A. Zaborski, Kinematycznie dopuszczalne pola przemieszczeń
Kinematycznie dopuszczalne pola przemieszczeń
Przykład
Zamiana belki hiperstatycznej na mechanizm wymaga
q
powstania 2 przegubów. Położenie przegubu na przęśle nie jest
znane, możemy je jednak wyznaczyć z zasady prac
l
wirtualnych:
b l -b
Åš
Åš1 qÅš1x1dx1 = M (2Åš + Åš1)
+"qÅšxdx + +"
Åš+Åš1
0 0
b
b l-b
a ponieważ z rysunku wynika proporcja: Ś1 = Ś , jest
l - b
2M 2l - b
więc: q = , ponieważ schemat kinematyczny daje oszacowanie od góry,
bl l - b
poszukujemy minimum:
"q
min q Ò! = 0 Ò! b2 - 4bl + 2l2 = 0 Ò! b = l(2 - 2)= 0.59l ,
"b
4 M M
skÄ…d ostatecznie: q = = 11.66
l2 l2
6 - 4 2
Przykład
Dobrać tak położenie podpory, aby nośność belki była największa.
2 schematy zniszczenia sÄ… najbardziej prawdopodobne. Dla pierwszego z nich otrzymujemy:
q
2M (2b + a)
q1 = ,
a2b + ab2 - ac2
dla drugiego natomiast:
2M
q2 =
Åš
Åš1
c2
Åš+Åš1
Ponieważ nośność przęsła można zwiększać jedynie
a b c
kosztem nośności przewieszenia (i na odwrót),
rozwiązaniem będzie przypadek dla którego q1 = q2 , skąd
Åš
4M
dostajemy: 2c2 = ab oraz: q = q2 = . Poszukiwanie
ab
minimum q sprowadza siÄ™ do szukania maksimum dla mianownika ab z dodatkowymi
więzami (z warunkiem pobocznym): 2(l - a - b)2 - ab = 0 . Z metody mnożników
2
Lagrange a, dla funkcji: f (a,b) = ab + [2(l - a - b) - ab], mamy:
"f
= 0 b - [4(l - a - b)+ b]= 0
"a
.
"f
= 0 a - [4(l - a - b)+ a]= 0
"b
A. Zaborski, Kinematycznie dopuszczalne pola przemieszczeń
OdejmujÄ…c stronami, mamy: a - b - a + b = 0 , czyli (a - b)(1- ) = 0 . A
atwo sprawdzić,
że  = 1 nie jest rozwiązaniem wyjściowego układu, więc pozostaje: a = b , skąd
ab a ëÅ‚ 1 öÅ‚
c = = . Ponieważ a + b + c = l , to ìÅ‚2 + ÷Å‚a = l , jest ostatecznie:
2
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
a = b = 0.3694l,c = 0.2612l , czyli a : b : c = 2 : 2 :1.
Powyższy wynik można było przewidzieć, gdyż z porównania schematów 1 i 2 wynikało od
razu a = b.
Przykład
Dobrać tak położenie środkowej podpory, aby nośność
belki była największa.
a
l-a
Rozwiązanie dla pierwszego schematu zniszczenia możemy
odczytać z jednego z poprzednich przykładów:
M
q1 = 11.66 .
a2
Dla drugiego schematu jest:
b
16M
q2 = .
(l - a)2
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, przy ustalonej
1 1
(l - a) (l - a)
2 2 całkowitej długości belki, zwiększanie nośności jednego
przęsła odbywa się kosztem nośności drugiego. Dlatego
M
M M
poszukujemy rozwiązania dla którego: q1 = q2 .
Taki przypadek zachodzi dla a = 0.4605l, b = 0.19l i wówczas nośność graniczna belki
wynosi:
M
q = 54.97 .
l2
Rama
Określenie nośności granicznej ramy:
P
P
P
Åš
Åš
P/2 P/2
dla pierwszego schematu zniszczenia:
l/2 l/2 2Åš
P/2
4M
Åš 1
h Åš PÅšh = 2MÅš Ò! P1 =
2
h
Åš
Åš
dla drugiego zaÅ›:
8M
1 l
PÅšh + PÅš = 4MÅš Ò! P2 = .
2 2
l + h
Dla l < h zachodzi schemat 1, dla l > h zachodzi schemat 2.