niech V ⊂ 4
R b¦dzie podprzestrzeni¡ generowan¡ przez wektory v1 = [1, 1, 1, −1], v2 = [−1, 2, −1, 2], v3 = [3, −3, 3, −5]..
(i) Znale¹¢ wymiar dim V .
(ii) Znale¹¢ podprzestrze« dopeªniaj¡c¡ W ⊂ 4
4
R tak¡, »e V ⊕ W = R .
(iii) Znale¹¢ formy liniowe F
4
1, . . . , Fn : R
→ R, gdzie n = 4 − dim V ,
takie »e V = {v ∈ 4
R | F1(v) = . . . = Fn(v) = 0}.
Zadanie 5. Znale¹¢ baz¦ j¡dra kerf i baz¦ obrazu imf odzorowania liniowego f : 4
4
R → R , które w bazie kanonicznej ma macierz
2
0
1 2
2
1
0 0
−2 −2 1 2
8
1
3 6
Zadanie 6. Odwzorowanie liniowe f : 3
3
Z →
ma w bazie kanonicznej
7
Z7
macierz
4 2 1
4 2 2
1 2 3
20
Wykaza¢, »e f jest izomorzmem i wyznaczy¢ odwzorowanie odrotne f−1.
Zadanie 7. Rozwi¡za¢ ukªad równa« nad Z7
x
3
A y
5
=
,
z
1
gdzie A jest macierz¡ z zad.6.
21
Uwaga. Przez baz¦ kanoniczn¡ przestrzeni wektorowej F n nad ciaªem F
jak zawsze rozumiemy baz¦ e1, . . . , en, gdzie ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0).
|{z}
i
Zadanie 1. Wykaza¢, »e wektory b1 = [1, 1, −1], b2 = [−1, 2, 1], b3 =
[1, 1, 0] tworz¡ baz¦
3
R . Znale¹¢ wspóªrz¦dne wektora u = [1, 2, 3] w tej bazie.
Zadanie 2. Znale¹¢ macierz przej±cia z bazy kanonicznej 3
R do bazy
{bi} z poprzedniego zadania. Przy pomocy tej macierzy wyznaczy¢ wspóª-
rz¦dne wektora u = [−3, 2, 1] w bazie {bi}.
Zadanie 3. Poda¢ wzór odwzorowania liniowego f : 3
3
R → R w bazie
kanonicznej, takiego, »e f(bi) = ci dla i = 1, 2, 3, gdzie bi s¡ wektorami z zad.1 oraz c1 = [1, 1, −1], c2 = [−1, 2, 1], c3 = [1, 1, 0].
Zadanie 4. Niech V ⊂ 4
R b¦dzie podprzestrzeni¡ generowan¡ przez wektory v1 = [0, −1, 0, 0], v2 = [2, −1, 2, −1], v3 = [−4, 1, −4, 2].
(i) Znale¹¢ wymiar dim V .
(ii) Znale¹¢ podprzestrze« dopeªniaj¡c¡ W ⊂ 4
4
R tak¡, »e V ⊕ W = R .
(iii) Znale¹¢ formy liniowe F
4
1, . . . , Fn : R
→ R, gdzie n = 4 − dim V ,
takie »e V = {v ∈ 4
R | F1(v) = . . . = Fn(v) = 0}.
Zadanie 5. Znale¹¢ baz¦ j¡dra kerf i baz¦ obrazu imf odzorowania liniowego f : 4
4
R → R , które w bazie kanonicznej ma macierz
0
−1
0
0
2
−1
2
−1
−4
1
−4
2
2
−4
2
−1
Zadanie 6. Odwzorowanie liniowe f : 3
3
Z →
ma w bazie kanonicznej
7
Z7
macierz
4 3 1
A =
4 5 4
5 4 1
Wykaza¢, »e f jest izomorzmem i wyznaczy¢ odwzorowanie odrotne f−1.
22
Zadanie 7. Rozwi¡za¢ ukªad równa« nad Z7
x
3
A y
5
=
,
z
1
gdzie A jest macierz¡ z zad.6.
23