1. Wprowadzenie
Wð - przestrzeÅ„ (ustalony niepusty zbiór)
KlasÄ™ bð (B, nie beta) podzbiorów przestrzeni Wð nazywamy ciaÅ‚em przeliczalnie addytywnym (sð-ciaÅ‚em
), gdy:
·ð jeżeli AÎð bð, to A = Wð - A Îð bð,
·ð jeżeli A1, A2, & , AK Îð bð dla k = 1, 2, & , to Ã" " (suma ciÄ…gów)

Wniosek:
·ð " " , © "
·ð ( , , & , " = 1, 2, & ) Â" "

( )
·ð " , " - "
Przykład:
·ð = {", ©}, - klasa wszystkich podzbiorów przestrzeni ©
Rzeczywista funkcja zbioru P okreÅ›lona na sð-ciele bð podzbiorów przestrzeni Wð speÅ‚niajÄ…ca wszystkie
aksjomaty prawdopodobieństwa nazywa się prawdopodobieństwem; taką funkcję P nazywa się
również rozkÅ‚adem prawdopodobieÅ„stwa w przestrzeni Wð.
PrzestrzeniÄ… probabilistycznÄ… nazywamy uporzÄ…dkowanÄ… trójkÄ™ (Wð, bð, P).
Elementy klasy bð nazywamy zdarzeniami.
Zbiór pusty " nazywamy zdarzeniem niemożliwym.
CaÅ‚Ä… przestrzeÅ„ Wð nazywamy zdarzeniem pewnym.
LiczbÄ™ P(A), A Îð bð nazywamy prawdopodobieÅ„stwem zdarzenia A.
UWAGA!
a) Gdy Wð = R = (-", "), to zdarzeniami sÄ… np. zbiory borelowskie na prostej. Klasa bð zbiorów
borelowskich na prostej jest to z definicji najmniejsze sð-ciaÅ‚o podzbiorów przestrzeni Wð = R
zawierajÄ…ce klasÄ™ bð0 skoÅ„czonych sum przedziałów b) Gdy Wð = R2 (pÅ‚aszczyzna), to zdarzeniami sÄ… np. zbiory borelowskie na pÅ‚aszczyz
nie. KlasÄ™ bð
zbiorów borelowskich na płaszczyz
nie definiuje siÄ™ jako najmniejsze sð-ciaÅ‚o zawierajÄ…ce zbiory
postaci A = {(x, y): x < a, y < b}; a, b  dowolne liczby rzeczywiste.
Zbiory borelowskie przestrzeni Rn (czyli przykÅ‚ady zdarzeÅ„, gdy Wð = Rn) definiuje siÄ™ analogicznie, jak w
przestrzeni Rn.
2. Zmienne losowe (jednowymiarowe)
Określenie intuicyjno-poglądowe: zmienną losową nazywamy taką wielkość, która w wyniku
doświadczenia przyjmuje tylko jedną wartość, znaną dopiero po zrealizowaniu doświadczenia, a nie
dającą się określić (przewidzieć) przed realizacją doświadczenia.
Przykład I: jednokrotny rzut kostką.
Wð = {wð1, wð2, wð3, wð4, wð5, wð6}
bð - wszystkie podzbiory przestrzeni Wð
P({wðk}) = 1/6 dla k = 1, 2, & , 6
X = X(wð)  liczba oczek, jaka wypadnie na Å›ciance kostki: X(wðk) = k
Przykład II: dobowa liczba zgonów na określonym terenie.
Przykład III: ilość zajętych linii telefonicznych w centrali telefonicznej w ustalonej chwili czasu.
Przykłady I, II i III to zmienne losowe typu dyskretnego lub skokowego, które mają skończony lub
przeliczalny zbiór wartości.
Przykład IV: czas między kolejnymi zgłoszeniami abonentów w pewnej central telefonicznej.
Spośród zmiennych losowych, z którymi często spotykamy się w praktyce, można wymienić dwie grupy
zmiennych:
a) wyniki pomiarów,
b) wartości cech jednostek statystycznych wylosowanych z populacji generalnej, np.:
-ð wzrost osób
-ð wiek osób
Przykład IV to zmienne losowe typu ciągłego  przyjmują wartości ze zbioru nieprzeliczalnego, np.
odcinka.
Niech dana jest przestrzeÅ„ probabilistyczna (Wð, bð, P), wð Îð Wð. ZmiennÄ… losowÄ… nazywamy jednoznacznÄ…
funkcjÄ™ X = X(wð): Wð Ä…ð R speÅ‚niajÄ…cÄ… warunek: dla każdego a Îð R zbiór {wð: X(wð) Twierdzenie:
a) Jeżeli X = X(wð) jest zmiennÄ… losowÄ…, to jej funkcja, np. |X|, X2, 3X+5, sÄ… zmiennymi losowymi.
b) Jeżeli f(x) jest funkcjÄ… borelowskÄ… na prostej R, a X = X(wð) jest zmiennÄ… losowÄ…, to funkcja
Y(wð)=f(x(wð)) jest zmiennÄ… losowÄ….
c) Jeżeli X = X(wð), Y = Y(wð) sÄ… zmiennymi losowymi, to np. X+Y, X"Y sÄ… zmiennymi losowymi.
d) Jeżeli X1 = X1(wð), X2 = X2(wð), & , Xn = Xn(wð) sÄ… zmiennymi losowymi, a f(x1), f(x2), & , f(xn) jest
funkcjÄ… borelowskÄ… n-zmiennych, to funkcja Y(wð) = f(x1(wð), x2(wð), & , xn(wð)) jest zmiennÄ…
losowÄ….
DystrybuantÄ… zmiennej losowej X = X(wð) nazywamy funkcjÄ™ FX(x) = F(x) = P({wð: X(wð) < x}), x Îð R.